知识点6_羧酸和酯习题
知识点6 羧酸和酯
问题1 羧酸 酯的概况
1、羧酸的概况
（1）官能团：羧基（或—COOH)；通式（饱和一元羧酸和酯）：C n H 2n O 2；
（2）结构特点：羧基上碳原子伸出的三个键所成键角为120°，该碳原子跟其相连接的各原子在同一平面上。
（3）物理性质（乙酸）：具有强烈刺激性气味，易挥发，易溶于水和乙醇，温度低于熔点时，凝结成晶体，纯净的醋酸又称为冰醋酸。
2、酯的概况
（1）酯官能团：酯基（或—COOR ）（R 为烃基）；
（2）物理性质：①低级酯是具有芳香气味的液体。②密度比水小。③难溶于水，易溶于乙醇和乙醚等有机溶剂。
问题2 与水有关的反应
有机反应多数涉及水，如水解、水化、脱水、酯化、氧化、还原等等。
1
（2）酯水解 条件—稀硫酸/水浴（可逆）、稀NaOH/水浴（完全）
CH 3COOC 2H 5+H 2O CH 3COOH+CH 3CH 2OH (酸性水解程度小)
CH 3COOC 2H 5+NaOH →CH 3COONa+CH 3CH 2OH （碱性水解程度大）
（3）油脂碱性水解（皂化）
（4）其它 R-C ≡N 、NaOC 2H 5、CH 3COONa 分析水解产物
2、脱水反应
（1）分子间脱水（取代反应）
CH 3COOH+HOCH 2CH 3→
CH 3CH 2OH+HOCH 2CH 3→
CH 3COOH+HOOCCH 3→
H 2NCH 2COOH+H 2NCH 2COOH →
（2）分子内脱水（消去反应）
HOCH 2CH 3→
CH 3COOH →
3、酯化反应（取代）
（1） 制乙酸乙酯
制硝酸甘油酯
（2） 制葡萄糖五乙酸酯
苯酚与乙酸酐反应生成酯
CH 3CH 2-Br +NaOH CH 3CH 2OH + NaBr
水 △ —Cl +2NaOH —ONa+ NaCl+H 2O 200℃
醇 + 酸 酯 + 水（酸去羟基、醇去氢）
浓硫酸 △ 醇 + 酸酐 酯 + 酸（反应温和、不用催化剂）
（3）酯成环（双官能团）
要生成环状化合物，一般生成五原子、六原子环状化合物才能稳定存在。
（4）高分子酯
附：水解消耗NaOH 计算（-COOH 、-COOC-、酚、-X ）
【例6-1】（07川）咖啡鞣酸具有较广泛的抗菌作用，其结构简式如下所示：关于咖啡鞣酸的下列说法不正确的是
A ．分子式为C 16H 18O 9
B ．与苯环直接相连的原子都在同一平面上
C ．咖啡鞣酸水解时可消耗8molNaOH
D ．与浓溴水既能发生取代反应又能发生加成反应
问题3 羧酸、酯的性质
1、羧酸的性质
（1）乙酸性质（酸的通性、取代反应）
①2CH 3COOH+2Na →2CH 3COONa+H 2↑
②2CH 3COOH+Na 2CO 3 →2CH 3COONa+H 2O+CO 2↑（检验－COOH ）
③CH 3COOH+NaHCO 3 →CH 3COONa+H 2O+CO 2↑（检验－COOH ）
④CH 3COOH + NaOH →CH 3COONa + H 2O
⑤ 2CH 3COOH + Cu(OH)2Cu + 2H 2O
⑥.CH 3COOH+CH 3CH 23COOCH 2CH 3 +H 2O （2
2、 酯的性质
（1）乙酸乙酯水解[水解反应（取代反应）、不可氧化也不可还原]
CH
3COOC 2H 5+H 2O CH 3COOH+CH 3CH 2OH (可逆 部分水解)
CH 3COOC 2H 5+NaOH →CH 3COONa+CH 3CH 2OH （不可逆 完全水解）
CH 3-CH-COOH OH | 2 + 2H
2O O O 3
3HOOC-COOH + HOCH 2-CH 2
OH + 2H 2O O O
HO-CH
2- CH 2- CH 2-COOH + H 2O O 浓硫酸 △
n CH 3-CH-COOH OH | | —CH-C —O — + n H 2O CH
3 O | | n
化学科组教案 刘老师
问题4 乙酸乙酯的制取
（1）CH 3COOH+HOCH 2CH 3
CH 3COOCH 2CH 3 + H 2O
（2）装置
①发生：液+液(△) [有液反应加热]
②收集：盛饱和碳酸钠溶液的试管
（3）注意点
①长导管作用：冷凝回流
②浓H 2SO 4作用：催化剂，脱水剂
③饱和Na 2CO 3溶液作用：除去乙酸；
吸收乙醇；降低乙酸乙酯的溶解度。
④导管口位于碳酸钠液面上，防止倒吸
⑤碎瓷片作用：防暴沸 ⑥加药顺序：乙醇←浓硫酸←乙酸
【例6-2】（09沪）迷迭香酸是从蜂花属
植物中提取得到的酸性物质，其结构如
右图。下列叙述正确的是
A ．迷迭香酸属于芳香烃
B ．1mol 迷迭香酸最多能和9mol 氢气发生加成反应
C ．迷迭香酸可以发生水解反应、取代反应和酯化反应
D ．1mol 迷迭香酸最多能和含5mol NaOH 的水溶液完全反应
【例6-3】（09苏）具有显著抗癌活性的10－羟基喜树碱的结构如图所示。下列关于10－羟基喜树碱的说法正确的是：
A ．分子式为C 20H 16N 2O 5
B ．不能与FeCl 3 溶液发生显色反应
C ．不能发生酯化反应
D ．一定条件下，1mol 该物质最多可与1molNaOH 反应
【例6-4】（09全Ⅱ）1 mol 右图物质与足量的NaOH 溶液充分反应，消耗的NaOH 的物质的量为
A ．5 mol
B ．4 mol
C ．3 mol
D ．2 mol \
【例6-5】科学家把药物连接在高分子载体上，制成缓释长效药剂，阿斯匹林是常用解热镇痛药物，其结构简式如A ，把它连在某聚合物上，形成缓释长效阿斯匹林，其中一种的结构简式为B
A B
(1)1mol B 与NaOH 溶液反应，消耗NaOH 物质的量为________。
(2)服药后，在人体内发生释放出阿斯匹林的化学方程式是 。
(3)合成聚合物B 的单体的三种物质是：
、
、
HO — —— — 3 O O －COOH －O C OCH 3 CH 3－C —O —
O ‖ —CH 2—C — CH 3 | | [ ]n O=C —OCH 2—CH 2O —C — ‖ O
圆与方程知识点总结典型例题
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交??
初中物理功和能的知识点总结(精练版)
第十一章功和机械能 1、如果一个力作用在物体上，物体在这个力的方向上移动了一段距离，就说这个力对物体做了功。包含两个必要因素：一个是作用在物体上的力；另一个是物体在这个力的方向上移动的距离。 功等于力与物体在力的方向上移动的距离的乘积。 W=FS F表示力，单位：牛( N )。S表示距离，单位：米（m） W表示功，单位是牛米，叫作焦耳，简称焦，符号是J。 1J=1N·m 2、功与做功所用的时间之比叫做功率，功率是表示做功快慢的物理量。 功率等于功与做功所用的时间之比。 P=W/t W表示功，单位是焦（J）。t表示时间，单位是秒（s） P表示功率，单位是焦耳每秒，叫做瓦特，简称瓦，符号是W。 1W=1J/s。 功率的单位还有千瓦，符号kW 1kW=103W 3、物体由于运动而具有的能叫动能。质量相同的物体，运动的速度越大，它的动能越大；运动速度相同的物体，质量越大，它的动能也越大。 能量（能）的单位与功的单位相同。 E表示能量，单位是焦耳，简称焦，符号是J 4、物体由于受到重力并处在一定高度时所具有的能叫做重力势能。物体的质量越大，位置越高，它具有的重力势能就越大。 5、物体由于发生弹性形变而具有的能叫做弹性势能。物体的弹性形变越大，它具有的弹性势能就越大。 6、动能和势能统称为机械能。 7、机械能是守恒的（能量守恒）：物体的动能和势能是可以相互转化的，在只有动能和势能相互转化的过程中，机械能的总和保持不变。
8、势能是属于物体系共有的能量，通常说一个物体的势能，实际上是一种简略的说法。势能是一个相对量，选择不同的势能零点，势能的数值一般是不同的。重力势能和弹性势能是常见的两种势能。 第十二章简单机械 1、一根硬棒，在力的作用下能绕着固定点O转动，这根硬棒就是杠杆。 动力臂：从支点O到动力F 1作用线的距离L 1 阻力臂：从支点O到阻力F 2作用线的距离L 2 杠杆平衡：当杠杆在动力和阻力的作用下静止（或匀速转动）时，称为杠杆平衡。 杠杆平衡的条件（阿基米德发现的杠杆原理） 动力×动力臂 = 阻力×阻力臂 F1L1=F2L2 可变形为：F1/F2=L2/L1 2、定滑轮：滑轮在使用时，它的轴固定不动。 动滑轮：滑轮在使用时，它的轴可以随物体一起移动。 3、总功是有用功与额外功的总和，用W 总 表示。 W总=W有+W额 有用功：在使用机械时，机械对物体所作的功是有用的，是必须做的，这部 分功叫有用功。用W 有 用表示。 额外功：在使用机械时，不可避免地要对机械本身做功和克服摩擦力做功， 这部分功叫额外功。用W 额 表示。 4、机械效率是有用功跟总功的比值，用η表示。 η= W有/W总 机械效率一般用百分数表示。 有用功是总功的一部分，且额外功总是客观存在的，则有W 有< W 总 ，因此η 总是小于1，这也表明：使用任何机械都不能省功。 5、定滑轮和动滑轮的工作特点： （1）使用定滑轮不省力，但可以改变力的方向，也不多移动距离也不少移动距
认识方程知识点总结
解方程的方法 方程：含有未知数的等式叫做方程。如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。如上式解得x=6 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：方程就是一架天平，“=”两边是平衡的，一样重！ 1. 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立。 2. 加减乘除法的变形： (1) 加法：a + b = 和则 a = 和－b b = 和－a 例：4+5=9 则有：4=9-5 5=9-4 (2) 减法：被减数a –减数b = 差则： 被减数 a = 差＋减数 b 被减数a－差 = 减数b 例：12-4=8 则有：12=8+4 12-8=4 (3) 乘法：乘数a × 乘数b = 积则： 乘数a = 积÷ 乘数b 乘数b= 积÷ 乘数a
例：3×7=21 则有：3=21÷7 7=21÷3 (4) 除法：被除数a ÷ 除数b = 商则： 被除数a= 商× 除数 b 除数b=被除数a ÷商 例：63÷7=9 则有：63=9×7 7=63÷9 解方程的步骤： 1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是“－”，去掉括号要变号；括号前边是“＋”，去掉括号不变号。 2、符号过墙魔法，越过“=”时，加减号互变，乘除号互变。 注意两点：（1）带未知数的放左边，不带未知数的放右边。 3、带未知数的要合并（如2x＋4x=6x）；不带未知数的直接加减计算。 4、验算：将原方程中的未知数换成求出来的数，检查等号两边是否相等！ 注意：（1）做题开始要写“解：”（2）上下“=”要始终对齐 四年级认识方程练习题
《圆》知识点归纳及相关题型整理
第五章中心对称图形（二） ——知识点归纳以及相关题目总结 一、和圆有关的基本概念 1.圆： 把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4.弦：连接圆上任意两点的线段。 5.直径：经过圆心的弦。 6.弧：圆上任意两点间的部分。 优弧：大于半圆的弧。 劣弧：小于半圆的弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 7.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同） 9.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 10.圆心角：顶点在圆心的角。 11.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。 12.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。 13.正多边形： ①定义：各边相等、各角也相等的多边形 ②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。 14.圆锥： ①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。 ②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。 15.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
16.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 二、和圆有关的重要定理 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 5.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 6.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。 推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 7.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 8.直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 10.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点 12.圆的切线垂直于经过切点的半径。 13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。
初中物理功和能知识点总结
功和能 做功的过程就是能量转化的过程 一个物体能够对外做功就有能量，如果一个物体的能量减少了，就说这个物体对外界做了功，即作用的力有了成效。 1功 如果一个物体受到力，并且同时在力的方向上移动了距离；就显示了力的成效（即使物体的能量发生了转化），我们就说力对物体做了功。 力对物体做功的两个必要因素：作用在物体上的力 物体在力的方向上移动距离 2 功的计算：W=FS ※其中F可以是重力G、拉力F拉、推力F推、摩擦力F f、浮力F浮… ※其中S是物体在对应力的方向上移动的距离 例一重100N的物体被水平抛出在水平方向前进了3m，在竖直方向下降了4m，则此过程中重力做功多少J？推力做功多少？（400J 无法确定） 3有用功、额外功及总功 （一）相关概念： 有用功 实际生活中，使用杠杆、滑轮、斜面、起重机、水泵等机械做功时， 有一部分功是人们为了达到目的所必须做的功，我们称其为有用功 常见的有用功有：1、提升重物时，克服物体重力所做的功；W有=Gh 2、使物体前移时，克服物体与地面的摩擦所做的功W有=F f L 额外功 有一部分是人们不需要的但不得不做的功，我们称其为额外功。 常见的额外功有： 1、克服机械自重所做的功；W额=G动h 2、克服机械自身摩擦所做的功。斜面上W额=fs 总功 有用功和额外功的和叫做总功
常见的总功有：使用杠杆时动力所做的功。 使用滑轮、斜面时拉力所做的功。W总=Fs 使用起重机、水泵时电动机所做的功。W总=Pt 人直接作用时，人的拉力及克服人重力所做的功。 2机械效率 有用功与总功的比叫做机械效率 η=W有用/W总 说明：1、η为没有单位的物理量 2、η为小于1的数 3、η是描述机械性能的重要标志之一。 使用机械时效率越高越好。 不使用任何机械时做功的效率为100o/o 理想机械的效率也为1，有用功等于总功，总功等于有用功。 竖直方向η=Gh/Fs 水平方向η= F f l/Fs 5影响机械效率的因素： 滑轮：η=G物/nF动滑轮重、机械自身摩擦、物重 η=G物/（G物+G动）（不考虑机械自身摩擦） 斜面：斜面的粗糙程度、倾斜程度η=Gh/Fs 杠杆：杠杆自重、摩擦、物重 6提高机械效率的方法： 方法一减小额外功： 改善结构，更合理、更轻巧；（即减轻自重） 经常保养，加润滑油。（即减小自身摩擦） 方法二增加有用功 尽量提拉最多的物体。
新北师大版四年级数学下册第五单元认识方程知识点及练习题
第五单元《认识方程》复习整理及练习 班级姓名 知识梳理 1、用字母表示数 （1）含有字母的式子既可以表示数，也可以表示数量间的关系。 （2）用字母表示数、表示运算定律、表示有关公式。 2、用字母表示有关图形的计算公式： ①长方形周长公式：C=2（a＋b）。②长方形面积公式：S=ab。 ③正方形周长公式：C=4a。④正方形面积公式：S=( ) 3、用字母表示运算定律：如果用a、b、c分别表示三个数，那么 ①加法交换律a＋b=b＋a ②加法结合律（a＋b）＋c=a＋（b＋c） ③乘法交换律a×b=b×a ④乘法结合律（a×b）×c=a×（b×c） ⑤乘法分配律（a±b）×c=a×c±b×c ⑥减法的运算性质a－b－c=a－（b＋c） ⑦除法的运算性质a÷b÷c=a÷（b×c） 4、在含有字母的式子中，字母和字母之间、字母和数字之间的乘号可以用“?”表示或省略不写，数字都写在字母前面。数字1与字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。 如：a×b=ab、5×a=5a、1×a=a、a×a=( ) ◇5方程：含有未知数的等式叫方程。 6、方程与等式的联系区别：方程一定是等式，但等式不一定是方程。 ◇7列出的方程要满足的条件： ①未知数写在等号的左边； ②方程无单位； ③等号左右两边是相等的量； ④未知数不能单独放在等号的一边 ◇8解方程 （1）等式的性质（一）：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 （2）等式的性质（二）：等式两边都乘同一个数（或都除以同一个不为0的数），等式仍成立。解方程步骤：（1）先写“解：”； （2）等号对齐； （3）运用等式性质或者加减乘除各部分间的关系（“直接想”）解方程； （4）代入检验 解方程的书写格式：解方程前要先写一个“解”字和冒号；一步一脱式，每算一步，等号都要上、下对齐；表示未知数的字母要放在等号的左侧。 9、加减乘除法的变形： (1) 加法：a+b =和则：a=和－b b=和－a 例：4+5=9 则有：4=9-5 5=9-4 (2) 减法：被减数a–减数b=差则：被减数a =差＋减数b 被减数a－差=减数b 例：12-4=8 则有：12=8+4 12-8=4 (3) 乘法：乘数a×乘数b=积则：乘数a =积÷乘数b 乘数b= 积÷乘数a 例：3×7=21 则有：3=21÷7 7=21÷3 (4) 除法：被除数a÷除数b=商则：被除数a=商×除数b 除数b=被除数a÷商 例：63÷7=9 则有：63=9×7 7=63÷9 □10列方程解应用题 关键：找到等量关系 步骤：（1）设未知数，理清题意，用字母表示；（解：设……） （2）找等量关系，分析数量间的相等关系； （3）列出方程； （4）解方程； （5）检验写“答”。
圆的知识点总结与典型例题
圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以 圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推 出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两 条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 °的圆周角所对的弦是直径；推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对 角。 探8.轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； 2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； 3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1.已知：如图1，在。O中，半径0M丄弦AB于点N。 图1 ①若AB = , ON = 1，求MN的长； ②若半径0M = R，/ AOB = 120。，求MN的长。 解：①??? AB =，半径0M 丄AB，二AN = BN =
功和能知识点应用
功和能知识点应用 一、掌握恒力做功的计算，判断某个力F是否做功，是正功还是负功（或克服力F做功）．提高对物理量确切含义的理解能力 【例1】用水平恒为F作用于质量为M的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动位移s，该恒力做功为W1；再用该恒力F作用于质量m（m＜M）的物体上，使之在粗糙的水平面上移动同样位移s，该恒力F做功为W2．两次恒力F做功的关系正确的是 [ ] A．W1＞W2 B．W1＜W2 C．W1=W2 D．无法判断 正确答案：C 说明根据做功的定义，恒力F所做的功，只与F的大小及在力F的方向上相对不动参照物发生的位移的大小乘积有关，不需考虑其他力的影响；因此两次该力F不变，在力的方向上相对不动参照物发生的位移s相同．所以，力F所做的功相等．正确答案选C项． 【例2】如图5-4所示，三角劈质量为M，放在光滑水平面上，三角劈的斜面光滑，将质量为m的物块放在三角劈斜面顶端由静止滑下，则在下滑过程中，M对m的弹力对m所做的功为W1，m 对M的弹力对M所做的功为W2，下列关系正确的是[ ] A．W1=0，W2=0 B．W1≠0，W2=0 C．W1=0，W2≠0 D．W1≠0，W2≠0 正确答案：D． 说明当m沿三角劈的斜面下滑时，因水平面光滑，M在m的压紧下将向右加速运动．用图5-5分析物理现象，画出物块m的实际位移的方向，由于弹力N恒垂直斜面，因而N与s夹角θ＞90°，所以M对m的弹力对m物块做负功，即W1≠0，而m对M弹力N'对三角劈的水平位移的夹角小于90°，因而m对M的弹力N'对M所做的功W2＞0，做正功，即W2≠0，所以选D项是正确的． 该题也可由系统的机械能守恒来研究．M与m组成一个系统，系统内只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒．由于M在m压紧下向右运动，M的动能不断增大，而由机械能守恒可知m的机械能不断减小，因而M对m的弹力一定对m做负功，m对M的弹力对M一定做正功．所以，正确答案为D项． 【例3】以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，运动中空气阻力大小恒为f，则小球从抛出点抛出到再回到原抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功应为 [ ]
(人教版)四年级下册数学各单元知识点
四年级下册数学各单元知识点 一、小数的意义和加减法 （一）小数的意义 1、小数的意义：分母是10，100，1000，…的分数可以用小数 表示。 2、小数每相邻两个计数单位之间的进率是10。 3、小数部分的计数单位分别是1 10，1 100，1 1000，…也可以写成0.1，0.01，0.001… 4、小数部分最大的计算单位是1 10，小数部分没有最小的计数单位。 5、小数的数位是无限的。 6、在一个小数中，小数点后面含有几个小数数位，它就是几位小数。小数部分末尾的零也要计入其中。 7、理解0.1与0.10的区别联系： 区别：0.1表示1个0.1；0.10表示10个0.01，意义不同。 联系：0.1=0.10两个数大小相等。运用小数的基本性质可 以不改变数的大小，改写小数或化简小数。 8、小数的基本性质：小数的末尾添上“0”获去掉“0”，小数 的大小不变。（小数的大小与小数位数的多少没有关系。）9、单位换算 （1）1分米=0.1米1厘米=0.01米1克=0.001千克
较小单位的量化为较大单位的量的方法：当两个计量单位间的进率是10，100，1000，…时，可以根据小数的意义把较小单位的数改写成分母是10，100，1000，…的分数，再把分数改写成小数，进而用较大单位的量表示。 （2）复名数改单名数：抄相同，改不同。（相同的单位抄在整数部分，不相同的单位按照上面的改写方法写在小数 部分）。 （3）其他改写方法：单名数互化 ①低级单位名数÷进率=高级单位名数。 ②高级单位名数×进率=低级单位名数。复名数与单名数 之间互化：抄相同，改不同（同单名数互化方法）。 （二）比大小 1、比较两个小数大小的方法：先看整数部分，整数部分大的小数就大；整数部分相同，再看小数部分的十分位，十分位上数字大的小数就大…… 2、把几个小数按顺序排列：要先比较它们的大小。再按照题目 的要求按顺序排列。当单位不统一的几个数量比较大小时，要先将这几个数量的单位统一，再按小数大小比较方法进行比较，最后答题应按照最目中给的原数进行排列顺序。
圆的知识点总结史上最全的
A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； - 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d D B B A 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； / （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD " 圆心角定理 ~ 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 ~ 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 " BC BD =AC AD = 《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂 线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ?d r >?无交点； 2、直线与圆相切 ?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交 ?d r 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）?无交点 ?d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ?d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ?R r d R r -<<+；内切（图4）? 有一个交点 ?d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ?d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 图1 图 3 r R d 图2 高考物理力学知识点之功和能全集汇编含答案解析(7) 一、选择题 1．如图所示，AB 为 1 4 圆弧轨道，BC 为水平直轨道，圆弧的半径为R ，BC 的长度也是R ，一质量为m 的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A 从静止下滑时，恰好运动到C 处停止，那么物体在AB 段克服摩擦力做功为（ ） A ． 1 2 μmgR B ． 1 2 mgR C ．mgR D ．()1mgR μ- 2．如图，半径为R 、质量为m 的半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上，将质量也为m 的小球从距A 点正上方h 高处由静止释放，小球自由落体后由A 点经过半圆轨道后从B 冲出，在空中能上升的最大高度为 3 4 h ，则 A ．小球和小车组成的系统动量守恒 B ．小车向左运动的最大距离为1 2 R C ．小球离开小车后做斜上抛运动 D ．小球第二次能上升的最大高度 1 2h ＜h ＜34 h 3．如图所示，三个固定的斜面底边长度都相等，斜面倾角分别为 30°、45°、60°， 斜面的表面情况都一样．完全相同的物体（可视为质点）A 、B 、C 分别从三斜面的顶部滑到底部的过程中 A ．物体 A 克服摩擦力做的功最多 B ．物体 B 克服摩擦力做的功最多 C ．物体 C 克服摩擦力做的功最多 D ．三物体克服摩擦力做的功一样多 4．如图所示，人站在电动扶梯的水平台阶上，假定人与扶梯一起沿斜面加速上升，在这个过程中，人脚所受的静摩擦力( ) A ．等于零，对人不做功 B ．水平向左，对人做负功 C ．水平向右，对人做正功 D ．沿斜面向上，对人做正功 5．2019年2月16日，世界游泳锦标赛跳水项目选拔赛（第一站）在京举行，重庆选手施延懋在女子3米跳板决赛中，以386.60分的成绩获得第一名，当运动员压板使跳板弯曲到最低点时，如图所示，下列说法正确的是（ ） A ．跳板发生形变是因为运动员的重力大于板对她支持力 B ．弯曲的跳板受到的压力，是跳板发生形变而产生的 C ．在最低点时运动员处于超重状态 D ．跳板由最低点向上恢复的过程中，运动员的机械能守恒 6．如图所示，小明将质量为m 的足球以速度v 从地面上的A 点踢起，当足球到达B 点时离地面的高度为h ．不计空气阻力，取地面为零势能面，则足球在B 点时的机械能为（足球视为质点） A ．212 mv B ．mgh C ．2 12 mv +mgh D ． 2 12 mv －mgh 7．如图所示，质量为60kg 的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒，已知重心在C 点，其垂线与脚，两手连线中点间的距离Oa 、ob 分别为0.9m 和0.6m ，若她在1min 内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m ，则克服重力做功和相应的功率为（ ） 第五单元认识方程 1、用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关系。 2、用字母表示有关图形的计算公式： ①长方形周长公式：C=2（a＋b）。 ②长方形面积公式：S=ab。 ③正方形周长公式：C=4a。 ④正方形面积公式：S=a2。 4、在含有字母的式子中，字母和字母之间、字母和数字之间的乘号可以用“?”表示或省略不写，数字一般都写在字母前面。数字1与字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。 如：a×b=ab、5×a=5a、1×a=a、a×a=a2 5、区别a的平方和2乘a的区别：a2=a×a，2a=a+a=2×a。 6、方程的意义与等式性质 ①方程的含义：含有未知数的等式叫方程。 ②方程与等式的联系区别：方程是等式，但等式却不都是方程。 ③等式性质一：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 ④等式性质二：等式两边都乘一个数（或除以一个不为0的数），等式仍然成立。 ⑤解方程的书写格式：解方程前要先写一个“解”字和冒号；一步一脱式，每算一步，等号都要上、下对齐；表示未知数的字母一般都要放在等号的左侧。 ⑥使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。求方程的解的过程叫作解方程。 ⑦能运用减法、除法各部分间的关系，求未知数是减数、除数的方程。 ⑧看图列方程的关键是看懂图意，从中找出等量关系，然后再根据等量关系列出方程。在列方程时，把未知数尽量放在等式左边。 ⑨用方程解决实际问题（解应用题），首先要用字母表示未知数，然后根据题目中数量之间的相等关系，列出一个含有未知数的等式（也就是方程）再解出来，最后检验，写出答语。 7、图形中的规律 ①摆n个三角形需要2n＋1根小棒。 ②摆n个正方形需要3n＋1根小棒。 功和能 专题要点 １．做功的两个重要因素：有力作用在物体上且使物体在力的方向上发生了位移。功的求解可利用θ cos Fl W =求,但F 为恒力； 也可以利用F-l 图像来求;变力的功一般应用动能定理间接求解。 2．功率是指单位时间内的功,求解公式有θcos V F t W P == 平均功率，θcos FV t W P == 瞬时功率，当0=θ时,即F 与v 方向相同时，P=FV 。 3.常见的几种力做功的特点 ⑴重力、弹簧弹力，电场力、分子力做功与路径无关 ⑵摩擦力做功的特点 ①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力）可以做正功，也可以做负功,还可以不做功。②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零,在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的转移，没有机械能的转化为其他形式的能；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值，在一对滑动摩擦力做功的过程中，不仅有相互摩擦物体间机械能的转移,还有机械能转化为内能。转化为内能的量等于系统机械能的减少，等于滑动摩擦力与相对路程的乘积。 ③摩擦生热,是指动摩擦生热,静摩擦不会生热 4.几个重要的功能关系 ⑴重力的功等于重力势能的变化，即P G E W ?-= ⑵弹力的功等于弹性势能的变化,即P E W ?-=弹 ⑶合力的功等于动能的变化,即K E W ?=合 ⑷重力之外的功(除弹簧弹力）的其他力的功等于机械能的变化，即E W ?=其它 ⑸一对滑动摩擦力做功等于系统中内能的变化，相对Fl Q = ⑹分子力的功等于分子势能的变化。 典例精析 题型1.(功能关系的应用）从地面竖直上抛一个质量为m 的小球，小球上升的最大高度为H 。设上升过程中空气阻力为F 恒定。则对于小球上升的整个过程，下列说法错误的是（ ） A. 小球动能减少了mgH B 。小球机械能减少了FH Ｃ。小球重力势能增加了m ｇＨ D 。小球加速度大于重力加速度ｇ 解析:由动能定理可知，小球动能的减小量等于小球克服重力和阻力Ｆ做的功。为(mg+Ｆ)Ｈ，A 错误;小球机械能的减小等于克服阻力F 做的功，为FH,B 正确;小球重力势能的增加等于小球小球克服重力做的功,为mgH ，Ｃ正确;小球的加速度 初三数学圆的知识点总 结及例题详解 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形. 圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数 是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离 为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝, 那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 ? B ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D D C A O ? D B C A O ? D B C A O 功和能 专题要点 1.做功的两个重要因素：有力作用在物体上且使物体在力的方向上发生了位移。功的求解可利用θ cos Fl W =求，但F 为恒力； 也可以利用F-l 图像来求；变力的功一般应用动能定理间接求解。 2.功率是指单位时间内的功，求解公式有θcos V F t W P == 平均功率，θcos FV t W P == 瞬时功率，当0=θ时，即F 与v 方向相同时，P=FV 。 3.常见的几种力做功的特点 ⑴重力、弹簧弹力，电场力、分子力做功与路径无关 ⑵摩擦力做功的特点 ①单个摩擦力（包括静摩擦力和滑动摩擦力）可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零，在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的转移，没有机械能的转化为其他形式的能；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值，在一对滑动摩擦力做功的过程中，不仅有相互摩擦物体间机械能的转移，还有机械能转化为内能。转化为内能的量等于系统机械能的减少，等于滑动摩擦力与相对路程的乘积。 ③摩擦生热，是指动摩擦生热，静摩擦不会生热 4.几个重要的功能关系 ⑴重力的功等于重力势能的变化，即P G E W ?-= ⑵弹力的功等于弹性势能的变化，即P E W ?-=弹 ⑶合力的功等于动能的变化，即K E W ?=合 ⑷重力之外的功（除弹簧弹力）的其他力的功等于机械能的变化，即E W ?=其它 ⑸一对滑动摩擦力做功等于系统中内能的变化，相对Fl Q = ⑹分子力的功等于分子势能的变化。 典例精析 题型1.（功能关系的应用）从地面竖直上抛一个质量为m 的小球，小球上升的最大高度为H 。设上升过程中空气阻力为F 恒定。则对于小球上升的整个过程，下列说法错误的是（ ） A. 小球动能减少了mgH B 。小球机械能减少了FH C 。小球重力势能增加了mgH D 。小球加速度大于重力加速度g 解析：由动能定理可知，小球动能的减小量等于小球克服重力和阻力F 做的功。为（mg+F ）H ，A 错误；小球机械能的减小等于克服阻力F 做的功，为FH ，B 正确；小球重力势能的增加等于小球小球克服重力做的功，为mgH ，C 正确；小球的加速度 圆 【知识点梳理】 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； A 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧 AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 B D圆知识点总结及典型例题.docx圆知识点总结及典型例题
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