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1 质点的运动规律

第一篇力学

静力学：研究物体平衡的条件

运动学：研究物体位置随时间的变化动力学：研究各类运动发生的原因

第一章质点的运动规律

二、物体运动是绝对的而运动的描述是相对的

绝对性：不存在绝对静止的物体

相对性：描述运动需以别的物体（参照系）

作参照, 在不同的参照系中，对同一物体的运

动具有不同的描述。

§1-1质点运动的描述

一、质点：物体只有质量而没有大小、形状的

几何抽象

理想模型(物理学中常用的一种科学分析方法)

坐标系：参照系的数学抽象，用于对运动定量描述。

直角坐标系

的大小：

1o位置矢量(位矢

r x i+y

y z

iΔ

=j+

x y

ΔΔ

注意：S

≠

.1dS

→

ｄ

时

当0

≠

?.2

)

(

)

(

)

2 o速度

v r

平均速度：

)1(

r d

系

瞬时速度：

)2(的极限值。

时v

→

r d

→

lim

方向：质点所在点的切线方向，

且指向质点前进方向。

大小：

r d

k v

又：

∴,

平均速率：

)3(

瞬时速率：

)4(的极限值

时v

→

lim

lim?

lim

→

v≠

3加速度

)1(aΔ

Δt

瞬时加速度：

)2(

的极限值

时a

→

lim r d

→

v d

Rt z

系

又：

∴

a y

a z

r d

四、运动方程、轨道方程

1o运动方程：位置(矢量)与时间的函数关系

)(t

→

x=x(t)

y=y(t)

z=z(t)

轨道方程

消去t

2o:质点位置坐标间的函数关系

f(x,y,z)=0

轨迹方程

五、运动学的两类问题

第一类问题v ：已知：r r =( ) a a =v )t (t )求：(求导问题)(积分问题)

第二类问题： a =(t )a 已知：v =(t )r r =(t )

v 求：、初始条件：t = 0v v v 000x y

x y

z 0

2.上述时间内的平均速度[例]

r i t

(r 以m 计,t 以s 计)

Δv r

Δi =+3j

t = 2s 的位移r =1r =842r i +3j

i t 32v r t

d 3. t =1s 及t =2s 时刻的瞬时速度2i j =v j

=212i 4v

v v t Δ=

24.5. t =1s 时刻的瞬时加速度

d a v

d =i j

v j

2i v i =t t

32v j i a 29+=

i t a 26+=j

i a t

261+==解：1.运动方程为

从运动方程中消去t 得轨迹方程：+=32

22x y πt =3cos (6

)

x πt =3(6

sin )

y π

1.轨迹方程；

2.瞬时速度；试求：[例]

j 6

6r =3cos t t i +3sin ()()

3.瞬时加速度。

2.d t d r v πt t π33××π66sin i +π66cos j

(()=2

3.瞬时加速度：

a =d t v )π=3sin 663(((ππcos 2[t t _

36=_636sin 6

())))(((ππππcos 22t t π)(2

a 方向相反，可见加速度指向圆心。

求:任一位置船之速度、加速度。

运动，船之初速为v [例]人以恒定速率00定量讨论：

定性分析：

v ∴v ＞v 0 且θ

cos 0v =

∵相同时间内S 船＞S 绳r =j

r =

船的速度：

()i v x

h x i dt

dx dt j h i x d dt r d v

022+-

==-==船的加速度：

x h v i dt dx v x h x dx d i v x h x dt d dt v d a

0022022-=???

? ?

?+-=???? ?

?+-=

= a ()同方向

与v a x

变加速运动

v -收绳速率：

d o =dt h x d 2

2+-

=dt dx

h x x

dt dx dx h x d 2222+-=?+-=一、匀变速运动：为常矢量a

o v v r r o t

===,:初始条件：速度方程：

??=?=?=t o v v dt a v d dt a v d dt

v d a o

§1-2几种典型的质点运动问题

得：t a v v o

+=()()

()()

()k

t a v j t a v i t a v t

k a j a i a k v j v i v z oz y oy x ox z y x oz oy x o

+++++=+++++=

运动方程：

()()dt

t a v r d dt t a v dt v r d dt

r d v t o o r r o o ??+=?+==?=

1t a t v r r o o ++=得：k t a t v z j t a t v y i t a t v x z z y y x x ??? ??+++??? ??+++??? ??++=2002002002121212000000)(21)()(t k a j a i a k v j v i v k z j y i x z y x z y x

++++++++=1、匀变速直线运动：

0,:0x x v v t a ====　常量，

0002

,at t v x x at v v ++=+=　θsin ,cos ;

0,0:0,0000000v v v v y x t g a a y x y x =====-== 2、抛体运动：

()()j gt t v i t v r j

gt v i v v

? ??-?+?=-+=20

00021sin cos sin cos θθθθ

sin cos gt t v y t v x o o -?=?=θθv g

0cos 2x x tg y ?-

?=θ

θ}

——抛物线水平射程R ：

()0sin cos 2100

=-?==t g v t

v x x

R θθ }

2sin 2

R =?g

dy 2=0

cos 2)2(22=-===x v tg dx

x R o x

x θ

θ2sin 2

0g v x ?【例】一汽球以速率

v 0从地面上升，由于风的影响，随着高度的上升，汽球的水平速度v x =by 增大，其中b 是正的常

量，

y 是从地面算起的高度。

1、计算汽球的位矢方程。

、求汽球水平漂移的距离与高度的关系。

??t

dx = bv 0

tdt

bv by v x 0===dt

)(y x 解：1、()()()t

v y v v j

i r t y t t t 00=?=+=已知：

(

)1'()

2't

bv =2

x ()

3't bv r ()

1'()

2'()

3'j

t v i

0202

+=y b

()()2

232v x t =

''得：消去由2、动的叠加

竖直方向上自由落体运方向的匀速直线运动与初速0v

抛体运动的矢量表示：

1t g t v t

g v v o +=+=

[]小为多少？

此时铅球的速度大相垂直，，铅球的速度方向与试问：经过多少时间后。为抛出一个铅球，抛射角一人在平地上以例00v v

θv =时，有：

当矢量图可知，解：由抛体运动的速度0v v t ⊥θ

θθ

θtg v v tg v v g t v gt t t 000

0sin sin =?=?=，

1.圆周运动角量和线量关系

角位置θ:质点,圆心连线同参考线夹角

约定：逆(顺)时针为正(负)

（1）角量的描述

二、圆周运动：运动轨迹为圆的质点运动

?lim

=d 角速度ω:单位时间质点的角位移

t ??θω0

→dt

θ=

[

]

ωθθR dt

d R dt R d dt ds v ====

)(S 角位移?θ: ?t 内质点转过的角度.[]

θθ?=?=R S R

角加速度α：单位时间内质点角速度增量

?lim

=d =

t ??ωα0

→2

2dt d dt θωα与ω同号，角加速；α与ω异号，角减速（2）角量表示的（匀角加速）运动方程

dt d dt d α=ω?α=ωt t dt d αωωωωαω=-?=???000

dt t d dt d )(0αωθωθ+=?=

α+ω=

θ0

0)(t

t d 2002

1t t αωθθ+

=-?

θαωωωθ

θθωωαd d d d dt d d d dt d =?===

)(202

02θ-θα=ω-ω?

n t v a +??=lim 则：2.加速度

?ω

ωθ

θα=ωω0

d d

dt -= t v

v v d a A

B t ?==→?

lim

lim 0n v v ?+?=?令

法向加速度：v ω?=lim ?= lim

t v a n

t n ?→?

0t v t ?→?θ0

R v 2

===ω方向指向圆心

物理意义：速度方向改变的反映。切向加速度：

=lim

dt R dt ==?lim a t t →?α

R d dv t

v t =→??0方向沿切向

物理意义：速度大小改变的反映。

A v '

?t v ?

n v ?θ

n a a a

+=一般平面曲线运动：

{

方向：指向轨道内侧

n a a a +=大小：v 其中：曲率半径

-=ρρ

a n

的圆周运动，bt 11=[]均为常数）

、（）

（一质点作半径为例b v t v R R 0202

-θa t 时刻的加速度试求：2

)

(1)(1bt v R bt v R R dt d R R a n -=?? ??-=??? ??==θωb

R d dt dv a t -===)

(ω2402)(1

b bt v R

+-=

2t n a a a +=解：

试求：【例】已知一质点在XOY 平面内运动，()

t i t r 8462

-+=1、质点作何运动？

2、1—2秒内质点的平均速度。

3、t=1秒时质点的a n 和a t 为多少？该处的ρ为多少？解：1、j dt

v d a j

t i dt r d v

886==+==匀变速曲线运动

、 v 2j

r j

i r r r t r v i

4681212121

2-=+=--=??=j

126+=

3、ρ

1v a n =

2t a a -=dv 2

16436t

v dt a t t +==

=()

14.6643664s m

t t a t t =+=

=()()

218.44.68s m a n =-=()m a v n 8.20

.4100

1===

ρdt

dv a t 1

1=0

1=t a d =j

t i dt

r v 86+=10

64361

1=+=+==t y x t

v v v x 地面上人看来：

车地球车球地

v v v +=车地

球车球地x x +=1o基本参照系S ：相对地球静止的参照系。S 系中的位移、速度、加速度分别称为绝对位移、绝对速度、绝对加速

度。po po po a v r 、、

相应地记作2o运动参照系S / ：相对基本参照系运动的参照系。S /系

中位移、速度、加速度分别称为相对位移、相对速度、相对加速度。o p o p o p a v r '

''、、相应地记作§1-3运动描述的相对性

O O r S S ''系中的位矢为系坐标原点在设：O

O v S S ''为牵连速度系的相对速度系对)(O

O a S S ''系中的加速度为系坐标原点在????

???+=+=+=''''''o o o p po

o o p po o o o p po a a a v v v r r r 则有：

3o基本关系式

一般关系式：O

O O P PO M M M ''+=

地

,车地

v v v =车车地

地雨雨,,, 一般关系式：O

O O P PO M M M ''+=

注意：

的场合适用于速度及加速度关系式只c v o o <<').1(o p po o o a a a ''==，则若0).2(——伽利略相对性原理伽利略（1566-1642）

意大利物理学家

[例1]. 某人东行,v=50m /min 时感觉有南风，

v=75m/min 时感觉有东南风，求风速。

解：标出方位如图所示由题给条件作矢量图

v 人地

由图：BC=75-50=25∴BD=BC=25

AD=(AB 2+BD 2)1/2=(502+252)1/2

α=tan -1(25/50)=27o

所以,风速大小为55.9m/min;方向为东偏北27o

C 人地

行驶，和各以和如图所示，两船例B A V V B A

:2 A

B BA V V V 水水 +=()

水

水A B BA V V V -+=一、对三条定律的说明（1.第一定律

1）指明了任何物体都具有惯性（2）阐明了力的真正涵义，

即：力是改变物体运动

状态的原因，而不是维持运动状态的原因。

[物体具有保持运动状态不变的属性]

§1-4牛顿运动定律

牛顿

2.第二定律

[物体运动状态变化的规律]

?F 某方向的力只改变该方向物体运动状态。坐???

?????======22

d m ma F y d m ma F dt x d m ma F Rt z

z y y x x 系??

????====dt dv

m ma v m ma F t t n n ρ2

解题时应根据需要对力进行分解合成。

矢量性自然标系说明：表达式：dt v m d k dt p d k F )( ==a m dt

d m F ==∴可视为恒量时当m c v << dt

v dt v d m dt v m d dt p d F +===?)(1,=k SI 制中 3.第三定律[力的相互作用性]

③说明：①作用力、反作用力同时产生、同时消失，

并且为同一性质力。②作用力、反作用力作用在不同物体上，不能相互抵消；第三定律不是一条普遍适用的定律。

比如：电磁场中运动电荷受到的电磁力。

瞬时性随之变。

变是一个瞬时公式a F a m F

,,= 对应性

.合合，则加速度必是若是合力a F

;分分，则加速度必是若是分力a F

二、牛顿运动定律的适用范围

领域

宏观（运动范围)10.18

cm ->领域

适用于低速（).2c v a m F <<=

3.惯性参照系：

在此参照系中观察，一个不受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动状态不变。

根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星运动时发现行星运动遵守牛顿定律，太阳系是一个惯性系。地球有公转和自转，所以地球是一个近似的惯性系。但对于一般力学现象来说，地球可视为是一个精确的惯性系。所以相对地面静止或作匀速直线运动的参照系均为惯性参照系。而相对地面作变速运动的参照系均为非惯性参照系。

例：加速小车上的小球。a

（小球与小车间无摩擦）地面观察者：F = 0 , a = 0

车上观察者：F = 0 ，=a 0三、力学单位制和量纲

1.力学单位制

基本单位:为避免给每个物理量都定义一个新的单位,

人为选定的几个物理量单位。导出单位:由定义或定律推导出来物理量的单位.

这些物理量称为导出量.

显然基本单位选择不同,组成的单位制也不同

国际单位制单位符号

(SI):基本量单位名称长度米m 质量千克kg 时间秒s 热力学温度开尔文k 物质的量摩尔mol 电流安培 A 发光强度坎德拉

2.量纲:表示某个物理量怎样由基本量组成的式子例如[v]=L/T=LT -1[a ]=L/T 2=LT -2

[F]=[m][a ]=ML/T 2=MLT -2

3.量纲分析法

(1).检验等式正确与否

例：出现结果　2

mv F =2

22--≠T ML MLT 右边量纲左边量纲(2).定性地推算公式

例:利用量纲分析确定单摆的周期公式

[]

l g m T 、、 []β

γβαγ

βαγβα22-+-===∴T L M L LT M l g m T ）（2

12100012=

-====+=-γβααγββ，，　解得：，，则有：g

l T g l

T π2=∝

∴

四、动力学的二类问题

1.已知作用在物体上的力,由力学规律来决定该物体的运动状态或平衡状态。

2.已知物体的运动状态或平衡状态，由力学规律来推断作用在物体上的力。

隔离体法解题步骤

?确定参照系，建坐标系?受力分析并作图?列方程并求解

?选隔离体——研究对象·初定运动状态A

[ 例]===m m A B 30

50kg 30kg

F cos f =A αa

m =0.74 a =m A B sin

cos g F ()+++()m m m A B

ααμμ+F

)T m m

B (cos sin A

ααμ=a a max

讨论：当α为何值时,由

d d cos sin +()

ααα

μμ

α1

-=tg 得：所以是极大值

因为

d ＜d (cos +sin )220αααμ=T cos mg θ

解得：

=r ωv n a =2r =sin θ2

l v v

sin a =m T θω求：[例]一圆锥摆。已知：,l (cos g 1

)

脱轨条件：N =0

由(3)、(4)可解得：cos α=

αarc cos (3v 2αcos )α

由式(1)得：mg m cos =R (4)2R g (12

(3)

θ=

=d t

d x [例4]一质点从坐标原点出发沿x 轴作试求:v = v (t ), x = x (t )直线运动，初速为v 0 它受到一阻力–α v 2作用v t =m 01

1+v α解：

=d t

2d m v

v α=d d αt 2m 0

t v v v

v ??m

=d t

d x t

10t v α??)

α=

+10x m

ln(t m v α端悬挂

[ 例5] 细棒ρ,l ,下端紧贴ρ′液面,上

.试求悬线剪断后,细棒全部没入液体时的速度(不计液体粘性)

=解：

a m G B +dt

dv m B G =-?dv dt

dx ls

xsg lsg ρρρ='-lvdv

gdx x l ρρρ='-)(?

?='-v

lvdv

gdx x l 0

)(ρρρρ

ρρgl

v )2('-=

22θ

≈θd d

sin 12≈θd cos dT T d T =θ-θ+θ)()(T

T d T 2=θ+θ+θ)()(dN dT μ-=dN

Td =θ?θ

μ-=?α

0d T dT B

A T T /μα

-=?e T T A B

切向:2=μ+θθ-θ+θdN d T d T )/cos()]()([法向:0

2=-θθ+θ+θdN d T d T )/)]sin(()([

解：选绳元为隔离体,绳元平衡时：

)

μ-=d T dT /[例1-12]有一绳索围绕在圆柱上,张角.绳与圆柱间的静摩擦系数为μ,求绳索处于滑动边缘时,绳两端张力T A ,T B 间关系（设绳索质量忽略不计）

α21

.0246

.025

.05.025.0======--πππαπαμe T T e T T A

：　＝：若：kg

T kg T e T T B A A

3910000000039

.0:105.2=====-，即： ππαμα

-=e T T A B B

§1-5非惯性系中的力学定律

a a a

F m

的加速度为非惯性系相对非惯性系为相对非惯性系的加速度相对惯性系的加速度为　，受外力为物体质量为,）

（则：a a m a m F ''+'==

a m F a m a m F

''-=''=''-——惯性力

a m F F '='+讨论：1. 惯性力是一个假想的力，而真实力是由物体间相互作用产生的。

2. 真实力既有受力物体也有施力物体，而惯性力只有受力物体而无施力物体。

[例1-13]升降机内有倾角为α的一光滑斜面，斜面固定在升降机底板上，当升降机以匀加速度a 1 上升时,质量为m 的工件由斜面顶端下滑，试求此工件相对于斜面的加速度a /以及相对于地面的加速度a a 1

解一：取地面为参照系(惯性系)

)

(1a a m a m N g m +'==+x 方向：)

sin (sin 1ααa a m ma mg x -'==y 方向：

ααcos cos 1ma ma mg N y ==-a 可解得：

α+='sin )(g a 1α

+=)cos (g a m N 1选工件为隔离体工件受力如图示

x 方向y 方向a m ma mg '=α+αsin sin 101=α-+α-cos cos ma N mg

α+='sin )(g a a 1α+=)cos (g a m N 1 α2

a a a '

+= 1α-'

=sin 1a a a x α=sin g α

=cos 1a a y α2

cos sin a g a +=)

工件受力如图示

解二:取升降机为参照系(非惯性系

a m F F '

=+ 惯由a

m a m N g m '=-+?1 2a a a '

+= 1α-'=sin 1a a a x α

=sin g α

=cos 1a a y α

α2

2cos sin a g a +=解一：取地面为参照系(惯性系)运动状态：匀速率圆周运动)3( μN f r =（g 1）（2）（3）

ωθθωθμsin cos cos sin 22min

R g R -+=

【例】倾角为θ圆锥体以ω的角速度绕竖直轴匀速转动，

侧面放一质量为m 的物体，转轴与物体间距为R ，为使

物体能在圆锥体上保持静止不动，问物体与圆锥体间的静摩擦系数至少为多少？物体受力如图r

)

1(sin cos :2 ωθθmR N f x r =-　)2(0cos sin : =-+mg N f y r θθ　y

解二：取圆锥体为参照系(非惯性系)

)

4()3(2 ωμR a N f n r ==（g 1）（2）（3）（4）

ωθθωθμsin cos cos sin 22min

R g R -+=

)

1(0sin cos : =--n r ma N f x θθ　)

2(0cos sin : =-+mg N f y r θθ　物体受力如图运动状态：静止