2019新版高中数学人教A版选修2-3习题:第一章计数原理 1.2.1 含解析

1.2排列与组合

1.2.1排列

课时过关·能力提升

基础巩固

1.下列问题属于排列问题的是()

①从10个人中选2人分别去种树和扫地;

②从10个人中选2人去扫地;

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;

④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.

A.①④

B.①②

C.③④

D.①③④

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①④是排列问题,故选A.

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2.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为()

A.5

B.10

C.20

D.60

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5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有=20种不同的送书方法.

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3.若要在某跨海大桥上建造风格不同的3个报警电话亭和3个观景区,要求它们各自互不相邻,则不同的排法种数为()

A.144

B.72

C.36

D.9

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△表示,观景区用○表示,先排电话亭有种方法.则观景区插入电话亭所形成的空时,只有△○△○△○或○△○△○△两类,观景区有2种排法.故共有2=72种排法.

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4.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)…(m+20)可表示为()

A B C D

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,=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.

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5.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是()

A B C D

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5个独唱节目共种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有种,故一共有种.

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6.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有()

A.66种

B.36种

C 种

D.12种

6个元素进行全排列,故有 种排法.

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7.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( ) A.12种 B.16种 C.24种 D.32种

,有 =24种坐法.

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8.一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人,则不同的安排方案共有 .

,第四道工序只能安排丙,其余两工序任意安排,有1×1 =12种方法.

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当第一道工序不安排甲时(安排乙),第四道工序有甲、丙两种可能,其余两工序任意安排,有1×2 =

24种方法.

因此,共有12+24=36种方法. 种

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9.从数字0,1,3,5,7中任取两个数做除法,可得不同的商共有 .

0时,商只有一种为0,当取的数没有0时,有 =12

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种.故共有13种不同的商. 种

10.解:方程: =140

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解得x=3,故原方程的解为x=3.

11.化简: +…+

因为

=

=

=

= -

所以原式=

-

-

+…+

-

12.某药品研究所研制了5种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b4,现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验,但a1,a2两种药或同时用或同时不用,a3,b4两种药不能同时使用,试写出所有不同试验方法.

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:

由树形图可写出所有不同试验方法如下:

a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2,a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2,a3a5b3,a4a5b1,a4a5b2,a4a5b3,a4a5b4,共14种.

能力提升

1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作

为椭圆=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1中的

a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?

上面四个问题属于排列问题的是()

A.①②③④

B.②④

C.②③

D.①④

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加法满足交换律,∴①不是排列问题;

∵除法不满足交换律,如,∴②是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a

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2.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()

A.8

B.24

C.48

D.120

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种排法,十位、百位、千位有种排法,从而共=48个不同的四位偶数.

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3.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()

A.192种

B.216种

C.240种

D.288种

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当最左端排甲的时候,排法的种数为;

(2)当最左端排乙的时候,排法种数为因此不同的排法的种数为=120+96=216.

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★4.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法

共有()

A.48种

B.192种

C.240种

D.288种

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用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共

有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共

有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.

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★5.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六

个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有() A.120个 B.80个 C.40个 D.20个

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:

第一类,十位数字取9,有个;

第二类,十位数字取6,有个;

第三类,十位数字取5,有个;

第四类,十位数字取4,有个.

所以一共有=40个.

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6.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾

一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有.

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:

第1步,将两位爸爸排在两端,有种排法;

第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有种排法;

第3步,两个小孩之间还有种排法.

因此,这6人的入园排法共有=24种.

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7.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.则甲不在(1)班,

乙不在(2)班的分配方法有.

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,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有

种分法,再分乙有种分法,分配丙、丁有种分法.因此,总共有=14种分法.

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8.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?

(1)偶数不相邻;

(2)偶数一定在奇数位上;

(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.

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用插空法,共有=1 440个.

(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法.共有=576个.

(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720个.

★9.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?

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原有n个车站,∴原有客运车票种.

又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票种.

由题设知:=62,

∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,

∴2mn+m2-m=62,

∴n=(m-1)>0,(m-1),

∴62>m(m-1),即m2-m-62<0.

又∵m>1,∴1

当m=2时,n=15.

当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.

∴n=15,m=2.

∴原有车站15个,现有车站17个.

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