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其他重要不等式【学生版】

自招竞赛秋季数学讲义

其他重要不等式

赫尔的不等式，闵可夫斯基不等式，钟开来不等式以及阿贝尔不等式的证明以及应用。

知识梳理、例题精讲

一、幂平均不等式

幂平均不等式：设12,,,n x x x

R +∈ ，且αβ<，有

11212()()n n x x x x x x n n

αααββββα++++++≤ ，等号当且仅当12n x x x === 时取到。

注：调和平均值相当于1α=-，算术平均值相当于1α=，均方根平均值相当于2α=，

几何平均值则则相当于1

120lim(

x x x n

ααααα→+++ ，大小关系由幂平均不等式显而易见。【例1】【题目来源】

【题目】设i x R +∈(1,2,,)i n = ，求证：

10111020120

(

)()()()n n n n n n n n x x x x x x x

x x x x x x x -++++≥+++ 【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】3 【例2】【题目来源】

【题目】对于1p ≥，0q >，120n a a a ≥≥≥> ，120n b b b <≤≤≤ 或

120n a a a <≤≤≤ ，120n b b b ≥≥≥> ，证明111

1()()n

p p i n

p q i i n

q q

i i

i i a a

n b

b -+===≥∑∑

∑

【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】3 【例3】

【题目来源】第四届CMO

【题目】设12,,,n x x x 都是正数(2)n ≥，且1

i x

==∑，

求证：1

i i ==≥

【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】4 【例4】

【题目来源】2010中国国家集训队测验题

【题目】给定整数2n ≥和正实数a ，正实数12,,n x x x 满足121n x x x = ，求最小的实数

(,)M M n a =，使得1

i i

a s x =≤+-∑

【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】5

二、权方和不等式

权方和不等式：设1212,,,,,,,n n x x x y y y R +∈ ，

若0m >或1m <-，则

111()()n

m m i n

i i n

m m

i i

i i x x y

y ++===≥

∑∑∑

若10m -<<，则

111()()n

m m i n

i i n

m m

i i

i i x x y

y ++===≤

∑∑∑

【例5】

【题目来源】28届IMO 预选题

【题目】设,,a b c 是一三角形的三条边长，1

()2

s a b c =

++，求证： 22

()3

n n n n a b c b c c a a b -++≥+++，n Z +∈ 【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】3

三、琴生不等式

琴生不等式：若连续函数()f x 在区间I 内下凸（或上凸），则对任意12,,,n x x x I ∈ 及任

意12,,,n R λλλ+

∈ ，且

i λ

==∑，则有

11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤+++

或11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≥+++

判断函数下凸（上凸）的办法：

（1）设连续函数()f x 的定义域为(,)a b ，如果对于(,)a b 内任意两数12,x x 都有

1212()()

(

)()22

x x f x f x f ++≤≥，则称()f x 为(,)a b 上的下（上）凸函数（2）当函数()f x 二阶可导时，其凸性可根据二阶导数的符号来确定

即()0f x ''>→()f x 在D 上严格下凸

()0f x ''<→()f x 在D 上严格上凸

注：下凸函数有时也被成为凸函数，上凸函数有时也被成为凹函数。【例6】【题目来源】

【题目】设,,x y z 是正实数，且1xyz =，证明：

3333

(1)(1)(1)(1)(1)(1)4

x y z y z x z x y ++≥++++++

【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】4 【例7】

【题目来源】36届IMO

【题目】设,,a b c 为正实数，且1abc =，求证：3331113

()()()2

a b c b a c c a b ++≥

+++ 【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】4 【例8】

【题目来源】21届CMO 【题目】实数列{}n a 满足：112a =

，112k k k

a a a +=-+-，1,2,,k n = 。证明不等式： 121212111[

1]()(1)(1)(1)2()n n n n n

a a a n a a a n a a a +++-≤---+++

【证明】

【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】5

四、卡尔松不等式

卡尔松不等式：设0ij a >(1,2,,,1,2,,)i n j m == ，则

111

()

m ij

i i j j a a ====≥∑∑∏∏，其中

等号当且仅当

,1,2,1,1

1,2

1,i i i m i i i m

a a a a a a +++=

时取得。

这个不等式的直观表述是：对n m ?矩阵，m 列每列数之和的几何平均值大于等于其n 行每行数的几何平均值之和。【例9】

【题目来源】28届IMO 预选题

【题目】设,,a b c 是一三角形的三条边长，1

()2

s a b c =

++，求证： 22

()3

n n n n a b c b c c a a b -++≥+++，n Z +∈ 【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】3 【例10】

【题目来源】

【题目】设i x (1,2,,)i n = 为正数，2n ≥，n N ∈，则

010*********

(

)()()()n n n n n n n n n n x x x x x x x x

x x x x x x x x --++++≥++++ 【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】4 【例11】

【题目来源】第4届CMO

【题目】设i x R +∈，1i n ≤≤，2n ≥，1

i x

==∑

，试证：1

i =≥

【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】4

四、杨氏（Young ）不等式，赫尔德（Holder ）不等式与闵可夫斯基不等式

Young 不等式：设,0p q >，且111p q +=，则对,0x y >有1

p q x y x y p q

≤+

这个不等式的证明可以考察ln x 的凹凸性，用琴生不等式获得，比较简单这里不再列出。 Holder 不等式：设0i a >，0i b >，(1,2,,)i n = ，0p >，0q >，满足

1p q

+=，则111

()()n n

p q p

q i i i

i i i a b a

b ===≤∑∑∑，等号成立的条件是p q i i a b λ=

证明：由Young 不等式得

111111111111p

p q p q n n n i i

i i n n n n p q p q i i i i i

i i i i i i a b a b p q p q a b a b =======????????

????????????????≤+=+=??????????????????

??????

∑∑∑∑∑∑∑

等号成立的充要条件是

i i n

p q i

i i a b a

===

∑∑，即p q i i a b λ=，1,2,i n =

闵可夫斯基不等式：对,i i a b R +

∈，1k >，则1111

(())

()()n

k k k k

k k i

i i i a b a b ===+≤+∑∑∑，等

号当且仅当

12n n

a a a

b b b === 时成立证明：由赫尔德不等式，得

11111

()()

()

()(())

k k n n

k k k k

k k

i i i i

i i i

i i i i i i i i i a b a a b b a b a a b b a b ----=======+=+++≤+++∑∑∑∑∑∑∑所以111

(())()()n

k k k k

k k i i i

i i i a b a b ===+≤+∑∑∑，当且仅当

12n n

a a a

b b b === 时等号成立。

【例12】【题目来源】

【题目】设0i a >，0i b >，1,2,,i n = ，0m >或1m <-，证明：11

111()()n

m m i n

i i n

m m

i i

i i a a b b ++===≥

∑∑∑，

等号成立当且仅当i i a b λ=，1,2,,i n = 【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题

【难度系数】3 【例12】【题目来源】

【题目】证明：对正实数,,a b c

≥

【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】4

五、钟开来不等式与阿贝尔变换（阿贝尔不等式）

钟开来不等式：设12,,n a a a 和12,,n b b b 是正数，且12n b b b >>> ，若对所有的

1,2,,k n = 有1

j j j j b a ==≤∑∑，则2

j j j b a ==≤∑∑

证明：由阿贝尔变换公式1

()n

n k k

n n k k k k k a b

S b S b b -+===+-∑∑，其中k S 为{}k a 的前n 项和

我们有

12111

1111

()()()()j j j n

n n n n n

n j k j j n j k j j j j j j k j j k j b

b b b b b b a a b b a b -++=========+-≤+-=∑∑∑∑∑∑∑∑

又由柯西不等式有

1122221

()()n

j j

j j j a b

a b ===≤∑∑∑

结合上述两式即证明了

221

n n

j j

j j b a

==≤∑∑

在钟开莱不等式的证明过程中，我们使用了阿贝尔变换，这在不等式证明中是一个处理部分和条件的利器，在这里我们也将举一些例子来说明它的用法。先来看一个由阿贝尔变换容易证明的阿贝尔不等式。

阿贝尔不等式：设120n b b b ≥≥≥> ，1

k m a

M =≤

≤∑，1,2,,t n = ，则有：

111

k k k b m a b b M =≤≤∑

证明：设1

n k

k S a

∑

则

11111

()()n

n n k k

n n k k k n k k k k k a b

S b S b b mb m b b mb --++====+-≥+-=∑∑∑

1111

()()n

n n k k

n n k k k n k k k k k a b

S b S b b Mb M b b Mb --++====+-≤+-=∑∑∑ 证毕

【例13】【题目来源】

【题目】设123,,,a a a 是正实数序列，对所有的1n ≥

满足条件

j a

=≥∑，证明：对任

意的1n ≥有

111(1)42n

j a n =>+++∑ 【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】3

下面的几个例题是有关阿贝尔变换的使用的【例14】【题目来源】

【题目】设12,,,n a a a R +∈ ，,p q R +∈。记1

12()p p

p p n

S a a a =+++ ，则对于1,2,,n

的任一排列12,,,n i i i ，有：1

q q

k i p

p k k

a a S

=-≥-∑

【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】4 【例15】【题目来源】

【题目】试证：对任意实数x ，有1

[]

[]n

k kx nx k =≤∑，其中[]x 表示不超过x 的最大整数【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】4 【例16】【题目来源】

【题目】已知0k a ≥，1,2,,k n = ，定义11k k i i A a k ==∑，证明：22

4n n

i k k k A a ==≤∑∑

【证明】

【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】4 【例17】【题目来源】

【题目】设12,,,n a a a ∈N 且各不相同，求证：212211

122n a a a n n +++≤+++

【知识点】其他重要不等式【适用场合】当堂例题【难度系数】4

习题演练

1】

【题目来源】1986年中国国家集训队选拔试题【题目】设12,,,n x x x 都是实数(3)n ≥，令1

i p x

∑，1i j i j n

q x x ≤<≤=

∑

。求证：

（1）2

(1)20n p q n --≥；（2）||i x p -≤【知识点】其他重要不等式【适用场合】课后两周习题【难度系数】3 【练2】【题目来源】

【题目】设,,a b c 为正实数，求证：3332

221

()8889

b c a a b c a bc b ca c ab ++≥+++++ 【知识点】其他重要不等式【适用场合】课后两周练习【难度系数】3 【练3】【题目来源】

【题目】设i a R

∈，01i x ≤≤(1,2,)i n = ，且

i a

==∑，求证：

1121

11n n

i a a a i i n

a x x x x =≤++∑ ，等号当且仅当12n x x x === 时成立。【知识点】其他重要不等式【适用场合】课后两周习题【难度系数】3 【练4】【题目来源】

【题目】设,,0a b c >，求证：444

a b c a b c abc

++++≤

【知识点】其他重要不等式【适用场合】课后两周习题【难度系数】3 【练5】【题目来源】

【题目】设12,,n a a a 是正实数列，且对所有,1,2,i j = 满足i j i j a a a +≤+，求证：对于正整数n ，有3

2123n n a a a a a n

+++≥ 【知识点】其他重要不等式【适用场合】课后两周习题【难度系数】4 【练6】

专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)

专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为．【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +-

基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)

专题7.3 基本不等式及其应用学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)．【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值

【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．考点二利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果

(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意,a b 范围为正数。二定：指的是ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题：例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞

例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥，即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知：在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内，如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。

基本不等式及其应用

基本不等式及其应用一、教学分析设计【教材分析】人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；相关技能已经形成，能用它来解决简单的相关问题）。【学生分析】从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。【目标分析】结果性目标： 1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式； 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形； 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。体验性目标： 1、在解决实际问题的过程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题； 2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。重点：创设基本不等式使用的条件。难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。【核心问题分析】核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地实行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计：问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？问题3：设文化长廊为ABCD，现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树，且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E建造一直线型的景观带

解不等式的方法归纳

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解不等式的方法归纳一、知识导学 1. 一元一次不等式ax>b (1)当a>0时，解为a b x >； (2)当a ＜0时，解为a b x <； (3)当a ＝0，b ≥0时无解；当a ＝0，b ＜0时，解为R ． 2. 一元二次不等式：(如下表)其中a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 的两实根，且x 1＜x 2(若a ＜0，则先把它化正，之后跟a ＞0的解法一样) 3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是： ①将f(x)的最高次项的系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； ④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集. 4.分式不等式：先整理成 )()(x g x f ＞0或)()(x g x f ≥0的形式，转化为整式不等式求解，即： ) ()(x g x f ＞0?f(x)·g(x)＞0 ) ()(x g x f ≥0?0)x (g )x (f 0)x (g 0)x (f ＞或????≠= 然后用“根轴法”或化为不等式组求解. 类型解集 ax 2+bx+c ＞0 ax 2+bx+c ≥0 ax 2+bx+c ＜0 ax 2+bx+c ≤0 Δ＞0 {x ｜x ＜x 1或x ＞ x 2} {x ｜x ≤x 1或x ≥x 2} {x ｜x 1＜x ＜x 2} ｛x ｜x 1≤x ≤x 2｝ Δ＝0 {x ｜x ≠-a b 2，x ∈R} R Ф ｛x ｜x=-a b 2｝ Δ＜0 R R Φ Φ

不等式学生版

研究性学习资料不等式解法、 - 3 - 题型1：解含绝对值的不等式 1.解不等式：①|2x+51 |≥21 ；②|4x-3|<21 2.设全集U=｛x||x -2|>1｝，A ＝{x||x +1|≤1}，则C U A 等于（） A 、｛x|x <-2或x >0｝ B 、｛x|x <1或x ＞3｝ C 、{x|x <-2或0＜x ＜1或x >3} D 、｛x|11的解集为____。题型2：解一元二次不等式 1.解下列不等式：（1）02x x 2<--；（2）03x 2x 2>-+-;（3）21212≤-+≤-x x 2．若不等式012>-+bx ax 的解集是}43|{< （2）23(4)(5)(2)0x x x ++-< （3）()()22460x x --≤；题型4：解分式不等式（1）解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式，分母不为零。（2） 0ax b cx d +>+转化为()()0ax b cx d ++>，也可转化为00ax b cx d +>??+>?或00ax b cx d +?或00ax b cx d +≤??++++的解集是{}2x 1x 3|x >-<<-或，则a=___ 3.不等式 11ax x <-的解集为),2()1,(∞+?-∞则a 的取值范围是（） A.1 2a > B. 1 2a < C. 1 2a = D. 1a <- 题型5：解含参数的一元二次不等式的问题含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏。若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应的方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。 1、解关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x

不等式的解法(学生、答案)

不等式的解法习题 1.不等式5310x x -++≥的解集是 . 2. 751<-+-x x 的解集是 3. 不等式 0)4)(3)(1)(1(2>-++-x x x x x 的解集是 . 4. 不等式x ->21的解集为A ，不等式 216616x x x -->--的解集为B ，则A 与B 的关系是 A. A B ? B. A B ? C. A B = D. A B =ΦI 5. 不等式x x 21-≥的解集为 A. {}x x |≥1 B. {}x x x |≤>12或 C. {}x x |12≤≤ D. {}x x |12≤< 6. 不等式111+<-x x 的解集是 A. {}3|->x x B. }2234|{<x x 或}12<<-x 7. 不等式33+> +x x x x 的解集是

A. ]0,3(- B. R C. ),0()3,(∞+?--∞ D. )0,3(- 对于任意实数x ，不等式||||x x a ++->12恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 9. 不等式11<-x ax 的解集为), 2()1,(∞+?-∞则a 的取值范围是 A. 21>a B. 21 ++bx ax 的解集是??????<<-3121|x x ，则b a -的值是 A. 10- B. 14- C. 10 D. 14 11. 关于x 的不等式012<-++a ax ax 的解集为R ，则a 的取值范围为 A. )0,(-∞ B. ),34()0,(+∞?-∞ C. ]0,(-∞ D. ),34(]0,(+∞?-∞ 12．设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。