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2018届高三惠州市三调理科数学试题

惠州市2018届高三第三次调研考试

理科数学试题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求.

（1）集合}{

20A x x x =--≤，{}

10B x x =-<，则A B = （）

A ．}{

1x x ≥ B ．}{

11x x -≤< C ．{}1x x <- D ． {}

21x x -≤< （2）已知i 为虚数单位，复数z 满足6

1z i

=+，则复数z 的虚部为（） A ．3i B ．3

C ．3i -

D ．3-

（3）抽奖一次中奖的概率是90%，5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为（）

A ．3

0.9 B ．33250.90.1C ??

C ．31(10.9)--

D ．3

2350.90.1C ??

（4）等比数列{}n a 中，122a a +=，454a a +=，则1011a a +=（） A ．8

B ．16

C ．32

D ．64

（5）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且1

(2)()

f x f x +=-

，当32x -≤≤-时()f x x =，则(2018)f =（）

A ．-2

B ．2

C ．-3

D ．3

（6）若)n

a x

展开式中所有二项式系数之和是512 ，常数项为84- ，则实数a 的值

是（） A ．1

B ．﹣1

C ．1±

D ．2

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（） A ．

B ．1

C ．

D ．4

（8）如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是（）

A ．15

B ．31

C ．63

D ．127

（9）已知1cos()33x π

=，则25cos(2)sin ()33

x x ππ

-+-的值为（） A ．19- B ．19 C ．53- D ． 53

（10）已知,PA PB 是圆C :224470x y x y +--+=的两条切线(,A B 是切点), 其中P 是直线:34120l x y -+=上的动点，那么四边形PACB 的面积的最小值为( )

（11）已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =,()f x 的导数1

'()2

f x <

, 则不等式22

()22

x f x <

+的解集是( ) A.(,1)(1,)-∞-?+∞ B. (,2)(2,)-∞-?+∞ C. (1,)+∞ D. (2,)+∞

（12）已知函数()(0)1x

f x x x

=>+，设()f x 在点(,())(n f n n ∈N *）处的切线在y 轴上的截距为n b ，数列{}n a 满足：11

2a =，1()(*)n n a f a n N +=∈，在数列2

n n n b a a λ??+????

中，仅当5n =时，

n n n

b a a λ

+取最小值，则λ的取值范围是( ) A.(11,9)-- B. ( 5.5, 4.5)-- C. (4.5,5.5) D. (9,11)

二．填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量a b ⊥ ，2,a b == 则2a b -=

．

（14）设x,y 满足约束条件4

203

x y x y y +≥??

--≤??≤?，则2y z x =+的最大值为．

（15）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77a =，1166S =，则数列11n n a a +??

????

的前2017

项和2017S = ．

(16)设,A B 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右顶点，若在椭圆上存在异于,A B 的点

P ,使得0PO PB ?=

,其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是．

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。（17）（本小题满分12分）

在ABC ?中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，2cos 20b C a c -+=． (1)求角B 的大小；

(2) 若=2b ，求ABC ?外接圆的圆心到AC 边的距离．

（18）（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为4的菱形，

60BAD ∠=?，AC BD O = ,PO ABCD ⊥平面,

（1）证明：PA BD ⊥

（2）若E 是PA 的中点，

OE =，求二面角A EC B --的余弦值.

（19）（本小题满分12分）智能手机一经推出便风靡全国，

甚至涌现出一批离不开手机的人。为了调查每天使用手机的时间，某公司在一广场随机采访成年男性、女性各50 名，其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控”，否则称其

(1)根据以上数据，能否有75%的把握认为“手机控”与性别有关？

(2)现从调查的女性中按分层抽样的方法选出 5人，并从选出的 5 人中再随机抽取 3 人，给3人中的“手机控”每人赠送500元的话费。记这3 人中“手机控”的人数为X ,试求X 的分布列与所赠送话费的数学期望。

参考公式：2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++

（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为12，

且抛物线2

4y x =的准线恰好过椭圆C 的一个焦点。（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(0,1)的直线l 与椭圆交于,M N 两点，求OMN ?面积的最大值。

（21）（本小题满分12分）已知0t >，设函数3

3(1)()312

t f x x x tx +=-

++，（1）存在()00,2x ∈，使得()0f x 是()f x 在[]0,2上的最大值，求t 的取值范围；（2）()2x f x xe m ≤-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22）（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]

已知曲线C

的参数方程为22x y α

?=+??=+??(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极

点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设1:3

l π

θ=，2:6

l π

θ=

，若12,l l 与曲线C 相交于异于原点的两点,A B ，求ABO ?的

面积。

（23）（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 设函数()221f x x x =--+. （1）解不等式()0f x ≤；

（2）x R ?∈，()224f x m m -≤恒成立，求实数m 的取值范围

惠州市2018届高三第三次调研考试

理科数学参考答案

一．选择题（共12小题）

1、[1,2]A =-，(,1)A =-∞，[1,1)A B ?=-，故选B

2．66(1)331(1)(1)

i z i i i i -=

==-++- 故选D ． 3.本题主要考查n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式．故选B 4． 3345124a a a q a q +=+=，解得32q =，

99910111212()a a a q a q a a q +=+=+32216=?=.故选B

5．1

(4)()(2)

f x f x f x +=-

=+ ,∴周期4T =；(2018)(45042)(2)f f f =?+=

(2)2f =-=-.故选A

6.由题意9

25122n

==, 9n =,1

91219

()

()r

r r T C x ax --+=-=932

()r r

r a C x

--,930r -=

3r =,33

9()84a C -=-, 1.a =故选A

7．直观图是三条侧棱两两垂直的三棱锥，且侧棱长都为2，114222323

V =????=.故选C

8． 11,1,123S n S ===+=；22,327n S ==+=；3

3,7215n S ==+=；

44,15231n S ==+=；55,3126333n S ==+=≥，输出的63S =.故选C ．

9．1

cos()33

x π

∴5cos(2)3x π-=cos[2()]3x ππ-- =cos 2()3x π-- =212cos ()3x π--=79 22sin ()1cos ()33x x ππ-=--=89

∴25cos(2)sin ()33x x ππ-+-=785

993

+=．故选D

10圆Ｃ:22(1)(1)1x y -+-=,,PAC PBC ??是直角三角形，1AC =,所以当PC 最小时，,PA PB 有最小值，min 3411

PC -+=

，min PA ==PACB PAC PBC S S S ??=+2PAC S ?

=PA AC =≥g 故选C

11、设1()()2F x f x x =-

，1

'()'()02

F x f x =-<，即()F x 在Ｒ上单调递减 2211()22f x x <+Q ，2211

()(1)22

f x x f ∴-<-，即2()(1)F x F <，21x >，解得1

x >或1x <-.故选A

12．()(0)1x

f x x x

>+，则1()1n n n n a a f a a +==+，

得

1111+=+n n a a ，即1111=-+n

n a a ， ∴数列}1{n a 是首项为2、公差为1的等差数列，∴11n n a =+，即11

+=n a n .

[()](1)

f x x '=+ ，∴函数()f x 在点(,())(n f n n ∈N *）处的切线方程为： 21()1(1)n y x n n n -=-++，令0=x ，得2

1()1(1n n n n n n b n +=+-+=． 22

22(1)()24

n n n b n n n a a λλλλλ∴+=++=++-，仅当5=n 时取得最小值，只需5.52

5.4<-<λ

，解得911-<<-λ，故λ的取值范围为)9,11(--．

故选A

二、填空题（共4小题）

13. 20172018

16. (2

13、2a b -=r

==14、作出可行域，z 表示可行域内的点(,)x y 与点(2,0)-之间的斜率，当过点(1,3)时，z 有最大值1.

15、1161166S a ==，66a =，又77a =，可得n a n =，

11111

(1)1

n n a a n n n n +∴

==-

++ 20171111111112233420172018S =-+-+-++-L ＝12017120182018

-=。

16、(,0),(,0)A a B a -，设(,)P x y ，则(,),(,)PO x y PB a x y =--=--u u u r u u r

， 0PO PB =uu u r uu r

g ，2()()0a x x y --+=，得220y ax x =->，0x a ∴<<

将2

y ax x =-代入22221x y a b

+=，整理得222322

()0b a x a x a b -+-=，

其在(0,)a 上有解。设222322()()f x b a x a x a b =-+-，22(0)0f a b =-

220

02()a a

b a ?≥???

（?和对称轴），解得2212c a >，又01e <<

，12e <<

17. （1）2bcos 20C a c -+=，由余弦定理得：

222

2202a b c b a c ab

+-?-+=， -------------------------------------------2

分

222a c b ac ?+-=， -------------------------------------------------3分

则2221

cos 222

a c

b a

c B ac ac +-=

==-------------------------------5分 ∵0B π<< ∴3

B π

. -------------------------------------------7分

(2) 设ABC ?外接圆的半径为R ，由正弦定理知

22sin sin 3

b R B π=

----------------------------------------9分

R =

分则ABC ?外接圆的圆心到AC 边的距离

d ==

分

18.（1）因为底面是菱形，所以BD AC ⊥. -------------------------------- 1分又PO ABCD ⊥平面,BD ABCD ?平面，所以BD PO ⊥. --------------------2分

PO AC O = ，所以BD PAC ⊥面. --------------------------------- 3分

在Rt POA ?中，OE =∴PA =PO == -----------6

分方法一：

过O 做OH EC ⊥于H ，连BH ，则BH EC ⊥，

所以OHB ∠是二面角A EC B --的平面角. ----------------------------- 7分

在PAC ?

中，PA PC AC ===222

PA PC AC +=，即AP PC ⊥.

所以CE =

=分

111

222EOC S OC PO EC OH ???=??=? ???

，得5OH =，---------------------- 10分

BH =

cos OH OHB BH ∠==A EC B --

-----------12分

19. 解：（1）由列联表可得2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=

++++100 1.0199

=≈--------3分 0.708 1.01 1.321<<

∴没有75%的把握认为“手机控”与“性别”有关------------------------------5分

（2）依题意知：所抽取的5位女性中“手机控”有3人， “非手机控”有2人

∴X 的可能值为1，2，3. ---------------------------------------------------7分

1232353(1)10C C P X C ===,2132353(2)5C C P X C ===,33351

(3)10

C P X C ===-----------10分

∴X 的分布列是：

------------------------------11分

赠送话费的期望是331

500()500(123)90010510

E X =?+?+?=-----------12分

20. （1）设椭圆的焦半距为c ，抛物线24y x =的准线为1x =-，1c ∴=

c e a =

=，2222,3a b a c ∴==-= 所以椭圆C 的方程是22

143

x y +=． ------------------------- 4分（2）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形．

设其斜率为k ，那么直线l 的方程为1y kx =+． ------------------- 5分联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得22(43)880k x kx ++-=．

226432(43)0k k ?=++>．

设点1122(,),(,)M x

y N x y 得122843k x x k +=-

+，122

x x k =-+---- 7分

所以12

MN x =-=， ---------- 8分又O 到l 的距离d =

所以OMN ?的面积21243

S d MN k ==+．----------------9分

1)t t =≥设令，那么2221k t =-，224321k t +=+

1212S t t t

∴=

=++，----------------10分

因为()1)2f x x x x

≥+

是减函数----------------11分所以当1x =

时，min 213

S =

+ 所以△OMN

面积的最大值是3

． -------------------------12分

21.（1）2'()33(1)33(1)()f x x t x t x x t =-++=--，--------------1分 ①当01t <<时，()f x 在(0,)t 上单调递增，在(,1)t 单调递减，在(1,2)单调递增，

∴()(2)f t f ≥，由()(2)f t f ≥，得32

34t t -+≥，3234t t -+≥在01t <<时无解，

------------2分

②当1t =时，不合题意；---------------3分

③当12t <<时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t 递减，在(,2)t 单调递增，

∴(1)(2)12f f t ≥??<

32212

t t ?+≥???<

④当2t ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，满足条件，-------5分综上所述：5

[,)3

t ∈+∞时，存在0(0,2)x ∈，使得0()f x 是()f x 在[0,2]上的最大值. -------------------------------------------------------------------------6分

（2）3

3(1)3122

x t x x tx xe m +-

++≤-+对任意[0,)x ∈+∞恒成立，即3

223(1)3(1)31(3)122

x x t t m xe x x tx x e x x t ++≤-+-+=-+-+对任意[0,)x ∈+∞恒成立，---------------7分令2

3(1)

()32

t g x e x x t +=-+

-，[0,)x ∈+∞，根据题意，可以知道m 的最大值为1，

则2

3(1)

()302

t g x e x x t +=-+

-≥恒成立，---------------8分由于(0)130g t =-≥，则1

t <≤，

当103t <≤时，3(1)'()22

t g x e x +=-+，---------------9分

设3(1)()'()22

t m x g x e x +==-+则'()2x m x e =-，

'()20x m x e =-<，得0ln 2x <<，'()20x m x e =->，ln 2x >----------10分

则'()g x 在(0,ln 2)上递减，在(ln 2,)+∞上递增，则

min 3

'()(ln 2)2(1)2ln 202

g x g t ==++->，---------------11分

∴()g x 在[0,)+∞上是增函数.

∴()(0)130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0,]3

.--------------12分

22.(1)∵曲线C

的参数方程为2(2x y α

αα

?=+??=+??为参数）

∴曲线的普通方程为22(2)(2)8x y -+-= 即22440x y x y +--= ……2分将cos ,sin x y ρθρθ==代入并化简得：4cos 4sin ρθθ=+ 即曲线C 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+. …………5分

（2）由3

4cos 4sin πθρθθ

???=+?

得到12OA ρ==+…………7分

同理22OB ρ==+分又∵3

AOB π

∠=-

∴1

sin 42

AOB S OA OB AOB ?=

∠=+即AOB ?

的面积为4+分

23. （1）()0221f x x x ≤?-≤+ …………………………1分两边平方，化简得(3)(31)0x x +-≥…………………………3分

3x ≤-或1

x ≥

…………………………4分原不等式的解集为1

(,3][,)3

-∞-?+∞。…………………………5分

（2）∵3,21()22113,2213,2

x x f x x x x x x x ?

?--≥?

=--+=--<

+≤-??，…………………………6分

∴()max 1

()22

f x f =-=

…………………………7分所以()2

24f x m m -≤恒成立，等价于()f x 的最大值小于等于2

24m m + (8)

分

即2

5242m m +≥

，解得15

m m ≥≤-或。…………………………10分