1 矢量代数与矢量微积分基础

高等数学 向量代数与空间解析几何复习

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：??? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 12 12 1z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→ a 与→ b 夹角为 3 π ，求||→ →+b a 。 解 2 2 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ → →→ →→ →→ → → → → → ++= ?+?+?= +?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222 = +???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+

高等数学 空间解析几何与向量代数练习题与答案

空间解析几何与矢量代数小练习 一 填空题 5’x9=45分 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二 计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点(1,2,3)且平行于直线51 132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线???=+-+=-+-012530 742z y x z y x 垂直的平面方 5、已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ?的面积。

参考答案 一 填空题 1、?????? -±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22 cos ,21 cos ==-=γβα,3 ,43,32π γπ βπ α=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y 3、53 1221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x 5 219 ==?S

电大历年试题——经济数学基础微积分

电大历年试题——经济数学基础 微积分 一、单项选择题： 1、设，则=))((x f f （ ）. A. x 1 B.21 x C.x D.2x 2、下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等. A. x x g x x f ==)(,()(2 B. x x g x x f ==)(,)()(2 C. x x g x y ln 3)(,ln 3== D. x x g x y ln 2)(,ln 2== 3、下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等. A.x x g x x f ==)(,)()(2 B.1)(,1 1 )(2+=--= x x g x x x f C.x x g x y ln 2)(,ln 2== D.1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f 4、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ ）. A.x sin B.x e C.2x D.x -3 5、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调下降的是（ ）. A.x sin B. x 3 C.2x D. 5-x 6、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ ）. A.x sin B.x 2 1 C.x 3 D.21x - 7、函数的定义域是（ ）. A. [-2,+ ∞) B. [-2,2)),2(+∞? C. （-∞,-2)),2(+∞-? D. （-∞,2)),2(+∞? 8、函数的定义域是（ ）. A.(-2,4) B. (-2,4)),4(+∞? C.)4,(-∞ D.),2(+∞- 9、函数的定义域是（ ）. A.1->x B.0>x C.0≠x D. 1->x 且0≠x 10、下列函数中为奇函数的是（ ）.

《经济数学基础--微积分》复习提纲

《经济数学基础--微积分》复习提纲 一、第一章：函数 1、函数概念，表达式，初等函数，定义域等。 例如：（1）函数21)(x x x f -+= 的定义域是x=[0，1]； （2） f(x)＝522-+x x ,得f(x －1)＝5)1(2)1(2--+-x x ＝…； （3）22)1(2+-=+x x x f ，即)(x f ＝2212)1(2+---+x x x ＝…＝542+-x x ； （4）设==))((,1)(x f f x x f 则)1(x f ＝…= 21x ； （5）在下列函数中与||)(x x f =表示相同函数的是（ B ） A ．2)(x B.2x C ．33 x D ．x x 2 (6) 设???>+≤+=0 5402)(2x x x x x f ，则9)1(=f ，2)0(=f ，17)3(=f ，3)1(=-f ； 二、第二章：极限与连续 1、概念理解，无穷大＋∞，无穷小－∞，极限运算等。 能代即代……只看最高次……因式分解、分子分母有理化、公式化简等；2个重要极限中的=→x x x sin lim 01。 例如：（1）4 43222lim ++∞→x x x ＝（只看最高次）＝1/2； （2）3923 lim --→x x x ＝（因式分解）＝…＝3； （3）102 7776664999888222lim 2323++-+-+∞→x x x x x x x ＝只看最高次＝ 1/4 （4）4 586224+-+-→x x x x im l x ＝（因式分解）＝…＝32 （5）x x im l x 110 -+→＝（分子有理化）＝…＝21 （6）但是=∞→x x x sin lim 0，=→x x x sin lim 01。 （7）已知122=+y x ，即y '＝y x - （课本61页例题2.13） （8）课本35－37页有关例题。

(整理)数学微积分英汉词典

MATHEMATICAL TERMS (Part 1) calculus 微积分 definition 定义 theorem 定理 lemma 引理 corollary推论 prove 证明 proof 证明 show 证明 solution 解 formula 公式 if and only if ( iff ) 当且仅当 ?x∈X for all x∈X ?x∈X there exists an x∈X such that 使得 given 已知 set集合 finite set有限集 infinite set 无限集 interval区间 open interval开区间 closed interval 闭区间 neighborhood 邻域 number 数 natural number 自然数 integer 整数 odd number 奇数 even number 偶数 real number 实数 rational number 有理数 irrational number 无理数 positive number 正数 negative number 负数 mapping 映射 function 函数

monotone function 单调函数 increasing function 增函数 decreasing function 减函数 bounded function 有界函数 odd function 奇函数 even function 偶函数 periodic function 周期函数 composite function 复合函数 inverse function 反函数 domain 定义域 range 值域 variable 变量 independent variable自变量 dependent variable因变量 sequence 数列 convergent sequence收敛数列 divergent sequence 发散数列 bounded sequence 有界数列 decreasing sequence 递减数列 increasing sequence 递增数列 limit极限 one-sided limit 单侧极限 left-hand limit 左极限 right-hand limit 右极限 The Squeeze Theorem 夹挤定理 infinity 无穷大 infinitesimal 无穷小 equivalent infinitesimal 等价无穷小infinitesimal of higher order 高阶无穷小order of infinitesimal 无穷小的阶infinitesimals of the same order 同阶无穷小increment 增量 continuous function 连续函数 continuity 连续性

经济数学基础微分学部分综合练习及参考答案

微积分考试复习题 一、单项选择题1．函数() 1lg += x x y 的定义域是（ D ）D ．1->x 且0≠x 2．下列各函数对中，D ）中的两个函数相等 D x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g 3．设x x f 1 )(=，则=))((x f f （ C ）． C ．x 4．下列函数中为奇函数的是 （ C ）．C ．1 1ln +-=x x y 5．已知1tan )(-= x x x f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量. A. x →0 6．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ． x x sin 7．函数sin ,0 (),0x x f x x k x ?≠?=? ?=? 在x = 0处连续，则k = ( C )．C ．1 8．曲线1 1+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ） A ．21 - 9．曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）．A. y = x 10．设y x =l g 2，则d y =（ B ）． B ．1 d x x ln10 11．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．B ．e x 12．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ B ）B ． - -p p 32 二、填空题1．函数???<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域[-5，2] 2．函数x x x f --+=21 )5ln()(的定义域是 (-5, 2 ) ． 3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ． 4．设2 1010)(x x x f -+=，则函数的图形关于 y 轴 对称． 5．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为 3.6 6．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 ．

经济数学基础练习题——微积分部分

经济数学基础练习题——微积分部分 一、填空题 1．函数x x x f -- +=21)5ln()(的定义域是 ． 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 3．设函数x x x f -= 1)(，则)1 (x f = 。 4．函数2 )(x x a a x f --=是_____________函数。 5．设3e )21(lim -∞→=+ kx x x ，则=k _____________． 6．=+∞→x x x x sin lim ． 6．若函数3ln =y ，则y '= ． 7．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = ． 8．曲线x y = 在点（4, 2）处的切线方程是 ． 9．函数y x =-312 ()的单调增加区间是 . 10．函数y x =-312 ()的驻点是 . 11．设某产品的需求量q 为价格p 的函数，且p q 5.0e 1000-=，则需求对价格的弹性为 . 12．过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程是y = ． 13．已知)(x f 的一个原函数为x -e ，则)(x f = ． 14．若)(x f '存在且连续，则='? ])(d [x f ． 15．若 c x F x x f +=?)( d )(，则x f x x )d e (e --?= . 二、单项选择题 1．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 2．下列函数中，（ ）不是基本初等函数． A ． x y )e 1(= B ． 2 ln x y = C ． x x y cos sin = D ． 35x y =

经济数学基础(微积分)讲义

经济数学微积分学习讲义 合川电大兰冬生 知识点一：5个基本函数 1，常数函数，c y = （c 是常数） 例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。 2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数， 注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此 3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23?=不是指数函数。 4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域” 这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写， e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是 x y 10log =的简写。 5，三角函数x y sin =，x y cos =， 特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。 ● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。 ● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成 632-+=x x y 。 知识点二：极限 1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数

列。数学符号记为：}{n a 例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 2 1 变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限 学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值） 例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001 ， 100000000 1 ，……，最后，这个无限数列趋近于0， 这里，我们简单描述这个变化， ∞→n 01 →n 分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。是指数轴 的最远端。 用极限式写为： 1=n 例如： 1，21，41，81，……，这个数列由n 21 ，n 取0,1,2,3,4，……得到， ∞→n ∞→n 2 021 →n 分母越大，分数越小 用极限式写为

矢量分析

矢量代数 赵黎晨

第一节 矢量分析与场论基础 在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格. 一、矢量代数 1.两个矢量的点乘、叉乘 若 123(,,)a a a a = 123(,,)b b b b = 则 a , b 的点乘(也称标量积) 112233a b a b a b a b ?=++ (cos a b b a a b α?=?= ) a ,b 的叉乘(也称矢量积) )()()(1221331132233213 2 1 321 3 21b a b a e b a b a e b a b a e b b b a a a e e e b a -+-+-==? 的大小 b a ?sin a b α ，α为a , b 的夹角 方向：既垂直于a ，又垂直于b ,与b a ,满足右手螺旋关系。 叉乘的不可交换性 a b b a ?-=? 2.三个矢量的混合积 112233()()()()c a b c a b c a b c a b ??=?+?+? =)()()(122133113223321b a b a c b a b a c b a b a c -+-+- 几何解释:以c b a ,,为棱的平行六面体的体积 性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变. ()()()a b c b c a c a b ??=??=?? (2)若只把两个矢量对调,混合积反号。 ()()()(a b c a c b b a c c b a ??=-??=-??=-??

《经济数学基础》微积分部分复习

《经济数学基础》微积分部分复习 第一篇 微分学 第一章 函数 一、本章考核点 1、掌握函数奇偶性的判定，掌握总成本、平均成本、收入、利润函数的概念及表达式，掌握五个基本初等函数的概念及表达式。 2、熟练掌握函数定义域、求函数值、复合函数的复合与分解的计算。 二、基本概念 基本初等函数、函数的奇偶性、总成本、平均成本、收入、利润函数 奇偶性：若f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数 若f(-x)=－f(x)，则函数f(x)为奇函数 若f(x)不满足上述两式，则函数f(x)为非奇非偶函数 总成本函数：10C C C += 隐含条件： )0(C C = 平均成本：q C C = 总收入函数：pq R = 隐含条件：0)0(=R 总利润函数：C R L -=

基本初等函数： 常数：y=C 幂函数：α x y = 指数函数：x a y = 对数函数：x y log = 自然对数：x y ln = 三角函数：正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx 正切函数 y=tanx 余切函数 y=cotx 三、计算 1、求函数的定义域 重点是已知函数的解析式求函数的定义域——四个限制 已知函数的解析式求定义域，有以下几个限制： ①分式的分母不为零； ②对数的真数大于零； ③开偶次方的被开方数非负； ④2 tan π π+ ≠=k x x y 中 πk x x y ≠=中c o t 其中k=0, ±1,2,3,…… 2、求函数值 3、复合函数的分解

第二章 极限、导数与微分 一、本章考核点 1、熟练掌握极限的计算、导数微分的计算。 2、掌握函数间断点的求法，判断分段函数分段点是否有极限、是否连续。 二、计算 1、极限——数列的极限、函数的极限 方法：利用四则运算性质、利用两个重要极限公式 2、导数和微分 方法：利用导数的四则运算法则和导数基本公式； 复合函数的导数；隐函数的导数；高阶导数 3、求函数的间断点——两种类型 初等函数：初等函数在其定义域内连续 ——函数无定义的点即为初等函数的间断点； 分段函数：分段函数的间断点存在于分段点中。 4、判断分段函数分段点是否有极限 根据性质：A x f x f A x f x x x x x x ==?=-+→→→)(lim )(lim )(lim 0 5、判断分段函数分段点是否是否连续 根据性质：A x f x f A x f x x x x x x ==?=-+→→→)(lim )(lim )(lim 0 及函数连续的定义) ()(lim 00 x f x f x x =→

矢量微分算子和拉普拉斯算子

矢量微分算子和拉普拉斯算子 一、矢量微分算子 （一）形式定义： x y z ????= ++???i j k 我们发现矢量微分算子算子在形式上是个矢量。 （二）用法定义 1.铺垫定义: 2.跟标量函数(),,u x y z 相乘 3.跟矢量()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 点乘 4.跟矢量()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 叉乘

（三）按照以上定义，我们容易得出： 1.根据下图所示梯度定义可知，可以用矢量微分算子表示标量函数() ,, u x y z 的梯度，即() grad u u =? 2.根据下图所示散度定理可知，可以用适量微分算子表示矢量函数 ()()() ,,,,,, P x y z Q x y z R x y z =++ A i j k的散度，即() div=?? A A 3.根据下图所示旋度定义可知，可以用矢量微分算子表示矢量函数 ()()() ,,,,,, P x y z Q x y z R x y z =++ A i j k的旋度，即() rot=?? A A

二、拉普拉斯算子 （一）形式定义： （二）用法定义： 1.铺垫定义: 2.跟标量函数(),,u x y z 相乘

3.跟矢量函数()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 数乘 （三）注意 1.()2u u ?=???

2.()2?≠???A A 且()()2=???-?????A A A 3.()()2????=???-?A A A

高等数学教案-向量代数与空间解析几何

高等数学教学教案 第8章 向量代数与空间解析几何 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第8章 第1节 向量及其运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 数量积、向量积、混合积，两个向量垂直、平行的条件 教学难点 两个向量垂直、平行的条件 参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置 大纲要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2.掌握向量的运算（向量运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件. 3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用表达式进行向量运算的方法. 教 学 基 本 内 容 一．空间直角坐标系 1.直角坐标系，点叫做坐标原点. 2.在直角坐标系下，数轴统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫作一个卦限，分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示. 3.数组为点在空间直角坐标系中的坐标，其中分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标． 二．空间两点间的距离 设，为空间两点，则与之间的距离为 . 三．向量的概念 1. 向量:既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）． O Oxyz 111(, , )M x y z 222(, , )N x y z M N 212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=Oxyz Oz Oy Ox ,,zOx yOz xOy ,,(, , )x y z M Oxyz z y x ,,M

2. 向量的模:向量的长度称为向量的模，记作或. 3. 单位向量:模为的向量叫做单位向量. 4. 零向量:模为的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的． 5. 相等向量:大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作.规定：所有的零向量都相等. 6.负向量:与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作． 7. 平行向量:平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）． 8. 共面向量:平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量共面. 四．向量的线性运算 1. 向量的加法 定义 对向量，，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作 平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和，记作．这种向量求和 方法称为平行四边形法则． 若将向量平移，使其起点与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和，该法则称为三角形法则． 对于任意向量，，，满足以下运算法则： (1)(交换律)． (2) (结合律)． (3)． 2.向量的减法 定义 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即．特别地，当时，有. 若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量. 3.数乘向量 定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是 ，方向： 当时，与同向；当时，与反向；当时，． 对于任意向量，以及任意实数，，有下列运算法则： (1) ． (2) ． (3) ． 向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，称为，的一个线性组合 ．特别地，与同方向的单位向量叫做的单位向量，记作，即. 定理 向量与非零向量平行的充分必要条件是存在唯一的实数，使得. a AB 10b a =a a -a a b A AB AD a b AB AD ABCD A C AC a b b a +b a a b c a b a b c a +b =b +a ()()a +b +c =a +b +c 0a +=a a b -b a b ()--a b =a +b b =a ()-0a +a =a b a b b a λa λa λa λa 0λ>λa a 0λ<λa a 0λ=λ0a =a b λμ()()λμλμa =a ()+λμλμ+a =a a ()+λλλ+a b =a b λμa +b a b (, )R λμ∈a a a e | |a a e a = a b λλa = b

矢量的基本代数运算

《微分几何简介》笔记 Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量1e ，2e ，3e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用],,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1e ，2e ，3e 称为σ的基矢(或底矢)。 若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1x ，2x ，3x 就是r 径矢在σ里的分量： 332211e e e r x x x ++= 若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为 332211e e e r x x x ++=，332211e e e s y y y ++= 则矢量 333222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-= 其中)3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量332211e e e αa a a ++=的长为 2 32221a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1e 间的角],0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算 现有矢量332211e e e αa a a ++=和332211e e e βb b b ++=，则

经济数学基础-微积分》教案

经济数学基础-微积分》教案 温州大学城市学院 课程教案 学期:2009-2010-1 分院基础教学部课程名称《经济数学基础--微积分》学时 80 教材《经济数学基础--微积分》授课教师侯晓阳授课对象 09工管专1、2、3、4; 09会计专1、2、3、4; 上课地点 2-110，2-112 上课时间周一3、4;周四1、2;周五5、6 (双) 教案 授课日期:2009年 9 月 7 日教案编号:1 教学安排课型:理论 教学方式:讲授 教学资源多媒体、板书 第一章函数第一节实数概述授课题目(章、节) 第二节函数 教学目的与要求: 熟练掌握函数的概念与定义域的确定，掌握分段函数的概念及定义域的确定;了解函数的表 示法; 教学内容与时间安排: 一、函数的概念 1. 引例 2. 函数的定义 3. 函数的两要素 4. 函数的定义域 从实例出发，引出函数关系, 再给出函数的定义, 并通过比较两函数是否相等给出函数的两

个要素, 通过课件演示函数的三种表示法。 1学时 二、函数的表示法 阐述分段函数的概念，求分段函数的函数值及作分段函数的图像。 适当补充求定义域的课堂练习 1学时 重点和难点: 函数的概念;函数的定义域;分段函数的概念; 复习思考题，作业题: P8:1 (3), 2 (1) (5), 4, 6*,7* 如有答疑、质疑请记录: 答疑时间:周二晚上18:30-20:10，地点:3-216 教案 授课日期:2009年 9 月 10 日教案编号:2 教学安排课型:理论 教学方式:讲授 教学资源多媒体、板书 第一章函数第三节函数的几种性态授课题目(章、节) 第四节反函数与复合函数 教学目的与要求: 掌握函数的几种特性，理解反函数的概念;熟练掌握复合函数的概念。 教学内容与时间安排: 一、函数的几种特性 1. 函数的奇偶性 2. 函数的单调性 3. 函数的周期性 4. 函数的有界性 引导学生回忆高中的知识并播放课件中的图形, 使学生从直观上理解函数的单调性, 周期性和

矢量的基本代数运算

矢量的基本代数运算 《微分几何简介》笔记 Ch.1矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量e i，e2， e3，构成一个直角坐标系（或标架）。用[O；e,e2,e3]表示；O称为的原点，e i，e2，e3称为的基矢（或底矢）。 若P为空间任意一点，以0为始点，P为终点的矢量r OP称为P点在标架里的径矢。P 点在里的坐

标x i, X2，X3就是r径矢在里的分量： r X i e i X2e2 X a e a 若P、Q为空间两点，它们在里的径矢依次为 r X i e i X2e2 X a e a，s y i e i y z e? y a e a 则矢量 PQ OQ OP s r （y i xje i （y? X2）e2 （y a X a）e a

其中y i X i （i 1,2,3） 就是该矢量在 里的分量。各分量 均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是 它们的分量依次相等 若|a 1 , a 为单位矢量（幺矢）。|a 0，则 a i / a 叫做a 在里的方向余弦，它们是a 和e i 间的角［0, 之间 的余弦。零矢没有方向余弦。 i ）矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三 角 形）法则。 a B (a i b i )e i (a 2 b 2 )e 2 (a 3 b 3 )e 3 2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形 （或 三角形）法则，为加法的逆运算。 a B （a i b i ）e i （a ? b 2）e 2 （a 3 b 3）e 3 3） 纯量（或数量）乘矢量：若 为纯量，则 况 a 〔e i a 2e 2 a 3e 3 4）数积（点乘）：矢量a , B 的数积是纯量 a B a i b i a 2b 2 a 3b 3 a Bcos 矢量a a ?e 2 a 3e 3 的长为 1.2矢量的基本代数运算 现有矢量a a i e i a 2e 2 a 3e 3 和 B b i e i b 2e 2 b 3e 3 a 2 2 a ? a 3

-1《经济数学基础-微积分》教案(杨爱琴)

温州大学城市学院 课程教案 学期：2009-2010-1 分院基础教学部 课程名称《经济数学基础--微积分》 学时80 教材《经济数学基础--微积分》 授课教师杨爱琴 授课对象09经济贸易类专1、2、3、4 上课地点9-201、9-204、9-206、9-305 上课时间周一1.2.3.4；周三1.2.3.4；周五1.2.3.4(双)

授课日期：2009年9 月14 日教案编号：1 教学安排课型：理论 教学方式：讲授 教学资源多媒体、板书 授课题目（章、节）第一章函数第一节实数概述 第二节函数 教学目的与要求： 熟练掌握函数的概念与定义域的确定；掌握分段函数的概念及定义域的确定；了解函数的表示法； 教学内容与时间安排： 一、函数的概念 1、引例 2、函数的定义 3、函数的两要素 4、函数的定义域 从实例出发，引出函数关系，再给出函数的定义，并通过比较两函数是否相等给出函数的两个要素，通过课件演示函数的三种表示法。1学时 二、函数的表示法 阐述分段函数的概念，求分段函数的函数值及作分段函数的图像。 适当补充求定义域的课堂练习。1学时 重点和难点： 函数的概念；函数的定义域；分段函数的概念； 复习思考题，作业题： P8：1 (3)、2 (1)、(5)、4、6*、7* 如有答疑、质疑请记录： 答疑时间：周二下午13:30-16:30，地点：3-316

授课日期：2009年9 月16 日教案编号：2 教学安排课型：理论 教学方式：讲授 教学资源多媒体、板书 授课题目（章、节）第一章函数第三节函数的几种性态 第四节反函数与复合函数 教学目的与要求： 掌握函数的几种特性，理解反函数的概念；熟练掌握复合函数的概念。 教学内容与时间安排： 一、函数的几种特性 1、函数的奇偶性 2、函数的单调性 3、函数的周期性 4、函数的有界性 引导学生回忆高中的知识并播放课件中的图形, 使学生从直观上理解函数的单调性, 周期性和有界性。0.5学时 二、反函数的概念 给出反函数的概念，总结求反函数的步骤。0.5学时 三、复合函数 1、复合函数的定义 2、函数的复合与分解 通过一个复合函数的例子引出复合函数的定义，补充有关复合函数分解的例题和练习 1学时 重点和难点： 函数的几种特性，特别是有界性，反函数的概念，函数的复合与分解 复习思考题，作业题： P8：9(1)、(2)、P16：1 (2)、(3)、3 (2) 、(4)、4* 如有答疑、质疑请记录： 答疑时间：周二下午13:30-16:30，地点：3-316

经济数学基础—微积分及应用第四章不定积分

《微积分》 课程教案（十六） 课题：第四章 不定积分 §4.1-§4.2不定积分的概念、法则与基本公式 课时：２ 周次：11 授课日期： 地点： 授课方式及手段：课堂讲授 教学目标：掌握不定积分的概念、法则，能根据法则、概念与公式求不定积分 教学重难 点：不定积分的概念及不定积分的简单运算 教学过程与内容： 一．不定积分的概念与基本运算法则 1. 引入新课 （1）启发学生回答下列问题: 1)()' 2x = 2)( ) ' x = （2）教师指出：()' 22,x x =我们把2 x 叫做2x 的一个原函数 ' 212x x ?? = ??? ，我们把212x 叫做x 的一个原函数 同理: ()()' F x f x =，我们把()F x 叫做()f x 的一个原函数 2. 由上面的讨论引出原函数的概念 已知函数()F x 在区间I 上可导，若()()' F x f x =，则称函数()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数 例：由于()' 22x x =，()' 2 12x x +=，( ' 2 2x x =，----，()' 2 2x c x +=()c 为常数 因此2x 的原函数有无数多个 一般地，如果函数()f x 存在原函数()F x ，则原函数有无数多个，即 ()() ()' F x c f x +=

我们把()F x c +叫做()f x 的所有原函数（c 为常数） 例：2 x c +是2x 的所有原函数 3. 不定积分的概念 若函数()F x 为()f x 的一个原函数，则函数()f x 的所有原函数 ()(),F x c c +为常数，称为函数()f x 的不定积分，记为： ()()f x dx F x c =+? 例：22xdx x c =+?，212 xdx x c =+? ，2332 xdx x c =+? ，2 42xdx x c =+? ， 4．积分与微分的关系 ()' 2 222x c x xdx x c +=?=+? ()2222 d x c x xdx x c +=?=+? 显然，它们是互逆运算 5. 先积分后微分两者作用互相抵消 例：( ) ()' ' 2 2 222xdx x c xdx x c x =+?=+=? ? ， ()()2 22d xdx d x c xdx =+=? 一般地：()() ()' f x dx f x =? ( )()( )d f x d x f x d x =? 6. 先微分后积分，则两者作用抵消后加上一个常数c 例：()' 222x dx xdx x c ==+?? ()2 2 2d x xdx x c ==+?? 一般地： ()()' F x dx F x c =+? ()()dF x F x c =+? 7.讲例题 例4：()152p 填空题 函数的一个原函数 分析:这是求被积函数的问题，由于 ()()f x dx F x c =+?，因此()()' F x f x =

经济数学基础12历年真题

试卷代号：2006 国家开放大学2013～2014学年度第二学期“开放专科”期末测试 经济数学基础12 试题 2014年7月 一、单项选择题(每题3分，本题共15分) 1．下列各函数中，( ）不是基本初等函数． 3．下列等式中正确的是( )． 二、填空题(每题3分，共15分) 6．函数2 9()ln(1) x f x x -=-的定义域是 ． 7．函数()2f x x =+在2x =点的切线斜率是________________。 8．若 ()()f x dx F x c =+?，则(3+5)f x dx =? ． 9．设矩阵1243A -??=? ? ?? ，I 为单位矩阵，则()T I A -= 。 10．若(,)4,()3r A b r A ==，则线性方程组AX b = 。

三、微积分计算题(每小题10分，共20分) 11．设3cos ln y x x =+，求y '． 12．计算不定积分 2 1sin x dx x ? . 四、线性代数计算题（每小题15分，共30分） 13．设矩阵231010010A -????=-?????? ，求-1A 。 14．求下列线性方程组12341234123425230 2302146120 x x x x x x x x x x x x -+-=?? +-+=??-+-+=? 的一般解。 五、使用题（本题20分） 15．设生产某产品的总成本函数为()3C x x =+（万元），其中x 为产量（百吨），销售百吨时的边际收入为()152R x x '=-（万元/百吨），求： （1）利润最大时的产量； （2）在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

矢量微分元

1.3 矢量微分元：线元、面元、体元 1.直角坐标系 2.圆柱坐标系 3.球坐标系

例： d d d W F l B S Q V ρ=?ψ=?=???其中：和称为微分元。 d ,d l S d V d l d S

在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z )，如图，做一微分体元。 线元： ?d d y y l ya =???d d d d x y z l xa ya za =++?d d x x l xa =?d d z z l za =面元： ?d d d x x S y za =体元： d d d d V x y z =?d d d y y S x za =?d d d z z S x ya =1. 直角坐标系

在圆柱坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。 (,,)r z ?线元：???d d d d r z l ra r a za ??=++?d d d r r S r za ?=?d d d S r za ??=?d d d z z S r ra ?=d d d d V r r z ?=面元： 体元： 2. 圆柱坐标系

在球坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。 (,,)R θ?2 ?d sin d d R R S R a θθ?=?d sin d d S R R a θθθ?=?d d d S R R a ??θ=???d d d sin d R l Ra R a R a θ?θθ?=++线元：面元：体元： 2 d sin d d d V R R θθ? =3. 球坐标系

在正交曲线坐标系中，其坐标变量不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知 其拉梅系数，就可正确写出其线元、面元和体元。 123(,,)u u u 123,,h h h ?体元： 123123 d d d d V h h h u u u =123112233???d d d d u u u l h u a h u a h u a =++?线元： 112323?d d d u S h h u u a =221313?d d d u S h h u u a =331212?d d d u S h h u u a =?面元： 4. 正交曲线坐标系：