大学物理学_第三版_赵近芳_北邮出版社_第十章课后习题答案

习题十

10-1 一半径r =10cm 的圆形回路放在B =0.8T 的均匀磁场中.回路平面与B

直.当回路半径以恒定速率t

r d d =80cm ·s -1 收缩时,求回路中感应电动势的大小.

解: 回路磁通 2

πr B BS m ==Φ

感应电动势大小 40

.0d d π2)π(d d d d 2

====

t

r r

B r B t

t

m Φε V

10-2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路,半径R =5cm ,如题10-2图

所示.均匀磁场B =80×10-3T ,B 的方向与两半圆的公共直径(在Oz 轴上)垂直,且与两个半圆构成相等的角α1当磁场在5ms 内均匀降为零时,求回路中的感应电动势的大小及方向. 解: 取半圆形cba 法向为i

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则 αΦcos 2

π2

1B R m =

同理,半圆形adc 法向为j

,则αΦcos 2

π2

2

B R m =

∵ B

与i

夹角和B

与j

夹角相等,∴ ?=45α

则 αΦcos π2

R B m = 题10-2图

2

2

10

89.8d d cos πd d -?-=-=Φ-

=t

B R

t

m

α

εV

,方向与cbadc 相反,

即顺时针方向.

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*10-3 如题10-3图所示,一根导线弯成抛物线形状

y =2

ax ,放在均匀磁场中.B

与xOy 平面垂直,细杆

CD

平行于x 轴并以加速度a 从抛物线的底部向开口

处作平动.求CD 距O 点为y 处时回路中产生的感应

电动势. 题10-3图

解: 计算抛物线与CD 组成的面积内的磁通量

?

?=-==a

y

m y B x x y B S B 0

23

2

322

d )(2d 2α

αΦ

∴ v

y B

t

y y B

t

m 21

2

1

2d d d d α

α

ε-

=-

=Φ-

=

∵ ay v 22

= ∴ 21

2y a v =

则 α

α

εa

By

y a y B

i 82221

21

-=-

= i ε实际方向沿ODC .

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10-4 如题10-4图所示,载有电流I 的长直导线附近,放一

导体半圆环MeN 与长直导线共面,且端点MN 的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b ,环心O 与导线相距a .设半圆环以速度v 平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电压 N M U U -.

解: 作辅助线MN ,则在MeNM 回路中,沿v

方向运动时0d =m Φ 题10-4图

∴ 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又∵ 0cos d ln

02a b M N a b

Iv

a b vB l a b

μεππ

+--=

=

<+?

所以MeN ε沿NeM 方向,大小为

b

a b a Iv

-+ln

20π

μ M

点电势高于N 点电势,即b

a b a Iv

U U N M -+=

-ln

20π

μ

10-5 如题10-5所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内

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有一矩形线圈.两导线中的电流方向相反、大小相等,且电流以

t

I d d 的变化率增大,求:(1)任一时刻线圈内所通过的磁

通量; (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则 (1)]ln

[ln

π

2d π2d π2000d

a d b

a b Il

r l r

I

r l r

I

a

b b

a

d d

m +-+=

-

=

?

?

++μμμΦ 题10-5图

(2) t

I b a b d a d l

t

d d ]ln [ln

π

2d d 0+-+=

-

=μΦε

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10-6 如题10-6图所示,用一根硬导线弯成半

径为r 的一个半圆.令这半圆形导线在磁场中以频率f 绕图中半圆的直径旋转.整个电路的电阻为R .求:感应电流的最大值. 解: )

cos(2π02

?ωΦ+=?=t r

B S B m

题10-6图 ∴

Bf

r f r B r B t r B t

m m i 2

2

2

2

02

ππ22

π2

π)

sin(2πd d ===

+=

-

=ωε?ωωΦε ∴ R

Bf r R

I m 2

2π=

=

ε

10-7 如题10-7图所示,长直导线通以电流I =5A ,在其右方放

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一长方形线圈,两者共面.线圈长b =0.06m ,宽a =0.04m ,线圈以速度v =0.03m ·s -1 垂直于直线平移远离.求:d =0.05m 时线圈中感应电动势的大小和方向.

解:AB 、CD 运动速度v

方向与磁力线平行,不产生感应电动势.

DA 产生电动势 ?==??=A

D I vb

vBb l B v d 2d )(01πμε

题10-7图 BC

产生电动势 )

(π2d )(02d a I

vb

l B v C

B

+-=??=

?

με

∴回路中总感应电动势8

02110

6.1)11(π

2-?=+-

=+=a

d d Ibv

μεεεV

,方向沿顺时针.

10-8 长度为l 的金属杆ab 以速率

v 在导电轨道abcd 上

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平行移动.已知导轨处于均匀磁场B 中,B

的方向与回路

的法线成60°角(如题10-8图所示),B

的大小为B =kt

(k 为正常).设t =0时杆位于cd 处,求:任一时刻t 导线

回路中感应电动势的大小和方向. 题10-8图 解: ?

==?=?=

2

2

2

12160cos d klvt

lv kt Blvt S B m Φ

∴ klvt t

m

-=-

=d d Φε ,即沿abcd 方向顺时针方向.

10-9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区,B

的方向如题10-9

图所示.取逆时针方向为电流正方向,画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t =0).

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题10-9图(a) 题10-9图(b)

解: 如图逆时针为矩形导线框正向,则进入时0d d <Φt

,0>ε;

在磁场中时0

d d =t

Φ,0=ε;

出场时0

d d >t

Φ,0<ε,故t I -曲线如题10-9图(b)所示.

10-10 导线ab 长为l ,绕过O 点的垂直轴以匀角速ω转动,

aO

=3

l

磁感应强度B 平行于转轴,如图10-10所示.试求:

(1)ab 两端的电势差;(2)b a ,两端哪一点电势高? 题10-10图

解: (1)在Ob 上取dr r r +→一小段,则 ?

=

=

3

20

2

9

2d l

Ob l B r rB ωωε

同理 ?

=

=

3

2

18

1d l

Oa l B r rB ωωε

∴ 2

2

6

1)9

218

1(l

B l

B Ob aO ab ωωεεε=+-

=+=

(2)∵ 0>ab ε 即0<-b a U U ,∴b 点电势高.

10-11 如题10-11图所示,长度为b 2的金属杆位于两无

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限长直导线所在平面的正中间,并以速度v

平行于两直导线运动.两直导线通以大小相等、方向相反的电流I ,两导线相距2a .试求:金属杆两端的电势差及其方

向. 题10-11图

解:在金属杆上取r d 距左边直导线为r ,则 b

a b a Iv

r r

a r

Iv l B v b

a b

a B

A

AB -+-=

-+

-

=

??=

?

?

+-ln

d )211

(2d )(00π

μπ

με

∵ 0

∴ b

a b a Iv U AB -+=

ln 0π

μ

10-12 磁感应强度为B

的均匀磁场充满一半径为R 的圆

柱形空间,一金属杆放在题10-12图中位置,杆长为2R ,其中一半位于磁场内、另一半在磁场外.当

t

B d d >0时,求:

杆两端的感应电动势的大小和方向. 题10-12图 解: ∵ bc ab ac εεε+=

t

B R B R t t

ab d d 4

3]4

3[d d d d 2

1=

-

-

=-

=Φε

=-

=t

ab d d 2Φεt

B R B R t

d d 12

π]12

π[d d 2

2

=

-

-

∴ t

B R R ac d d ]

12

π4

3[

2

2

+

d d >t

B ,

∴ 0>ac ε即ε从c a →

10-13 半径为R 的直螺线管中,有dt

dB

>0的磁场,一任意闭合导线abca ,一部分

在螺线管内绷直成ab 弦,a ,b 两点与螺线管绝缘,如题10-13图所示.设ab =R ,试求:闭合导线中的感应电动势.

解:如图,闭合导线abca 内磁通量 )4

36

π(2

2

R R B S B m

-

=?= Φ

∴ t

B R R i d d )

4

36

π(

2

2

-

-=ε

0d d >t

B ,∴0

,逆时针方向.

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题10-13图 题10-14图

10-14 如题10-14图所示,在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体ab

于直径

位置,另一导体cd 在一弦上,导体均与螺线管绝缘.当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10-14图示方向.试求:(1)ab 两端的电势差;(2)cd 两点电势高低的情况.

解: 由???-=?l S t

B

l E

d d d d 旋知,此时旋E 以O 为中心沿逆时针方向. (1)∵ab 是直径,在ab 上处处旋E

与ab 垂直,∴ ?=?l

l 0d 旋

∴0=ab ε,有b a U U =

(2)同理, 0d >?=?

l E

c

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d

dc

ε,∴ 0<-c d U U 即d c U U >

10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示

放置(导线与线圈接触处绝缘).求:线圈与导线间的互感系数. 解: 设长直电流为I ,其磁场通过正方形线圈的互感磁通为

?

=

=

323

00122

ln π

2d π2a

a Ia r r

Ia μμΦ

题10-15图

∴ 2ln π

2012

a

I

M μΦ=

=

10-16 一矩形线圈长为a =20cm ,宽为b =10cm ,由100匝表面绝缘的导线绕成,

放在一无限长导线的旁边且与线圈共面.求:题10-16图中(a)和(b)两种情况下,线圈与长直导线间的互感.

解:(a)见题10-16图(a),设长直电流为I ,它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为 2ln π

2d 2π

d 020)(12

Ia

r

r Ia S B b

b

S μμΦ?

?=

=?=

∴ 6

012

10

8.22ln π

2-?===

a

N

I

N M μΦ H

(b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通012=Φ,见题10-16图(b) ∴ 0=M

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题10-16图 题10-17图

10-17 两根平行长直导线,横截面的半径都是a ,中心相距为d

,两导线属于

同一回路.设两导线内部的磁通可忽略不计,证明:这样一对导线长度为l 的一段自感为 π

μl L 0=

In

a

a d -.

解: 如图10-17图所示,取r l S d d =

?

?

-----=--=

-+

=

a

d a

a

d a

a

d d a

a d Il

r r r Il r l r I r π

I )ln

(ln 2π

d )d 1

1(π

2d ))

d (π22(

0000μμμμΦa

a d Il -=ln π

∴ a

a d l

I L -=

=

ln

π

0μΦ

10-18 两线圈顺串联后总自感为1.0H ,在它们的形状和位置都不变的情况下,

反串联后总自感为0.4H .试求:它们之间的互感.

解: ∵顺串时 M L L L 221++=,反串联时M L L L 221-+='

∴ M L L 4='-

15.0

4

='-=

L L M H

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10-19 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示,共有N 匝.试

求:(1)此螺线环的自感系数;(2)若导线内通有电流I ,环内

磁能为多少?

解:如题10-19图示 (1)通过横截面的磁通为 ?

=

=

b

a

a b

NIh

r h r NI

ln

π

2d π

200μμΦ

10-19图

磁链 a

b Ih N N ln

π

22

0μΦψ=

=

∴ a

b h N I

L ln

π22

0μψ=

=

(2)∵ 2

2

1LI

W m =

,∴ a

b h

I N W m ln

π

42

2

0μ=

10-20 一无限长圆柱形直导线,其截面各处的电流密度相等,总电流为I

.求:

导线内部单位长度上所储存的磁能. 解:在R r <时 2

0π2R

I B r

μ=

,∴ 4

2

2200

2

π82R

r

I B

w m μμ=

=

取 r r V d π2d =(∵导线长1=l ) 则 ?

?

=

=

=R

R

m I R

r r I r r w W 0

2

04

3

20π

16π4d d 2μμπ

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