彩塘中学2013届高三级第三次摸底考试

彩塘中学2013届高三级第三次摸底考试

数学试题卷(理科)

本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：

1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；

2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题

卷上不得分；

3．考试结束，考生只需将答题卷交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的

1. 已知全集U R =，集合{}2|1P x x =≤，那么U C P =( )

A.(),1-∞-

B. ()1,+∞

C. ()1,1-

D. ()(),11,-∞-+∞

2. 设α∈?

??

?

??－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )

A ．1,3

B ．－1,1

C ．－1,3

D ．－1,1,3

3．设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2

x =π

对称，则下列判断正确的是（ ）

A. p 为真

B. q ?为假

C.p q ∧为假

D.p q ∨为真 4．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( )

A ．)2,4(

B ．)2,4(--

C ．)3,6(-

D ．)2,4(或)2,4(-- 5．函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是（ ）

A ．（1，2）

B ．（3，4）

C ．（2，3）

D ．（1，5）

6．为了得到函数2sin()36

x y π

=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点（ ） A. 向左平移

6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）

B. 向右平移6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）

C. 向左平移6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

D. 向右平移6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

7．若函数y f x =()的图象如左下图所示，则函数1y f x =-+()的图象大致为

（ ）

8．定义在R 上的周期函数f(x),周期T=2，直线x=2是它的图象的一条对称轴，且f(x)在

[-3，-2]上是减函数，如果A 、B 是锐角三角形的两个内角，则（ ）

A (sin )(cos )f A f

B > B (cos )(sin )f B f A >

C (sin )(sin )f A f B >

D (cos )(cos )f B f A >

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．满分30分.

9．已知a (23)= ，

，b (15)=-

，，则a 3b += __ . 10．函数x y tan 1

=

的定义域是____________ 11．曲线2

11y x =+在点1x =处的切线与y 轴交点的纵坐标是__________

12．在△ABC 中，若1a b ==，3c =，则C ∠= .

13．已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R .命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．

14．设函数??

?

??<-≥-=)2(1)21()2()2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分12分)

已知函数2

()23cos 2sin cos 3f x x x x =--, (1) 求函数的最小正周期及最小值； (2) 求函数()f x 的单调递增区间.

A B

C

D

D. C.B.

A. (x f y =y f x =()

16.(本小题满分12分)

设函数3

2

()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取极值. （1）求a ，b 的值；

（2）若对于任意的[0,3]x ∈，都有2

()f x c <成立，求c 的取值范围.

17．某批发市场对某种成衣的周销售量（单位：千件）进行统计,最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量 2 3 4 频数

20

50

30

(1)根据上面统计结果,求周销售量分别为2千件,3千件和4千件的频率；

(2)已知每千件该种成衣的销售利润为2千元,ξ表示该种成衣两周销售利润的和（单位：千元）.若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求ξ的分布列和数学期望.

18. (本小题满分14分)

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，11,2AC BC CC ===，点D 、E 分别是1AA 、1CC 的中点.

（1）求证：//AE 平面1BC D ； （2）证明：平面1BC D ⊥平面BCD ； （3）求CD 与平面1BC D 所成角的正切值.

19．(本小题满分14分)

某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m 元（1≤m ≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x 元/本（9≤x ≤11），预计一年的销售量为2

)20(x -万本．

（1）求该出版社一年的利润L （万元）与每本书的定价x 的函数关系式；

（2）当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(m R .

20. (本小题满分14分)

已知数列{}n a 满足(

)111,21n n a a a n N *

+==+∈

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(4444

1111

321+=---- ，

证明：{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：()23111123

n n N a a a *++++<∈

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数学答题卷(理科)

一．

选择题：（每题5分，共8小题40分）

二．填空题：（每题5分，共6小题30分）

?

???

??∈∈≠

Z k R x k x x ,2

且π

9： （-1，18） ，10： ， 11： 10 ， 12：

32π ，13： （1，2） ， 14： ??? ?

?

∞-813, ，

三．解答题（共6小题80分，15—16题每题12分，17—20题每题14分） 15：.(本小题满分12分)

解:(1)∵f (x)= 23cos 2

x -2sin x cos x -3=3(cos2x +1)-sin2x -3………2分

=2cos(2x +

6

π

)…4分 最小正周期为π………6分 当22()6

2

x k k Z π

π

π+

=

+∈时，即()6

x k k Z π

π=

+∈函数有最小值2- ………8分

（2） 22 26

k x k π

πππ-≤+≤ ………10分

7,1212

k x k k Z

ππ

ππ∴-

≤≤-∈………12分 函数()f x 的单调递增区间为 7[,],1212

k k k Z ππ

ππ--∈………12分

16：.(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）2

()663f x x ax b '=++，………………………………………………..1分 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=…….2分

即6630

241230a b a b ++=??

++=?

题号

1

2 3 4 5 6 7 8 答案 D

A

C

D

B

C

C

A

解得3a =-，4b =……………………………………………………………..5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3

2

()29128f x x x x c =-++，

2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--……………………………………..6分

当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,2)x ∈时，()0f x '<；

当(2,3)x ∈时，()0f x '>………………………………………………..8分 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+ 则当[0,3]x ∈时，()f x 的最大值为(3)98f c =+…………………..10分 因为对于任意的[0,3]x ∈，有2

()f x c <恒成立， 所以2

98c c +<，解得1c <-或9c >，

因此c 的取值范围为(,1)(9,)-∞-+∞ …………………………………12分

17. .(本小题满分14分)

解：(1) 周销售量为2千件,3千件和4千件的频率分别为0.2,0.5和0.3. ……….3分 (2)ξ的可能值为8,10,12,14,16,且…………………………………………….5分

P （ξ=8）=0.22=0.04,P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2,

P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37,P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3,P （ξ=16）=0.32=0.09.

ξ的分布列为

ξ

8 10 12 14 16

P

0.04

0.2

0.37

0.3

0.09

E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）…………….12分

18：.(本小题满分14分)

（1）证明：在矩形11ACC A 中， 由11//,C E AD C E AD =

得1AEC D 是平行四边形。

所以1//AE DC ， …………………2分 又AE ?平面1BC D ，1C D ?平面1BC D ， 所以//AE 平面1BC D …………………3分

…………………9分

（2）证明：直三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC ⊥，

AC BC ⊥，1CC AC C = ，

所以BC ⊥平面11ACC A ， 而1C D ?平面11ACC A ，

所以BC ⊥1C D 。…………………6分 在矩形11ACC A 中，112,2DC DC CC ==

=，从而

22211DC DC CC +=，

所以1C D DC ⊥， …………………8分 又DC BC C = ，

所以1C D ⊥平面BCD ， …………………9分 而1C D ?平面1BC D ，

所以平面1BC D ⊥平面BCD …………………10分

（3）由（2）可知平面1BC D ⊥平面BCD ，所以，斜线CD 在平面1BC D 的射影在BD 上，

BDC ∠为所求 …………………12分

又由（2）可知，所以BC ⊥平面11ACC A ，所以，BC ⊥CD 所以，三角形BCD 是直角三角形，1,2BC CD ==

所以所求值为

2

2

……14分

另解：以1C 为原点，11C D ，11C B ,1C C 为x ,y ，z 轴建立直角坐标系

则 (0,0,2)C ,(1,0,1)D ,1(0,0,0)C ,(0,1,2)B 则(1,0,1)DC =-

设平面1BC D 的法向量为(,,1)n x y =

由10,n C D ?=

得 10x += 由10n BC ?=

得 20y +=

由以上两式解得 1,2x y =-=- (1,2,1)n =--

…………………………12分

设n 与DC 夹角的为θ，则222222(1,2,1)(1,0,1)cos (1)(2)1(1)01

n DC n DC θ?--?-==?-+-+?-++

1

3

=

， 所以，所以所求值为22……………………………………14分

19：(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）该出版社一年的利润L （万元）与每本书定价x 的函数关系式为：

]11,9[,)20)(5(2∈---=x x m x L ．……………………4分（定义域不写扣1分）

（Ⅱ）)20)(5(2)20()(2

/

x m x x x L -----=

)3230)(20(x m x -+-=．…………………………6分

令0L '=得m x 32

10+

=或x=20（不合题意，舍去）

．…………7分 31≤≤m ， 1232

10332≤+≤∴m ．

在m x 32

10+=两侧L '的值由正变负．

所以（1）当113210332≤+≤m 即23

1≤≤m 时，

3m ax )35(4)]3210(20)[53210()3210(m

m m m m L L -=+---+=+=．……9分

（2）当12321011≤+

3

≤

)6(81)1120)(511()11(2m ax m m L L -=---==，…………………………11分

所以???

????≤<-≤≤-=323),6(812

31,)35(4)(3m m m m m R

答：若2

31≤

≤m ，则当每本书定价为m 32

10+元时，出版社一年的利润L 最大，最大值

3)35(4)(m m R -=（万元）

；若32

3

≤

20：(本小题满分14分)

解：（1）121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a 故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列。

n n a 21=+∴，12-=n n a

（2）n n b n b b b b a )1(44

4411

11321+=---- ，n n nb n b b b 24

)

(21=∴-+++

n n nb n b b b =-+++2)(221 ①

1121)1()1(2)(2+++=+-++++n n n b n n b b b b ②

②—①得n n n nb b n b -+=-++11)1(22，即1)1(2+-=-n n b n nb ③

212)1(++=-+∴n n nb b n ④

④—③得112-++=n n n nb nb nb ，即112-++=n n n b b b 所以数列}{n b 是等差数列 （3）1

1212211211-=-<-=n n n n a a

设132111++++=

n a a a S ，则)111(211322n a a a a S ++++< )1(21112+-+=n a S a 3

2

13212112<-=-<

++n n a a a S