2018届新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测数学(理)试卷Word版含答案
乌鲁木齐地区2018年高三年级第一次质量监测
理科数学（问卷）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{|11}A x x =-<<，{|02}B x x =≤≤，则R A
C B =（ ）
A ．{|11}x x -<<
B ．{|12}x x -<<
C ．{|01}x x <<
D ．{|10}x x -<<
2.设复数z 12i =+，设
23
1
z z +=-（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．-2
3.已知等比数列{}n a 的公比为()q q R ∈，且134a a ?=，48a =，则1a q +=（ ） A ．3 B ．2 C ．3或-2 D ．3或-3
4.已知
3
π为函数()sin(2)(0)2f x x π
??=+<<的零点，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）
A ．5[2,2]()1212k k k Z ππππ-+∈
B ．7[2,2]()1212k k k Z ππππ++∈ C. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D ．7[,]()1212
k k k Z ππππ++∈ 5.已知3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C.c a b << D ．b c a << 6.已知AB 是圆O 的一条弦，长为2，则OA AB ?=（ ） A ．1 B ．-1 C.2 D ．-2 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A ．
12 B ．1
2
- C.1 D ．-1
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A
．8+ B
．12+C.
8+ D
．12+9.甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话： 甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了.” 乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了.” 丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了.”
结果三人都没有说错，但是只有两人中奖，那么这两人是（ ） A ．甲、乙 B ．乙、丙 C.丙、丁 D ．甲、丁 10.棱长均为1的直三棱柱的外接球的表面积是（ ） A ．π B ．
43π C. 73
π
D ．3π 11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,(3,2)F M ，直线MF 交抛物线于,A B 两点，且M 为AB 的中点，则p 的值为（ ）
A ．3
B ．2或4 C. 4 D ．2 12.已知直线0x y -=是函数ln ()a x
f x x
=图像的一条切线，且关于x 的方程(())f f x t =恰有一个实数解，则（ ）
A ．{ln 2}t e ∈
B ．[0,ln 2]t e ∈ C. [0,2]t ∈ D ．(,0]t ∈-∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分.
13.设,x y 满足24122x y x y x y +≤??
-≥??-≤?
．则z x y =+的最大值是 ．
14.二项式3
10
21()x x
+
的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
15.若方程为标准方程的双曲线的一条渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则其离心率为 ． 16.已知数列{}n a 共有26项，且11a =，2620a =，1||1(1,2,,25)k k a a k +-==，则满足条件的不同数
列{}n a 有 个．
三、解答题 ：第17-21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos()1B A C ++=. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若M 为BC 的中点，且AM AC =，求sin BAC ∠.
18.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AA AC =，,M N 分别为11,BC AC
的中点.
（Ⅰ）求证AM BN ⊥；
（Ⅱ）求二面角11B BN A --的余弦值.
19.“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券.为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照[0.1,0.2)，[0.2,0.3),,[0.9,1]分组，得到如下频率分布直
方图：
根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
（Ⅰ）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
（Ⅱ）从购物者中随机抽取10人，这10人中获得电子优惠券的人数为X ，求X 的数学期望.
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点(1,2
.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(2,0)M 的直线交椭圆C 于,A B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足
OA OB tOP +=，其中(
2)3
t ∈，求||AB 的取值范围. 21.已知函数2()(1)1x f x e ax a x =-++-的定义域为{|01}x x <<，其中R a ∈， 2.71828e =为自然
对数的底数.
（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；
（Ⅱ）若关于x 的方程()f x ex =在(0,1)上有解，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，并将所选的题号下的“□”涂黑.如果多做，则按所做的第一题记分.满分10分.
22.已知曲线1C 的参数方程是4cos 3sin x y ?
?
=??
=?（?为参数，0?π≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4sin(0)ρρ=≠. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线y 与曲线12,C C 分别交于,A B 两点，求||AB . 23.已知函数()|||1|f x x x =+-.
（Ⅰ）若()|1|f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中m 的最大值为M ，正实数,a b 满足2
2
a b M +=，证明：2a b ab +≥.
试卷答案
一、选择题
1-5:DCDCB 6-10:DDBCC 11、12：BA
二、填空题
13.
73 14. 210 15. 3
或2 16.2300 三、解答题
17.（Ⅰ）在ABC ?中，A B C π++=cos()1B A C ++=，
cos()1B B π+-=cos 1B B -=，∴2sin()16B π
-=，即1
sin()62
B π-=， ∵0B π<<，∴56
6
6B π
π
π-
<-
<
，∴66B ππ-=，∴3
B π
= 综上所述，结论是：3
B π
=
（Ⅱ）取线段MC 的中点D ，连接AD ，
∵AM AC =，∴AD MC ⊥，设CD x =，则3BD x =，
∴tan
3
AD BD π
=?=
，∴AC ==，
在ABC ?
中，由正弦定理得
4sin sin 3
x BAC π=∠，
∴sin 7BAC ∠=
=
综上所述，结论是：sin BAC ∠=
18.（Ⅰ）建立如图A xyz -空间直角坐标系，不妨设1AB =
，则1AA AC =(0,0,0)A
，
1(,22M ，(1,0,0)B
，(0,2N
，1A
，1(1B
，∴1(,22AM =
，
(1,
2
BN =- ∵0AM BN ?=∴AM BN ⊥
（Ⅱ）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1BB AM ⊥，又∵AM BN ⊥，∴1AM BB N ⊥，设平面1A BN 的法向量为(,,)n x y z =，则10m BA ?=，0n BN ?=，
∵1(1
BA =-
，1,0)2
A N =，解得(2,0,1)n =， 设二面角的平面角为θ，则2
cos 3
||||n AM n AM θ?=
=
?.
19.（Ⅰ）购物者获得50元优惠券的概率为：(1.52 2.5)0.10.6++?=； 购物者获得100元优惠券的概率为：(1.50.5)0.10.2+?= 购物者获得200元优惠券的概率为：(0.50.2)0.10.07+?=
∴获得优惠券金额的平均数为：500.61000.22000.0764?+?+?=（元） （Ⅱ）从购物者中任取一人获得电子优惠券的概率为：0.60.20.070.87++= 依题意：(10,0.87)X
B ，所以()100.878.7E X =?=
20.（Ⅰ）依题意，有2222221
211
112a b a b a b ?=+?=??
???+==?
???，∴椭圆方程2212x y += （Ⅱ）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为(2)y k x =-，由22
(2)12
y k x x y =-??
?+=??得 2222(12)8820k x k x k +-+-=，∴28(12)0k ?=->，得212
k <
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，则2122
121228124(4)12k x x k k y y k x x k ?+=??+??+=+-=-?+?
由OA OB tOP +=得222
84(,)(12)(12)
k k P k t k -++，代入椭圆方程得22
21612k t k =+
2t <<得21142k <<，
∴||AB ==