几何发展简史

论文：数学的发展简史

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几何学发展简史

几何，英文为Geometry ，是由希腊文演变而来，其原意是土地测量。“依据很多的实证，几何是埃及人创造的，并且产生于土地测量。由于尼罗河泛滥，经常冲毁界限，这样测量变成了必要的工作。无可置疑的，这类科学和其它科学一样，都发生于人类的需要。”（引自[1]）。明代徐光启（1562~1633）和天主教耶酥会传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552~1610）翻译欧几里得的《几何原本》时将Geometry一词译为几何学。

几何学是研究形的科学，以视觉思维为主导，培养人的观察能力、空间想象能力与空间洞察力。几何学最先发展起来的是欧几里得几何。到17世纪的文艺复兴时期，几何学上第一个重要成果是法国数学家笛卡儿(R..descartes，1596~1650）和费马（P.de Fermat，1601~1665）的解析几何。他们把代数方法应用于几何学，实现了数与形的相互结合与沟通。随着透视画的出现，又诞生了一门全新的几何学——射影几何学。到19世纪上半叶，非欧几何诞生了。人们的思想得到很大的解放，各种非欧几何、微分几何、拓扑学都相继诞生，几何学进入一个空前繁荣的时期。

1 从欧几里得几何到非欧几何

欧几里得（Euclid，约公元前330~275）的《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。公元7世纪以前的所谓几何学，都只限于一些具体问题的解答，并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的。当积累起来的几何知识相当丰富时，把这一领域的材料系统地整理，并阐明它们的关系，就显得十分必要了。由于几何学本来的对象是图形，研究它必然要借助与空间的直观性。但是直观性也有不可靠的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性，建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。欧几里得就是在这种思想的基础上，编著完成了他的《几何原本》。

《几何原本》的第一卷是全书逻辑推理的基础，给出全书最初出现的23个定义，5条公设，5条公理：

定义

（1）点没有部分。

（2）线有长度，而没有宽度。

（3）线的界限是点（注：《几何原本》中没有伸展到无穷的线）。

（4）直线是同其中各点看齐的线。

（5）面只有长度和宽度。

（6）面的界限是线。

（7）平面是与其上的直线看齐的面。

（8）平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。

（9）当形成一角的两线是一直线时，这个角叫做平角。

（10）~（22）（略）（是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义）。

（23）平行直线是在同一个平面内，而且往两个方向无限延长后，在这两个方向上都不会相交的直线。

关于几何的基本规定的5条公设：

（1）从每个点到每个其它的点必定可以引直线。

（2）每条直线都可以无限延伸。

（3）以任意点作中心，通过任何给定的点另一点，可以作一个圆。

（4）所有的直角都相等。

（5）同平面内如有一条直线与另两条直线相交，且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角，则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。

关于量的基本规定的5条公理：

（1）等于同量的量相等；

（2）等量加等量，总量相等；

（3）等量减等量，余量相等；

（4）彼此重合的量是全等的；

（5）整体大于部分。

欧几里得在此基础上运用逻辑推理，导出了许许多多的命题（在《几何原本》中包含了465个命题），从而构成了欧几里得几何学。

由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图，因此这两件仪器被称为欧几里得工具，使用它们可以完成的作图称为欧几里得作图，即尺规作图。这种作图增加了几何学的趣味性。人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题：

（1）倍立方问题：求作一个立方体，使体积为已知立方体的二倍；

（2）三等分角问题：三等分一个（任意的）已知角；

（3）化圆为方问题：求作一个正方形，使其面积为已知圆的面积。

尽管是徒劳的，但从各方面推动了数学的发展。

将公设、公理分开是从亚里士多德开始的，现代数学将公设、公理都叫做公理。第五条公设与“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线不相交（平行）”相等价。现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理。

自《几何原本》问世以来，直到19世纪大半段以前，数学家一般都把欧几里得的著作看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看出了其中的严重缺点，并设法纠正。首先，欧几里得的定义不能成为一种数学定义，完全不是在逻辑意义下的定义，有的不过是几何对象的直观描述（比如点，线，面等），有的含混不清。这些定义在后面的论证中根本是无用的。其次，欧几里得的公设和公理是远不够的。因而在《几何原本》中许多命题的证明不得不借助直观，或者无形中引用了欧几里得的5个公理之外的公设或公理的东西。

针对欧氏几何的上述缺陷，数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷。到19世纪末，德国数学家希尔伯特（D. Hilbert，1862~1943）于1899年发表了《几何基础》，书中成功地建立了欧几里得几何的一套完整的公理系统。首先他提出了8个基本概念，其中三个是基本对象：点、直线、面；5个是基本关系：点属于（或关联）直线，点属于（或关联）平面，一点在两点之间，两线段合同，两角合同。这些基本概念应服从5组公理：关联公理；顺序公理；合同公理；连续公理；平行公理。（参见[2]或[3]）。

另外，人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题，即平行公理可否能用其它公理推导出来。虽然有很多学者（包括一些很有名的数学家）曾宣称已经证明平行公理能用其它公理推导出来，但最后发现这些论证都是不正确的。于是从意大利数学家Saccheri （1733）开始，人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的，即它不能从其它公理推导出来。罗巴切夫斯基（Лобачевский,Н.И.，1792~1856）和波尔约（J，Bolyai，1802~1860）分别在1829年和1832年独立地用平行公理的反命题，即用“过给定直线外一点，存在着至少两条直线与给定的直线不相交”来代替欧几里得平行公理，并由这套新的体系演绎出一套与欧几里得几何迥然不同的命题，但并没有导致任何的矛盾，非欧几何就这样产生了。但是要人们真正信服这种纯理性的几何体系，还是应该将这种“虚”的几何学真正地构造出来，即提供这种“虚”几何的现实模型。19世纪70年代，德国数学家克莱因（F. Klein，1849~1925）提出了Klein模型，庞加莱（J．H．Poincare，1854~1912）提出了上半平面Poincare模型。

这些模型都能将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来。这样的非欧几何叫做双曲几何。

另一种非欧几何的发现者是德国数学家黎曼（G.F.B. Riemann, 1826~1866）。那是他在1854年讨论无界和无限概念时得到的成果。欧几里得的第二条公设说：直线可以无限延长。但是，并不定蕴涵着直线就长短而言是无限的，只不过是说它是无端的或无界的。例如，连接球面上两点的大圆的弧可被沿着该大圆无限延长，使得延长了的弧无端，但确实就长短而言它不是无限的。将欧几里得的公设（1），（2）和（5）作如下的修正：

（1）两个不同的点至少确定一条直线；

（2）直线是无界的；

（3）平面上任何两条都相交。

就可得到一种相容的几何学，称为黎曼的非欧几何（椭圆几何）。这样的几何可以在球面上实现。

由于罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何的发现，几何学从传统的束缚中解放出来了，从而为大批新的、有趣的几何的发展开辟了广阔的道路，并有广泛的应用，如：在爱因斯坦发现的广义相对论中，用到黎曼几何；由1947年对视空间（从正常的有双目视觉的人心理上看到的空间）所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基的双曲几何来描述。

如果实数系是相容的，则可以证明以上几种几何的公理系统都是各自相容的、独立的，但都不是完全的。然而奥地利数学家哥德尔（K. Godel, 1906~1978）证明了“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，存在F中的不可判定命题。”及“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明。”因而想证明数学的内部相容性问题也就无望了。

2 解析几何的诞生

欧氏几何是一种度量几何，研究的是与长度和角度有关的量的学科。它的方法是综合的，没有代数的介入，为解析几何的发展留下了余地。

解析几何的诞生是数学史上的一个伟大的里程碑。它的创始人是17世纪的法国数学家笛卡儿和费马。他们都对欧氏几何的局限性表示不满：古代的几何过于抽象，过多地依赖于图形。他们对代数也提出了批评，因为代数过于受法则和公式的约束，缺乏直观，无益于发展思想的艺术。同时，他们认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理，而代数学能用来对抽象的未知量进行推理，是一门潜在的方法科学。因此，把代数学和几何学中的精华结合起来，取长补短，一门新的学科——解析几何诞生了。

解析几何的基本思想是用代数方法研究几何学，从而把空间的论证推进到可以进行计算的数量层面。对空间的几何结构代数化，用一个基本几何量和它的运算来描述空间的结构，这个基本几何量就是向量，基本运算是指向量的加、减、数乘、内积和外积。向量的运算就是基本几何性质的代数化。

将几何对象数量化需要一座桥，那就是“坐标”。在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这座桥，在平面上的点和有序实数对(x,y)之间建立一一对应的关系。每一对实数(x,y)都对应于平面上的一个点；反之，每一个点都对应于它的坐标(x,y) 。以这种方式可以将一个代数方程f(x,y)=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。

借助坐标来确定点的位置的思想古来有之，古希腊的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga,约公元前262~190）关于圆锥曲线性质的推导；阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究，都蕴涵着这种思想。解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆(N.Oreseme,1323?-1382)，他在《论形态幅度》这部著作中提出的形态幅度原理（或称图线

原理），甚至接触到函数的图像表示，在此，他借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来描述他的图线，相当于横坐标和纵坐标。

到了16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。这就迫切地需要一种新的数学工具，导致了变量数学即近代数学的诞生。笛卡儿1637年发表了著名的哲学著作《更好地指导推理与寻求科学真理的方法论》，该书有三个附录：《几何学》、《折光学》和《气象学》，解析几何的发明包含在《几何学》这篇附录中。

笛卡儿的出发点是一个著名的希腊数学问题——帕普斯问题：

费马和笛卡儿研究解析几何的方法是大相径庭的，表达形式也截然不同：费马主要继承了希腊人的思想。尽管他的工作比较全面系统，正确地叙述了解析几何的基本思想，但他的研究主要是完善了阿波罗尼奥斯的工作，因此古典色彩很浓，并且沿用了韦达以字母代表数类的思想，这就要求读者对韦达的代数知识了解甚多。而笛卡儿则是从批判希腊的传统出发，决然同这种传统决裂，走的是革新古代方法的道路。他的方法更具一般性，也适用于更广泛的超越曲线。费马是从方程出发来研究它的轨迹；而笛卡儿则从轨迹出发建立它的方程。这正是解析几何中一个问题的正反两个方面的提法。但各有侧重，前者是从代数到几何，而后者是从几何到代数。从历史的发展来看，后者更具有突破性（见[5]）。

解析几何解决的主要问题是（见[6]）：

（1）通过计算解决作图问题。例如，分线段成已知比例。

（2）求具有某种几何性质的曲线或曲面的方程。

（3）用代数方法证明新的几何定理。

（4）用几何方法解代数方程。例如，用抛物线与圆的交点解三次和四次代数方程。

解析几何的诞生具有以下的伟大意义（见[6]）：

（1）数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转为以代数和分析为主导的数学。

（2）以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础。

（3）使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数量化。

（4）代数的几何化和几何的代数化，使人类摆脱了现实的束缚，带来了认识新空间的需要，帮助人类从现实世界进入虚拟世界：从3维空间进入到更高维的空间。

3 十八、十九世纪的几何

对于几何学，十八世纪数学家们着眼于分析方法的应用，及与此相联系的坐标几何的发展。虽然早先已有部分结果，但微分几何形成为独立的学科主要是在十八世纪。

伯努利兄弟以及欧拉、拉格朗日等在确定平面曲线曲率、拐点、渐伸线、渐屈线、测地线及曲线簇包络等方面做出许多贡献；蒙日自1771年起发表的一系列工作，则使微分几何在十八世纪的发展臻于高峰。

解析几何的基本课题是对称的坐标轴概念、平面曲线的系统研究等。帕伦于1705年、1713年将解析几何推广至三维情形，该项工作被克莱罗所继续。解析几何突破了笛卡儿以来作为求解几何难题的代数技巧的界限。

对综合几何的兴趣直到十八世纪末才被重新唤起，这主要归功于蒙日的《画法几何学》。蒙日指出画法几何只是投影几何的一个方面，这促进了更一般的投影几何学与几何变换理论的发展。投影几何在十九世纪整整活跃了一个世纪，而几何变换则已成为现代几何学的基本概念。

十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。它们所蕴含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。

十九世纪最富革命性的创造当属非欧几何。自古希腊时代始，欧氏几何一直被认为是客观物质空间惟一正确的理想模型，是严格推理的典范。16世纪后的数学家在论证代数或分析结果的合理性时，都试图归之为欧氏几何问题。

但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持久的关注，以弄清它和其他公理、公设的关系。这个烦扰了数学家千百年的问题，终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决。高斯在1816年已认识到平行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明，得到在逻辑上相容的非欧几何，其中平行公设不成立，但由于担心受人指责而未发表。

1825年左右，波尔约和罗巴切夫斯基分别得到同样的结果，并推演了这种新几何中的一些定理。罗巴切夫斯基1829年的文章《论几何基础》是最早发表的非欧几何著作，因此这种几何也称为罗巴切夫斯基几何。这项发现的技术细节是简单的，但观念的变革是深刻的，欧氏几何不再是神圣的，数学家步入了创造新几何的时代。

非欧几何对人们认识物质世界的空间形式提供了有力武器，但由于它背叛传统，创立之初未受到数学界的重视。只是当高斯有关非欧几何的通信和笔记在他1855年去世后出版时，才因高斯的名望而引起数学家们的关注。

十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何。1822年，彭赛列发表《论图形的射影性质》，这是他1813～1814年被俘关在俄国时开始研究的总结。他探讨几何图形在任一投影下所有截影共有的性质，他的方法具有象解析几何那样的普遍性。1827年左右，普吕克等人引进齐次坐标，用代数方法研究射影性质，丰富了射影几何的内容。

对纯几何问题兴趣的增长，并未减弱分析在几何中的应用。高斯从1816年起参与大地测量和地图绘制工作，引起他对微分几何的兴趣。1827年他发表的《关于曲面的一般研究》，为这一数学分支注入了全新的思想，开创了微分几何的现代研究。

参考书目

[1]КостинВ.И.，几何学基础，苏步青译，商务印书馆，1956

[2]沈纯理等，经典几何，科学出版社，2004

[3]郑崇友等，几何学引论（第二版），高等教育出版社，2005

[4]李文林，数学史概论（第二版），高等教育出版社，2002

[5]吴文俊主编，世界著名数学家传记，科学出版社，2003

[6]张顺艳，数学的美与理，北京大学出版社，2004