量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集

一、填空题

1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125

A ）。

2．

索末菲的量子化条件为（ ?=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级=n E （ ωn ）。

3．

德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍

射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ω=E ）和（ k p

= ）。

4．

三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p

ψ=（ r p i e

?2

/3)

2(1π ）， ()

()=?

+∞

∞

-*'τψψd r r p p （ )(p p

-'δ ）。 5．

动量算符的归一化本征态=)(r p ψ（

r p i e

?2

/3)2(1π ），='

∞

?τψψd r r p p )()(* （ )(p p

-'δ ）。

6．

t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i

e

x e

x ωωψψ2

522

0)(2)(--+ ）。

7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2

），几率流密度=

（

()

**2ψ?ψ-ψ?ψμ

i ）

。 8．

设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ψ中F

?的平均值为F =（ ??

dx dx F ψψψψ**? ）。

9．

波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ），

δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。

10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为

零）的状态。

11．

)i ex p()()i ex p()(),(2211t E

x t E x t x

-+-=ψψψ是定态的条件是

（ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。

14．

3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振

子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2

732

0)()(-

-+ ）。

15．

粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

（ 2

2

22a

μπ ）x a π2 ）。 16． 基态是指（ 能量最低 ）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ 2

/02

2x e N α

- ）。

17．

一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ω2

3

）、第一激发态的波函数

为（ 2

/12

22x xe N α

α- ）。

18． （ 对应于同一本征值的本征函数的数目 ）称为简并度，不考虑电子自旋

时，氢原子的第n 个能级的简并度为（ n 2 ）。 19． 一维无限深势阱第n 个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原

子的第n 个能级的简并度为（ n 2

）。

20． 一维线性谐振子第n 个能级的简并度为（ 1 ），考虑电子自旋以后，氢原

子的第n 个能级的简并度为（ 2n 2

）。

21． 氢原子的状态为),()(1223?θY r R ，角动量平方是（ 26 ）、角动量z 分量是（ ）。

22．

厄密算符F

?的定义是：对于两任意函数ψ和φ, 等式（ ??

=dx F dx F φψφψ**)?(? ）成立。 23． 力学量算符的本征值必为（ 实数 ），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。

24．

力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互（ 正交 ）。 25． 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量算符的本征函数组成（ 完全 ）系。

26．

算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在z σ表象中z σ

?=（ ???

? ??-1001 ）

。 27． 如果[G F ??，]=0，则G F ??，存在组成（ 完全 ）系的共同本征态，Z

L L

??2，的共同本征态是（ ),(?θm l Y ）。

28．

如果G F ??，存在有组成（ 完全 ）系的共同本征态，则[G F ??，]=（ 0 ），

Z

L L ??2，的共同本征态是（ ),(?θm l Y ）。 29． 对易子=],[

x

e dx

d （ x

e ），=]?,?[x y L L （ z

L i ? - ）。 30． =]?,[y p x （ 0 ），=]?,[x p x （ i ），=]?,?[y x L L （ z

L i ? ）。 31． =-],[

x

e dx

d （ x

e -- ）

。=]?,[y p y （ i ），=]?,[x p y （ 0 ）。 32．

能量与时间的测不准关系是（ ~t E ?? ），x 和x p 的测不准关系是（ 4

2____

2____

2

≥???x

p x ）。

33． 在一维情况下，若粒子处于状态),(t x ψ中，则在动量表象中的波函数为

=),(t p C （ dx e

t x px i ?+∞

∞

--ψ

),( ）。

34．

一维线性谐振子处在H ?的本征态)(x n ψ的迭加态)(5

4)(53)(4

2x x x ψψψ-=中，则在H

?表象中一维线性谐振子的波函数为+ψ=（ （0，0，3/5，0，-4/5，0,…） ）。

35．

斯特恩—革拉赫证实电子具有（ 自旋 ）角动量，它在任何方向上投影只

能取两个值（ 2 ）和（ 2

- ）。

36． x y y x σσσσ????-=（ z i σ?2 ），S S ?? ?=（ S i ?

）。 37． x y y x σσσσ????+=（ 0 ），[z

L L ?,?2]=（ 0 ）。 38． 在z s 表象中，粒子处在自旋态???? ??=ααχsin cos 中，z s =（ α2cos 2

）。 39． 在z σ表象中，粒子处在自旋态???

?

??=ααχsin cos 中，x σ=（ α2sin ）

。 40．

在z s 表象中，???? ??=

01102 x s ，则在状态???? ??=1122χ中，x s =（ 2

）。 41． 全同性原理的内容是：（ 在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换

不引起物理状态的改变 ）。

42． 泡里原理的内容是：（ 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态 ）。 43． 描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而电子体系的自

旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（反对称）的。

44． 电子是（ 费密 ）子，服从（ 费密-狄拉克 ）统计，描写电子体系的波

函数只能是（ 反对称 ）波函数。

45． 描写玻色子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数，而玻色子体系的自旋

波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。

46． 描写费密子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而费密子体系的自

旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。

47． 光子是（ 玻色 ）子，服从（ 玻色-爱因斯坦 ）统计，描写光子体系的

波函数只能是（ 对称 ）波函数。

――――――――――――――――――――――――――――――

二、计算、证明题

1．粒子在一维势场?

??<>∞+≤≤=0,,0,0)(x a x a

x x U 中运动，试从薛定谔方程出发求出

粒子的定态能级和归一化波函数.

解：当0)0(,,,0=∞→><ψU a x x

当.2?,0222ψψμψψE dx

d E H a x =-?=<<

令22 E k μ= 得 02

2

2=+ψψk dx

d kx c kx c x cos sin )(21+=ψ

0)0(=ψ ，,02=∴c kx c r sin )(1=ψ ),3,2,1(,,0sin ,0)( ===∴=n n ak ax a πψ

,22

2

22a n E n μπ =),2,1(,sin )(1

==n x a n c x πψ

a

c d a

n 2

112

=

?=?τψ 2．一粒子在一维势场()bx x x U -=

222

1

μω中运动，试求粒子的能级和归一化定态波函数（准确解）。 解：

bx x dx d H -+-=2222

2212?μωμ 2

22222222)(212μωμωμωμb b x dx d --+-= 令2μωb

x x -=' 则 2

2

22x d d dx d '

= 222

22222212μωμωμb x dx d H -'+-='

ψψμωμωψμE b x dx d =-'+-)221(2222

2222 2

2222222,212μωψψμωψμb E E E x dx d +=''='+- ),21

(+='n E n

ω),2,1,0(),()(22

2 ='=''-n x H e N x n x n n αψα

,

2)21(2

2

μωωb n E n -+=' ),2,1,0(),(2exp )(222 =-'?????

????? ??--=n b

x H b x N x n n n μωααμωαψ 3．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为

()???≥∞+<=.

,;

,000r r r r r U

试从薛定谔方程出发求粒子在s 态中的能级和定态波函数（不必归一化）。

{ 提示：在s 态中)(12

22

f r r

d d r f =? } 解：

当0)(,,0=∞→≥r U r r ψ

当().22?,222220ψψμψψμψψE r dr

d r E E H r r =-?=?-?=<

令22 E k μ= 得 0)()(2

2

2=+ψψr k r dr

d r kr c kr c r )sin cos ()(21+=ψ

)0(ψ 有限，,01=∴c kr r

c

r sin )(2=ψ

),3,2,1(,,0sin ,0)(000 ===∴=n n k r k r r πψ ,22

222r n E n μπ =

),2,1(,sin )(0

2 ==

n r r n r c r n πψ

4．粒子在一维势场()()?

??><∞+≤≤>-=a x x a x U U x U ,00000

当当中运动，试从薛定

谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。

解：1．当0)0(,,,0=∞→><ψU a x x

当.2?,002

22ψψψμψψE U dx d E H

a x =--?=<< 令20)(2 U E k +=μ 得 02

2

2=+ψψk dx

d kx c kx c x cos sin )(21+=ψ

0)0(=ψ ，,02=∴c kx c r sin )(1=ψ ),3,2,1(,,0sin ,0)( ===∴=n n ak ax a πψ

,20

2

2

22U a n E n -=μπ ),2,1(,sin )(1 ==n x a n c x πψ

a

c d a

n 2

112

=

?=?τψ 5．利用力学量算符F ?本征函数)(x n

φ的正交归一完全性，证明 2*)(?)(∑?

=n

n n c dx x F x λψψ式中，n λ为F ?本征值。 解： ,?n

n n F φλφ=∑=n

n n c φψ

=?dx x F

x )(?)(*ψψ?∑∑dx x c F x c n

n n m m

m )(?)(**φφ =dx x x c c n m m

n

n n m ?∑∑)()(**φφλ =mn m

n

n n m c c δλ∑∑* 2

∑=n

n n c λ

6．求证：如果算符F ?和G ?有一组共同本征态n φ，而且n φ组成完全系，则算符F ?和G

?对易。 解：设,?n

n n F φλφ=,?n

n n G φμφ=任一波函数ψ可展开为 ∑=n

n n c φψ

=-ψ)????(F G G F

)????(F G G F -∑n

n

n

c φ=∑-n

n

n

F G G F c

φ)????(=∑=-n

n n n n n n c 0)(φλμμλ. 0)????(=-∴F G G F

7．求证：力学量算符的属于两个不同本征值的本征态相互正交。

解：设,?k k k F φλφ=,?l l l F φλφ=当k l ≠时，l

k λλ≠. 代入 ?

?

=dx F dx F

l

k l

k φφφφ**)?(? 得 ?=-0)(*dx l k

k

l φφ

λλ.

?=∴≠-00)(*

dx l k k l φφλλ .

8．证明力学量算符的本征值必为实数。 解：

设λφφ=F

? 在 ??

=dx F dx F

φψφψ**)?(? 中 令 ψφ=

得??

=dx F dx F

ψψψψ**)?(? *

*

*

)(λλψλψλψψ

=?=∴??dx dx

9．证明：力学量在任意态中的平均值为实数。 解：

设ψ已归一化，则

?

=dx F

F ψψ?* ??

=dx F dx F φψφψ**)?(? ??==∴dx F dx F F ****)?()?(ψψψψ

?==F dx F

ψψ?*. 10．粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中的基态，设t=0时阱壁a x =突然运动

到a x 2=，求此时粒子处于基态的几率。

解：),2,1()0(,sin 2)( =≤≤=n a x x a

n a x n πψ ),2,1()20(,2sin 1)( =≤≤=

n a x x a

n a x n πφ dx a x

a x a dx x x c a

a

ππψφsin 2sin 2)()(010*

11??== =π

ππ32

4)23cos 2(cos 220=-?dx a x a x a a

2

2

1

932

π

=

c 11．设粒子的状态为??

?

???+=kx kx A x cos 21sin )(2ψ，求粒子动量和动能的可能值及相

应的几率。

解：

???

?

???????? ??++???? ??-=--222212)(ikx ikx ikx ikx e e i e e A x ψ ??

????++-+-+=--ikx ikx kx i kx i e e e e A 414141412122

??????++-+-+=--ikx ikx kx i kx i kx i e e e e e A ππππππ21

4121412141214121212220

由 ∑=12

n c 得

π1=A

??

??

??++-+-+=--p p p p x ?????ψ42

42424222)(220 ，（ k p =） 动量的可能值为p p p p --,,2,2,0，对应几率为8

1

,81,81,81,21

动能的可能值为μμμμ2,2,2,2,02222p p p p ，对应几率为81

,81,81,81,21 12．求证：i z y x =σσσ

???. 证明：

y z z y z y y z z y x i

σσσσσ

σσσσσσ????,1??),????(21?22

-===-= z y y z z y z y x i

σσσσσσσσσ

??)????(21

???-= )????????(21

z y y z z y z y i σσσσσσσσ-= )??????(2122

z y z z y z i σσσσσσ--=i i

=--=)11(21 13．求证：[y x L L ?,?]=z L i ? . 解：

[y

x L L ?,?]=()()()()y z z x z x

y z x y y x p z p y p x p z p

x p

z p z p y L L L L ????????????-----=- 3分 =z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p

y ????????+-- y z z z y x z x p z p x p y p x p z p z p y p

z ????????-++- =y z x z y z x z p zx p p y p z p x p z p zy p

????????--+ =()()[]z

z

x

y

z

z

L p z p y p x z p p

z ??,????=-- =z

L i ? 14．求证：[x L z

?,?]=y i , x x

e e dx

d ---=],[. 解：

[x L z

,?]=()()

x y x y z

z p y p x x x p y p x L x x L ??????---=- =x y x y p yx p x x p y p

x ????22+-- =y i x p p x y p yx x p

y x x x x =-=+-)??(??

ψψψdx

d

e e dx d e dx d x x x ----=)(],[

ψψψψx x x x e dx

d

e dx d e e -----=-+-=

x x e e dx

d

---=∴],[

15．求?

??-= i L z

?的本征值和归一化本征态。 解：

?=)()(??ψ?ψz z L L )()(?ψ?ψ?z

L i d d = ??ψz L i ce

=)(

,2,1,0,)(,)2()(===?+=m e m L im z ??ψπ?ψ?ψ

?=

?=π

π

??ψ20

2

211)(c d

16．在z S 表象中，(1)求出x S ?的本征值和本征态; (2)求在态???

? ??ααsin cos 中测得2 =x S 的几率。

解：

（1） ???? ??=01102? x S 2

,2,1001

1021

-==

∴±=?=--x x S S λλ

λ 对应的本征为：???? ??=11221χ ， ???

?

??-=11222χ （2） ???

? ??ααsin cos ????

??=+1122a ???? ??-+-1122a +

-???? ??-=1122a 2/)2sin 1(),sin (cos 2

2sin cos 2

ααααα-=∴-=???? ??-a 17．设M L K

???=，[M L ?,?]=1，?为K ?的本征态，对应的本征值为λ。求证：?L u ?=也是K

?的本征态，并求出对应的本征值。 解：λ??=K

? 1????1]?,?[-=∴=M L L M M L ， u L L L

L K L L M L L M L L L M L L K u K

)1(?)1(?????????)1??(???????-=-=--=-=-===λ?λ?λ????????

所以，?L

u ?=也是K ?的本征态，对应的本征值为（1-λ） 18．一维线性谐振子处于基态()222

1

2

1x e

x απ

αψ-=

，求该谐振子的动量处于

dp p p +~内的几率。

（提示：2

2

π

=?+∞

-dx e x ）

解：

dx ipx x dx c p

p ??+∞

∞

-+∞

∞

-???? ??--=

=

2exp 2122*

απ

απψψ =dx ip x e p ?+∞

∞--

??????????? ??+-2

2222ex p 212

22

ααπ

α

πα =

α

π

π

απα

2212

2

p e -

dp p p +~内的几率为

dp e

dp c p p α

πα 2

22

2

-=

19．一维线性谐振子处于基态()22212

1x e x απαψ-=，求该谐振子在动量表象中的波函数。（ 提示：2

2

π

=

?+∞

-dx e x ）

解：

dx ipx x dx p c p

??+∞

∞

-+∞

∞

-???? ??--=

=

2exp 21)(22*απ

απψψ =

dx ip x e p ?+∞

∞--

???

???????? ??+-2

2222ex p 212

22

ααπ

α

πα =α

π

παπα2212

222

p e -

=

2

21

απαp e

-

20. 在z σ表象中，(1)求出x σ?的本征值和本征态; (2)求在态???

?

??ααs in co s 中测得

1-=x σ的几率。

解：

（1） ???

? ??=0110?x σ

1,1,10011

021-==∴±=?=--x x σσλλ

λ

对应的本征为：???? ??=

11221χ ， ???

? ??-=11222χ （2） ???

? ??ααsin cos ???

?

??=+

1122a ???? ??-+-1122a

+

-???

? ??-=1122a 2/)2sin 1(),sin (cos 22sin cos 2ααααα-=∴-=???

? ??-a 21．设氢原子的状态为()()()()?

??

?

? ???=?θ?θψ,,2101131112Y r R c Y r R ，求： （1）能量，z z S L 、的可能值和相应几率； （2）能量，z z S L 、的平均值。 解： 由12122

=+??

?

??c 得，432=c .

()()()()???? ??+???? ??=????

? ???=100121,,2101311201131112ψψ?θ?θψc Y r R c Y r R . 能量有两种可能值,2428 s e E μ-=, 2

4318

s e E μ-=,相应几率分别为43

,41; z L 有两种可能值, =z L , 0=z L ,相应几率分别为4

3

,41;

z S 有两种可能值,2/ =z S , 2/ -=z S ,相应几率分别为4

3

,41;

41824?-= s e E μ431824?- s e μ=2

4

967 s e μ-

4

=z L

4

-=z S

22．设氢原子的状态为

),()(2

3

),()(11120223?θ?θψ-+

?=Y r R Y r R c ， 求：（1）氢原子能量、角动量平方、角动量z 分量的可能值和相应几率； （2）氢原子能量、角动量平方、角动量z 分量的平均值。 解：

由1232

2

=???

? ??+c 得，412=c . (1)

能量有两种可能值, 24318 s e E μ-=,2

428

s e E μ-=相应几率分别为43

,41; 2L 有两种可能值,226 =L , 222 =L ,相应几率分别为43

,41;

z L 有两种可能值,0=z L , -=z L ,相应几率分别为4

3

,41;

(2) 411824

?-= s e E μ43

824?- s e μ=2

428831

s e μ- 22223243

641 =?+?=L

4

3

-=z L

23．设氢原子的状态为()()()()??

???

?

??=-?θ?θψ,23,2101131

112Y r R Y r R ，，求： （1）能量E ，轨道角动量z 分量、z L 自旋角动量z 分量z S 的可能值和相应几率； （2）能量E ，轨道角动量z 分量、z L 自旋角动量z 分量z S 的平均值。 解：

()()()()???? ??+???? ??=?????? ??=--100121,23,2101311201131112ψψ?θ?θψc Y r R Y r R . (1)

能量有两种可能值,2428 s e E μ-=, 2

4318

s e E μ-=,相应几率分别为43

,41; z L 有两种可能值, -=z L , 0=z L ,相应几率分别为4

3

,41;

z S 有两种可能值,2/ =z S , 2/ -=z S ,相应几率分别为4

3

,41;

(2) 41824?-= s e E μ431824?- s e μ=2

4

967 s e μ-

4 -=z L

4

-=z S

24．设氢原子的状态为()()()()???

?

? ??-

=-?θ?θψ,23,11141113Y r R Y r CR ，求： （1）能量，z z S L 、的可能值和相应几率； （2）能量，z z S L 、的平均值。

由1232

2=???

?

??-+c 得，412=c . ()()()()???

? ??-???? ???=???

??

??-?=--102301,23,11411311141113ψψ?θ?θψc Y r R Y r R c . (1)

能量有两种可能值,24

318 s e E μ-

=, 2

4

332

s e E μ-

=,相应几率分别为43

,41; z L 有两种可能值, =z L , -=z L ,相应几率分别为4

3

,41;

z S 有两种可能值,2/ =z S , 2/ -=z S ,相应几率分别为4

3

,41;

(2) 411824?-= s e E μ433224?- s e μ=24

115243 s e μ-

2

-=z L

4

-=z S

25．一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级()()()030201E E E 、、，假设微扰矩

阵为：???

?

?

??='b a b a b H 0000 ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正.

解：

)0()

0(2)

0(m

n

n m

m

n n

n n E

E

H H E E -''+'+=∑, (n=1,2,3)

)0(3)0(12

)0(1

1E E a b E

E -++=

b E E +=)

0(22

b E

E +=)

0(3

3)

0(1

)0(32

E E a -+ 26．一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级()()()030201E E E 、、，假设微扰矩

阵为：????

?

??='00000a b a b H ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正。 解：

)0()

0(2)

0(m

n

n m

m

n n

n n E

E

H H E E -''+'+=∑, (n=1,2,3)

)

0(3)0(12

)0(1

1E E b E

E -+= )

0(3)0(22

)

0(2

2E E a E E -+= )0(1)0(32)0(3

3E E b E

E -+=)

0(2

)0(32

E E a -+ 27．一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级()()()030201E E E 、、，假设微扰矩

阵为：???

?

? ?

?='3210

000a b a b a H ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正。 解：

)0()

0(2)

0(m

n

n m

m

n n

n n E

E

H H E E -''+'+=∑, (n=1,2,3)

)

0(3)0(12

1)0(1

1E E b a E

E -++= 2)

0(22a E E +=

3)

0(3

3a E

E +=)

0(1)0(32

E E b -+

28．一量子体系没有受微扰作用时有三个非简并能级()()()030201E E E 、、，假设微扰

矩阵为：???

?

?

?

?='*

*000

00

b a b a H ，试用微扰论计算体系的能级至二级修正。 解：

)

0()0(2

)

0(m

n n m

m

n n

n n E E H H E E -''

+'+=∑, (n=1,2,3)

)0(3

)

0(1

2

)0(11E E

a E E -+

= )

0(3)0(22

)

0(22E E b E E -+

=

)

0(1

)

0(3

2

)0(33E E a

E E -+

=)0(2

)0(3

2

E

E b

-+

29．在一维无限深势阱a x ≤≤0中运动的粒子，受到微扰作用后，势能为?

??<>∞+≤≤=0,,0,)(x a x a

x bx x U （b 为小常量），试用微扰论计算粒子的能级至一级修正。

解：??

?<>≤≤='0,,00,)(?x a x a x bx x H 3,2,1,sin 2)(,2)

0(2

222)0(===n x a n a x a

n E n n πψμπ )1()

0(n

n

n E

E

E +=dx x H x a n n n a

)(?)(2)0(*)0(0

2222ψψμπ'+=? dx a x n x x a b a n a

???

??-+=?πμπ2cos 20

2222 3,2,1,222

222=+=n ab a

n μπ

量子力学选择题1

量子力学选择题 (1)原子半径的数量级是： A．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m (2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为： A．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n (3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为： A.R/4 和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R (4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为： A．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e (5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是： A．13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V; C.13.6V和3.4V; D. –13.6V和-3.4V (6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则： A.可能出现10条谱线，分别属四个线系 B.可能出现9条谱线，分别属3个线系 C.可能出现11条谱线，分别属5个线系 D.可能出现1条谱线，属赖曼系 (7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线，则至少需提供多少能量（eV）? A.13.6 B.12.09 C.10.2 D.3.4 (8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？ A.1 B.6 C.4 D.3 (9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为: A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV (10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）； A.3 B.10 C.1 D.4 (11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的： A.1/10倍 B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍 (12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的

量子力学考试题

量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0

（a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2ηω［1001-］+2ην［0110］＝2η［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2η λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2η22νω+，E 2＝2η 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2η［ω+ων22］，E 2 ＝2η ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ωη21± ，取E 1（0）＝-ωη21，E 2（0） ＝ωη21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为

喀兴林高等量子力学习题6、7、8

练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）

) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P

高等量子力学复习题

上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。

高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)

2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2

量子力学课后答案第一二章

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。

高等量子力学习题.

高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学试题

量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n m a E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???? ???????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-= 能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为

()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20=+= α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 '2 32ψψψψ== 得到 ()() a B ka Ak a B ka A ααα--=-=exp cos exp sin 于是有 α k ka -=tan 此即能量满足的超越方程。 当02 1 V E -=时，由于 1t a n 00 0-=-=??? ? ?? mV mV a mV

量子力学习题答案

量子力学习题答案

2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为

由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得

∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中

量子力学课后习题答案

第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ， 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为

量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、

第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε

量子力学练习题

第 五 篇 第 一 章 波粒二象性 玻尔理论 一、选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ必须满足： [ A ] (A) 0eU hc ≤ λ (B) 0 eU hc ≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ 解：红限频率与红限波长满足关系式hv 0= λhc =eU 0，即0 0eU hc = λ 0λλ≤才能发生光电效应，所以λ必须满足0 eU hc ≤ λ 2. 在X 射线散射实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0 为 [ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0 解： λ εhc = ，0 0λεhc = ，02.1λλ= ，所以 2.10 0==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为 铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管，在这些材料中应选 [ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍 解：可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到： 1419 34 )(01086.101063.610 6.15.4?=???= --钨ν(Hz) 1419 34 )(01007.121063.610 6.10.5?=???= --钯ν(Hz) 1419 34 ) (01059.41063.610 6.19.1?=???= --铯ν(Hz) 1419 34 )(01041.91063.610 6.19.3?=???= --铍ν(Hz) 可见应选铯

吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料

高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符

()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h

量子力学教程课后习题答案高等教育

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

高等量子力学考试知识点

1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v

7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符

量子力学选择题库

量子力学选择题 1.能量为100ev 的自由电子的DeBroglie 波长是A A.1.2 A 0.B.1.5A 0.C.2.1A 0.D.2.5A 0 . 2.能量为0.1ev 的自由中子的DeBroglie 波长是 A.1.3 A 0 .B.0.9A 0 .C.0.5A 0 .D.1.8A 0 . 3.能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的DeBroglie 波长是 A.1.4A 0 .B.1.9?10 12 -A 0 .?1012-A 0 .D.2.0A 0 . 4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的DeBroglie 波长是 A.8 A 0.B.5.6A 0.C.10A 0.D.12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量m 为（ ,2,1,0=n ）A A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω .C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其DeBroglie 波长是 A.5.2 A 0.B.7.1A 0.C.8.4A 0.D.9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500 A 0 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25?1018-J. B.1.25?1018-J. C.0.25?1016-J. D.1.25?1016 -J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc .B. 22μc .C. 22 2μc .D. 22μc . https://www.wendangku.net/doc/ab7449721.html,pton 效应证实了 A.电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A.????电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱 U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥???000中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C x a =描写，其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4 a . 12.设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为D A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ 2 ()x .D.δ2()x dx . 13.设粒子的波函数为ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为C A. ψ(,,)x y z dxdydz 2 .B.ψ(,,)x y z dx 2 .C.dx dydz z y x )),,((2 ??ψ.D.dx dy dz x yz ψ(,) ???2 . 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为D

量子力学教程第二版答案及补充练习

第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ