【2018年秋季课程苏教版高二数学】《选修1-1：直线与椭圆的位置关系》教案

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高二 2 课时
直线与椭圆的位置关系。常见的几类问题（交点个数问题、弦长问题、 中点弦问题） 1．掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法． 2．掌握有关椭圆弦长问题的求解方法． 直线与圆锥曲线的位置关系的判断和弦长的求解 数形结合思想的应用
教学目标 教学重点 教学难点
【教学建议】 本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成 的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设 问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气．
【知识导图】

教学过程
一、导入 【教学建议】
直线与圆有哪些位置关系？怎么判断的？想一想： 直线与椭圆有哪些位置关系， 能用直线与 圆的位置关系的判断方法来判断吗？如果不能，你有哪些方法？
二、知识讲解
【问题导思】直线与椭圆的位置关系如何判断？ 【提示】判断直线 l 与椭圆 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不 同时为 0)代入椭圆 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量
? ?Ax＋By＋C＝0， y)的一元方程，即? 消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0． ? ?F(x，y)＝0，
设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则 Δ>0 ? 直线与椭圆 C 相交；Δ＝0 ? 直线

与椭圆 C 相切；Δ<0 ? 直线与椭圆 C 相离．
考点 2
弦长公式
【问题导思】直线与椭圆相交时，弦长怎么求？ 【提示】设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 AB ? ? x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2 ? ? x1 ? x2 ?2 ? ? kx1 ? kx2 ?2 ? k 2 ? 1 x1 ? x2 ? k 2 ? 1 ? x1 ? x2 ?2 ? 4x1 x2 或
AB ?
? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2
2
1 ? 1 1 2 ?1 ? ? y1 ? y2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 2 ? 1 y1 ? y2 ? 2 ? 1 k k k k ? ?
2
? y1 ? y2 ?
2
? 4 y1 y2 ．
然后联立直线与椭圆的方程，建立关于变量 x(或变量 y)的一元二次方程，运用韦达定理求 弦长．
类型一
直线与椭圆的位置关系
x2 已知椭圆 ＋y2＝1． 4 (1)当 m 为何值时，直线 y＝x＋m 与椭圆有两个不同的交点？ (2)当 m＝2 时，求直线被椭圆截得的线段长． 【思路探究】联立，消 y 得一元二次方程→Δ 判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长 公式求弦长． x 2 ? ? 4 ＋y ＝1 【自主解答】(1)联立? 消去 y 得，5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0． ① ? ?y＝x＋m 因为 Δ＝64m2－80(m2－1)>0，所以－ 52

16 12 设线段端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理，得 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ， 5 5 又 k＝1，所以 AB＝ 【方法回顾】 1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由 Δ 判别式进行判别． 2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用 AB＝ 进行求解，也可利用 AB＝ 1 1＋ 2|y1－y2|＝ k 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 (x1＋x2)2－4x1x2 1＋k2 4 (x1＋x2)2－4x1x2＝ 2． 5
1 1＋ 2· k
(y1＋y2)2－4y1y2进行求解．
已知椭圆 4x2＋5y2＝20 的一个焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 45° 的直线 l 交椭圆于 A、B 两 点，求弦长 AB．

【思路探究】求出焦点 F 的坐标→求出直线 l 的斜率→设直线 l 的方程→联立方程→利用根 与系数的关系设而不解→由弦长公式求解 x2 y2 【自主解答】椭圆方程为 ＋ ＝1，a＝ 5，b＝2，c＝1， 5 4 所以直线 l 的方程为 y＝x＋1(不失一般性，设 l 过左焦点)，由? 9x2＋10x－15＝0． 10 5 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－ ，x1· x2＝－ ， 9 3 10 5 8 10 16 5 AB＝ 2|x1－x2|＝ 2· (x1＋x2)2－4x1x2＝ 2· (－ )2－4· (－ )＝ 2· ＝ ． 9 3 9 9 【方法回顾】 1．解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关 于 x 或 y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为 x1＋x2，x1· x2 或 y1＋y2，y1· y2， 进而求解． 2．利用弦长公式求弦长时，没必要验证方程的 Δ>0．
? ?y＝x＋1， ?4x2＋5y2＝20， ?
消去 y，得
类型二
求中点弦所在的直线方程
x2 y2 已知(4，2)是直线 l 被椭圆 ＋ ＝1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是________． 36 9 x2 y2 1 1 【自主解答】方法一：设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＋ ＝1，且 36 9 y1－y2 x1＋x2 x2 y2 2 2 ＋ ＝1，两式相减，得 ＝－ ． 36 9 x1－x2 4(y1＋y2) y1－y2 1 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以 ＝－ ， 2 x1－x2 1 故直线 l 的方程为 y－2＝－ (x－4)，即 x＋2y－8＝0． 2

方法二：设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线方程为 y ? 2 ? k ? x ? 4? ，即
y ? kx ? ? 2 ? 4k ? ．
2 ? y ? kx ? ? 2 ? 4k ? 联立方程 ? 2 ，得 x 2 ? 4 ? ? kx ? ? 2 ? 4k ? ? ? ? 36 ? 0 ， 2 ? x ? 4 y ? 36 ? 0
即 4k 2 ? 1 x 2 ? 8k ? 2 ? 4k ? x ? 4 ? 2 ? 4k ? ? 36 ? 0 ．
2
?
?
又 x1＋x2＝8，所以 8 ? x1 ? x2 ? ?
8k ? 2 ? 4k ? 4k 2 ? 1
1 ，解得 k ? ? ． 2
1 故直线 l 的方程为 y－2＝－ (x－4)，即 x＋2y－8＝0． 2 【总结与反思】 处理中点弦问题常用的求解方法 1．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1＋ y1－y2 x2，y1＋y2， 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求 x1－x2 得斜率． 2．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根 与系数的关系求解． 注意： 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端： 根与系数的关系在解题过程中易产生漏解， 需关 注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
类型三
直线与椭圆位置关系的应用
x2 y2 设 A1，A2 与 B 分别是椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右顶点与上顶点，直线 A2B 与圆 C： a b x2＋y2＝1 相切． 1 1 (1)求证： 2＋ 2＝1； a b
???? ? ??? ? ON ＝0，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并 (2)直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，且 OM ·

说明理由． x2 y2 【解】(1)已知椭圆 E： 2＋ 2＝1(a>b>0)，A1，A2 与 B 分别是椭圆 E 的左、右顶点与上顶点， a b x y 所以 A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，直线 A2B 的方程是 ＋ ＝1． a b 因为直线 A2B 与圆 C：x2＋y2＝1 相切，所以 1 1 1 ＝1，即 2＋ 2＝1． a b 1 1 ＋ a2 b2
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)． ①若直线 l 的斜率存在，设直线 l：y＝kx＋m．
2 x2 y2 x2 (kx＋m) 将 y＝kx＋m 代入 2＋ 2＝1，得 2＋ ＝1， a b a b2
化简，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0(Δ>0)． a2m2－a2b2 2a2km 所以 x1＋x2＝－ 2 ，x1x2＝ 2 ， b ＋a2k2 b ＋a2k2
2 a2k2m2－a2b2k2 ?－ 2a km ? 故 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k x1x2＋km(x1＋x2)＋m ＝ ＋km? b2＋a2k2?＋m2＝ ? ? b2＋a2k2 2 2
b2m2－a2b2k2 b2＋a2k2
．
???? ? ??? ? ON ＝0，所以 x1x2＋y1y2＝0． 因为 OM ·
1 1 把 x1x2，y1y2 代入上式，得(a2＋b2)m2－a2b2(1＋k2)＝0．结合 2＋ 2＝1，得 m2＝1＋k2． a b 圆心到直线 l 的距离为 d＝ ＝1，所以直线 l 与圆 C 相切． 1＋k2 a2b2－b2n2 ， a2 |m|
x2 y2 ②若直线 l 的斜率不存在， 设直线 l： x＝n． 把直线 l 代入 2＋ 2＝1， 得 y＝± a b 所以|n|＝
a2b2－b2n2 ，所以 a2n2＝b2(a2－n2)，解得 n＝± 1，所以直线 l 与圆 C 相切． a2
综上所述，直线 l 与圆 C 相切． 【总结与反思】 研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个 数．对于填空题，充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．

x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中， 过点 A(－2， －1)的椭圆 C： 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点为 F， a b uuu r uuu r 短轴端点为 B1、B2， FB1 ? FB2 ? 2b2 ．
(1)求 a、b 的值； (2)过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一交点为 Q， 与 y 轴的交点为 R， 过原点 O 且平行于 l 的直 线与椭圆的一个交点为 P．若 AQ· AR＝3OP2，求直线 l 的方程．
?0)?， ?B1 (0?， ?? b)?， ?B2 (0?， ?b) ，所以 FB1 ? ? c?， 【解】(1)因为 F (?c?， ?? b? ， FB2 ? ? c?,?b? ．
uuu r uuu r 因为 FB1 ? FB2 ? 2b2 ，所以 c2－b2＝2b2．①
4 1 因为椭圆 C 过 A(－2，－1)，代入得 2＋ 2＝1．② a b 由①②解得 a2＝8，b2＝2．所以 a＝2 2，b＝ 2． (2)由题意，设直线 l 的方程为 y＋1＝k(x＋2)．
uuu r
uuu r
? ?y＋1＝k（x＋2）， 由?x2 y2 得(x＋2)[(4k2＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0． ? ? 8 ＋ 2 ＝1，
8k＋4 8k＋4 因为 x＋2≠0，所以 x＋2＝ 2 ，即 xQ＋2＝ 2 ． 4k ＋1 4k ＋ 1
? ?y＝kx， 8 由题意，直线 OP 的方程为 y＝kx．由?x2 y2 得(1＋4k2)x2＝8，则 x2 ． P＝ 1＋4k2 ＋ ＝1， ? ?8 2
2 因为 AQ· AR＝3OP2，所以|xQ－(－2)|× |0－(－2)|＝3xP ．
即?
? 8k＋4 ? 8 ，解得 k＝1，或 k＝－2． ?×2＝3× 2 4 k ＋ 1 1＋4k2 ? ?
当 k＝1 时，直线 l 的方程为 x－y＋1＝0，当 k＝－2 时，直线 l 的方程为 2x＋y＋5＝0． 【总结与反思】 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也 往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线

的定义求解．
四 、课堂运用
【基础】 x2 y2 1．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆 ＋ ＝1 的位置关系是________． 9 4 x2 y2 2．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)，F( 2，0)为其右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭 a b 圆相交所得的弦长为 2，则椭圆 C 的方程为________． 答案与解析 1．【解析】由于直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线 与椭圆必相交． 【答案】相交 c＝ 2， ? ?b 2．【解析】由题意，得? a ＝1， ? ?a ＝b ＋c ，
2 2 2 2
解得?
? ?a＝2，
x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1． 4 2 ? b ＝ 2， ?
x2 y2 【答案】 ＋ ＝1 4 2 【巩固】 1 1? x2 1．椭圆 ＋y2＝1 的弦被点? ?2，2?平分，则这条弦所在的直线方程是________． 2 2．焦点分别为(0，5 2)和(0，－5 2)的椭圆截直线 y＝3x－2 所得椭圆的弦的中点的横坐标 1 为 ，求此椭圆方程． 2 答案与解析 1．【解析】设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝1，y1＋y2＝1．
2 x1 x2 2 2 因为 A，B 在椭圆上，所以 ＋y2 1＝1， ＋y2＝1． 2 2
(x1＋x2)(x1－x2) y1－y2 x1＋x2 1 1 ＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即 ＝－ ＝－ ，即直线 AB 的斜率为－ ． 2 2 2 x1－x2 2(y1＋y2)

1 1 1 x－ ?，即 2x＋4y－3＝0． 所以直线 AB 的方程为 y－ ＝－ ? 2 2? 2? 【答案】2x＋4y－3＝0 x2 y2 2．【解】设 2＋ 2＝1(a>b>0)，且 a2－b2＝(5 2)2＝50．① b a x y ? ?b2＋a2＝1 由? ，得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0， ? ?y＝3x－2 x1＋x2 1 6b2 1 2 2 因为 ＝ ，所以 2 2＝2，所以 a ＝3b ，② 2 2 a ＋9b x2 y2 此时 Δ>0，由①②，得 a2＝75，b2＝25，所以 ＋ ＝1． 25 75 【提高】 x2 y2 1．设椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点， a b → → 直线 l 的倾斜角为 60° ，AF＝2FB． (1)求椭圆 C 的离心率； 15 (2)如果 AB＝ ，求椭圆 C 的方程． 4 答案与解析 1．【解】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1<0，y2>0)， (1)直线 l 的方程为 y＝ 3(x－c)，其中 c＝ a2－b2．
2 2
? y ? 3 ? x ? c? － 3b2(c＋2a) ? 2 2 2 2 4 联立 ? x 2 y 2 消去 x，得(3a ＋b )y ＋2 3b cy－3b ＝0，解得 y1＝ ， 3a2＋b2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
－ 3b2(c－2a) y2＝ ， 3a2＋b2 3b2(c＋2a) － 3b2(c－2a) → → c 2 因为AF＝2FB，所以－y1＝2y2，即 ＝ 2· ，解得离心率 e＝ ＝ ． 2 2 2 2 a 3 3a ＋b 3a ＋b (2)因为 AB＝ ＝3，b＝ 5． 1 2 4 3ab2 15 c 2 5 5 15 1＋ |y2－y1|，所以 · 2 2＝ ．由 ＝ 得 b＝ a．所以 a＝ ，得 a 3 4 a 3 3 4 4 3 3a ＋b

x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1． 9 5
五、课堂小结
直线与椭圆位置关系的判断、 有关椭圆弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合 思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与 系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．
六、课后作业
【基础】 1．若椭圆
x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为________． 36 9
x2 2．过点 M(－2，0)的直线 m 与椭圆 ＋y2＝1 交于 P1、P2 两点，线段 P1P2 的中点为 P，设 2 直线 m 的斜率为 k1(k1≠0)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为___________． 3．斜率为 1 的直线 l 与椭圆
x2 ? y 2 ? 1 相交于 A、B 两点，则 AB 的最大值为________． 4
4．椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(－ 3，0)和 F2( 3，0)，且椭圆过点?1，－
?
3? ． 2?
(1)求椭圆的方程； 6 ? (2)过点? ?－5，0?作不与 y 轴垂直的直线 l 交椭圆于 M，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断 ∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 答案与解析 1． ?
1 2
2． ?
1 2
3．
4 10 5
x2 4．(1)由题意，即可得到 ＋y2＝1． 4 6 (2)设直线 MN 的方程为 x＝ky－ ， 5
?x＝ky－5， 12 64 联立直线 MN 和曲线 C 的方程可得? 得(k ＋4)y － ky－ ＝0， 5 25 x ? 4 ＋y ＝1，
2 2 2 2
6

设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，y1y2＝－
64 12k ，y1＋y2＝ ， 2 25（k ＋4） 5（k2＋4）
4 16 π → → 则AM· AN＝(x1＋2，y1)· (x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋ k(y1＋y2)＋ ＝0，即可得∠MAN＝ ． 5 25 2 【巩固】 1．已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m． (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
3 ，且椭圆经过点M(4，1)，直线 2
l?： ? y ? x ? m 交椭圆于不同的两点A，B．
(1)求该椭圆的方程； (2)求实数m的取值范围． 3．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 x＋y－1＝0 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若 AB＝2 2， OC 的斜率为 答案与解析 2 ，求椭圆的方程． 2
?4x2＋y2＝1， ? 1．【解】(1)由? 得 5x2＋2mx＋m2－1＝0． ? ?y＝x＋m，
因为直线与椭圆有公共点，所以 Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－ 故 m 的取值范围为?－ 5 5? ． ， 2 2? 5 5 ≤m≤ ． 2 2
?
(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 2m 1 由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ (m2－1)． 5 5 设弦长为 d，且 y1－y2＝(x1＋m)－(x2＋m)＝x1－x2， 所以 d＝ 2 ＝ 5 (x1－x2)2＋(y1－y2)2＝ 2(x1－x2)2＝ 2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝ 4m2 4 2 ? 2? ? 25 －5(m －1)?
10－8m2．
所以当 m＝0 时，d 最大，此时直线方程为 y＝x．

2．(1)由题意可设椭圆的方程为
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ． a 2 b2
因为 e ?
3 ，所以 a 2 ? 4b2 ． ① 2
又因为椭圆过点M(4，1)，所以
16 1 ? ?1， ② a 2 b2
x2 y2 ? ? 1． 20 5
?a 2 ? 20 ，故椭圆的方程为 由①②解得 b 2 ? 5?，
(2)将 y ? x ? m 代入
2
x2 y2 ? ? 1 ，整理，得 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0 ， 20 5
由题意知 D ? ? 8m ? ? 20 4m 2 ? 20 ? 0 ，解得 ?5 ? m ? 5 ，
?
?
?5? ． 所以实数 m 的取值范围为 ? ?5?，
3．【解】解法一：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 代入椭圆方程并作差，得 a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0． y1－y2 y1＋y2 2 而 ＝－1， ＝kOC＝ ，代入上式可得 b＝ 2a． 2 x1－x2 x1＋x2
2 2 ? ?ax ＋by ＝1， 由方程组? 得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0， ?x＋y－1＝0 ?
b－1 2b 所以 x1＋x2＝ ，x1x2＝ ． a＋b a＋b 再由 AB＝ 1＋k2 |x2－x1|＝ 2|x2－x1|＝2 2，得? b－1 ? 2b ? 2 －4· ＝4， ? ?a＋b? a＋b
1 2 x2 2y2 将 b＝ 2a 代入得 a＝ ，所以 b＝ ．所以所求椭圆的方程是 ＋ ＝1． 3 3 3 3
?ax2＋by2＝1， ? 解法二：由? 得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0． ? ?x＋y＝1
设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 AB＝ (k ＋1)(x1－x2) ＝ 2·
2 2
4b2－4(a＋b)(b－1) ． (a＋b)2 ＝1．①
因为 AB＝2 2，所以
a＋b－ab a＋b

x1＋x2 b a 设 C(x，y)，则 x＝ ＝ ，y＝1－x＝ ， 2 a＋b a＋b 因为 OC 的斜率为 2 a 2 1 2 ，所以 ＝ ．代入①，得 a＝ ，b＝ ． 2 b 2 3 3
x2 2y2 所以 椭圆方程为 ＋ ＝1． 3 3 【提高】 1．已知椭圆C：
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点为 a 2 b2
?
5 ?， ?0 ，离心率为
?
5 ． 3
(1)求椭圆C的标准方程； (2)若动点P(x0，y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程． 答案与解析 1．(1)由题意知
5 5 ?b ? 2 ， ? ， a2 ? b2 ? 5 ，解得 a ? 3?， a 3
x2 y2 ? ? 1． 9 4
因此椭圆 C 的标准方程为
(2) ①设从点 P 所引的直线的方程为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ，即 y ? kx ? ? y0 ? kx0 ? ，
?k2 ，则 k1k2 ? ?1 ， 当从点 P 所引的椭圆 C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为 k1 ?，
将直线 y ? kx ? ? y0 ? kx0 ? 的方程代入椭圆 C 的方程，得
? 9k
2
? 4 ? x 2 ? 18k ? y0 ? kx0 ? x ? 9 ? y0 ? kx0 ? ? 36 ? 0 ，
2
2 2 2 ? ? D ?? ?18k ? y0 ? kx0 ?? ? ? 4 ? ? 9k ? 4 ? ?9 ? y0 ? kx0 ? ? 36? ? 0 ，
?k2 是关于 k 化简，得 ? y0 ? kx0 ? ? 9k 2 ? 4 ? 0 ，即 x0 2 ? 9 k 2 ? 2 x0 y0 k ? y02 ? 4 ? 0 ，则 k1 ?，
2
?
?
?
?
的一元二次方程 x0 2 ? 9 k 2 ? 2 x0 y0 k ? y02 ? 4 ? 0 的两根，则 k1k2 ?
2 2 x0 ? y0 ? 13 ．
?
?
?
?
2 y0 ?4 ? ?1 ，化简，得 2 x0 ? 9
②当从点P所引的两条切线均与坐标轴垂直，则点P的坐标为(± 3，± 2)，此时点P也在圆 x2+y2=13上． 综上所述，点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13