随机变量
随机变量
参考严士健《测度与概率》
在概率的公理化定义中，概率的存在性是公设；概率作为定义于可测空间(),F Ω上的一个集函数，只规定了其应满足的性质，并不具体地给出它的计算公式与方法。
既然概率一般地可通过频率的稳定性与随机试验相联系，自然概率应有与频率相类似的性质；频率具有非负性、规范性与有限可加性，在一般场合还会涉及可列个事件的并事件与极限事件，故要求概率具有可列可加性（又称完全可加性或σ-可加性）也是合理的。
1．概率（测度）与概率空间
设(),F Ω为可测空间，P 是定义于F 上（或(),F Ω上）的集（合函数），且满足：
1．（非负性）：?A ∈F,P(A)≥0；
2．（规范性或正则性）：P(Ω)=1；
3．（可列可加性）：{},1,,n i j A n F i j A A ≥??≠=Φ且
则111()n n n n n n P A P A P A ≥≥≥????== ? ?????
∑∑ 则称P 为F 上（或(),F Ω上）的概率测度（函数），简称概率；记作P(A)（Pr(A)或Prob(A)）。三元序对(Ω,F,P)称作概率空间。
概率空间即随机试验的数学模型：
试验E →样本空间ΩF ???
?→事件域可测空间(Ω,F)P
????→概率测度概率空间(Ω,F,P)。
2．条件概率
设(),,F P Ω为概率空间，,()0.B F P B A F ∈>?∈，令()()()()B P AB P A B P A P B ==称之为A 在B 之下或给定B 时A 的条件概率。易知：()()B P B P ?=?是(Ω,F)上的概率测度，其满足：1).,()0;B A F P A ?∈>2).()1;B P Ω=
{}1
13).,1,,;()n i j B n B n n n A n F i j A A P A P A ∞∞
==??≥??≠=Φ= ???∑ 从而(),,B F P Ω仍是一个概率空间，称为条件概率空间。
3．可测映射vs 可测函数
设()11,F Ω，()22,F Ω为两个可测空间，X 为1Ω到2Ω的映射；()1221,A F X A F -?∈∈，即：()121X F F -∈，则称X 为()11,F Ω到()22,F Ω的可测映射，简称X 为12F F -可测；记作：12X F F ∈。特别地，若()()22,,F R βΩ=，则可测映射X 称为随机变量（randomvarible,简记为r.v.），又称X 为1F -可测函数，简记为：1X F ∈。
4．条件数学期望
设( X ,Y )为二维连续型随机向量（即X ,Y 联合连续），且()(),~,x y f x y ，()Y X f y x 为给定X = x 时Y 的条件概率密度；若()Y X y f y x dy +∞-∞<+∞?，则称
()()Y X E Y X x y f y x dy +∞
-∞==?为给定X = x 时Y 的条件数学期望。
5．条件数学期望的性质
1）设X 为(),,F P Ω上的一个随机变量，且X 为ε-可测的（ε为F 的子σ-域），则().a s E X X ε??
→；可以得知，既然X 为ε-可测的，即有X 在ε的每个原子上为常数，平滑算子E (?ε )对它就不具平滑作用了！
2）设X ,Y 均为(),,F P Ω上的随机变量，且X 为ε-可测的，则
()().,(,)a s E XY XE Y EXY EY εε??→<+∞<+∞
6．概率测度变换
已经知道，一个随机变量是一个样本空间到实数集或其子集的映射（函数），而随机变量的分布则是对随机变量取各可能值概率的具体描述！随机变量不同于其分布；反之，分布也不同于随机变量！而（概率）测度变换改变的只是随机变量的分布，并未改变随机变量本身。
定义：设X 为定义于有限概率空间(),,F P Ω上的随机变量，定义X 的期望
{}()()()p EX E X X P ωωω∈Ω
=∑也记为）；当采用“风险中性概率测度”p 来计算期望时，采用记号{}()()()EX E X X P ωωω∈Ω
=∑也记为。这里，涉及到两个概率测度：一个是真实概率测度，它是通过对模型参数的经验估计而得的；另一个是风险中性概率测度，在这一概率测度下，资产价格的贴现过程是鞅！尽管两个测度对模型中资产价格的路径给出了不同的权重，但是关于哪些路径是可能的（即出现的概率为正）却是一致的，只是给出了不同的正概率值。真实概率测度是“正确”的，而风险中性概率测度是虚构的，但却十分有用！
定理：设,p p 是有限样本空间(),,F P Ω上的两个概率测度，{}(){}(),0,0P P ωωω?∈Ω>>定义随机变量(){}(){}()0
P Z Z P ωωω>==，则有：
（1）{}()01P Z >=；（2）1EZ =；（3）对任意的随机变量Y ，都有()EY E YZ =；
类似亦有：（1）101P Z
????>=?? ?????；（2）11E Z =（3）对任意的随机变量Y ，都有1()EY E Y Z =；也即：1Z
在E 到E 的转换中的作用，如同Z 在E 到E 的转换中的作用！
【注】若允许对某些{}(),0P ωω∈Ω=有，；设Z 是Ω上的随机变量，满足{}()01P Z ≥=,1EZ =；ω?∈Ω，定义{}(){}()()P Z P ωωω=，并对于A ?Ω，定义{}()()A
P A P ωω∈=∑则有：
()P ?是Ω上一概率测度，()1P Ω=；2）对Ω上任意的随机变量Y ，()EY E YZ =；
3）若()0P A =，即有()0P A =；4）若{}()01P Z ≥=，即有：如果()0P A =，则有()0P A =。
则称两个概率测度是等价的，如果它们对于概率为0 的事件是一致的,即：()()
P A P A
=?=；若P, P等价，它们对于概率为1 的事件也是一致的。
00
在金融模型中，风险中性概率测度与真实概率测度是等价的，即：关于哪些事件是可能的，哪些事件是不可能的，它们的看法是一致的！
第一周
应数2班
王孟雨
1-9已知随机变量X的分布函数为.docx
1-9已知随机变量X的分布函数为 0 , x< 0 F x (x) = kx1 , 0 < x < 1 1 、x > 1 求：①系数広②X落在区间(0.3,0.7)内的概率；③随机变量X 的概率密度。 解: 第①问利用心⑴右连续的性质k = 1 P{0?3 < X <0.7} = P{0.3 < X W0.7}-P[X = 0.7} = F（0? 7）_F（0.3） 第②问 第③问人⑴_〃x （叭广OKI dx [O else
1-IO L Z 知随机变量X 的概率密度为f x ⑴=辰F<乂< +8）（拉 普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间（0,1）内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 匸/⑴dzl k= \ 第②问 P{E
1,已知随机变量X的分布律如下表所示, 求E
1,已知随机变量X 的分布律如下表所示，2)1(-=X Y 求E （Y ） 及D （Y ）。 解：E （Y ）= D （Y ）= 2，已知随机变量X 与Y 的联合分布律如下表所示， 求 4 sin Z =的数学期望。（0.7536） 3，随机变量X~N （1，2），Y~N （2，3），且X 与Y 独立，令Z=X+2Y+1则E （Z ）= 及D （Z ）= 。 4，列表述错误的是（） A ，E （X+Y ）=E （X ）+E （Y ） B ，E （X ）=0，则D （X ）=0 C ，若X 与Y 不相关则 D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） D ，若X 与Y 不相关则D （X-Y ）=D （X ）+D （Y ） 5，随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，其中D 为x=0,y=0 及直线 x+y/2=1所围成的区域，求XY 的数学期望E （XY ）和方差D （XY ）。 6，设（X ，Y ）在区域G={（x,y ）|x ≥0,x+y ≤1, x-≤1}上均匀分布，证明X 与Y 不独立，也不相关。
7设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p=-------时，成功次数的标准差值最大，其最大值为-------- 答案是2 1，5。 分析：若X 满足二项分布，则D(X)=np(1-p), dp X dD )(=n(1-p)-np=n(1-2p)＝0，p=21 ， 0221)(2 2<-==n p X D dp d 故p=，）（最大值为是方差最大值点，方差252 12110021121 =??==-p p np 从而标准查最大值为.525= 8设随机变量X 服从参数为的泊松λ分布，且已知E []==--λ则,1)2)(1(X X 答案是：1 分析： )22λλλ+==X E X E （，） （ [][] ,12323)2)(1(22=+-+=+-=--λλλX X E X X E 解得1=λ 9，随机变量X 和Y 独立分布，记U=X-Y ，V=X+Y ，则随机变量 U 与V 必然（） （A ）不独立（B ）独立 （C ）相关系数不为零；（D ）相关系数为零。 答案是：D
随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结 1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示． 2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质： （1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格 6.两点分布列: 7超几何分布列： 一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品 数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== ,其中mi n {,} m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列 为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X
服从超几何分布 8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。 9．离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 10．离散型随机变量的均值或数学期望的性质： （1）若ξ服从两点分布，则=ξE p ． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． （3）()c c E =，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξE μ （5）b aE b a E +=+ξξ)( 11．方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…， 且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么, ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…
知识讲解 离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)
离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量的概率分布为 则称……为的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释： （1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①； ②若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有； 的推导过程如下：： 的分布列为 于是……
＝……)……)＝ ∴。 要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据，，…，，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数 ＋＋…＋叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量的概率分布为 则称＝＋＋…＋＋…称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望． 的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作． 要点诠释： ⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系： 4.方差的性质： 若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布： 若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则 期望 方差 证明：∵,,,
已知随机变量X的分布律如下表所示
1,已知随机变量X的分布律如下表所示，2)1 (- =X Y求E（Y）及D（Y）。 解：E（Y）= D（Y）= 2，已知随机变量X与Y的联合分布律如下表所示， 求 4) ( sin Y X Z + = π的数学期望。（0.7536） 3，随机变量X~N（1，2），Y~N（2，3），且X与Y独立，令Z=X+2Y+1则E（Z）= 及D（Z）= 。 4，列表述错误的是（） A，E（X+Y）=E（X）+E（Y） B，E（X）=0，则D（X）=0 C，若X与Y不相关则D（X+Y）=D（X）+D（Y） D，若X与Y不相关则D（X-Y）=D（X）+D（Y） 5，随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D为x=0,y=0 及直线x+y/2=1所围成的区域，求XY的数学期望E（XY）和方差D（XY）。 6，设（X，Y）在区域G={（x,y）|x≥0,x+y≤1, x-≤1}上均匀分布，证明X与Y不独立，也不相关。
7设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p=-------时，成功次数的标准差值最大，其最大值为-------- 答案是21 ，5。 分析：若X 满足二项分布，则D(X)=np(1-p), dp X dD )(=n(1-p)-np=n(1-2p)＝0，p=2 1 ， 022 1)(2 2 <-==n p X D dp d 故p= ，）（最大值为是方差最大值点，方差25212 11002 112 1=? ?==-p p np 从而标准查最大值为 .525= 8设随机变量X 服从参数为的泊松 λ分布，且已知 E []==--λ则,1)2)(1(X X 答案是：1 分析： )22λλλ+==X E X E （，）（ [][ ] ,12323)2)(1(2 2 =+-+=+-=--λλλX X E X X E 解得1=λ 9，随机变量X 和Y 独立分布，记U=X-Y ，V=X+Y ，则随机变量 U 与V 必然（ ） （A ）不独立 （B ）独立 （C ）相关系数不为零； （D ）相关系数为零。 答案是：D
随机变量的数学期望与方差
第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程： 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。
1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变 量，如何定义X 取值的平均值呢？ 若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品， 21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 213100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的 天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是 1.27。 对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ， 则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数 很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞=1k k k p x 由此引入离散随机变量数学期望的定义。 定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是 ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k 如果 ∑∞ =1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为 ∑∞ ==1)(k k k p x X E 也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。 例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地 试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数 的数学期望。
随机变量及分布列习题
随机变量及分布列 1．已知随机变量() 20,X N σ~，若(2)P X a <=，则(2)P X >的值为（ ） A. 12a - B. 2 a C. 1a - D. 12a + 2．已知随机变量 ，若 ，则的值为（ ） A. 0.4 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.6 3．已知 ，，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. 3 D. 6 4．集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球 号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 5．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球为1个，标号为1的小球2个，标号为2 的小球2个.从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1的概率为__________． 6．设随机变量服从正态分布， ，则__________． 7．某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ） A. B. C. D. 8．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个 数均为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 9．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析. （Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少； （Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：6065707580859095，，，，，，，； 物理成绩由低到高依次为：7277808488909395，，，，，，，，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望.
随机变量及其分布小结与复习
复习课: 随机变量及其分布列 教学目标 重点：理解随机变量及其分布的概念，期望与方差等的概念；超几何分布，二项分布，正态分布等的特点；会求条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率等. 难点：理清事件之间的关系，并用其解决一些具体的实际问题. 能力点：分类整合的能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻. 易错点：容易出现事件之间的关系混乱，没能理解问题的实际意义. 学法与教具 1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：投影仪. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1．随机变量 ⑴随机变量定义:在随机试验中，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．简单说，随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．常用希腊字母x、y、ξ、η等表示． ⑵如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量.
⑶如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2．概率分布定义（分布列） 设离散型随机变量ξ可能取的值为123,,,,i x x x x L L ，ξ取每一个值(1,2,)i x i =L 的概率 ()i i P x p ξ==，则称表 ξ 1x 2x L i x L P 1P 2P L i P L 称为随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列. 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： (1)0,123≥，，，i p i =L ；123(2)1p p p +++=L 3．常见的分布列 ⑴二项分布：在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概 率为()(1)k k n k n p X k C p p -==-，显然x 是一个随机变量.随机变量x 的概率分布如下： x 1 L k L n P 00n n C p q 111 n n C p q - L k k n k n C p q - L n n n C p q 我们称这样的随机变量x 服从二项分布,记作~(,)X B n p ⑵两点分布列:如果随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 P 1P - P 这样的分布列称为两点分布列,称随机变量服从两点分布,而称(1)p P ξ==为成功概率.两点分布是特殊的二项分布(1)p ξ~B , ⑶超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品数，则事件{} x k =发生的概率为(),0,1,2,3,,k N k M N M n N C C P X k k m C --===L ．其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈，则称分布列
随机变量及其分布知识点整理
随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????,Ｘ取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==,则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列,简称X 的分布列、 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1)0,1,2,,i P i n =???≥ (2)121n p p p ++???+= 1、两点分布 则称Ｘ服从两点分布,并称=P(X=1)p 为成功概率、 2、超几何分布 一般地,在含有Ｍ件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为: (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注:超几何分布的模型就是不放回抽样 二、条件概率 一般地,设Ａ,Ｂ为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率、 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 与C 互斥,那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A,Ｂ两个事件,如果事件A 就是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事
件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地,如果事件Ａ1,A ２,…,A n 两两相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注:(1)互斥事件:指同一次试验中的两个事件不可能同时发生; (２)相互独立事件:指在不同试验下的两个事件互不影响、 四、n 次独立重复试验 一般地,在相同条件下,重复做的n 次试验称为ｎ次独立重复试验、 在n 次独立重复试验中,记i A 就是“第i 次试验的结果”,显然,1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??? “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其她试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一:每次试验就是在同样条件下进行; 第二:各次试验中的事件就是相互独立的; 第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生、 n 次独立重复试验的公式: n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中,而称p 为成功概率、 五、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为p ,则 ()(1)0,1,2,,k k n k n P X k C p p k n -==-=???， 此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作~(,)X B n p ,并称ｐ为成功概率、 六、离散随机变量的均值(数学期望) 则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++ 为X 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 则()EY aE X b =+,即()()E aX b aE X b +=+ 2.一般地,如果随机变量X 服从两点分布,那么
知识讲解 离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)
离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释： （1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p … n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①()E E E ξηξη+=+； ②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(； b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：： η的分布列为 于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++…
＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ ∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋22 2)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中 的ξE 是随机变量ξ的期望． ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 要点诠释： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系： 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质： 若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2 ()D D a b a D ηξξ=+=； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布： 若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则 期望E p ξ=
(word完整版)基础随机变量及其分布知识点,推荐文档
随机变量及其分布 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 常见的两种分布： 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --== =
则随机变量X 的概率分布列如下： {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称() (|)()P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即 ()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。 ()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生； (2) 相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.
随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价
第二节 方差 随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价, 而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 方差的定义 ★ 方差的计算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 方差的性质 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 补充说明 ★ 例11 ★ 例12 ★ 条件期望与条件方差简介 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题4-2 ★ 返回 内容要点： 一、 方差的定义 定义1 设X 是一个随机变量, 若2)]([(X E X E -存在,则称它为X 的方差, 记为 .)]([)(2X E X E X D -= 方差的算术平方根)(X D 称为标准差或均方差, 它与X 具有相同的度量单位, 在实际应用中经常使用. 方差刻划了随机变量X 的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性. 从方差的定义易见: (1)若X 的取值比较集中,则方差较小; (2)若X 的取值比较分散,则方差较大; (3)若方差0)(=X D , 则随机变量X 以概率1取常数值,此时X 也就不是随机变量了. 二、 方差的计算 若X 是离散型随机变量,且其概率分布为 ,2,1,}{===i p x X P i i 则 ;)]([)(1 2∑∞ =-=i i i p X E x X D 若X 是连续型随机变量,且其概率密度为),(x f 则
.)()]([)(2?∞ ∞ --=dx x f X E x X D i 利用数学期望的性质, 易得计算方差的一个简化公式: 22)]([)()(X E X E X D -=. 三、方差的性质 1. 设C 常数, 则0)(=C D ; 2. 若X 是随机变量, 若C 是常数, 则 );()(2X D C CX D = 3. 设Y X ,是两个随机向量,则 )));())((((2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --±+=± 特别地, 若Y X ,相互独立, 则 ).()()(Y D X D Y X D +=± 注: 对n 维情形, 有: 若n X X X ,,,21 相互独立, 则 .)(,)(1 2 111∑∑∑∑=====??????=??????n i i i n i i i n i i n i i X D C X C D X D X D 四、 条件数学期望和条件方差简介 由于随机变量之间存在相互联系, 一个随机变量的取值可能会对另一随机变量的分布产生影响, 这种影响会在数字特征上得到反映. 下面要讨论的是：在某个随机变量取某值的条件下，求另一个与之相关的随机变量的数字特征. 作为简介，这里我们直接给出它们的定义. 1. 设),(Y X 是离散型随机向量, 其概率分布为 ),,2,1,,2,1(},{ =====j i p y Y x X P ij j i 定义2 (i) 称}|{)|(i j j j i x X y Y P y x X Y E ====∑（绝对收敛）为在 i x X =条件下Y 的 条件数学期望. 类似地，称 }|{)|(j i i i i y Y x X P x y Y X E ====∑（绝对收敛）为在 i y Y =条件下X 的条件 数学期望; (ii) 称}|{)]|([)|(2 i j j i j i x X y Y P x X Y E y x X Y D ===-==∑（绝对收敛）为在 i x X =条 件下Y 的条件方差. 类似地，称}|{)]|([)|(2 j i i j i i y Y x X P y Y X E x y Y X D ===-==∑（绝对收敛）为在 j y Y =条件下X 的条件方差. 2．设),(Y X 是连续型随机向量, )|(|x y f X Y 是在x X =条件下的概率密度，)|(|y x f Y X 是
随机变量优秀教学设计
离散型随机变量教学设计 【课题】：2.1.1 离散型随机变量 【教学时间】：高二下学期 【学情分析】：（适用于平行班）教学对象是高二理科学生，学生已学习概率的初步知识及排列组合知识, 已有一定的统计思想. 【教学目标】：(1)知识与技能:理解随机变量的概念,能正确列出随机试验下随机变量的的取值;了解随机变量与函数的关系.(2)过程与方法:通过具体事例的感知与分析，理解离散型、连续型随机变量的概念及它们与函数的关系；(3)情感、态度、价值观：通过对随机事件、必然事件、不可能事件的理解，培养学生的思辩能力及思维的严谨性。 【教学重点】：随机变量概念的理解及其取值. 【教学难点】：根据事件正确列出随机变量的所有取值及理解每一取值所对应的事件. 【课前准备】: Powerpoint,骰子一个. 【教学过程设计】：
课后练习： 1、投掷均匀硬币一次，可以作为随机变量的是（ A ） A. 出现正面的次数 B. 出现正面或反面的次数 C. 掷硬币的次数 D. 出现反面的次数之和 2、10件产品中有4件次品,从中任取2件,可为随机变量的是（ B ） A. 取到产品的件数 B. 取到次品的件数 C. 取到正品的概率 D. 取到次品的概率 3、①某座大桥一天经过的车辆数为ξ；②某电话咨询台一天内接受咨询的次数；③一天之内的温度为ξ；④一个射手对目标进行射击，击中目标得1分，击不中得0分，用ξ表示该射手在一次射击的得分。上述问题中是离散型随机变量的是（B ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 4、抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么}4{=ξ表示的随机试验的结果是（ D ） A. 一枚是3点, 一枚是1点 B. 两枚都是2点 C. 两枚都是4点 D. 一枚是3点, 一枚是1点或两枚都是2点 5、写出下列各随机变量可能取的值： (1) 从集合}10,8,6,4,2{=A 中任取一个大于5的数； (X=6,8,10) (2) 在10个同样型号的产品中,有7个正品,3个次品,从中任取5个,所含的次品数. (X=0,1,2,3) 6、将一枚骰子抛掷两次，两次掷出的的点数之差为ξ，则ξ的所有可能的取值是 ；(-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5) 7、一个袋子中装有10个红球，5 个白球，任取4个球，其中含白球个数X 的所有可能取的值是 ；(0,1,2,3,4) 8、抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则事件{4>ξ}表示的试验结果是 ；(第一次掷出5点,第二次掷出1点;或第一次掷出6点,第二次掷出2点) 9、一个袋中有5个白球和5个黑球，从中任取3个其中所含白球个数为ξ，列表说明可能
随机变量的分布函数
6.随机变量的分布函数 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第二章第§3的随机变量的分布函数 【教材分析】：前面几节内容我们初步研究了离散型随机变量及其分布律，在那里随机变量只取有限个或可列个值，这有很大的局限性。在许多随机现象中出现的一些变量，它们的取值可以充满某个区域或区间，概率论就是要研究它们的统计规律，那么对于这种更一般的随机变量，他如何来描述它的统计规律？因为单点集的长度为零，由此可知，用分布律是行不通，需要另外找一个合适的工具—分布函数。学习本节要求学生掌握分布函数基本概念，会求一些随机变量的分布函数。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了离散型随机变量的分布律，会求随机变量取值的概率。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能目标 掌握分布函数概念及性质，并会求一些随机变量的分布函数。 2、过程与方法 根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到分布函数的概念。 3、情感态度与价值观 通过学习使得学生初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。 【教学重点、难点】： 重点：随机变量的分布函数的概念及性质。 难点：随机变量的分布函数的性质。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：
一、 问题引入 当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率。 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量， 为此，我们引入随机变量的分布函数的概念。 例如：12(,].X x x 求随机变量落在区间内的概率 12{}P x X x <≤ 21{}{}P X x P X x =≤-≤ 【设计意图】：由探讨随机变量取值的概率导出随机变量的分布函数的概念。 二、分布函数的概念和性质 1、定义 设X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数 )() ()(+∞<<-∞≤=x x X P x F 称为X 的分布函数。有时记作)(~x F X 或)(x F X 。 2、分布函数的性质 （1）非负性： 0()1,F x ≤≤ （2）单调非减：若21x x <， 则)()(21x F x F ≤； （3）规范性： ;1)(lim )(,0)(lim )(==+∞==-∞+∞ →-∞ →x F F x F F x x （4）右连续性： 即).()(lim 00 x F x F x x =+→ 【设计意图】：说明分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况。 强调().F x x 分布函数是的一个普通实函数 例1 验证函数{ 1,0; (), ,0x x F x --≥=其它e 可以作为某个随机变量的分布函数。 解：由函数表达式显然有 （1） 0()1F x ≤≤ （2）120x x <<，则12()=()=0F x F x ；若120x x <≤，则 2 12()=0()1x F x F x e -=-，； ∴12()()F x F x ≤；若120x x <≤， 1 2 12((()()))11x x x x F F ---=--- e e 2 1 x x --=-e e ≤ 0，∴12()()F x F x ≤； 综上知，函数 F (x )是单调不减函数， （3）lim ()()x F F x →-∞-∞=lim 00x →-∞==， lim ()()x F F x →+∞ +∞=lim ()11x x -→+∞ =-=e ，