机器人避障问题
机器人避障问题
摘要
本文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题，主要研究在一个存在12个障碍物的区域中，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点两种情形，要得出机器人到达目标点的最短路径，我们将路径分为两个部分组成：一部分是平面上的自然最短路径（即直线段），另一部分则是限定区域（即圆弧）。
针对问题一，我们将直线和圆弧组成的路径作为机器人行走的最短路径，因此我们建立了线圆结构并构造直角三角形，运用勾股定理与两点之间的距离建立相应方程，无论多么复杂的路径，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。我们利用线圆结构方法对机器人到达目标点的每一条路径进行分解，然后把几条最短路径采用穷举法列举出来，通过比较得出最优路径分别为（详细的坐标路线见模型的建立于求解部分）：
1076.6094 2602.3058O A O B O C O A B C O →→→→→→→的最短路径的总距离为471.0372，的最短路径的总距离为845.7001，的最短路径的总距离为，
的最短路径的总距离为。
针对问题二，要求得机器人从O(0，0)到达A 点的最短时间路径，由题意我们知道机器人的直线行走速度是一定的，所以我们考虑到增加机器人转弯时的转弯半径，从而增加转弯速度，相应的O A →长度也发生了变化。针对这个问题我们根据机器人的最大转弯速度与问题一的分析，通过Matlab 计算可得当12ρ=时，机器人从O 点出发到A 的时间最短为94.6001秒。
关键词：线圆结构 勾股定理 穷举法 最优路径 机器人避障
—、问题重述
1.1 背景分析
机器人是整合控制论、机械电子、计算机、材料和仿生学的产物。在工业、医学、农业、建筑工业甚至军事领域中均有重要用途。现在。，国际上对机器人是靠自身动力和控制能力来实现各种功能的一种机器。联合国标准化组织采纳了美国机器人协会给机器人下的定义：“一种可编程和多功能的操作机；或是为了执行不同的任务而具有可用电脑改变和可编程动作的专门系统。”
在科技界，科学家会给每一个科技术语一个明确的定义，但机器人问世已有几十年，机器人的定义仍然仁者见仁，智者见智，没有一个统一的意见。
机器人是虽然外表不像人，也不以人类的方法操作，但可以代替人力自动工作的机器。后来美国著名科普作家艾萨克.阿西莫夫为机器人提出了三条原则，即“机器人三定律”：第一定律——机器人不得伤害人，或任何人受到伤害而无所作；第二定律——机器人应服从人的一切命令，但命令与第一定律相抵触时例外；第三定律——机器人必须保护自身的安全，但不得与第一、第二定律相抵触。这些“定律”构成了支配机器人行为的道德标准，机器人必须按人的指令行事，为人类生产和生活服务
1.2 问题的提出
题中给出的是一个800×800的平面场景图，在原点O（0,0）点处有一个机器人，它只能在该平面场景活动范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物。
在图中的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标（要求目标与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧式机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最小距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。
机器人直线行走的最大速度为v0=5个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯
速度为2
0100.1()1v v v e
ρρ-==
+，其中ρ是转弯半径。如超过该速度，机器人将发生
侧翻，无法完成行走。
现要建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图4个点O(0，0), A(300，300), B(100，700), C(700，640),具体计算：
（1）机器人从O(0，0),出发，O →A 、O →B 、O →C 和O →A →B →C →O 的最短路径。
（2）机器人从O （0,0）出发，到达A 的最短时间路径。
二、问题分析
2.1 问题一的分析
针对问题一，我们要求定点O （0,0）按照一定的行走规则绕过障碍物到达目标点的最短路径。根据题目我们从O —A 点考虑到了两种最短路径，O —B 点我们考虑了三条途径，O —C 点我们考虑了六条最短路径，通过计算每一条路径我们得出最优路径。由于机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，所以我们采用线圆结构方法并对路径构造出一个直角三角形，再利用勾股定理以两点之间的距离公式建立相应的方程，得到每个坐标的断点与切点，最终运用Matlab 得出机器人到达目标点的最短路径。
2.2 问题二的分析
针对问题二，要求机器人从O （0,0）出发，到达A 的最短时间路径。由题目已知条件我们知道机器人的转弯速度与直线行走的最大速度，在不能增加直线行走速度的情况下，我们考虑增加机器人的转弯半径。当圆的半径从10慢慢增大时，O 到A 的时间会变化，当圆的半径增加到某个临界值时，即可求得最短时间，从而得出最短时间路径。
三、模型的假设与符号的说明
3.1 模型的假设
（1）假设机器人在行走过程中不会出现故障
(2) 假设机器人不会与障碍物发生碰撞
=5个单位/秒
(3) 机器人直线行走的最大速度为v
(4) 机器人只在限定的平面场景中行走
（5）假设机器人能够抽象成点来处理
（6 ）机器人在直线段路径中一直保持最大行走速度
（7) 机器人转弯时不会发生侧翻
(8) 机器人不会折线走
符号诠释
（x, y）点的坐标
L 路径的长度
d第i行段切线的长度
i
l第j段圆弧的长度
i
r转弯半径
f拉力
k障碍物上的任意点与行走路径之间的最
短距离
表3-1 符号说明表
四、模型的建立及求解
4.1 模型I的建立
针对问题一要得出机器人到达目标点的最短路径，首先我们要知道每个点的坐标，在有障碍物的情况下，机器人将沿圆的圆弧行走，即机器人到达每一个目标点都是由若干段线段以及若干个圆弧构成的。将机器人从O（0，0）到达
目标点分为几小段，将每一小段上已知的两个坐标与圆弧的圆心连接起来，从而构造出一个直角三角形，我们设两个点的坐标分别为（a 1,b 1、（a 2,b 2）、、、所以、切点坐标为（x,y ），两条变的长度分别为m 、l ，如下图4-1所示。
(11,a b ) l (,)x y
图4-1 构造直角三角形示意图
由图中构造的三角形，运用勾股定理我们可以得出：
m =
则l =由此我们可以根据两点的距离公式，推导得出以下方程组：
222
22222
11()()()()x a y b r
x a y b l
?-+-=??-+-=?? 由此图中各点的坐标都是已知的，针对每一条路径所经过的点与障碍物的坐标，运用Matlab 软件编程把每一组数据代入方程组即可计算出每条路径相应切点的坐标（详见附件）。
4.1.1 模型准备 1
定理：具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的自然最短路径（即直线段），另一部分是限定区域的部分边界， 这两部分是由相切的，互相连接的。
有了上述定理，我们就可以这样认为，起点到终点中间无论障碍物有多少，最短路径都应该是若干个线圆结构所组成。在本题中存在障碍物的状况，且障碍物在拐点处的危险区域是一个半径为10个单位的圆弧，所以结合上面定理，我们易知，求两点之间的最短路径中的转弯半径我们应该按照最小的转弯半径来算才能达到最优。
下面分析我们在题目中将会碰到的线圆结构：
图4-4线圆结构
1）如图，设A 11(,)x y 为起点，B 22(,)x y 为目标点，C 33(,)x y 和D 44(,)x y 分为机器人经过拐点分别于隔离危险线拐角小圆弧的切点，圆心为O(x 5,y 5),圆的半径为
r,AB
的长度为
a,AO
的长度为
b,BO
的长度为
c,角
,,,.AOB AOC BOD COD ACDB αβγθ∠=∠=∠=∠=求的长度。
解法如下：
求ACBD 的长度，设为L,如上图可得以下关系:
a b c ?=??
=??
=??
222
=arccos()
2=arccos
b c a AOB bc r
b αβ+- 在中：在Rt AOC 中：
=arccos =2---r
Rt BOD c
r γθπαβγ
θ
?⊕
在中：所以：从而可得：
（2）而对于下面两种情况我们不能直接采用线圆的结构来解决，需要做简单的变换。
① 情况一
图4-5 线圆结构
我
们假设两圆
心坐标分别
为
'11223312312
3(,)(,),,2
2
O x y O x y r M x y x x x y y y +?=???
+?=??和半径均为，点坐标为（），那么我们很容易可以求得： 这样我们就可以利用1）中的方法，先求出A 到M,再求M 到B, 这样分两段就可以求解。同理如果与更多的转弯，我们同样可以按照此种方法分解。 ②情况二:
图4-6线圆结构
这里我们依然设圆心坐标分别为O 1122(,)(,)x y O x y '和,半径均为r ，这样我们可以的到： 21
001
z y y K x x --=
那么OO ｀直线方程为：
0011()y k x x y '=-+
因为公切线DE 与OO ｀平行，那么DE 的直线方程可表示为：
0011()y k x x y c '=-++
其中：C =
那么把公切线的方程与圆的方程联立，可以求得切点D 和E 的坐标。这样用D 和E 的中点分为分割点都可以讲上图分割成两个图4.1.3所示的线圆结构，这样就可以对其进行求解。用同样的方法可以进行分割。 4.1.2模型准备2
对于从起点经过若干点然后在到达目标点的状况，因为不能走折线路径，我们就必须考虑在经过路径中的一个目标点时转弯的状况。为了研究这个问题的方便，我们先来证明本文中的一个猜想：
猜想、；如果一个圆环可以绕着环上一个定点转动，那么过圆环外两定点链接一根绳子，并与该圆环为支撑拉紧绳子，达到平衡状态时，圆心与该顶点以及两条切线的延长线的交点共线。
证明：如图4-7所示，E 点就是圆环上的一个顶点，ACDB 就是拉紧绳子，
212,,O E O 就是切线AC 和BD 的延长线的交点，证明O 三点共线。
用力学的知识进行证明，因为是拉紧的绳子，所以两边的绳子拉力相等，
设为,F ,它们的合力设为01F F ，
定点对圆环的作用力设为。
由几何的知识可以知道12O F O O
一定与共线，而又由力的平衡条件可知：
01F F =-
即12212O O EO O E ，
与共线。从而和O 三点一定共线。
4.2模型Ⅱ的建立
通过以上这个定理我们可以建立以下模型：
如图4-8，要求出机器人从O 点出发，O →A →B →C →O 的最短路径，我们采用以下方法：
分别用钉子使圆环定在A ，B 、C 三点上，使这些圆环能够分别绕点A ，B 、C 转动。然后连接O A B C O →→→→的绳子并以这些转弯处的圆弧为支撑（这里转弯处圆弧的半径均按照最小转弯处半径来计算），拉紧绳子，那么绳子的长度就是 O A B C O →→→→的最短距离。
假设机器人从起点O 到目标点0M ,由上面可知路劲一定是由圆弧和线段组成，设有m 条线段，n 条圆弧。那么目标函数可表示为：
m i n
1
m n
i j i j i
L d l ===+∑∑
{
1010.r k s t ≥≥
用此模型就可以对起点到目标点之间的路径进行优化求解。 4.3模型I 的求解
一、以下给出机器人从O 点到目标点的可能路径的最短路径：
（1）如图4-9，解决的就是O 到目标点A 的最短路径问题，很显然的一个问题是机器人可以从5号障碍物的上方走，也可以从5好障碍物的下方走，我们可以分别计算出这两条可能为最短路径的路径长度，然后进行比较，取最小者就是O 到目标点A 的最短路径。
图4-9 O A →的路径示意图
2) 如图4-10，解决的是O到目标点B的最短路径问题，图中给出了可能的三条路径的最短路径，我们可以分别计算出三条可能为最短路径长度，然后进行比较，取最小者就是O到目标点B的最短路径。
图4-10 O B
→的路径
图4-11O C
→的路径
3）如图4-11，解决的是O到目标点C的最短路径问题。O→C的可能路径共有六条，图中只画出了其中一条可能路径的最短路径，我们同样可以分别计算出六条可能的最短路径，取最小者就是O→C的最优路径。
4）图4-12 ，求解的是O→A→B→C→O的最短路径问题，这使我们考虑的不仅仅是经过障碍物拐点的问题，应该考虑经过路径中的目标点处转弯的问题，这是简单的线圆结构就不能解决这种问题，我们在拐点及途中目标点处都采用最小转弯半径的形式，也可以适当的变换拐点半径，使机器人能够沿直线通过途中的目标点，最终求得最短途径。
图4-12 O→A→B→C→O的路径示意图
二，然后用Matlab求解结果如下：
（1） O到目标点A的可能路径有两条，就有两条可能的最短路径，如图4.1.9，机器人走上面这条路径到达A，运用Matlab求得该路径的总距离为471.0372。而机器人走上面这条路径到达A ，求得该路径的总距离为498.4259.所以机器人从O出发O→A的最短路径的总距离为471.0372，具体坐标路线为：（0,0）→（70.5059,213.1405）
80,21076.6064,219.4066300,300
圆弧的圆心坐标（）（）（）。
????????→→
（坐标路线1）
（2）O 到目标点B 的可能路径有三条，即就有三条可能的最短路径。 如图4.1.11，机器人走最上面这条路径到达B 这条路径有六条线段和五段圆弧组成，直接用Matlab 求得最短路径为：845.7001。
二机器人经过中间一条路径到达B ，这条路径也是有六条线段和五段圆弧组成，直接用Matlab 求得这条路径的结果为877.3949。
机器人经过最下边一条路径，同理求得这条路径的结果为947.825。
综上所述，O 到目标点B 的最短路径为845.701。具体的坐标路线为：
60,300150,435(0,0)(50.1353,301.6396)51.6795,305.5470141.6795,440.5470)147.9620,444.7901222.0380,460.2099230,470230,530→????????→→????????→→????????→→圆弧的圆心坐标（）
圆弧的圆心坐标（）圆弧的圆心坐标（220,5470）圆弧的圆心（）（（）（）（）（）220,530150,600225.4967,538.3538144.5033,591.6462140.69158,596.3458100,700????????→→????????→→坐标（）圆弧的圆心坐标（）（）
（）（）
（）。 （坐标路线2）
（3）O 到目标点C 的可能路径有六条，和2中的方法一样，最终求解结果O 到目标点C 的最短路径为1076.6094，具体的坐标路线为：
230,60410,100500,200)(0,0)(232.1149,50.2261)232.6955,50.3701412.1387,90.2314418.3449,94.4896491.6552,205.5104(492.0623,206.0822)(730,60→????????→→????????→→????????→→圆弧的圆心坐标（）圆弧的圆心坐标（）圆弧的圆心坐标（（）（）（）（）720,600720,5200)727,7178,606.3589727.9377,513.9178730,520700,640????????→→????????→→圆弧的圆心坐标（）圆弧的圆心坐标（）（）（）（）
（）。 （坐标路线3）
(4)O A B C O →→→→的最短路径如图4.1.10所示，最终求解结果为：2602.3058，具体坐标路线为：（0,0）
→????????→→????????→→????????→→圆弧的圆心坐标（80,210）
圆弧的圆心坐标（289,299）圆弧的圆心坐标（220,530）（70.5059,213.1405）（76.6064,219.4066）（290.7231,291.4213）（298.5216,302.2547）（228.925,532.2567）（225.4967,538.3538）（144.5033,5????????→→????????→→????????→→圆弧的圆心坐标（150,600）圆弧的圆心坐标（109,695）圆弧的圆心坐标（270,680）91.6462）（140.6916,596.3458）（103.2751,694.7210）（105.3269,705.2134）（280.5538,689.9847）（282.2222,689.7500）（367.7777,670.2500）????????→→????????→→????????→→????????→→圆弧的圆心坐标（370,680）圆弧的圆心坐标（430,680）圆弧的圆心坐标（540,730）圆弧的圆心坐标（670,730）（370,670）（430,670）（428.1449,679.8264）（530.1440,728.3093）（540,740）（660,740）（679.8094,741.9428）（70????????→→????????→→????????→→圆弧的圆心坐标（708,646）圆弧的圆心坐标（720,600）圆弧的圆心坐标（720,520）圆弧的圆心坐标（500,22.5432,645.251）（705.4671,636.2165）（727.7178,606.3589）（730,600）（730,520）（727.9377,513.9178）
（492.0623,206.0822）????????→→????????→→????????→→00）圆弧的圆心坐标（410,100）圆弧的圆心坐标（230,60）（491.6552,205.5104）（418.3449,94.4896）（412.1387,90.2314）（232.6955,50.3710）（232.1149,50.2261）
（0,0） （坐标路线 4）
4.4 模型II 的求解
题目中要求建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短时间路径的数学模型，在第一问的基础上，因为第一问我们是建立的避障最短路径模型，当路径最短（固定）的情况下，时间是随着速度的变化而变化的，但是机器人直线行走的最大速度为v 0=5个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为
2
0100.1(),1v v v e
ρρρ-==
+其中是转弯半径。可知，直线行走，机器人的速度已经不
可增加了，但是转弯时，机器人的速度是随着转弯半径的增大而增大的，但是不可能超过v 0, 所以我们要尽量节省时间的途径只有一条，那就是增加机器人的转
弯时的转弯半径，但是此时转弯圆弧的圆心不能还是一开始的（80,120）点了，如果还是在（80,120），而半径增大时，会增大O 到A 的路径长度，所以转弯圆弧的圆心要沿圆的切线AT 1和AT 2组成的角的角平分线往下移动（如下图），但是该圆始终与圆心为（80,120），半径为10的圆内切。当圆的半径从10慢慢增大时，O 到A 的时间会变化，当圆的半径增加到某个临界值时，即可求得最短时间，从而得出最短时间路径。
图4-13最短时间路径示意图
根据问题1的分析，可以求得过圆的两条切线AT 1和AT 2长，和弧线的长度
2
0120100.1085.23,205.36,,5/(),1=12O A 90.8394,225.9076300,300v AT AT r r T v v v V v e
ρθ
θρρρ-+=
+===+→
?????????→→圆弧的圆心坐标（）
则总时间为其中个单位秒，是转弯半径。通过Matlab 计算可得当，机器人从到的时
候最短为94.6001秒。其具体路线为（0,0）（68.2576,205.3425）（）
（）
坐标路线5
五、模型的评价
5.1模型优点
1、巧妙运用了Matlab软件来计算；
2、模型优化后用解析几何进行求解，精确度较高；
3、假设符合实际情况，模型对问题的描述合理准确，推导严谨，因此结果比较准确，模型具有实用性；
4、建立的规划模型能与实际紧密联系，结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广型；
5.2模型缺点
1、此模型适于全局规划，获得精确却失去了效率。
2、在障碍物较多时，且形状不规则时，模型需要进一步改进。
六、模型的改进及推广
6.1模型的改进
本文采用了穷举法来对每一条路径的数据进行分析，求出坐标点的同时计算中存在一些误差，在以后的论文中，遇到类似模型时，我们将把误差减少到最低。
6.2模型的推广
本题所应有的模型实用性较高，在本文所研究的机器人躲避障碍物行走的最短路径问题，通过对本问题的分析以及建立的模型来看，我们可以将模型推广到社会上的一些实际问题，比如：运输问题，追踪问题等等。在实际生活中，我们利用此种模型可以减少许多人力，精力以及财力，且适合于由于多种因素影响目标时的判断方法。
参考文献：
（1）谭永基，数学建模，上海，复旦大学出版社，2011.
（2）邦迪，图论及其应用，西安，县科学出版社1984
（3）胡海星，RPG游戏中精灵的移动问题，杂志《程序员》，2011 （4）百度文库，行走机器人避障问题。
https://www.wendangku.net/doc/ac7967581.html,/view/59fd857aa26925c52cc5bf4c,html, 2012.9.7 （5）周培德，计算几何—算法与设计，北京清华大学出版社，2005. （6）姜启源等，数学建模（第三版），北京，高等数学出版社，2003 （7）韩中庚，数学建模方法及应用，北京高等教育出版社，2005年（8）尤承业，解析几何，北京，北京大学出版社，2004.
附件：
1）%求解一次转弯所经路线的长（即一个线圆结构的长度） %()1,1,(2,2),(3,3)x y x y x y 为圆心和端点坐标 Clear all X1=300; Y1=300; X2=80; Y2=210 X3=0; Y3=o; R=12;
A=sprt((x1-x3)^2+(y1-y3)^2); B=sprt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2); C=sprt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2;
T1=sprt(c^2-r^2); %T1,T2均为圆弧切线长 T2=sprt(b^2-r^2);
Alphal=acos((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c); Alpha2=acos(r/b); Alpha3=acos(r/c)
Alpha4=2*pi-alphal-alpha2-alpha3; %alpha4为转弯圆心角 Hu=r*alpha4; %弧长
Result=t1+hu+t2 %一个仙缘结构的长 2）%求解最短路径的坐标 Clear all A1=0; A2=410; B1=0; B2=100; R=10
M=sprt((a1-a2)^2+(b1+b2)^2);
I=sprt(m^2-r^2)
［x,y］=solve(｀(x-0)^2+(y-0)^2-421.9005^2｀,｀(x-410)^2+（y-100）^2-100｀)
2012年数学建模机器人避障问题
机器人避障问题 摘要 本文主要运用直线逼近法等规律来解决机器人避障问题.对于问题一：要求最短路径运用直线逼近法证得圆弧角三角形定理，得出结论：若一大圆弧角三角形完全包括另一小圆弧角三角形，则该三角形曲线周长必大于小的三角形周长.那么可知机器人在曲线过弯时，选择最小半径可满足路径最短，即为10个单位半径，通过观察可得可能的所有曲线，通过仅考虑直线段的大致筛选选出总长较小、长度相近（之差小于100）的曲线，然后利用平面几何知识对相关切点，进而求出各直线、曲线的长度，求和可得最段路线.对于问题二：通过对机器人过弯规律2 1.0100 e 1)(ρ ρ-+= =v v v 的分析可知，当过弯 半径13ρ=时，机器人速度达最大速度为50=v 个单位/秒，再大就无变化了，那么可分两种情况考虑：1）当13ρ>时，过弯速度无变化，但由圆弧角三角形定理可知，此时随着ρ的不断变大，其路线总长不断变大，这时ρ越小O A →所用时间最短；2）当13ρ≤时，统计计算ρ分别为10、11、12、13时，过弯速度v 也不断变化，计算所用时间发现随ρ不断变大，O A →所用时间越短，此时当13ρ=时，时间最短.综合上述可知：当 13ρ=时，时间最短. 关键词： 质点机器人 安全范围 直线逼近法 圆弧角三角形定理 10单位半径
1 问题重述 在一个800×800的平面场景中，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，其中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物， 物的距离至少超过10个单位）.规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径.机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位.为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位. 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒.机器人转弯时，最大转弯速度为 2100.11 0()(1e ) v v v ρρ--==+，其中ρ是转弯半径.如果超过该速度，机器人将发 生侧翻，无法完成行走. 下面建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型.对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径. (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径. 2 问题分析 2.1问题一： 该问题要求路径最短，即不要求速度与时间，则可认为以最小半径10的圆过弯. 如图2.1所示：由圆弧角三角形定理（简单证明见模型准备5.3）可知过弯时，只有采用10单位半径过弯时，才会使得过弯路径最短，因此解决问题一的过弯拐角问题均采用10单位半径过弯路径. 2.2问题二： 由于O→A 过程中，机器人至少要经过一
机器人避障问题的解题分析(建模集训)
机器人避障问题的解题分析 摘要：本文对2012年全国大学生数学建模竞赛D题机器人避障问题进行了全面分析，对最短路的设计进行了理论分析和证明，建立了机器人避障最短路径的几何模型，对最短时间路径问题通过建立非线性规划模型，有效地解决了转弯半径、圆弧圆心位置和行走时间等问题。 关键词：机器人避障；最短路径；Dijkstra算法；几何模型；非线性规划模型 1 引言 随着科学技术的进步和计算机技术的发展，机器人的应用越来越广泛，在机器人的应用中如何使机器人在其工作范围内为完成一项特定的任务寻找一条安全高效的行走路径，是人工智能领域的一个重要问题。本文主要针对在一个场景中的各种静态障碍物，研究机器人绕过障碍物到达指定目的地的最短路径问题和最短时间问题。 本文以2012年“高教社”杯全国大学生数学建模竞赛D题“机器人避障问题”为例进行研究。假设机器人的工作范围为800×800的平面正方形区域（如图1），其中有12个不同形状的静态障碍物，障碍物的数学描述（如表1）： 图1 800×800平面场景图
表1 在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，机器人不能与障碍物发生碰撞，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v （ρ是转弯 半径）。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。 场景图中有4个目标点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，下面我们
机器人避障问题——国家一等奖论文 推荐
D题机器人避障问题 摘要 本文综合运用分析法、图论方法、非线性规划方法，讨论了机器人避障最短路径和最短时间路径求解问题。 针对问题一，首先，通过分析，建立了靠近障碍物顶点处转弯得到的路径最短、转弯时圆弧的半径最小时和转弯圆弧的圆心为障碍物的顶点时路径最短、转弯在中间目标点附近时，中间目标点位于弧段中点有最短路径的三个原理，基于三个原理，其次对模型进行变换，对障碍物进行加工，扩充为符合条件的新的区域并在转弯处圆角化构成障碍图，并通过扩充的跨立实验，得到切线和圆弧是否在可避障区的算法，第三，计算起点、中间目标点和最终目标点和各圆弧及圆弧之间的所有可避障切线和圆弧路径，最后给这些定点赋一个等于切线长度或弧度的权值构成一个网络图，然后利用Dijkstra算法求出了O-A、O-B，O-C的最短路径为O-A：471.0372个单位，O-B：853.7001个单位，O-C：1086.0677个单位；对于需要经中间目标点的路径，可运用启发规则分别以相邻的目标点作为起点和终点计算，确定路径的大致情况，在进一步调整可得到O-A-B-C-O的最短路径为2748.699个单位。 针对问题二，主要研究的是由出发点到达目标点A点的最短时间路径，我们在第一问的基础上考虑路径尽可能短且圆弧转弯时的圆弧尽量靠近障碍物的顶点，即确定了圆弧半径最小时的圆弧内切于要确定的圆弧时存在最小时间路径，建立以总时间最短为目标函数，采用非线性规划模型通过Matlab编程求解出最短时间路径为最短时间路程为472.4822个单位，其中圆弧的圆心坐标为(81.430,209.41)，最短时间为94.3332秒。圆弧两切点的坐标分别为（70.88,212.92）、（77.66,219.87）。 关键字：Dijkstra算法跨立实验分析法非线性规划模型
自动避障小车设计
自动避障小车 技术报告 前言 设计背景：在科学探索和紧急抢险中经常会遇到对与一些危险或人类不能直接到达的地域的探测，这些就需要用机器人来完成。而在机器人在复杂地形中行进时自动避障是一项必不可少也是最基本的功能。因此，自动避障系统的研发就应运而生。 我们的自动避障小车就是基于这一系统开发而成的。随着科技的发展，对于未知空间和人类所不能直接到达的地域的探索逐步成为热门，这就使机器人的自动避障有了重大的意义。我们的自动避障小车就是自动避障机器人中的一类。自动避障小车可以作为地域探索机器人和紧急抢险机器人的运动系统，让机器人在行进中自动避过障碍物。
目录 一、设计目标： (3) 二、方案设计： (4) 2.1直流调速系统 (4) 2.2检测系统 (4) 三硬件设计 (5) 3.1、SPCE061A单片机最小系统 (5) 3.1.1．SPCE061A时钟电路 (8) 3.1.2．PLL锁相环 (9) 3.1.3．看门狗Watchdog (9) 3.1.4．低电压复位（LVR） (10) 3.1.5．I/O端口 (10) 3.1.6．时基与定时器 (11) 3.1.7．SPCE061A的定时器/计数器 (11) 3.1.8．ADC、DAC (12) 3.2、超声波传感器 (12) 四软件设计 (16) 4.1软件设计各模块 (16) 4.2速度控制 (17) 4.3障碍物检测 (17) 4.4看门狗 (17) 4.5基频中断 (18)
4.6程序设计流程图 (19) 五：测试数据、测试结果分析及结论 (19) 程序附录 (21) 1．主程序： (21) 2．中断程序 (24) 3、测距程序 (28) 一、设计目标： 1.小车从无障碍地区启动前进，感应前进路线上的障碍物 后，能自动避开障碍物。 2.根据障碍物的位置选择下一步行进方向，选择左拐还是右 拐，若障碍物在左边则自动右拐，若障碍物在右边则左拐，若障碍物在正前方可任意选择左拐或者是右拐，以达到避开障碍物的目的。 3.通过利用单片机内时钟源的控制设定左拐和右拐的时间， 从而能持续前进。 4.为达到速度的可控性，需设置两个独立按键对小车进行控 速。
高教社杯数学建模D题机器人避障问题论文
机器人避 障问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要研究了在一个区域中存在12个不同形状障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的多种情形，寻找出一条恰当的从给出发点到目标点的运动路径使机器人在运动中能安全、无碰撞的绕过障碍物而使用的路径和时间最短。由于规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径，机器人不能折线转弯。所以只要给定的出发点到目标点存在至少一个障碍物，我们都可以认为最短路径一定是由线和圆弧所组成，因此我们建立了切线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种切线圆结构来求解。在没有危险碰撞的情况下，圆弧的半径越小，路径应该越短，因此我们尽量选择最小的圆弧半径以达到最优。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了两种方案，一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式，另一种是适当扩大拐点处的转弯半径，使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解，把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，用lingo 工具箱求解得出了机器人从O(0,0)出发，O→A、O→B、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径；利用matlab 中的fminbnd 函数求极值的方法求出了机器人从O(0,0)出发，到达A 的最短时间路径。本文提出一种最短切线圆路径的规划方法，其涉及的理论并不高深，只是应用了几何知识和计算机程序、数学工具计算，计算简易，便于实现，能搞提高运行效率。 问题一 O→A 最短路径为：OA L =471.0372 O→B 最短路径为：=1OB L 853.8014 O→C 最短路径为：4OC L =1054.0 O→A→B→C→O 最短路径为： 问题二机器人从O(0,0)出发，到达A 的最短时间路径： 最短时间是94.5649，圆弧的半径是11.5035,路径长4078 .472=OA L 关键词最短路径；避障路径；最优化模型；解析几何；数学工具 一、问题重述 图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0,0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍
机器人避障问题
精心整理 机器人避障问题 摘要 本文研究了在一个800800?平面场景里，机器人通过直线和圆弧转弯，绕过障碍物，到达目标点的问题，解决了到达目标点路径最短，以及到达A 点时间最短的问题。文章将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了在拐点和节点最小转弯半径的形式. O A →O →B O →C O →A →B 10个单位为50=v 对场景图中4(1)(2)1.出发，分别做圆的切线，直到终点。对于经过路径中的目标点的问题，我们采用最小转弯模式，建立优化模型，最终求的最短路径。 2．问题二要求从起始点到达A 点所用的时间最短，从题意以及生活经验可得，拐弯半径越大，所用时间越短，拐弯半径越小，所用时间越大。半径最小不低于10，取最大值时机器人应刚好未碰到4、6三角形，可通过几何解法计算出来，并对时间进行优化处理。 三、模型假设 假设机器人可以抽象成点来处理 假设机器人的能源充足，且在整个行走过程中无故障发生 四,符号说明
】 5（为起点，，OA 圆弧的切点，角度 1OO A ∠=,11OO M ∠=,11AO N ∠=，111M O N θ∠=.设这段路程机器人的总路程为L. 解法如下： 如上图可得有以下关系： 1 AOO ?在中： 在11Rt OO M ?： 222arccos(2b c a bc α+-=
在11Rt AO N 中： 所以： 从而可得： 结果如下： 机器人行走路线 1OM =1N A 弧11M N = 224.7221； b= 237.6973 c= O 同理了解 比较可得， O 从上面绕到到目标点A 的距离最短，最短路径为471.0372。
小车自动避障与路径规划
第3章系统总体结构及工作原理 该系统主要以超声波测距为基本测距原理，并在相应的硬件和软件的支持下，达到机器人避障的效果。 3.1机器人总体硬件设计 3.1.1传感器的分布要求 为了全方位检测障物的分布状况，并及时为机器人系统提供全面的数据，可将所需的八个传感器均匀排列在机器人周围，相邻每对传感器互成45度角。为了避免相互干扰，八个传感器以程序运行周期为周期，进行循环测距。传感器排列示意图如下： 图3.1.1 传感器分布图
图3.1.2 硬件设计总体框架图 上图为支持机器人运行实用程序的硬件部分的总体设计框架图，由负责相关任务的同学提供。在超声波信号输入单片机以后，由存储在单片机中的主程序调用避障子程序，根据输入信号执行避障指令，并使相关数据返回主程序，转而提供给电机和LED显示器的驱动程序使用，最后，由电机执行转向指令，结果则显示在LED显示器上。
图3.1.3 软件总体框架图 由上图可知，本文作者负责的超声波避障程序为软件总体设计中的子程序部分。在主程序运行过程中，若调用超声波避障程序，机器人在自行轨迹规划后，将程序处理所得数据送给电机处理成立程序，控制电机动作。具体的避障程序设计将在第4章进行。 3.2超声波测距原理 测距原理：超声波是指频率高于20KHz的机械波。为了以超声波作为检测
手段，必须产生超生波和接收超声波。完成这种功能的装置就是超声波传感器，习惯上称为超声波换能器或超声波探头。超声波传感器有发送器和接收器，但一个超声波传感器也可具有发送和接收声波的双重作用。超声波传感器是利用压电效应的原理将电能和超声波相互转化即在发射超声波的时候，将电能转换，发射超声波；而在收到回波的时候，则将超声振动转换成电信号。[8]超声波测距的原理一般采用渡越时间法TOF（time of flight）。首先测出超声波从发射到遇到障碍物返回所经历的时间，再乘以超声波的速度就得到二倍的声源与障碍物之间的距离，即：[8] D=ct/2 其中D为传感器与障碍物之间的距离，以m计，c为超声波速度，这里以340m/s计，t为超声波从发送到接收的总时间，以s计。据此原理可以用超声波传感器测得的距离为避障程序提供所需的数据。[8] 第4章轨迹规划算法的实现方案 4.1轨迹规划算法的层次化设计 根据上述材料分析，可以将机器人轨迹规划算法设计分为基础控制层、行为控制层和坐标计算层，三个层次进行。 4.1.1基础控制层设计 基础控制层可定义为基本行为层，这层算法的任务是寻找目标点，并确保机器人可以顺利到达指定目标位。在确定目的地位置的情况下，为了达到上述目的，计算机必须对机器人的方位进行时实计算。应用人工势场法原理，可以将目标点设为引力极，牵引机器人运动。对此动作建立相应的模型，可以使用建立平面坐标作为虚拟势场的方法来给机器人定义方位，将机器人关于目标点的时实偏角作为虚拟引力方向，以确定机器人下一步所需转过的角度，并时实检测，是否已到达目的地，若已到达，则可认为虚拟引力此刻为0，并发出信号控制程序终止运行总体程序。 由此，可确定基础控制层所需的各参数： (1)机器人的时实坐标x, y值，由专门的坐标计算层提供，为了提高精 确度，可以采用厘米为单位制。 (2)机器人的速度v，测量后设为定值使用。 (3)周期T，直接设置为定值使用。 (4)偏转角de，可通过机器人与横坐标之间的夹角pe，减去机器人到目 标点连线与横坐标的夹角E得到。
机器人避障问题的最短路径分析
机器人避障问题的最短路径分析 摘要 本论文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要讨论了在一个区域中存在12个障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过若干目标点最终到达出发点的两种情况。采用传统的避障方法——切线图法。建立了线圆结构，这样任何路径，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点再到达目标点的状况，我们采用在转弯点和节点都采用最小转弯半径，以节点为切点的形式。然后建立了最优化模型，利用MATLAB软件对方案进行求解。 问题一：把路径分解成若干个线圆结构来求解，然后把可能的最短路径采用穷举法列举出来，最终得出最短路径： A O→最短路径为：471.0 O→最短路径为：869.5 B O→最短路径为：1093.3 C 对于O → → →我们将A、B、C看作切点，同样采用线圆结构 C B A O→ 计算。 O→ → → →最短路径为：2827.1 A O C B 问题二：考虑避障路径和转弯速度，我们建立时间与路径之间的模型，用MATLAB软件求出最优解。当转弯半径为11.5的时候，可以得出最短时间为：T=94.3 关键词最优化模型避障路径线圆结构切线图法
一、问题重述 本文是求一个机器人在800×800的平面场景图中避开障碍物，建立从原点O(0, 0)点处出发达到终点的最短路径和最短时间路径的模型。即求：1、O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。2、O →A 的最短时间路径。 机器人在行走时的要求是：1、它只能在该平面场景范围内活动2、图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物（障碍物的分布如图1）3、障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。4、规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。5、为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞。 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速 度为2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。 已知场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)。图中各个点 的坐标见下表。 图1 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400, 330)
机器人避障问题论文
机器人避障问题 【摘要】 本文主要是对机器人在一个平面区域内通过不同障碍物到指定目标点进行研究，通过建立机器人与障碍物的最小安全距离的禁区模型，进而建立从区域一点到另一点的最短距离、最短时间的数学模型。在最优转弯顶点为障碍物，最优转弯半径为安全距离10的基础上，把路径概括为基本的三种数学模型。利用穷举的算法找出最短路径和最短时间。 针对区域中从一点到另一点避障的最优路径问题，把障碍物划分为有顶点和无顶点两大类。首先本文证明对于有顶点障碍物，机器人以障碍物顶点为圆心且转弯的圆弧半径为10时路径最优，我们还注意到在某些路径中适当增加圆的半径可以把曲线路线转换为直线路径，进一步优化行进路径；对于无顶点障碍物通过论证找出以障碍物圆心为转弯圆心，以障碍物半径与安全距离的和为转弯半径的最优转弯圆弧。其次本文将寻找最短路径的的问题转换为最短路径的优选问题。本文巧妙的将优化模型转变为研究不与障碍物边界相交、不与圆弧相交的路线中的最优解的问题。在这个数学模型的基础上进行相应的改善并且使用穷举的算法找出最优路径。 针对不同的目标点，我们将机器人的行进分为单目标点和多目标点两种情况针对多目标点问题，由于机器人不能直线转向，所以在经过目标点时，应该提前转向，且中间目标点应该在转弯弧上。因此先建立优化模型（模型三）对行进时中间目标点处转弯圆弧圆心搜索求解。求出中间目标点转弯圆心后，用把中间目标点的圆心看做“障碍物”的办法把问题转化为单目标点问题。然后根据模型二和模型一利用MATLAB软件编程求得了O→A、O→B、O→C、O→A→B→A→C的最短路径，最短路径长分别为 471.0372、857.6778、1094.5、2799.0121,其中O-->A的最短路径对应圆弧的圆心坐标为(80,210)；O→B的最短路径对应圆弧的圆心坐标：(60,300)、(150,435)、（220、470）、(220,530)、(150,600)；O→C经过的圆心：(230，60)、(410,100)、(500,200)、(720,520)， （720,600）；对于多目标点问题利用模型三进行分割求解得到O→A→B→C→O最短路径对应圆心坐标（80,210）、（307.7715）、（306.2932）、（220,530）、（150,600）、（109.8478,701.7379）、（270,680）、（370,680）、（430,680）、（540,730）、（670,730）、（709.7933）、（642.0227）、（720,600）、（720,520）（500,200），（410,100），（230,60）。对于最短时间路径问题，根据转弯半径和速度的关系，在问题一求出的最短路径的模型的基础上，进行路线优化，建立以最短时间为目标的非线性规划模型，利用lingo 求解最短时间获得了机器人从O点出发，到达A的最短时间路径，求得最短时间路径下转弯半径为12.9885 ，同时最短时间路径时间长为94.2283个单位，路径长为471.129个单位。相应圆弧的圆心坐标为（82.1414，207.9153）。 关键词：机器人避障覆盖法穷举法非线性规划
数学建模机器人避障论文
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
机器人避障问题 摘要 针对题中机器人避障最短路径问题，文章使用简化后建立的最短路径的数学模型来解决此类问题。 对于问题1，我们matlab中自带函数graphshortestpath函数求解最短路径的数学模型。其主要思想是：首先先证明出两点之间的最短路径是由两条线段和以中间点为圆心的圆的一段圆弧组成，然后证明圆弧的半径为定值10。然后对模型简化使模型化为标准的最短路径模型，最后用graphshortestpath函数对模型求解。 针对问题2，我们建立了优化模型。在问题1的基础上，我们对两种行走方案进行分析，根据转弯弧的半径变化对速度的影响我们锁定到一条路径，然后利用lingo对优化模型进行求解。 关键词：graphshortestpath函数、最短路径、避障问题
机器人避障问题的MATLAB解法探析
机器人避障问题的MATLAB解法探析 摘要：本文对2012年全国大学生数学建模竞赛D题“机器人行走避障问题”，给出了利用matlab这一数学软件进行求解的方法，并对该方法的优缺点进行了分析。 关键词：机器人避障matlab 2012年全国大学生数学建模竞赛D题“机器人行走避障问题”如下： 在一个800×800的平面场景图中，原点O（0，0）点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的圆弧组成，每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位。计算机器人从O（0，0）出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。 一、问题的分析 为达到要求，我们按照以下原则选择路径： （1）在障碍物拐点处的圆弧半径为临界半径个单位； （2）因为直线速度大于转弯速度，所以在不转弯的地方尽可能走直线； 按照上述原则，我们选取以下步骤求最短路径： （1）穷举出起始点与目标点的所有可能直线路径，判断出最短直线路径； （2）针对上述最短直线路径，在障碍物拐点处加入弧线转弯，然后计算实际最短行走路径。 二、问题的求解 按照上述步骤，逐步求最短路径： （1）首先画出O到A允许行走所有直线路线，如图所示。 （2）计算出各节点到下一节点的距离作为权值给各条边赋权，可以求解出最优直线路径。用MATLAB软件，程序如下： sets： cities/O，B1，B2，C1，C2，A/； roads（cities，cities）/O，B1 O，B2 O，C1 B1，A B1，C2 C1，B1 C1，B2 B2，C2 B2，A C2，A /：w，x； data： w= 224.7 237.7 100 237.7 150 150 150 150 250 114； n=@size（cities）； min=@sum（roads：w*x）； @for（cities（i）|i #ne# 1 #and# i #ne# n： @sum（roads（i，j）：x（i，j））=@sum（roads（j，i）：x（j，i）））； @sum（roads（i，j）|i #eq# 1：x（i，j））=1； end 计算出结果（只列出有用部分）： Global optimal solution found. Total solver iterations：0 Variable Value Reduced Cost
行走机器人避障问题
机器人行走问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径的问题。主要研究了在一个区域中存在四个障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的两种情形。我们通过证明具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的自然最短路径（即直线段），另一部分是限定区域的部分边界，这两部分是相切的，互相连接的。依据这个结果，我们可以认为最短路径一定是由线和圆弧做组成，因此我们建立了线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了两种方案，一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式，另一种是适当扩大拐点处的转弯半径，使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解。 问题一，我们很容易分解成线圆结构来求解，然后把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，最终得出最短路径： R→A 最短路径为：70.5076 R→B 最短路径为：107.9587 R→C 最短路径为：102.0514 问题二，我们方案都进行优化，求得最终结果： 第一种方案最短路径为：156.471 第二种方案最短路径为：157.752 关键词最短路径最优化模型避障路径解析几何
一、问题重述 下图是一个100×80的平面场景图，在R（0，0）点处有一个机器人，机器人只能在该100×80的范围内活动，图中四个矩形区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述分别为B1（20，40；5，10）、B2（30，30；10，15）、B3（70，50；15，5）、B4（85，15；5，10），其中B1（20，40；5，10）表示一个矩形障碍物，其中心坐标为（20，40），5表示从中心沿横轴方向左右各5个单位，即矩形沿横轴方向长5×2=10个单位，10表示从中心沿纵轴方向上下各10个单位，即矩形沿纵轴方向长10×2=20个单位，所以，障碍物B1的中心在（20，40），大小为10×20个单位的矩形，其它三个障碍物的描述完全类似。 在平面场景中、障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过1个单位），为此，须要确定机器人的最优行走路线——由直线段和圆弧线段组成的光滑曲线，其中圆弧线段是机器人转弯路线，机器人不能折线转弯，转弯路径是与直线相切的一圆形曲线段，也可以是两个或多个相切的圆弧曲线段组成，但每个圆形路线的半径都必须大于某个最小转弯半径，假设为1个单位。另外，为了不与障碍物发生碰撞，要求机器人行走线路与障碍物间的最短距离为1个单位，越远越安全，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法到达目标点，行走失败。请回答如下问题： 1.场景图中有三个目标点A（50，40）、B（75，60）、C（95，20），请用数学建 模的方法给出机器人从R（0，0）出发安全到达每个目标点的最短路线。 2.求机器人从R（0，0）出发，依次安全通过A、B到达C的最短路线。
基于弹性绳索拉伸的机器人避障问题
基于弹性绳索拉伸的机器人避障问题 摘要 本文研究了机器人避障的相关问题。在一个已知区域中存在12个障碍物，使用基于弹性绳索拉伸的方法，求解了由出发点到目标点的最短路径和最短时间路径。我们在禁区顶点以最小转弯半径转向为最优的前提下，对障碍物进行了加工，即将限定区域向外扩展并将顶点圆角化。那么最短路径就由两部分组成：一部分是平面上的直线段，另一部分是限定区域上部分弧构成。由于最短路径一定是由直线线段和圆弧做组成，而弹性绳索紧贴障碍物时，弹性绳索与直线线段和圆弧重合，并且弹性绳索有自然缩短的趋势，弹性绳处于紧绷状态，此时弹性绳长就是最短路径。 问题一，将绳索系与起点和终点，使用拉伸弹性绳索的方法，找到所有符合要求的绳索连结成的路径并计算路径长度，最终最短的绳长即为所求。由于符合要求的路径可能比较多，我们又使用了尺规作图进行简化了以及一般情况下的Dijkstra求解最短路径的方法。 最终求得： O→A最短路径长度为471.037 O→B最短路径长度为 853.13 O→C最短路径长度为1092.82 O→A→B→C→O最短路径长度为2714.31 问题二，由于机器人转弯时所行走的速度和转弯半径有关。而当转弯半径最小时相应的速度也最小。就必须平衡转弯半径和转弯时速度的这一对矛盾。本文通过极限状态的求解，计算出可能的最短时间路径。 关键字：最短路径切线长弧长
一、问题的重述 图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表： 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400, 330) 4 三角形 (280, 100) 上顶点坐标(345, 210)，右下顶点坐标(410, 100) 5 正方形 (80, 60) 边长150 6 三角形 (60, 300) 上顶点坐标(150, 435)，右下顶点坐标(235, 300) 7 长方形 (0, 470) 长220，宽60 8 平行四边形 (150, 600) 底边长90，左上顶点坐标(180, 680) 9 长方形 (370, 680) 长60，宽120 10 正方形 (540, 600) 边长130 11 正方形 (640, 520) 边长80 12 长方形 (500, 140) 长300，宽60 在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为 2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧 翻，无法完成行走。 请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。 (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。 注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。
2012全国大学生数学建模机器人避障问题优秀论文模型
承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：2418 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1.黎仕东 2.李兆海 3.赵甜森 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：年 8 月25 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
2012年高教社杯数学建模D题--机器人避障问题论文设计
机器人避障问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要研究了在一个区域中存在12个不同形状障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的多种情形，寻找出一条恰当的从给出发点到目标点的运动路径使机器人在运动中能安全、无碰撞的绕过障碍物而使用的路径和时间最短。由于规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径，机器人不能折线转弯。所以只要给定的出发点到目标点存在至少一个障碍物，我们都可以认为最短路径一定是由线和圆弧所组成，因此我们建立了切线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种切线圆结构来求解。在没有危险碰撞的情况下，圆弧的半径越小，路径应该越短，因此我们尽量选择最小的圆弧半径以达到最优。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了两种方案，一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式，另一种是适当扩大拐点处的转弯半径，使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解，把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，用lingo 工具箱求解得出了机器人从O(0, 0)出发，O →A 、O →B 、O →C 和O →A →B →C →O 的最短路径；利用matlab 中的fminbnd 函数求极值的方法求出了机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。本文提出一种最短切线圆路径的规划方法，其涉及的理论并不高深，只是应用了几何知识和计算机程序、数学工具计算，计算简易，便于实现，能搞提高运行效率。 问题一 O →A 最短路径为：OA L =471.0372 O →B 最短路径为：=1OB L 853.8014 O →C 最短路径为：4OC L =1054.0 O →A →B →C →O 最短路径为： 问题二机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径： 最短时间是94.5649，圆弧的半径是11.5035,路径长4078.472=OA L 关键词 最短路径；避障路径；最优化模型；解析几何；数学工具
(完整word版)智能避障机器人设计开题报告
课题名称智能避障机器人设计 课题来源教师拟定课题类型EX 指导教师XXX 学生姓名XXX 学号XXX 专业XXX 一、调研资料的准备 智能避障机器人设计不仅是对所学理论知识的综合运用，同时也是锻炼了实际操作能力和自学创新能力。本次设计包含了硬件电路设计和软件电路。在硬件电路设计中我首先在图书馆和网络上查阅了一些关于智能避障机器人设计的相关电路图以及原理知识，同时参考了童诗白老先生的模拟电子技术基础，阎石的数字电子技术基础中的存储器部分，徐科军主编的传感器与检测技术中的传感器部分；在软件设计中主要参考了张毅刚的单片机原理及应用；在电路仿真中参考了赵景波所编的Prote199SE应用与实例教程；在整体电路设计中参考了万方数据和中国知网。 二、设计目的 在科学探索和紧急抢险中经常会遇到对与一些危险或人类不能直接到达的地域的探测，这些就需要用机器人来完成。而在机器人在复杂地形中行进时自动避障是一项必不可少也是最基本的功能。因此，自动避障系统的研发就应运而生。我们的自动避障小车就是基于这一系统开发而成的。 随着生产自动化的发展需要，机器人的智能化与集成度越来越高，已经越来越广泛的应用到生产生活中。伴随的科技水平的提高，机器人的能够使用的传感器种类也越来越多，其中红外线传感器已经成为机器人自动行走和驾驶的重要部件。此系统是基于红外传感器的系统，即运用红外传感器实现对前方障碍物的检测。 红外传感器的典型应用领域为自主式智能导航系统，机器人要实现自动避障功能就必须要感知障碍物，对障碍物的感知相当于给机器人一个视觉功能。在现在生活中，例如在一些火宅或者一些自然灾害的现场，经常需要进入到对一些危险或人类不能直接到达的地方进行观察，采集数据，这些就需要用机器人来完成。而在机器人在上述等环境中行进时自动避障是一项必不可少也是最基本的功能。因此，自动避障系统的研发就应运而生。自动避障小车可以作为困难环境检测机器人和紧急抢险机器人的运动系统，让机器人在行进中自动避过障碍物，帮助人们完成相应的任务。
数学建模 机器人避障问题
机器人避障问题 一、摘要 本文讨论了机器人在平面场景中避障行走的问题，已知机器人的行走模式（直线与相切圆弧）以及场景障碍物的分布，计算出到平面各个给定点的最短路径，以及到A 点的最短时间。 文中，首先，考虑到机器人与障碍物之间有10个单位的碰撞距离，故用CAD 软件将平面场景图进行改进，再用CAD 设计可能的最短路径。接着，对每条具体路径进行分解，得到三种基本线圆形模型（点圆模型，双圆异侧模型，双圆同侧模型），对这三种模型进行求解，得到各个模型直线长度以及转弯圆弧圆形角的表达公式。之后，参照具体的行走路径，构造合适的行走矩阵，用以判断每段路径所属的基本模型。路径总的长度可用如下公式表达： 12 ,1,1,2 1 1 N N i i i i i i i s m r θ--+++===+?∑∑ 最后，通过计算设计的集中可能的最短路径，我们得到每段的最短路径的长度分别为： O ——A 路段：471.0372（单位）； O ——B 路段: 853.7001（单位）； O ——C 路段: 3100915.1?（单位）； O ——A ——B ——C ——O 路段: 3 2.677810?（单位）。 对于问题二，我们在问题一的基础上分别利用直线最大速度和转弯最大速度计算出时间的表达式。为了方便计算，我们将转弯圆弧的圆心定在P （80,210）（场景中正方形5的左上角），这样得到时间T 与转弯半径ρ的函数关系式： 2 100.10 (1)(2arccos arccos ) e a b T v ρρ ρ πα-?+?---= 通过MATLAB 编程，画出其图像，求解得出：当半径ρ=11.435时，时间T 最小，其大小为94.5649（秒）。 关键词：最短路径 线圆模型 行走矩阵 MATLAB 二、问题重述 在一个800×800的平面场景图（见附录一），在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平
机器人避障模型毕业设计论文
毕业论文设计机器人避障模型
毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 指导教师签名：日期： 使用授权说明 本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 作者签名：日期：
学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月日