二次函数中的最值问题

二次函数中的最值问题

1：探索销售问题。图形面积中的最值等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学应用价值。

2：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，提高解决问题的能力。 归纳知识：

如何求二次函数的最值：1：对于自变量取全体实数时二次函数的最值 a:配方法 （略讲） b:公式法（略讲）

c:判别式法,（可详细讲解，开拓学生视野）在y=ax 2

+bx+c 中，把y 看做已知数，得到关于x 的二次方程ax 2+bx+（c-y)=0,由于x 是任意实数，则应有Δ=b 2-4a （c-y)≥0,所以4ay ≥4ac-b

2 所以当a>o 时，y ≥

a b ac 442-,此时y 有最小值a

b a

c 442

- 当a<0时，y ≤a b ac 442-,此时y 有最大值a

b a

c 442

-

如果需要求出取得最值时自变量对应的值，则只需要将y=a

b a

c 442-代入ax 2

+bx+（c-y)=0,就可以求出x

的值。

2：自变量在某一确定范围内取值时二次函数的最值 如果自变量的取值范围是x1≤x ≤x2,那么首先要看a

b

2-

是否在自变量的取值范围内，若在这个范围内，则当x=a b

2-时，y 的最值就是a

b a

c 442-，若不在这个范围内，则要考虑在x1≤x ≤x2范围内的增减性，

利用函数的增减性求出在这个范围内的最值。

范例1．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：?当每套机械设备的月

租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（?维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入-支出费用）为y （元）．

（1）用含x 的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费； （2）求y 与x 之间的二次函数关系式；

（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？?此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；

（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成y=a （x+2b a ）2+2

44ac b a

-的形式，并据此说明：当x?

为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？

变式训练

1：某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可以全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车没每辆每月需要维护费50元。

（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出（ ）辆车。 （2）设每辆车的月租金为x(x ≥3000元），

（3）当每月的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？

2.某商店把进价为8元的商品按每件20元出售，则每天销售100件，市场调查发现，如果每件商品的单价涨价2元，则每天少售10件;如果每件商品的单价每降1元，则每天多售出10件； 1）：如果选择涨价，那么售价定为多少时，可使利润最大？ 2）：如果选择降价，那么售价定为多少时，可使利润最大？ 3）：涨价利润大还是降价利润大？

2.在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季度即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．

（1）试建立销售价y 与周次x 之间的函数关系式； （2）若这种时装每件进价Z 与周次x 次之间

的关系为Z=-0.125（x-8）2

+12.1?≤x ≤16，且x 为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？ 未租出的车辆 租出的车（辆） 所有未租出车辆

每月的维护费（元）

租出的车每辆的月收益（元）

范例2：如图，在△ABC中，BC=24CM,高AD=16CM,矩形EFGH的一边在BC边上，另二顶点在AB、AC边上，设矩形上EF=XCM,矩形EFGH的面积为ycm2, 求X为何值时，有最大值？最大值是多少？

变式训练：

1:在矩形ABCD中，BD=20，AD>AB,设∠ABD=α，

已知sin α是方程

25x2-35x+12=0的一个实数根，点E、F分别是

BC、DC上的点，EC+CF=8,设BE=x,

△AEF的面积等于y.

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)当E、F两点在什么位置时，y有最小值？并求出这个最小值。

2: 2.△ABC是锐角三角形,BC=6,面积为12,点P在AB上,点Q在AC上,如图所示, 正方形PQRS(RS与A在PQ

的异侧)的边长为x,正方形PQRS与△ABC公共部分的面积为y.

(1)当RS落在BC上时,求x;

(2)当RS不落在BC上时,求y与x的函数关系式;

(3)求公共部分面积的最大值.

B

Q

C P

A

强化练习：A 组

1.抛物线y=-2x 2+?8x-?9?的顶点坐标是_______,?对称轴是_______,?最大值是______.

2.已知二次函数y=ax 2,当a>0时,若y 恒大于0,则自变量的取值范围是_______.

3.已知两点A(0,2),B(4,1),点P 是x 轴上的一点,且PA+PB 的值最小,则P 点坐标是_______.

4.一次函数y=kx+b,当-3≤x≤1时,对应的y 值为1≤y≤9,则k 的值为_______.

5.若二次函数y=ax 2+4x+a-1的最小值是2,则a 的值是_______.

6.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数:m=162-3x.

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式;

(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适??最大销售利润为多少?

7.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,点D 在BC 上运动(不运动至B,C),DE ∥AC,交AB 于E,设BD=x,△ADE 的面积为y.

(1)求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围;

(2)x 为何值时,△ADE 的面积最大?最大面积是多少?

B 组：

1．如图，若抛物线2ax y =与四条直线1=x 、2=x 、1=y 、2=y 所围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是 ．

2．已知二次函数c bx ax y ++=2

，一次函数4

)1(2

k x k y --=．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个

公共点，则二次函数的解析式为 ．

E

B D

C A

3．已知A(x 1，2002)，B(x 2，2002)是二次函数52++=bx ax y (0≠a )的图象上两21x x x += 时，二次函数的值是( )

A ．522+a b

B ．542

+-a

b C ． 2002 D ．5

4．已知：二次函数y ＝x 2

+bx+c 与x 轴相交于A(x 1,0)、B(x 2，0)两点，其顶点坐标为P(－2b ，4

b -4

c 2

)，

AB ＝｜x 1－x 2|，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是 ( )

A ．b 2－4c+1= 0

B ．b 2－4c －1=0

C ．b 2－4c+4=0

D ．b 2－4c －4=0

5．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．

19．如图，已知二次函数222-=x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，直线：x ＝m(m>1)与x 轴交于点D ． (1)求A 、B 、C 三点的坐标；

(2)在直线x ＝m (m>1)上有一点P (点P 在第一象限)，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求P 点坐标(用含m 的代数式表示)；

(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线222-=x y 上是否存在一点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形?如果存在这样的点Q ，请求出m 的值；如果不存在，请简要说明理由．

21．如图，在直角坐标：x O y 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，3-)，且在x 轴上截得的线段AB 的长为6．

(1)求二次函数的解析式；

(2)在y 轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC 最小，并求P 点坐标；

(3)在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q 、A 、B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在，求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

家庭作业：

1.启明公司生产某种产品,每件成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备

拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x( 万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,

且y=

277

101010

x

x

-++. 如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费:

(1)试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利

润最大?最大年利润是多少万元?

(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股

投资金额和预计年收益如下表:

项目 A B C D E F

每股(万元) 5 2 6 4 6 8

收益(万元) 0.55 0.4 0.6 0.5 0.9 1

如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元, 问有几种符合要求的方式?写出每种投资方式所选的项目.

⑺如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。

⑴求△ABC中AB边上的高h;

⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？

⑶实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。

课堂评价：

1：你觉得这节课你的收获是什么？2：对老师有什么样的意见或者建议？3:家长留言（谢谢家长支持）A B

C

D E

F

G

注意事项：本单需学生下次上课交予任课教师。