乌鲁木齐地区2018年高三年级第一次质量监测
理科数学(问卷)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{|11}A x x =-<<,{|02}B x x =≤≤,则R A
C B =( )
A .{|11}x x -<<
B .{|12}x x -<<
C .{|01}x x <<
D .{|10}x x -<<
2.设复数z 12i =+,设
23
1
z z +=-( ) A .2i B .2i - C .2 D .-2
3.已知等比数列{}n a 的公比为()q q R ∈,且134a a ?=,48a =,则1a q +=( ) A .3 B .2 C .3或-2 D .3或-3
4.已知
3
π为函数()sin(2)(0)2f x x π
??=+<<的零点,则函数()f x 的单调递增区间是( )
A .5[2,2]()1212k k k Z ππππ-+∈
B .7[2,2]()1212k k k Z ππππ++∈ C. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D .7[,]()1212
k k k Z ππππ++∈ 5.已知3log 6a =,5log 10b =,7log 14c =,则,,a b c 的大小关系为( ) A .a b c << B .c b a << C.c a b << D .b c a << 6.已知AB 是圆O 的一条弦,长为2,则OA AB ?=( ) A .1 B .-1 C.2 D .-2 7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )
A .
12 B .1
2
- C.1 D .-1
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A
.8+ B
.12+C.
8+ D
.12+9.甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话: 甲说:“如果我中奖了,那么乙也中奖了.” 乙说:“如果我中奖了,那么丙也中奖了.” 丙说:“如果我中奖了,那么丁也中奖了.”
结果三人都没有说错,但是只有两人中奖,那么这两人是( ) A .甲、乙 B .乙、丙 C.丙、丁 D .甲、丁 10.棱长均为1的直三棱柱的外接球的表面积是( ) A .π B .
43π C. 73
π
D .3π 11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,(3,2)F M ,直线MF 交抛物线于,A B 两点,且M 为AB 的中点,则p 的值为( )
A .3
B .2或4 C. 4 D .2 12.已知直线0x y -=是函数ln ()a x
f x x
=图像的一条切线,且关于x 的方程(())f f x t =恰有一个实数解,则( )
A .{ln 2}t e ∈
B .[0,ln 2]t e ∈ C. [0,2]t ∈ D .(,0]t ∈-∞
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每题5分.
13.设,x y 满足24122x y x y x y +≤??
-≥??-≤?
.则z x y =+的最大值是 .
14.二项式3
10
21()x x
+
的展开式中常数项是 .(用数字作答)
15.若方程为标准方程的双曲线的一条渐近线与圆22(2)1x y -+=相切,则其离心率为 . 16.已知数列{}n a 共有26项,且11a =,2620a =,1||1(1,2,,25)k k a a k +-==,则满足条件的不同数
列{}n a 有 个.
三、解答题 :第17-21题每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos()1B A C ++=. (Ⅰ)求角B 的大小;
(Ⅱ)若M 为BC 的中点,且AM AC =,求sin BAC ∠.
18.在直三棱柱111ABC A B C -中,AB AC ⊥,1AA AC =,,M N 分别为11,BC AC
的中点.
(Ⅰ)求证AM BN ⊥;
(Ⅱ)求二面角11B BN A --的余弦值.
19.“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节,为了刺激“双十二”的消费,某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券.为此,公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人,将其购物金额(单位:万元)按照[0.1,0.2),[0.2,0.3),,[0.9,1]分组,得到如下频率分布直
方图:
根据调查,该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下:
(Ⅰ)求购物者获得电子优惠券金额的平均数;
(Ⅱ)从购物者中随机抽取10人,这10人中获得电子优惠券的人数为X ,求X 的数学期望.
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2,且过点(1,2
.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过点(2,0)M 的直线交椭圆C 于,A B 两点,P 为椭圆C 上一点,O 为坐标原点,且满足
OA OB tOP +=,其中(
2)3
t ∈,求||AB 的取值范围. 21.已知函数2()(1)1x f x e ax a x =-++-的定义域为{|01}x x <<,其中R a ∈, 2.71828e =为自然
对数的底数.
(Ⅰ)设()g x 是函数()f x 的导函数,讨论()g x 的单调性;
(Ⅱ)若关于x 的方程()f x ex =在(0,1)上有解,求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,并将所选的题号下的“□”涂黑.如果多做,则按所做的第一题记分.满分10分.
22.已知曲线1C 的参数方程是4cos 3sin x y ?
?
=??
=?(?为参数,0?π≤≤).以坐标原点为极点,x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是4sin(0)ρρ=≠. (Ⅰ)求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线y 与曲线12,C C 分别交于,A B 两点,求||AB . 23.已知函数()|||1|f x x x =+-.
(Ⅰ)若()|1|f x m ≥-恒成立,求实数m 的最大值;
(Ⅱ)记(Ⅰ)中m 的最大值为M ,正实数,a b 满足2
2
a b M +=,证明:2a b ab +≥.
试卷答案
一、选择题
1-5:DCDCB 6-10:DDBCC 11、12:BA
二、填空题
13.
73 14. 210 15. 3
或2 16.2300 三、解答题
17.(Ⅰ)在ABC ?中,A B C π++=cos()1B A C ++=,
cos()1B B π+-=cos 1B B -=,∴2sin()16B π
-=,即1
sin()62
B π-=, ∵0B π<<,∴56
6
6B π
π
π-
<-
<
,∴66B ππ-=,∴3
B π
= 综上所述,结论是:3
B π
=
(Ⅱ)取线段MC 的中点D ,连接AD ,
∵AM AC =,∴AD MC ⊥,设CD x =,则3BD x =,
∴tan
3
AD BD π
=?=
,∴AC ==,
在ABC ?
中,由正弦定理得
4sin sin 3
x BAC π=∠,
∴sin 7BAC ∠=
=
综上所述,结论是:sin BAC ∠=
18.(Ⅰ)建立如图A xyz -空间直角坐标系,不妨设1AB =
,则1AA AC =(0,0,0)A
,
1(,22M ,(1,0,0)B
,(0,2N
,1A
,1(1B
,∴1(,22AM =
,
(1,
2
BN =- ∵0AM BN ?=∴AM BN ⊥
(Ⅱ)∵111ABC A B C -是直三棱柱,∴1BB AM ⊥,又∵AM BN ⊥,∴1AM BB N ⊥,设平面1A BN 的法向量为(,,)n x y z =,则10m BA ?=,0n BN ?=,
∵1(1
BA =-
,1,0)2
A N =,解得(2,0,1)n =, 设二面角的平面角为θ,则2
cos 3
||||n AM n AM θ?=
=
?.
19.(Ⅰ)购物者获得50元优惠券的概率为:(1.52 2.5)0.10.6++?=; 购物者获得100元优惠券的概率为:(1.50.5)0.10.2+?= 购物者获得200元优惠券的概率为:(0.50.2)0.10.07+?=
∴获得优惠券金额的平均数为:500.61000.22000.0764?+?+?=(元) (Ⅱ)从购物者中任取一人获得电子优惠券的概率为:0.60.20.070.87++= 依题意:(10,0.87)X
B ,所以()100.878.7E X =?=
20.(Ⅰ)依题意,有2222221
211
112a b a b a b ?=+?=??
???+==?
???,∴椭圆方程2212x y += (Ⅱ)由题意可知该直线存在斜率,设其方程为(2)y k x =-,由22
(2)12
y k x x y =-??
?+=??得 2222(12)8820k x k x k +-+-=,∴28(12)0k ?=->,得212
k <
设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)P x y ,则2122
121228124(4)12k x x k k y y k x x k ?+=??+??+=+-=-?+?
由OA OB tOP +=得222
84(,)(12)(12)
k k P k t k -++,代入椭圆方程得22
21612k t k =+
2t <<得21142k <<,
∴||AB ==