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基于短时傅里叶变换的电压暂降扰动检测

第27卷第10期中国电机工程学报V ol.27 No.10 Apr. 2007

2007年4月Proceedings of the CSEE ?2007 Chin.Soc.for Elec.Eng. 文章编号：0258-8013 (2007) 10-0028-07 中图分类号：TM74 文献标识码：A 学科分类号：470?40

基于短时傅里叶变换的电压暂降扰动检测

赵凤展，杨仁刚

(中国农业大学信息与电气工程学院，北京市海淀区 100083)

Voltage Sag Disturbance Detection Based on Short Time Fourier Transform

ZHAO Feng-zhan, YANG Ren-gang

(College of Information and Electrical Engineering, China Agricultural University, Haidian District, Beijing 100083, China)

ABSTRACT: Short time Fourier transform (STFT) was employed to measure the amplitude of voltage sag, detect interference instant and locate interference source. The amplitude of voltage sag was determined by the amplitude characteristics of fundamental frequency voltage and the high frequency signal produced when voltage sag starts and disappears was employed to identify the voltage sag inception and disappearance instant. A method based on the amplitude of fundamental frequency component and the number of signal singularities is proposed to locate interference source. The method can distinguish the voltage sag induced by fault from that induced by induction motor starting effectively. Simulation tests show that the method has high sensitivity and has better immunity to harmonics and noise than the methods based on wavelet transform.

KEY WORD: voltage sag; short time Fourier transform; wavelet transform; time frequency analysis; feature extraction

摘要：用短时傅里叶变换作为时频信号分析工具，研究在电压暂降扰动下暂降电压幅值检测、扰动时间定位和扰动源识别问题。提出利用暂降后电压信号的基频幅值曲线检测暂降电压幅值，利用暂降发生和结束时产生的高频信号对电压暂降扰动时间定位的方法，并提出根据基频幅值和扰动点个数来识别电压暂降扰动源的方法，该方法可以有效区分由短路故障引起的电压暂降和由感应电机启动引起的电压暂降。仿真试验结果表明该方法对电压暂降扰动检测精度高，同时比以往基于小波变换的方法在抵御谐波和噪声干扰方面更具有优越性。

关键词：电压暂降；短时傅里叶变换；小波变换；时频分析；特征提取

0引言

随着各种电力负荷的迅猛增长，暂态电能质量扰动问题引起供电部门和广大用户的关注。其中，电压暂降是最常见的一种暂态电压扰动，同时由不同扰动源引起的电压暂降持续时间与暂降程度不同，对用户造成的影响也不同，对应的补偿措施也应该不同。因此，电压暂降的准确测量与扰动源的辨识对电能质量的评估与补偿具有重要的意义[1]。

过去，常采用电压下降深度和持续时间2个指标来表征电压暂降，这2个指标通常是从电压均方根值曲线得到的，因此很难对敏感的电力电子设备在供电电压发生电压暂降时的反应做出精确的解释。于是，人们希望从电压暂降波形中直接获得电压暂降的起止时刻，三相电压暂降的不平衡程度、暂降的恢复特性等指标。文献[2-3]分别采用B样条小波变换和DB6小波变换在这方面作了深入研究，但是小波变换系数易受噪声的影响，需要消噪处理，当消噪阈值选择不当则可能产生错误的辨识结果。同时，虽然离散小波变换在暂态电能质量分析领域得到了广泛应用[2-13]，但它是基于倍频分解的原理，只能提取信号各频段的信息，很难提取出信号的基频分量或任意次谐波分量，而这些是电力信号的基本特征[14]。此外，基于数学形态学的扰动突变点检测方法也是一种比较新颖的扰动定位方法，但它不能直接检测扰动幅值[15-17]。

短时傅里叶变换(STFT)是经典的线性时频分析方法，具有单一的时频分辨率，目前，在电能质量分析领域应用较少，但其变换结果表征了信号的频谱，较小波变换更容易被理解[14,18]。本文利用STFT 变换对基频电压暂降、含谐波的电压暂降以及2种不同暂降干扰源引起的电压暂降信号的仿真分析表明，选择适宜窗函数的STFT变换，可以精确检测电压暂降的幅值和突变点，相对小波变换，STFT 变换更适于电压暂降扰动检测。

第10期赵凤展等：基于短时傅里叶变换的电压暂降扰动检测 29

1 短时傅里叶变换

1.1 连续短时傅里叶变换

电压暂降信号是非平稳信号，需要使用时域与频域的二维联合表示，才能得到精确的描述。短时傅里叶变换[19-20]是一种时频局部化方法。给定一个时间宽度很短的窗函数g (t )，它沿着时间轴滑动，则信号x (t )的STFT 变换定义为

*j2STFT (,)()()e d fu x F t f x u g u t u ∞

?π?∞=?∫ (1)

可见，正是由于窗函数()g t 的存在使短时傅里叶变换具有局部特性，它既是时间函数，也是频率函数。对于给定时间t ，STFT (,)x F t f 可看作是该时刻的频谱，即“局部频谱”。

若窗函数满足下式：

()

d 1g t t ∞

?∞=∫ (2)

则信号()x t 可以由其STFT 变换完全重构出来，其广义STFT 反变换可写成

j2''

STFT ()(',')(')e

d 'd 'f t x

x t F t f g t t t f ∞

∞

π?∞?∞=?∫

∫ (3)

1.2 离散短时傅里叶变换

在实际应用中，需要对STFT (,)x F t f 进行离散化处理，为此在时频面上等间隔时频网格点(mT ，nF )处采样，其中T 和F 分别为时间变量和频率变量的采样间隔。令()x k 表示信号()x t 的离散形式，k =0,1,

2,…,N ?1；m ，n =0,1,2,…,N ?1，N 为总采样点数，则STFT 变换的离散形式为

j2/STFT 0(,)()()e N nk N k F m n x k g k m ???π==?∑ (4)

可见，STFT 变换结果为1个两维复数矩阵，并且可利用 FFT 变换实现快速计算，其幅值矩阵可表示为

STFT (,)(,)m n F m n =A (5)

由式(5)得到的信号STFT 变换幅值矩阵，其行对应采样时间点，列对应频率值，矩阵元素为对应的频谱幅值，需要说明的是此时的频率坐标值n 对应的实际频率等于n /(NT )，N 为总的采样点数，变量n 的取值范围 n =0,1,2,…,N /2?1。由此，幅值矩阵(,)m n A 中各行向量为对应时刻的频谱，各列向量为各频率频谱的时间分布。为方便分析，定义基频频率对应的列向量为基频频谱序列，并用符号A f 0表示；定义幅值矩阵各列中最大值组成的序列为最大频谱序列，用符号A max (f )表示，它表征分析信号

各频率分量的最大幅值。下文所分析的扰动信号的基频频率为50Hz ，采样频率为1.6kHz ，即每周波采样32点。 1.3 短窗函数的选择

对于STFT 变换来说，短窗函数()g t 的形状及窗口宽度的选择是关键，不同类型窗函数的频率特性不同，窗口宽度的选择应适当兼顾时间和频率分辨率。作者尝试了不同长度的Blackman 窗、 Hamming 窗、Hanning 窗、Kaiser 窗、Gaussian 窗、Rectangular 窗和Bartlett 窗等，发现对于每工频周波采样32点的信号，选择宽度为65点的Blackman 窗可以得到足够的时频分辨率及平直的谐波频谱时间分布图。

对于基频幅值为1 pu(

2)的信号，

将其STFT 变换幅值矩阵除以因加窗产生的系数，得到基频幅值为1的归一化幅值矩阵；对于基频幅值不为1的扰动信号，不仅要将其幅值矩阵处以因加窗产生的系数，还要除以扰动发生前基频幅值，得到归一化幅值矩阵，以下统称为“STFT 幅值矩阵”。从分析信号的STFT 幅值矩阵中可以提取相应的时变频谱特征。

利用STFT 变换对谐波信号进行分析，图1和图2分别是加Blackman 窗和加Gaussian 窗所得的频谱幅值分布图。图1(a)和图2(a)为待分析的谐波信号，其基频幅值为1pu ，3次和5次谐波幅值分别

0 100 200 300 采样点

(a)谐波信号

0.1990.2010.2990.301

0.991.01

01?202

幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u

350Hz

250Hz

150Hz

50Hz

A max (f )

signal

0 100 200 300 采样点

0 200 400 600 f /Hz

(b)最大频谱幅值曲线

(c)基频幅值曲线

(d)3次谐波幅值曲线

(e)5次谐波幅值曲线

(f)7次谐波幅值曲线

图1 应用Blackman 窗STFT 分析谐波信号 Fig. 1 Harmonic analysis using STFT

with Blackman window

中国电机工程学报第27卷

0 100 200 300 采样点

0.004

0.1950.2050.290.310.9951.00501?202幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u

0 100 200 300 采样点

0 200 400 600 f /Hz

550Hz

250Hz

150Hz

350Hz

signal

(a)谐波信号

(b)最大频谱幅值曲线

(c)基频幅值曲线

(d)3次谐波幅值曲线

(e)5次谐波幅值曲线

(f)7次谐波幅值曲线

图2 应用Gaussian 窗STFT 分析谐波信号 Fig. 2 Harmonic analysis using STFT

with Gaussian window

为0.3pu 和0.2 pu ；图1(b)和图2(b)是由信号最大频谱序列A max (f )得到的最大频谱幅值曲线，它表明信号含有3个频率分量：50Hz 、150Hz 和250Hz ；图1(c)和图2(c)是由信号基频频谱序列A f 0得到的基频幅值曲线，图1(d)~(f) 和图2(d)~(f)为分析信号的3次、5次和7次高频分量频谱序列图，统称“高频幅值曲线”。

经比较发现，图1中加Blackman 窗STFT 所得的各频率频谱幅值曲线是平直的，且幅值等于对应频率分量的实际幅值，而图2中加Gaussian 窗STFT 所得的频谱幅值曲线在实际值上下波动。可见加Blackman 窗的STFT 变换可准确的提取各频率分量。下文中的STFT 变换都是加该窗实现的。

2 应用短时傅里叶变换分析电压暂降

2.1 基频电压暂降扰动的检测 2.1.1 电压暂降幅值检测

电压暂降指供电电压均方根值在短时间突然大幅度快速下降。在电压暂降的实际检测中，常将暂降期间的电压均方根值与扰动前电压均方根值的比值定义为暂降的幅值，将暂降发生与结束的时刻定义为扰动起止时刻。电压暂降的幅值和扰动起止时刻是标称电压暂降的最重要的2个特征量。

电压暂降幅值通常是从电压均方根曲线得到的，采用滑动平均值法，对采样信号的每个点计算

以该点为中心半周期宽度采样信号的有效值，再乘

，得到信号的有效值—幅值曲线。对于图3(a)

为一幅值为60%的电压暂降信号，扰动发生于第3周波，持续了5个周波。该信号的有效值—幅值曲线如图3(b)。由图可见，因采样间隔非0造成了电压幅值曲线有纹波，不能准确地得出电压暂降的幅值，同时也不能明确的给出电压暂降的起止时刻。

图3(c)是该暂降信号STFT 基频幅值曲线，由图可见，没发生暂降时幅值为1，暂降期间幅值为0.6，与实际一致。可见STFT 基频幅值曲线可精确的检测电压暂降前后的幅值。

0 100 200 300 采样点

(c)STFT 基频幅值曲线

0.6

1.5

0.6 1.5

?1 1

幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u

RMS 幅值

50Hz STFT

(a)基频电压暂降信号

(b)有效值—幅值曲线

图3 基频电压暂降信号幅值

Fig. 3 Magnitude of voltage sag signal

with fundamental frequency

2.1.2 电压暂降扰动定位

电压暂降扰动的起止时刻常常对应扰动信号的突变点，信号的突变会导致高频分量的出现，通常用小波变换高频系数的模极大值来检测信号的突变点。经试验发现，DB6小波具有很强的奇异点检测能力。应用DB6 小波对与图3(a)相同的扰动信号进行3尺度分解，得到各尺度高频系数，分别为D1，D2和D3，如图4所示。由图可见，由高频系数D1或D2的模极大值可以确定扰动的起止时刻。

应用STFT 变换对同样的电压暂降信号进行分析，得到各谐波分量频谱分布图，如图5所示。由图可见，基频电压暂降信号的3~6次高频分量频谱

0 100 200 300 采样点

(b) DB6小波变换系数D1

(d) DB6小波变换系数D3

?2 2

?1 1

幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u

(a) 基频电压暂降信号

图4 小波变换扰动定位

Fig. 4 Disturbance positioning using WT

第10期

赵凤展等：基于短时傅里叶变换的电压暂降扰动检测 31

0 100 200 300 采样点

(a) 基频电压暂降信号

(b) 基频幅值曲线

(d) 4次谐波幅值曲线

(e) 5次谐波幅值曲线

(f) 6次谐波幅值曲线

0.05

1.0 0

2 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u

300Hz

250Hz

200Hz

150Hz

50Hz

0 0.05 0 0.05 0 0.05

0.6 ?

图5 STFT 变换各高频分量频谱图

Fig. 5 High frequency spectrum based on STFT

幅值序列在扰动信号突变点附近存在幅值的突变，且随频率的增大，突变量逐渐变小。选择比基频频率高2倍和3倍基频的高频分量之和(即3次与4次谐波分量的频谱序列和)的极大值与小波变换系数D1模极大值相比较，如图6所示，发现两者确定的电压暂降的起止时刻一致。可见，短时傅里叶变换具有与小波变换一样的电压暂降扰动定位能力。

0 100 200 300 采样点

(a) DB6小波变换系数D1

(b) DB6

0.1

?0.1 ?0.1 0.1

幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u

图6 基于WT 与STFT 变换的电压暂降扰动定位比较

Fig. 6 Comparison between WT and STFT

for voltage sag disturbance position

2.2 含谐波的电压暂降扰动的检测 2.2.1 电压暂降幅值检测

对于含谐波的电压暂降信号，若用有效值法计算电压暂降幅值，还需先用滤波器滤除高频分量，获得基频分量，由此得到的电压暂降幅值曲线不仅受滤波器频率特性的影响，同样会产生因采样间隔非0造成的纹波。

图7(a)是一含谐波的电压暂降信号,暂降发生前,其基频幅值为1、3次和5次谐波幅值分别为0.25和0.15，信号从第三周波开始发生了幅度为70%的电压暂降，且持续了5个周波。应用STFT 变换分

析该信号，得到信号最大频谱幅值曲线和基频幅值曲线，分别如图7(b)和7(c)所示。其中，最大频谱幅值曲线表明该信号除了含基频分量外，还有3次和5次谐波分量。同时，基频幅值曲线依然能准确的反应电压暂降发生前后的基频幅值。可见，不用滤波，利用STFT 变换可直接提取基频分量的时变幅值，且基本不受高次谐波的影响。 2.2.2 电压暂降扰动定位

应用DB6小波变换和STFT 变换分别对上面含谐波的电压暂降信号进行扰动定位。信号小波变换所得高频系数D1、D2分别如图8(a)、(b)所示，短时傅里叶变换所得第7次和第8次谐波频谱幅值之和如图8(c)所示。可见，对于该含谐波的电压暂降信号，小波变换系数D1的模极大值只能确定暂降结束时刻，不能确定暂降起始时刻，D2已基本没有扰动定位能力，在谐波环境下，小波变换扰动定位能力变弱。而信号STFT 变换结果中比信号最高频率高2倍基频和

3倍基频的高频幅值之和的极大值依然能清晰且准确的确定扰动的起止时刻。

可见，STFT

变换不仅具有比有效值法更精确

的基频幅值提取能力，还具有比小波变换更强的扰动定位能力。由此，STFT 变换较小波变换更适于

进行电压暂降扰动的分析。

0 100 200 300 采样点

(a) 含谐波的电压暂降信号

(b) 最大频谱幅值曲线 (c) 基频幅值曲线 ?2 0.7

1.0

0.25

1.00 2 幅值/

p u

幅值/p u

0 100 200 300 采样点

0 200 400 600 f /Hz

图7 含谐波的电压暂降信号STFT 分析

Fig. 7 Analysis of voltage sag with harmonics using STFT

0 100 200 300 采样点0

0.02

?0.4 0.4

?0.050.05

幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u

350Hz+400Hz

(a) 图7(a)的小波变换系数D1

(b) 图7(a)的小波变换系数D2

WT:D2

WT:D1

STFT

图8 含谐波的电压暂降扰动 WT 与STFT 定位比较 Fig. 8 Comparison between WT and STFT for disturbance position of voltage sag with harmonics

32 中国电机工程学报第27卷

3 不同扰动源电压暂降信号的STFT 分析

3.1 短路故障引起的电压暂降 3.1.1 三相电压暂降幅值相似性

短路故障和感应电机启动是引起电压暂降的最主要原因[1]。下文利用STFT 变换对短路故障和感应电机启动引起的2种电压暂降扰动信号进行分析和特征提取，电压暂降信号参照文献[2]中的EMTDC 仿真系统产生，并加入均值为0的白噪声，形成信号比为30dB 的扰动信号。

图9(a)~(c)是在含有谐波的系统中，A 、B 两相短路故障引起的三相电压暂降信号。由各相信号的STFT 变换得到的基频幅值曲线如图9(d)所示，它显示了各相电压幅值变化的程度。显然，三相电压暂降程度不同，C 相电压基本没有降低，A 相和B 相幅值局部有明显的下降，暂降最低幅值发生在B 相。

0 400 800 1200 采样点

0.5

15 ?500

500 ?500 500 ?500 500 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u

(a) 短路故障引起的电压暂降A 相电压信号

(b) 短路故障引起的电压暂降B 相电压信号

A 相

B 相

C 相

STFT:50Hz

图9 短路故障引起的电压暂降信号及其STFT 基频幅值

Fig. 9 A fault related voltage sag signals and their STFT

magnitudes in fundamental frequency

根据各相电压信号STFT 变换基频幅值曲线可计算三相电压暂降幅值相似度，计算公式为[2]

A B C

E M M M M ++=

(6)

A B C ||||||

E E E E

M M M M M M S M ?+?+?=

(7)

式中：M A 、M B 和M C 为三相电压暂降信号基频幅值曲线最低处对应的各相电压暂降幅值，本例中分别为64.35%、63.49%和97.79%。由式(6)和(7)得S 为

60.04%。

如果S ≥30%，则认为三相电压暂降幅值不相似；如果S <30%，

则认为三相电压暂降幅值相似。由此，图9所示的短路故障引起的三相电压暂降幅值不相似。

3.1.2 电压暂降扰动时间定位

应用DB6小波和STFT 变换对暂降幅值最低

相——B 相电压信号进行扰动定位分析，如图10所示。图10(b)和(c)为分析信号的小波变换系数D1和D2，其中没有明显的极值，不能实现扰动定位。可见，小波变换对谐波和噪声都很敏感。图10(d)为信号STFT 变换最大频谱幅值曲线，它反映了该信号含有基频和3次谐波分量。从信号STFT 变换幅值矩阵中提取出5次和6次谐波幅值，其和形成的曲线如图10(e)所示，显然，该曲线有2个明显的极大值，分别对应于电压暂降扰动的起止时刻。

0 400 800 1200 采样点

0.1

?100

100 ?20 20 ?500500 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u

(a) 短路故障引起的电压暂降B 相电压信号

(b) 信号的小波变换系数D1

(d) 信号的最大频谱幅值曲线

(e) 信号STFT 变换扰动时间定位曲线

0 400 800 1200 采样点

0 200 400 600 f /Hz

B 相

WT:D1

WT:D2

STFT:250Hz+300Hz

图10 短路故障电压暂降信号WT 和STFT 扰动定位 Fig. 10 Disturbance position of a fault related voltage sag

signal using WT and STFT

3.1.3 电压暂降幅值的频度分布

用幅值频度表征电压暂降期间幅值的分布特征。以三相暂降幅值最低相为分析信号，本例为B 相电压信号，将该信号基频幅值曲线中低于0.9的区间宽度定义为电压暂降持续时间，用变量t d 表示，如图11(b)所示。将t d 时间内电压暂降的最低幅值到

0.9之间5等分，其中第1级为暂降最低幅值段，第5级为暂降最高幅值段。各分段幅值所对应的电压暂降的持续时间(单位：周波数)以柱状图表示，如图11(c)所示。各分段幅值的持续时间与总的电压暂降持续时间t d 的比值定义为相应电压暂降幅值段的频度，频度分布也以柱状图表示，如图11(d)所示。

第1级暂降幅值持续时间反映了电压暂降在最低幅值段持续的时间。第1级幅值频度信息可以确定电压暂降达最低点后，是维持一段时间还是立即恢复，它反映了电压暂降的恢复特征。图11(c)所示的B 相电压暂降信号的5个幅值分段的持续时间分别为9.3438、0.3750、0.2813、0.2813和0.2813周波，其中，最低幅值段持续时间较长。相应的各分

第10期赵凤展等：基于短时傅里叶变换的电压暂降扰动检测 33

段幅值频度为88.46%、3.55%、2.66%、2.66%、

2.66%，如图11(d)所示。令F d1表示第1级幅值频度，如果F d1≥40%，则认为该电压暂降扰动在最低幅值段持续时间较长；如果F d1<40%，则认为扰动幅值降到低谷后持续时间较短，幅值逐渐恢复。本例电压暂降最低幅值段频度大于40%，且明显大于其它几级，表征由故障引起的电压暂降信号达低谷后持续了一段时间，而且暂降发生和恢复速度较快。

0.6 0.7 0.8 0.9暂降幅度

0.6

0.9

?500 500

频度持续周波数幅值/p u 幅值/p u (a) 短路故障引起的电压暂降B 相电压信号

(b) 基频幅值曲线

t d

F d1

0 400 800 1200 采样点

0 10 1

B 相

STFT:50Hz

图11 短路故障电压暂降幅值分布

Fig. 11 A fault related voltage sag magnitude distribution

3.2 感应电机启动引起的电压暂降

3.2.1 三相电压暂降幅值相似性

图12(a)~(c)是由感应电机启动引起的三相电压暂降信号，各相信号STFT 变换基频幅值曲线如图12(d)所示。由图可见，三相电压暂降幅值基本相同，经计算，最低幅值发生在B 相，等于76.43%，同一时刻对应的A 相和C 相暂降幅值分别为76.79%和77.31%。由式(7)得到的三相暂降幅值相似度S 为2.21%。因为S <30%，认为感应电机引起的三相暂降幅值是相似的。

0 400 800 1200 采样点

0.8

1.0 ?500 500 ?500 500 ?500 500 归一化幅值幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u (a) A 相电压信号

(b) B 相电压信号

A 相

B 相

C 相

(d) 三相电压信号STFT 变换基频幅值曲线

图12 感应电机启动引起的电压暂降及其STFT 基频幅值 Fig. 12 The induction motor starting related voltage sag and their STFT magnitudes in fundamental frequency

3.2.2 电压暂降扰动时间定位

图13是应用DB6小波和STFT 变换对B 相电

压扰动定位的结果。图13(b)和(c)表明，信号的小波变换高频系数D1和D2 受噪声的影响很大，已不能实现扰动定位。图13(d)是该信号STFT 变换最大频谱幅值曲线，表明该电压暂降信号只含有基频分量。图13(e)是从信号STFT 变换幅值矩阵中提取出的3次和4次高频分量幅值和，由该曲线极大值可以清晰地确定电压暂降的发生时刻。可见，在谐波和噪声环境下，STFT 变换的扰动定位能力比小波变换强。

0.1 0

1 ?20

20 ?20 20 ?500500 幅值/p u 幅值/p u 幅值/p u

(a) B 相电压暂降信号

(d) 信号STFT 变换最大频谱幅值曲线

(e) 信号STFT 变换扰动时间定位曲线

B 相

STFT:150Hz+200Hz

采样点2006001000 1400 50

200

400 600 f /Hz

幅值/p u

200

600

1000 1400 采样点

WT:D2

WT:D1

图13

感应电机启动电压暂降信号

WT 和STFT 扰动定位

Fig. 13 Disturbance position of a induction motor starting

related voltage sag signal using WT and STFT

3.2.3 电压暂降幅值的频度分布

分析暂降幅值最低相——B 相电压信号的幅值频度分布，其暂降持续时间t d 如图14(b)所示，将暂降幅值区间5等分，则各级持续时间分别为2.2813、2.9375、2.6563、2.0938和2.8125周波，相应的各

0 400 800 1200 采样点

频度持续周

波数幅值/p u 幅值/p u

?5005000.750.90(b) 基频幅值曲线

(a) B 相电压信号

0.76 0.80 0.84 0.88 暂降幅度

t d

F d1

0.404

(d) 电压暂降幅值频度分布

B 相

图14 B 相电压暂降幅值分布

Fig. 14 Voltage sag magnitude distribution of phase B

34 中国电机工程学报第27卷

分段幅值频度为17.85%、22.98%、20.78%、16.38%、22.0%，以柱状图表示分别如图14(c)和(d)所示。暂降最低幅值段频度F d1<40%，与其它各级幅值频度相差也不大，可见感应电机启动引起的电压暂降扰动在达到谷底后立即恢复，恢复过程是渐变的。3.3两种扰动源引起的暂降特征比较

短路故障和感应电机启动引起三相电压暂降信号的特征不同，利用STFT变换可以提取各自的幅值特征和突变点，主要包括：

（1）暂降信号幅值特征。

电压暂降信号STFT变换基频幅值曲线反应了各相电压暂降幅值及其时变特征，由此可提取以下几个幅值特征：①电压暂降的最低幅值：它等于三相基频幅值曲线的最低值；②三相暂降幅值相似度S：多数短路故障引起的电压暂降三相幅值不相似，幅值相似度S≥30%；而感应电机启动引起的三相电压暂降幅值相似，S<30%；③暂降最低级幅值频度F d1：短路故障引起的暂降信号最低幅值频度较大，F d1≥40%；电机启动引起的暂降信号最低幅值频度较小，F d1<40%，这是二者的主要差异，亦可据此分辨这2种扰动源。

（2）暂降信号突变点个数不同。

STFT变换高频幅值分量在含有谐波和噪声的环境下依然可以确定扰动突变点。由短路故障导致的电压暂降信号的突变点一般为2个，对应扰动的起止时刻。由感应电机启动引起的电压暂降信号的突变点为1个，其幅值恢复是渐变的，没有明显的扰动结束时刻。

可见，利用STFT变换可以提取不同电压暂降扰动信号丰富的时频特征，并由这些特征可以确定相应的扰动源。篇幅所限，文中只分析了两种最主要的电压暂降扰动源，至于多级短路故障或其它类型的实际电压暂降可以参照同样的方法提取相应的特征，并确定适宜的限值加以分辨。

4结论

加适宜窗函数的STFT变换具有良好的时频分辨能力，利用电压暂降扰动信号的STFT变换幅值矩阵可以提取信号各频率分量幅值的时变特征，精确检测扰动幅值、扰动的起止时刻和扰动的恢复特性。仿真试验结果表明，STFT变换抗干扰能力强，具有比小波变换更强的扰动定位能力和幅值检测能力，易于实现电压暂降检测和干扰源的辨识。参考文献

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(下转第109页Continued on page109 )

第10期冯颖盈等：多电平Buck变换器的解耦控制与闭环设计109

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收稿日期：2006-10-21。

作者简介：

冯颖盈(1982—)，女，硕士研究生，主要从事多电平直流变换器的建模分析与闭环参数优化设计，fengyy@https://www.wendangku.net/doc/a57205251.html,；

阮新波(1970—)，男，博士，教授，博士生导师，研究方向为高频软开关直－直变换器、高频软开关逆变器、变换器的建模分析和电力电子集成系统。

（编辑王彦骏）

(上接第34页Continued from page 34)

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收稿日期：2006-10-14。

作者简介：

赵凤展(1971—)，女，博士研究生，讲师，研究方向为电能质量的分析与控制，数字信号处理，zhaofz@https://www.wendangku.net/doc/a57205251.html,；

杨仁刚(1953—)，男，博士生导师，教授，研究方向为电能质量的分析与控制，数字信号处理，配电自动化，FACTS。

（编辑王剑乔）

MAtlab傅里叶变换实验报告

班级信工142 学号 22 姓名何岩实验组别实验日期室温报告日期成绩报告内容：(目的和要求，原理，步骤，数据，计算，小结等) 1.求信号的离散时间傅立叶变换并分析其周期性和对称性；给定正弦信号x(t)=2*cos(2*pi*10*t),fs=100HZ,求其DTFT。 (a)代码： f=10;T=1/f;w=-10:0.2:10; t1=0:0.0001:1;t2=0:0.01:1; n1=-2;n2=8;n0=0;n=n1:0.01:n2; x5=[n>=0.01]; x1=2*cos(2*f*pi*t1); x2=2*cos(2*f*pi*t2); x3=(exp(-j).^(t2'*w)); x4=x2*x3; subplot(2,2,1);plot(t1,x1); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); xlabel('x(n)');ylabel('x(n)'); title('原信号x1'); xlabel('t');ylabel('x1'); subplot(2,2,3);stem(t2,x2); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); title('原信号采样结果x2'); xlabel('t');ylabel('x2'); subplot(2,2,2);stem(n,x5); axis([0 1 1.1*min(x5) 1.1*max(x5)]); xlabel('n');ylabel('x2'); title('采样函数x2'); subplot(2,2,4);stem(t2,x4); axis([0 1 -0.2+1.1*min(x4) 1.1*max(x4)]); xlabel('t');ylabel('x4'); title('DTFT结果x4'); （b）结果： 2.用以下两个有限长序列来验证DTFT的线性、卷积和共轭特性； (n) x1(n)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];x2(n)=R 10 (1)线性:（a）代码： w=linspace(-8,8,10000); nx1=[0:11]; nx2=[0:9]; x1=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi 标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是?

短时傅立叶变换试验

短时傅立叶变换试验为了克服傅立叶变换的时频局部化方面的不足，也是为了对时域信号作局部分析，D.Gabor 于1946年提出了窗口傅立叶变换（简记为WFT ）。 WFT 的公式形式 ()(,)()()j w t R G f w b f t w t b e d t -=-?()(,)()()j w t R G f w b f t w t b e d t -=-? 其中，实函数w(t)为是时窗函数，窗函数w(t)具有较强的衰减性，所以要精心选择窗函数。下面是一个短时傅立叶变换的代码程序 function timefreq(x,Nw,window) % 待分析信号，行向量，Nw 时窗宽度 subplot(2,2,1); plot(real(x));%描绘待分析信号 X=fft(x);%快速傅里叶变换 X=fftshift(X);%调整0频位置 subplot(2,2,2); plot(abs(X));%描绘幅度谱 Lap=Nw/2;%重叠宽度 Tn=(length(x)-Lap)/(Nw-Lap);%计算分段数目 nfft=2^ceil(log2(Nw));%做fft 的点数 TF=zeros(Tn,nfft);%时频矩阵 for i=1:Tn if(strcmp(window,'rec')) Xw=x((i-1)*10+1:i*10+10);%加窗矩形处理 elseif(strcmp(window,'Hamming')) Xw=x((i-1)*10+1:i*10+10).*Hamming(Nw)';%加hamming 处理 elseif(strcmp(window,'Blackman')) Xw=x((i-1)*10+1:i*10+10).*Blackman(Nw)';%加black 处理 elseif(strcmp(window,'Gauss')) Xw=x((i-1)*10+1:i*10+10).*Gauss(Nw)';%加Gauss 处理 else return; end temp=fft(Xw,nfft);%求fft temp=fftshift(temp);%调整0频位置 TF(i,:)=temp;%保存分段fft 结果 end %绘制时频分析结果 subplot(2,2,3); fnew=((1:nfft)-nfft/2)/nfft; tnew=(1:Tn)*Lap; [F,T]=meshgrid(fnew,tnew); mesh(T,F,abs(TF)); xlabel('n');ylabel('w');zlabel('Gf');

短时傅里叶变换matlab程序

function [Spec,Freq]=STFT(Sig,nLevel,WinLen,SampFreq) %计算离散信号的短时傅里叶变换； % Sig 待分析信号； % nLevel 频率轴长度划分（默认值512）； % WinLen 汉宁窗长度（默认值64）； % SampFreq 信号的采样频率（默认值1）； if (nargin <1), error('At least one parameter required!'); end; Sig=real(Sig); SigLen=length(Sig); if (nargin <4), SampFreq=1; end if (nargin <3), WinLen=64; end if (nargin <2), nLevel=513; end nLevel=ceil(nLevel/2)*2+1; WinLen=ceil(WinLen/2)*2+1; WinFun=exp(-6*linspace(-1,1,WinLen).^2); WinFun=WinFun/norm(WinFun); Lh=(WinLen-1)/2; Ln=(nLevel-1)/2; Spec=zeros(nLevel,SigLen); wait=waitbar(0,'Under calculation,please wait...'); for iLoop=1:SigLen, waitbar(iLoop/SigLen,wait); iLeft=min([iLoop-1,Lh,Ln]); iRight=min([SigLen-iLoop,Lh,Ln]); iIndex=-iLeft:iRight; iIndex1=iIndex+iLoop; iIndex2=iIndex+Lh+1; Index=iIndex+Ln+1; Spec(Index,iLoop)=Sig(iIndex1).*conj(WinFun(iIndex2)); end; close(wait); Spec=fft(Spec); Spec=abs(Spec(1:(end-1)/2,:));

傅立叶变换的原理、意义和应用

傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。参考《数字信号处理》杨毅明著，机械工业出版社2012年发行。定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译

名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑线性性质傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于

MATLAB实验傅里叶分析

实验七傅里叶变换一、实验目的傅里叶变换是通信系统、图像处理、数字信号处理以及物理学等领域内的一种重要的数学分析工具。通过傅里叶变换技术可以将时域上的波形分布变换为频域上的分布，从而获得信号的频谱特性。MATLAB 提供了专门的函数fft 、ifft 、fft2(即2维快速傅里叶变换)、ifft2以及fftshift 用于实现对信号的傅里叶变换。本次实验的目的就是练习使用fft 、ifft 以及fftshift 函数，对一些简单的信号处理问题能够获取其频谱特性（包括幅频和相频特性）。二、实验预备知识 1. 离散傅里叶变换(DFT)以及快速傅里叶变换(FFT)简介设x (t )是给定的时域上的一个波形，则其傅里叶变换为 2()() (1)j ft X f x t e dt π∞--∞=? 显然X ( f )代表频域上的一种分布(波形)，一般来说X ( f )是复数。而傅里叶逆变换定义为： 2()() (2)j ft x t X f e df π∞-∞ =?

因此傅里叶变换将时域上的波形变换为频域上的波形，反之，傅里叶逆变换则将频域上的波形变换为时域上的波形。由于傅里叶变换的广泛应用，人们自然希望能够使用计算机实现傅里叶变换，这就需要对傅里叶变换(即(1)式)做离散化处理，使之符合电脑计算的特征。另外，当把傅里叶变换应用于实验数据的分析和处理时，由于处理的对象具有离散性，因此也需要对傅里叶变换进行离散化处理。而要想将傅里叶变换离散化，首先要对时域上的波形x (t )进行离散化处理。采用一个时域上的采样脉冲序列: δ (t －nT ), n = 0, 1, 2, …, N －1；可以实现上述目的，如图所示。其中N 为采样点数，T 为采样周期；f s = 1/T 是采样频率。注意采样时，采样频率f s 必须大于两倍的信号频率（实际是截止频率），才能避免混迭效应。接下来对离散后的时域波形()()()(x t x t t n T x n T δ= -=的傅里叶变换()X f 进行离散处理。与上述做法类似，采用频域上的δ脉冲序列： x (t δ x (t )δ t t t

基于傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示

基于二维傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示一、基于二维傅里叶变换的图像稀疏表示傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。一幅静止的数字图像可以看成是矩阵，因此，数字图像处理主要是对包含数据的矩阵进行处理。经过对图像进行二维离散傅里叶变换可以得到它的频谱，进而得到我们所需要的特征。二维离散傅里叶变换及逆变换可以表示为：其中u=0,1,2,...,M-1和v=0,1,2,...,N-1。其中变量u和v用于确定它们的频率，频域系统是由F(u,v)所张成的坐标系，其中u和v用做（频率）变量。空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。下图为cameraman原图像及其频谱分布图： cameraman原图像大小为256*256，其傅里叶变换频谱图大小为256*256。图像从频域到时域的变换过程称为重构过程，通过峰值信噪比（PSNR）对图像进行评价，公式如下： PSNR=10*log10((2^n-1)^2/MSE)

MSE是原图像与处理后图像之间均方误差，n是每个采样值的比特数。通过取不同的大系数个数观察图像变化，单独取第1个大系数时： N=1 PSNR=12.2353所取频谱系数对应图单独取第9个系数时： N=1 PSNR=6.3108第9个频谱系数对应图

N=2 PSNR= 13.1553所取频谱系数对应图 N=10 PSNR=15.4961 所取频谱系数对应图 N=50 PSNR=17.1111 所取频谱系数对应图

详解傅里叶变换与小波变换

详解傅里叶变换与小波变化希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代

数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n= av_n，a是eigenvalue)。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。

傅里叶变换matlab代码

%傅里叶变换 clc;clear all;close all; tic Fs=128;%采样频率，频谱图的最大频率 T=1/Fs;%采样时间，原始信号的时间间隔 L=256;%原始信号的长度，即原始离散信号的点数 t=(0:L-1)*T;%原始信号的时间取值范围 x=7*cos(2*pi*15*t-pi)+3*cos(2*pi*40*t-90*pi/180)+3*cos(2*pi*30*t-90*pi/ 180); z=7*cos(2*pi*15*t-pi)+3*cos(2*pi*40*t-90*pi/180); z1=6*cos(2*pi*30*t-90*pi/180); z1(1:L/2)=0; z=z+z1; y=x;%+randn(size(t)); figure; plot(t,y) title('含噪信号') xlabel('时间（s）') hold on plot(t,z,'r--') N=2^nextpow2(L);%N为使2^N>=L的最小幂 Y=fft(y,N)/N*2; Z=fft(z,N)/N*2;%快速傅里叶变换之后每个点的幅值是直流信号以外的原始信号幅值的N/2倍（是直流信号的N倍） f=Fs/N*(0:N-1);%频谱图的频率取值范围 A=abs(Y);%幅值 A1=abs(Z); B=A; %让很小的数置零. B1=A1; A(A<10^-10)=0; % A1(A1<10^-10)=0; P=angle(Y).*A./B; P1=angle(Z).*A1./B1; P=unwrap(P,pi);%初相位值，以除去了振幅为零时的相位值 P1=unwrap(P1,pi); figure subplot(211) plot(f(1:N/2),A(1:N/2))%函数ffs返回值的数据结构具有对称性，因此只取前一半 hold on plot(f(1:N/2),A1(1:N/2),'r--') title('幅值频谱')

快速傅里叶变换(FFT)原理及源程序

《测试信号分析及处理》课程作业快速傅里叶变换一、程序设计思路快速傅里叶变换的目的是减少运算量，其用到的方法是分级进行运算。全部计算分解为M 级，其中N M 2log =；在输入序列()i x 中是按码位倒序排列的，输出序列()k X 是按顺序排列；每级包含2N 个蝶形单元，第i 级有i N 2 个群，每个群有12-i 个蝶形单元；每个蝶形单元都包含乘r N W 和r N W -系数的运算，每个蝶形单元数据的间隔为12-i ，i 为第i 级；同一级中各个群的系数W 分布规律完全相同。将输入序列()i x 按码位倒序排列时，用到的是倒序算法——雷德算法。自然序排列的二进制数，其下面一个数总比上面的数大1，而倒序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位仅为而得到的。若已知某数的倒序数是J ，求下一个倒序数，应先判断J 的最高位是否为0，与2 N k =进行比较即可得到结果。如果J k >，说明最高位为0，应把其变成1，即2 N J +，这样就得到倒序数了。如果J k ≤，即J 的最高位为1，将最高位化为0，即2N J -，再判断次高位；与4N k =进行比较，若为0，将其变位1，即4 N J +，即得到倒序数，如果次高位为1，将其化为0，再判断下一位……即从高位到低位依次判断其是否为1，为1将其变位0，若这一位为0，将其变位1，即可得到倒序数。若倒序数小于顺序数，进行换位，否则不变，防治重复交换，变回原数。注：因为0的倒序数为0，所以可从1开始进行求解。二、程序设计框图（1）倒序算法——雷德算法流程图

(2)FFT算法流程

傅里叶变换

研究生课程论文（作业）封面（ 2014 至 2015 学年度第 1 学期）课程名称：__________________ 课程编号：__________________ 学生姓名：__________________ 学号：__________________ 年级：__________________ 提交日期：年月日成绩：__________________ 教师签字：__________________ 开课---结课：第周---第周评阅日期：年月日东北农业大学研究生部制

积分变换在工程上的应用摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的积分变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用，并在分离变数法中对齐次方程及非齐次方程进行了区分。傅里叶变换在不同的领域有不同的形式，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科学，乃至生物医学工程等信号的研究发挥着重要的作用。关键词：傅里叶变换；偏微分方程；数字信号处理 1 概要介绍积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。——（1） 2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。 ()()()()()()?? ? ??-++=-? ? ∞ +∞ +∞ -.,200,]cos [1 其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ 当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换的对比异同 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。（时频能量守恒）。二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b 是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢b取多少才合适呢于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件,就是

快速傅里叶变换原理及其应用(快速入门)

快速傅里叶变换的原理及其应用摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用

Abstract Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used

线性调频信号短时傅里叶变换MATLAB

%%%%%%%%%% 线性调频信号%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all k=50; fs=250; n=0:1000-1; x=exp(j*pi*k*(n/fs).^2); subplot(221); plot(n/fs,real(x)); title('线性调频信号'); xlabel('时间'); ylabel('振幅'); %%%%%%%%%%%%%% 线性调频信号频谱%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P=fft(x); subplot(222); plot(n/length(n)*fs,abs(P)); title('线性调频信号频谱'); xlabel('频率'); ylabel('振幅'); %%%%%%%%%%%%%%% 短时傅立叶变换%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% N=40; NFFT=512; N1=round((1000-N)*2/N+1); w=gausswin(N); %w=hanning(N); %w=rectwin(N); %w=hamming(N); %w=blackman(N); w=rot90(w); STFT=zeros(N1,NFFT); for i=1:N1; xt=x((i-1)*N/2+1:(i-1)*N/2+N); xt=xt.*w; %加高斯窗 STFT(i,:)=fft(xt,NFFT); end fn=(1:NFFT)*fs/NFFT; tn=(1:N1)*N/2/fs; [F,T]=meshgrid(fn,tn); subplot(223); mesh(F,T,abs(STFT)); title('STFT'); xlabel('频率'); ylabel('时间');

几种时频分析综述1——傅里叶变换和小波变换

几种时频分析方法综述1——傅里叶变换和小波变换夏巨伟 (浙江大学空间结构研究中心) 摘要：传统的信号理论，是建立在Fourier 分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier 变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波变换与Fourier 变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。本文对傅里叶变换和小波变换进行了详细介绍，并用算例分析指出了两者的差别。关键词：傅里叶变换；小波变换；时频分析技术； 1 傅里叶变换（Fourier Transform ） 1 2/201 22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞ --∞∞--∞?=??=??????????→????=?=??? ∑??∑离散化(离散取样) 周期化（时频域截断） 2 小波变换（Wavelet Transform ） 2.1 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换（Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/）从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态，不能反映h （t ）在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间（比如：t ∈[a,b]）内的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数[][]11,t ,()0,t ,a b t a b χ?∈?=? ∈??，然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由于1()t χ在t= a,b 处突然截断，导致中1()()h t t χ出现了原来h （t ）中不存在的不连续，这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点， D.Gabor 在1944年引入了“窗口”傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0，然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。 22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt h t df g t G f e d T ππτττττ +∞ --∞ +∞+∞ -∞ -∞ =-=-??? ：：

短时傅里叶变换

短时距傅里叶变换(英文：short-time Fourier transform, STFT，又称short-term Fourier transform)是和傅里叶变换相关的一种数学变换关系，用以决定时变信号其局部段落之弦波成份的频率与相位。简单来说，在连续时间的例子，一个函数可以先乘上仅在一段时间不为零的窗函数(window function)再进行一维的傅里叶变换。再将这个窗函数沿着时间轴挪移，所得到一系列的傅里叶变换结果排开则成为二维表象。数学上，这样的操作可写为：其中w(t)是窗函数，通常是翰氏窗函数(Hann window)或高斯函数的“丘型”分布，中心点在零，而x(t)是待变换的信号。X(τ,ω)本质上是x(t)w(t?τ)的傅里叶变换，乃一个复函数代表了信号在时间与频率上的强度与相位。短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform，或 short-term Fourier transform)）是和傅里叶变换相关的一种数学变换，用以确定时变信号其局部区域正弦波的频率与相位。它的思想是：选择一个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数g(t)在一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，移动窗函数，使f(t)g(t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg不确定准则的限制，时频窗的面积不小于2。这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。