相似三角形与函数的综合应用
专训3相似三角形与函数的综合应用名师点金：
解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．
相似三角形与一次函数
1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A(3，0)，B(0，3)两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D.
(1)求直线AB对应的函数解析式；
(2)若S梯形OBCD＝43
3，求点C的坐标；
(3)在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(第1题)
相似三角形与二次函数
2．如图，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C(1，0)三点．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相
似，求出点P的坐标．
(第2题)
3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C处，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．
(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；
(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(第3题)
相似三角形与反比例函数
4．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为(2，3)，双曲线y ＝k
x
(x>0)经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE.
(1)求k 的值及点E 的坐标；
(2)若点F 是OC 边上一点，且△FBC ∽△DEB ，求直线FB 对应的函数解析式．
(第4题)
答案
1．解：(1)设直线AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将A(3，0)，B(0，3)的坐标分别代入得???3k ＋b ＝0，b ＝3，解得???
??k ＝－33，b ＝ 3.
∴直线AB 对应的函数解析式为y ＝－3
3
x ＋ 3. (2)设点C 的坐标为?
??
?x ，－
33x ＋3，
那么OD ＝x ，CD ＝－3
3
x ＋ 3. ∴S 梯形OBCD ＝（OB ＋CD ）·OD 2＝－3
6
x 2＋3x.
由题意得－36x 2＋3x ＝433
，解得x 1＝2，x 2＝4(舍去)． ∴C ?
??
?2，
33. (3)存在．当∠OBP ＝90°时，如图①.易知OB ＝3，OA ＝3.
(第1题①)
Ⅰ.若△BOP 1∽△OBA ，则BP 1OA ＝BO OB ，∴BP 1＝OA ＝3，
∴P 1(3，3)． Ⅱ.若
△BP 2O ∽△OBA
，
则
BP 2
OB
＝
BO OA
，
∴BP 2＝OB 2
OA ＝1，∴P 2(1，3)．
当∠OPB ＝90°时，
Ⅲ.若△P 3BO ∽△OBA(如图②)，过点P 3作P 3M ⊥OA 于点M.
(第1题②)
则
P 3B OB ＝BO BA ＝P 3O
OA
又易知AB ＝23，∴P 3B ＝OB 2AB ＝32，P 3O ＝OA·OB AB ＝3
2.
∴P 3A ＝23－
32＝33
2
. ∵OP 3·P 3A ＝P 3M·OA ，∴P 3M ＝33
4.
∴OM ＝34.∴P 3???
?
34，334.
Ⅳ.若△P 4OB ∽△OBA(如图③)，则P 4O OB ＝OB BA ，∴P 4O ＝3
2.
又易得P 4在P 3M 上，∴P 4M ＝
34
.
(第1题③)
∴P 4???
?34，34.
当∠BOP ＝90°时，点P 在x 轴上，不符合要求． 综上得，符合条件的点有四个，分别是： P 1(3，3)，P 2(1，3)，P 3????34，334，P 4???
?34，34.
2．解：(1)由题意得A(3，0)，B(0，3)，∵抛物线经过A ，B ，C 三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得方程组????
?9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，a ＋b ＋c ＝0，解得
????
?a ＝1，b ＝－4，c ＝3，
∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)如图，由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．若△ABO ∽△AP 1D ，则AO AD ＝OB
DP 1
，
∴DP 1＝AD ＝4，∴P 1(－1，4)；若△ABO ∽△ADP 2，过点P 2作P 2M ⊥x 轴于M ，∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP 2是等腰直角三角形，∴DM ＝AM ＝2＝P 2M ，即点M 与点C 重合，∴P 2(1，2)，∴点P 的坐标为(－1，4)或(1，2)．
(第2题)
3．解：(1)易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)． 设直线BD 对应的函数解析式为y ＝kx ＋m. 把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入y ＝kx ＋m ，
得?????m ＝2，k ＋m ＝0，解得?
????k ＝－2，m ＝2. ∴直线BD 对应的函数解析式为y ＝－2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，
∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，
得?????c ＝2，－9＋3b ＋c ＝－4，解得?
????b ＝1，c ＝2. ∴抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2. (2)存在，①如图①，当△MON ∽△BCO 时，
ON CO ＝MN BO ，即ON 1＝MN
2
，∴MN ＝2ON.设ON ＝a ，则M(a ，2a)，∴－a 2＋a ＋2＝2a ，解得a 1＝－2(不合题意，舍去)，a 2＝1，∴M(1，2)；
②如图②，当△MON ∽△CBO 时，
ON BO ＝MN CO ，即ON 2＝MN 1，∴MN ＝12
ON.设ON ＝n ，则M ????n ，12n ，∴－n 2＋n ＋2＝n
2，解得n 1＝1－334(不合题意，舍去)，n 2＝1＋334，∴M(1＋334，1＋33
8
)．
∴点M 的坐标为(1，2)或?
??
?
?1＋334，1＋338.
(第3题)
4．解：(1)在矩形OABC 中，∵点B 的坐标为(2，3)，∴BC 边的中点D 的坐标为(1，