概率论与数理统计课后答案

经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)

完整的答案

习题一

1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为 M).解 (1) ={正面，反面} △ {正，反} (2) ={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) ={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) ={x；0 ?x? m}.

2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件 A＝“偶数点”， B＝“奇数点”，C＝“点数小于5”，D＝“小于 5 的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.= { ,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6}, B = { ,3,5}, C = { ,2,3,4}, D = {2,4}.

1 1 1 解 A 与 B 为对立事件，即 B＝ A ；B 与 D 互不相容；A ? D，C ? D.

3.事件 Ai 表示某个生产单位第 i 车间完成生产任务，i＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件 B 及 B－C 的含义，并且用 Ai(i＝1，2，3)表示出来.解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务.B－C 表示三个车间都完成生产任务

4.如图 1－1，事件 A、B、C A＋B＋C，AC＋B，C－AB 用解 A + B = A + AB 图1－1 B = A1 A2 + A2 A3 + A1 A3 B = A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3 C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 都相容，即ABC≠Φ，把事件 A＋B，一些互不相容事件的和表示出来. A + B + C = A + AB + A BC B ? C = A1 A2 A3 AC + B = B + ABC

5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生.在本书第 6 页例 2 中 A 与 D 是对立事件，与 D 是互不相容事 C 件.

6.三个事件 A、B、C 的积是不可能事件，即 ABC＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定.A、B、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图 1－2，事件 ABC＝Φ，但是

A 与

B 相容. AB，D＝A+B，F＝A－B.说明事

7.事件 A 与 B 相容，记 C＝图 1－2 件 A、C、D、F 的关系.C ? AB = A BC + ABC + ABC 2 解由于 AB ? A ? A+B， A－B ? A ? A+B，与 A－B 互不相容，A＝AB＋(A－B).因 AB 且此有 A＝C+F，C 与 F 互不相容，

8.袋内装有 5 个白球，3 个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件 A 表示“取到的两个球颜色不同”.则有利于事件 A 的样本点数目 2 ＃A＝ C51C31 .而组成试验的样本点总数为＃Ω＝ C5+3 ，由古典概率公式有 D ? A ? F，A ? C. P(A)＝ # A = #? 1 1 C5C3 15 = C82 28 (其

中＃A，Ω分别表示有利于 A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，＃余下同)

9.计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件 B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件 B 的样本点数为＃ B = C52 . P( B) = 1－P( B) = 1 ? C52 9 = 2 C8 14

10.抛掷一枚硬币，连续 3 次，求既有正面又有反面出现的概率.“三次中既有正面又有反面出现” 则 A 表示三次均为正面或 , 解设事件 A 表示三次均为反面出现.而抛掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此 P ( A) = 1 ? P( A) = 1 ? ＃A 2 3 = 1? = #? 8 4

11. 10 把钥匙中有 3 把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件 A 表示“门锁能被打开” 则事件 A 发生就是取的两把钥匙都不能打.开门锁. P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? C2 8 ＃A = 1－ 7 = 2 ＃? C10 15 从9 题－11 题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.

12.一副扑克牌有 52 张，不放回抽样，每次一张，连续抽取 4 张，计算下列事件的概率： (1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色.解设事件 A 表示“四张花色各异” B 表示“四张中只有两种花色”.； # 4 1 1 1 1 = C52，A = C13C13C13C13， # 2 1 3 1 2 2 # B = C（C 2 C13C13＋C13C13 ） 4 P( A) = P( B) = # A 134 = 4 = 0.105 # C52 # B 6 7436＋6048 （） = = 0 . 300 4 # C52 13.口袋内装有 2 个伍分、3 个贰分，5 个壹分的硬币共 10 枚，从中任取 5 枚， 3 解求总值超过壹角的概率.设事件 A 表示“取出的 5 枚硬币总值超过壹角”. # 1 = C 10 ，＝C 2 C83＋C 2 3 C5＋C 32 C52 ) #A

(C 3 1 2 5 ＃A 126 P( A)＝＝＝0.5 ＃ 252

14.袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率： A＝“三次都是红球” △“全红” B＝“全白” ，， C ＝“全黑” D＝“无红” E＝“无白” ，，， F＝“无黑” G＝“三次颜色全相同” ，， H＝“颜色全不相同” I＝“颜色不全相同”.， 3 解＃Ω＝3 ＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1，＃D＝＃E＝＃F＝23＝8，＃G＝＃A＋＃B＋＃C ＝3，＃H＝3！＝6，＃I＝＃Ω－＃G＝24 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = P ( D) = P ( E ) = P ( F ) = 1 27 8 27 P(G ) = 3 1 6 2 24 8 = , P( H ) = = , P( I ) = = 27 9 27 9 27 9 15.一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率.解设事件 A 表示“有 4 个人的生日在同一个月份”.

1 ＃Ω＝126，＃A＝ C64C1211

2 P( A) = # A 21780 ＝＝0.007

3 # 12 6 16.事件 A 与 B 互不相容，计算 P ( A + B) .解由于 A 与 B 互不相容，有 AB ＝Φ，P(AB)＝0 17.证 P( A + B) = P( AB) = 1 ? P( AB) = 1.设事件 B ? A，求证P(B)?P(A）.∵B ? A ∴P(B-A)＝P(B) - P(A) ∵P(B-A)?0 ∴P(B)?P(A) 18.已知 P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0 (b＞0.3a)， P(A－B)＝0.7a，求 P(B+A)，P(B-A)，P( B ＋ A ).解由于 A－B 与 AB 互不相容，且 A＝(A-B)＋AB，因此有 P(AB)＝P(A)-P(A-B)＝0.3a P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7a＋b

P(B-A)＝P(B)-P(AB)＝b-0.3a P( B ＋ A )＝1-P(AB)＝1-0.3a 19. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.，则 A 表示没有取到废品，有利于事件 A 的样本解设事件 A 表示“取到废品” 4 3 点数目为＃ A ＝ C46 ，因此 P(A)＝1-P( A )＝1- ＃A ＝1－ C46 3 3 ＃ C50 ＝0.2255 20.已知事件 B ? A，P(A)＝lnb ≠ 0，P(B)＝lna，求 a 的取值范围.解因 B ? A，故P(B)?P(A)，即lna?lnb, ? a?b，又因 P(A)

＞0，P(B)?1，可得 b＞1，a?e，综上分析 a 的取值范围是： 1＜b?a?e 21.设事件 A 与 B 的概率都大于 0，比较概率 P(A)，P(AB)， P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件 A，B，均有 AB ? A ? A+B 且 P(A+B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)，P(AB)?0，因此有P(AB)?P(A)?P(A+B)?P(A)＋P(B) 22.一个教室中有 100 名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以 365 天计算).解设事件 A 表示“100 名学生的生日都不在元旦” ，则有利于 A 的样本点数目为＃ A ＝ 3 6 4 1 0 0 ，而样本空间中样本点总数为＃Ω＝365100，所求概率为 P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? #A 364100 = 1? #? 365100 = 0.2399 23.从 5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件 A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副” ，则 A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.P ( A) = 1 1 1 1 # A C54C2C2C2C2 80 = = 4 # C10 210 24.某单位有 92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有 85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件 A 表示“任找的一名职工订阅报纸” B 表示“订阅杂志” ，，依题意 P(A)＝0.92，P(B)＝0.93，P(B｜ A )＝0.85 P(A＋B)＝P(A)＋P( A B)＝P(A)＋P( A )P(B｜ A ) ＝0.92＋0.08×0.85＝0.988 P(A B )＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.058 25.分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件 A 表示数学成绩优秀，表示外语成绩优秀， P(A)＝P(B)＝0.4， (AB)＝0.28， P(A｜ B 若 P 求B)，P(B｜A)，P(A＋B).解 P(A｜B)＝ P( AB) = 0.28 = 0.7 P( B) 0 .4 P(B｜A)＝ P( AB) = 0.7 P ( A) P ( A) = 1 ? P ( A) = 0.62 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.52 26.设 A、B 是两个随机事件. 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1， 5 P(A｜B)＋P( A ｜ B )＝1.求证 P(AB)＝P(A)P(B).证∵P ( A｜ B )＋P ( A ｜ B )＝1 且 P ( A｜B )＋P( A ｜ B )＝1 ∴P ( A｜B )＝P (A｜ B ) P ( AB ) P ( A B ) P ( A) ? P ( AB ) = = P( B) 1 ? P( B) P( B) P(AB)〔1-P(B)〕＝P( B)〔P( A)-P( AB)〕整理可得 P(AB)＝P( A) P( B) 27.设 A 与 B 独立，P( A)＝0.4，P( A＋B)＝0.7，求概率 P (B).解 P( A＋B)＝P(A)＋P( A B)＝P( A)＋P( A ) P( B) ? 0.7＝0.4＋0.6P( B ) ? P( B )＝0.5 28.设事件 A 与B 的概率都大于 0，如果 A 与 B 独立，问它们是否互不相容，为什么? 解因P ( A )，P ( B )均大于 0，又因 A 与 B 独立，因此 P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故 A 与 B 不可能互不相容. 29.某种电子元件的寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8，求 3 个这种元件使用 1000 小时后，最多只坏了一个的概率.，解设事件 Ai 表示“使用 1000 小时后第 i 个元件没有坏” i＝1，2，3，显然 A1，A2，A3 相互独立，事件 A 表示“三个元件中最多只坏了一个” 则 A ＝A1A2A3＋ A1 A2A3＋A1 A2 A3＋A1A2 A3 ，，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8 P( A)＝ [P( A1 )]3 +

3[P( A1 )]2 P( A1 ) ＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.896 30.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为 0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解设事件 A 表示“任取一个零件为合格品” ，依题意 A 表示三道工序都合格. P(A)＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.448 31.某单位电话总机的占线率为 0.4，其中某车间分机的占线率为 0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第 m 次才能打通的概率(m

为任何正整数).解设事件 Ai 表示“第 i 次能打通” i＝1，2，…，m，则，P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P(A2)＝0.58 × 0.42＝0.2436 P(Am)＝0.58m －1 × 0.42 32.一间宿舍中有 4 位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设 Ai 表示“第 i 人拿到自己眼镜”，i＝1,2,3,4. P ( Ai )＝ 1 ，设事件 B 4 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然 B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”.且 B ＝A1＋A2＋A3＋A4. P( B )＝P(A1＋A2＋A3＋A4) 4 ＝∑ p( Ai ) ? ∑ P( Ai Ai ) + ∑ P( Ai A j Ak ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) i =1 1?i＜j ? 4 1?i ＜j＜k ? 4 6 P(AiAj) = P(Ai)P(Aj｜Ai) =1×1 = 4 3 1 (1 ? i＜j ? 4) 12 P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜Ai)P(Ak｜AiAj) = 1 × 1 × 1 = 1 （1?i＜j＜k?4）P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) ×P(A4｜A1A2A3) 4 3 2 1 1 1 1 5 2 3 P ( B ) = 4 × ? C 4 × +C4 × ? = 4 12 24 24 8 3 P( B) = 1 ? P( B) = 8 4 3 2 24 = 1 × 1 × 1 ×1 = 1 24 33.在 1，2，…，3000 这 3000 个数中任取一个数，设 Am＝“该数可以被 m 整除”，m＝2，3，求概率 P(A2A3)，P(A2＋A3)，P(A2－A3).解依题意 P(A2)＝ 1 ，P(A3)＝ 1 2 3 P(A2A3)＝P(A6)＝ 1 6 P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3) ＝1+1?1 = 2 2 3 6 3 2 6 3 P(A2－A3)＝P(A2)－P(A2A3)＝ 1 ? 1 = 1

34.甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为 0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中.解设事件 A、B、C 分别表示“甲投中”“乙投中”“丙投中” 、、，显然 A、B、C 相互独立.设 Ai 表示“三人中有 i 人投中” i ＝0,1,2,3,依题意，， P( A0 ) = P( A B C ) = P( A) P( B ) P(C ) P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.8×0.7×0.6 = 0.336 P(A2)=P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) =0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6 = 0.452 (1) P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)－P(A3) ＝1－0.024－0.452－0.336＝

0.188 (2) P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P(A＋B＋C)＝P( A0 )＝1－P (A0)＝0.976 35.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为 0.4 及 0.5，问谁先投中的概率较大，为什么? 解设事件

A2n-1B2n 分别表示“甲在第 2n－1 次投中”与“乙在第 2n 次投中” ，显然A1，B2，A3，B4，…相互独立.设事件 A 表示“甲先投中”.P( A) = P( A1 ) + P( A1 B 2 A3 ) + P( A1 B 2 A3 B 4 A5 ) + … = 0.4＋0.6 × 0.5 × 0.4＋(0.6 × 0.5) 2 × 0.4＋… = 0.2×0.3×0.4× = 0.024 7 = 计算得知 P(A)＞0.5，P( A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大.36.某高校新生中，北京考生占 30％，京外其他各地考生占 70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占 80％，而京外学生以英语为第一外语的占 95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件 A 表示“任选一名学生为北京考生” B 表示“任选一名学生，以英，语为第一外语”.依题意 P(A)＝0.3，P( A )＝0.7，P(B｜A)＝0.8，P(B｜ A )＝ 0.95.由全概率公式有 P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P( A )P(B｜ A ) ＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.905 37. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为 9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4?，2?，5?，求 A 地的甲种疾病的发病率.解设事件 A1，A2，A3 分别表示从 A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见 A1，A2，A3 两两互不相容，其和为Ω.设事件 B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病” ，依题意： P(A1)＝0.45，P(A2)

＝0.35，P(A3)＝0.2， P(B｜A1)＝0.004，P(B｜A2)＝0.002，P(B｜A3)＝0.005 3 ＝∑ P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 0 .4 4 = 1 ? 0 .3 7 ＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005 ＝0.0035 38.一个机床有三分之一的时间加工零件 A，其余时间加工零件 B，加工零件 A 时，停机的概率为 0.3，加工零件 B 时停机的概率为 0.4，求这个机床停机的概率.解设事件 A 表示“机床加工零件A” ，则 A 表示“机床加工零件B” ，设事件 B 表示“机床停工”. P ( B ) = P ( A ) P ( B | A) + P ( A ) P ( B | A) 1 2 = 0.3 × + 0.4 × = 0.37 3 3 39.有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 3 个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个 1 号球，1 个 2 号球与 1 个 3 号球，Ⅱ号袋内装有两个 1 号球和 1 个 3 号球，Ⅲ号袋内装有 3 个 1 号球与两个 2 号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么? 解设事件 Ai 表示“第一次取到 i 号球” Bi 表示第二次取到 i 号球，i＝1，2，， 3.依题意，A1，A2，A3 构成一个完全事件组. P ( A1 ) = 1 1 , P ( A2 ) = P ( A3 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A1 ) = P ( B3 | A1 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A2 ) = P ( B3 | A2 ) = 2 4 1 1 1 , P ( B2 | A3 ) = , P ( B3 | A3 ) = 2 3 6 P ( B1 | A1 ) = P ( B1 | A2 ) = P ( B1 | A3 ) = 8 应用全概率公式P( B j ) = ∑ P( Ai ) P( B j | Ai ) 可以依次计算出 P( B1 ) = 1 , 3 i =1 2 P ( B2 ) = 13 11 , P( B3 ) = 48 48 .因此第二次取到 1 号球的概率最大. 40.接 37 题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为 5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为 5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为 1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件 A 表示“受检人患有甲种疾病” B 表示“受检人被查有甲种疾病” ，，由 37 题计算可知 P(A)＝0.0035，应用贝叶斯公式 P( A | B) = P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) 0.0035 × 0.95 = 0.0035 × 0.95＋0.9965 × 0.01 = 0.25 41.甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为 5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为 94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件 A1，A2，A3 分别表示“受检零件为甲机床加工”“乙机床加工”“丙，，机床加工”

B 表示“废品” ，，应用贝叶斯公式有 P( A1 | B) = P( A1 ) P( B | A1 ) i =1 ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) = 3 0.5 × 0.06 3 = 0.5 × 0.06＋0.3 × 0.1＋0.2 × 0.05 7 4 P( A1 | B) = 1 ? P( A1 | B) = 7 42.某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车 4 种交通工具，其概率分别为 5％， 15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100％， 70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件 A1，A2，A3，A4 分别表示外出人“乘坐飞机”“乘坐火车”“乘坐轮，，船”“乘坐汽车” B 表示“外出人如期到达”.，，P( A2 | B) = P( A2 ) P( B | A2 ) ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 4 = 0.15 × 0.3 0.05 × 0 + 0.15 × 0.3 + 0.3 × 0.4 + 0.5 × 0.1 =0.209

43.接 39 题，若第二次取到的是 1 号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解39 题计算知 P(B1)＝ 1 ，应用贝叶斯公式 2 1 1 × P( A1 ) P( B1 | A1 ) 2 2 1 P( A1 | B1 ) = = = 1 P( B1 ) 2 2

44.一箱产品 100 件，其次品个数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已 9 知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解设事件 Ai 表示一箱中有 i 件次品，i＝0, 1, 2.B 表示“抽取的 10 件中无次品” ，先计算 P ( B )

10 10 2 1 C99 C98 P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P ( B | Ai ) = × (1 + 10 + 10 )

i =0 3 C100 C100 1 P( A0 | B) = = 0.37 3P ( B )

45.设一条昆虫生产 n 个卵的概率为 pn = λn n! e ?λ n=0, 1, 2, … 其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于 p(0＜p＜1).如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有 k 条虫的概率是多少? 解设事件 An＝“一个虫产下几个卵” n＝0，1，2….BR＝“该虫下一代有 k 条，虫” k＝0，1，….依题意， P( An ) = pn = λn n! e ?λ 0 ? P( Bk | An ) = ? k k n?k ?Cn p q ∞ k＞n 0?k ?n ∞ 其中 q=1－p.应用全概率公式有P( Bk ) = ∑ P ( An ) P( Bk | An ) = ∑ P( An ) P( Bk | An ) n =0 n=k ∞ =∑ n=l n! λ ?λ e p k q n?k n! k !( n ? k ) ! n (λp ) k ?λ ∞ (λq) n? k e ∑ k! n= k (n ? k ) ! 由于∑ (λq) ∞ (λ q ) n ? k = e λq ，所以有 n = k ( n ? k ) ! n ? k =0 ( n ? k ) ! = n?k ∑ ∞ P( Bk ) = ( λ p ) k ? λλq ( λ p ) p ? λp e e = e k! k k = 0, 1, 2,L 10

习题二 1.已知随机变量 X 服从 0－1 分布，并且P{X?0}＝0.2，求 X 的概率分布.解 X 只取 0 与 1 两个值， {X＝0}＝P{X?0}－P{X＜0}＝0.2， {X ＝1}＝1－P{X P P ＝0}＝0.8.

2.一箱产品 20 件，其中有 5 件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数 X 的概率分布.解 X 可以取 0, 1, 2 三个值.由古典概型公式可知 C m C 2? m P { X = m } = 5 215 (m = 0, 1, 2) C20 依次计算得 X 的概率分布如下表所示： X P 0 21 38 1 15 38 2 2 38

3.上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为 X 件，求随机变量 X 的概率分布.解 X 的取值仍是 0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是 1/4，取到非优质品的概率是 3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有 9 ?3? P{X = 0} = ? ? = 4 ? 16 ? 6 1 ? 1 ?? 3 ? P { X = 1 } = C 2 ? ?? ? = 4 ?? 4 ? 16 ? 1 ?1? P { X = 2 }= ? ? = 4 ? 16 ? 2 2

4.第 2 题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数 X 的概率分布.解 X 可以取1, 2, …可列个值.且事件{X = n}表示抽取 n 次，前 n－1 次均未取到优质品且第 n 次取到优质品，其概率为 ? 3 ? ? 1 .因此 X 的概率分布为 ? ? n ?1 ?4? 4 1?3? P {X = n } = ? ? 4?4? n ?1 n = 1, 2, …

5.盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球，3 个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数 X； (2)取到的旧球个数 Y .解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值. 3 3 9 9 P { X =1 }= P {X = 2 } = × = 4 12 11 3 2 9 9 P { X = 3 }= × × = 12 11 10 220 44 11 P { X = 4 }= 3 2 1 9 1 × × × = 12 11 10 9 220 (2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值. 3 P {Y = 0 }= P { X =1 }= 4 9 P {Y =1 }= P { X = 2 }= 44 9 P {Y = 2 }= P { X = 3 }= 220 1 P {Y = 3 }= P { X = 4 }= 220

6.上题盒中球的组成不变，若一次取出 3 个，求取到的新球数目 X 的概率分布.解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值. C33 1 P {X = 0 } = 3 = C12 1 9 220 P

{X = 1 } = P {X = 2 } = P {X = 3 } = CC 27 = 3 C12 220 1 C92C3 108 = 3 220 C12 3 C9 84 = 3 C12 220 2 3

7.已知 P{X＝n}＝pn，n＝1, 2, 3, …, 求 p 的值.∞ 解根据∑ P { X = n }＝1 , 有n =1 1 = ∑ Pn = n=1 ∞ p 1? p 解上面关于 p 的方程，得 p＝0.5.

8.已知 P{X＝n}=pn， n＝2, 4, 6, …，求 p 的值. 2 解p2 + p4 + p6 + … = p 2 = 1 1? p 解方程，得p= ± 2 /2

9.已知 P{X＝n}=cn, n=1, 2, …, 100, 求 c 的值.100 解 1 = ∑ cn = c ( 1 + 2 + … + 100 ) ＝5050 c n =1 解得 c＝1/5050 .

10.如果 pn＝cn＿2，n=1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么? ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 解∑ pn = c ∑ 12 , 由于级数∑ 12收敛, 若记∑ 12 =a,只要取 c = 1 , 则有∑ pn =1, 且 n =1 n=1 n n =1 n n =1 n a n =1 pn ＞0.所以它可以是一个离散型概率分布.

11.随机变量 X 只取 1, 2, 3 共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求 X 的概率分布.解设 P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d,

P{X=3}=a+d.由概率函数的和为 1，可知 a= 1 , 但是 a－d 与 a+d 均需大于零, 3 因此｜d｜＜ 1 , X 的概率分布为 3 X 1 2 3 12 P 1 －d 3 1 3 3 1 +d 3 其中 d 应满足条件：0＜｜d｜＜ 1 12.已知 P { X 解∞ m =1 = m }= ∞ cλ ?λ ,m e m! m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数 c.1 = ∑ p{X = m} = ∑ ∞ cλm ?λ e m =1 m ! = eλ由于∑ ∞ λm m =0 m ! = 1+ ∑ ∞ λm , 所以有 m =1 m !

13.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为 0.4 及 0.5，求： (1)二人投篮总次数 Z 的概率分布； (2)甲投篮次数 X 的概率分布； (3)乙投篮次数 Y 的概率分布.解设事件 Ai 表示在第 i 次投篮中甲投中，表示在第 j 次投篮中乙投中，=1, 3, j i 5, …, j=2, 4, 6,…,且 A1, B2, A3, B4，…相互独立. (1) P{Z = 2k ? 1} = p{A1 B1 L A 2 k ?3 B 2 k ?2 A2 k ?1 } = (0.6×0.5) k ?1 ·0.4 = 0.4(0.3) k ?1 k=1, 2, … P{Z = 2k } = p( A1 B1 L A2 k ?3 B 2 k ? 2 A2 k ?1 B2 k ) k =

0.5×0.6×(0.6×0.5) k ?1 =0.3 k=1, 2, … (2) P{X = n} = p{A1 B1 L A2 n?3

B 2n?2 A2 n?1 } + p A1 B1 L A 2 n ?3 B 2 n ?2 A2 n?1 B2 n = (0.6 × 0.5) n?1 (0.4 + 0.6 × 0.5) = 0.7 × 0.3n?1 n = 1, 2, K (3) P { Y = 0 } = P( A1 ) = 0.4 P { Y = n } = P A1 B1 K A 2 n?1 B2 n + P A1 B1 K A 2 n?1 B 2 n A2 n+1 = (0.6 × 0.5) n?1 × 0.6 × (0.5 + 0.5 × 0.4) = 0.42 × 0.3n?1 n = 1, 2， K cλm ?λ ∑1 m ! e = c(e λ ? 1)e ?λ = c(1 ? e ?λ ) = 1 m= 1 解得 c= 1 ? e ?λ { } { } { }

14.一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为 0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为 0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目 X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取 0, 1, 2, 3, 4 . P { X＝0 } ＝0.4 P { X＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 2 P { X＝2 } ＝0.6 ×0.4＝0.144 P { X ＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X＝4 } ＝0.64＝0.1296 15. ?sin x , f ( x) = ? ? 0, x ∈ [ a , b] ，其他. 13 问 f(x)是否为一个概率密度函数，为什么?如果 (1) a = 0 , b = π ; (2) a = 0 , b = π ; (3) a = π , b = 3 π. 2 2 解π在〔0, π 2 〕与〔0, π〕上，sinx?0,但是∫ 0π sin xdx ≠ 1, ? π ? 上,sinx ? ? 3 2 ∫ 0 sin xdx = 1, 而在 ?π, ? 2 ?0.因此

只有(1)中的 a, b 可以使 f (x)是一个概率密度函数. 16. ?x ? x , ? e 2c f ( x) = ? c ? 0, ? 2 x＞0 ，x ? 0.其中 c＞0，问 f(x)是否为密度函数，为什么? 解易见对任何x∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ? 0，又∫ +∞ 0 x ? 2c e dx = 1 c x2 f(x)是一个密度函数. 17.解 ?2 x , f ( x) = ? ? 0， a ＜x ＜a + 2.其他.问 f ( x )是否为密度函数，若是，确定 a 的值；若不是，说明理由.如果 f ( x )是密度函数，则 f ( x )?0，因此a?0，但是，当a?0 时， 2 a +2 ∫ a 2 × dx = x | a = 4 a + 4 ? 4 a+2 由于∫+∞

f ?∞ ( x) dx 不是 1，因此 f ( x )不是密度函数. a ＜ x＜+ ∞ , 其他.

18.设随机变量 X～f ( x ) 2 ? , ? f ( x ) = ? π ( 1 + x2 ) ? 0, ? 确定常数 a 的值，如果 P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求 b 的值.解+∞ 2 2 2 πdx = arctan x ∫ = ( ? arctan a) 2 a π (1 + x ) a ππ 2 2 ?π ? 解方程 ? －arctana ? =1 π ?2 ? ∫ +∞ 得 a = 0 b P { 0 ＜ x ＜ b } = ∫0 f ( x ) dx = 2 2 arctan x |b = arctan b 0 ππ解关于 b 的方程： 2 arctanb=0.5 π得 b=1.

19.某种电子元件的寿命 X 是随机变量，概率密度为 ?100 ? f ( x ) = ? x2 ? 0, ? x ? 100 , x＜100 . 3 个这种元件串联在一个线路中，计算这 3 个元件使用了 150 小时后仍能使线路正常工作的概率. 14 解串联线路正常工作的

充分必要条件是 3 个元件都能正常工作.而三个元件的寿命是三个相互独立

同分布的随机变量，因此若用事件 A 表示“线路正常工作” ，则 P ( A ) = [ P ( X ＞150) ]3 2 + ∞ 100 P { X ＞ 150 }＝∫ 150 dx = 2 x 3 8 P( A)= 27 20.设随机变量 X～f ( x )，f ( x )＝Ae－|x|，确定系数 A；计算 P { |X | ? 1 }.∞ 解 1 = ∫ ?+∞ Ae ? | x | dx = 2 A ∫ 0+∞ e ? x dx = 2 A 解得 A＝ 1 2 1 ?1 1 1 ?| x| e dx = ∫ e ? x dx 0 2 P {| X | ?1 }= ∫ 21.设随机变量 Y 服从〔0, 5〕上的均匀分布，求关于 x 的二次方程 4x2＋

4xY+Y+2=0 有实数根的概率.解 4x2+4xY+Y+2=0.有实根的充分必要条件是△＝b2－4ac =16Y2－16(Y+2)=16Y2－16Y－32?0 设事件 P(A)为所求概率.则 P ( A) = P {16Y 2 ? 16Y ? 32 ? 0 } = P { Y ? 2 } + P { Y ? ?1 } =0.6 22.设随机变量 X ～ f ( x )， ? c , ? f ( x) = ? 1 ? x 2 ? 0, ? | x | ＜1，其他.= 1 ? e ?1 ≈ 0.632 确定常数 c，计算P ? | X | ? 1 ? . ? ? ? 2? 解 1 = ∫?1 1 c 1? x 2 dx = c arcsin x |1 1 = cπ ? c =1 π 1? 1 2 dx = arcsin x ? = 21 2 ? ∫? 2 π 1 ? x 2 π 1 1 2 0 ? P ? | X |? ? = 1 3 23.设随机变量 X 的分布函数 F ( x )为 ? 0, ? F ( x) = ? A x , ? 1, ? x ＜0 ， 0＜x＜1 , x ? 1.确定系数 A，计算P { 0 ? X ? 0.25 }，求概率密度 f ( x ).解连续型随机变量 X 的分布函数是连续函数，F F (1－0)，有A＝1. (1)＝ 15 ? 1 , ? f ( x ) = ?2 x ? 0, ? 0＜x＜1 , 其他.P { 0 ? X ? 0.25 } = F ( 0.25 ) ? F ( 0 ) = 0.5 24.求第 20 题中 X 的分布函数

F ( x ) .解 F ( x ) = P { X ? x } = ∫ ?x∞ 1 e ? | t | dt 2 当t ?

0 时， F ( x ) = ∫ ?∞ x 1 t 1 e dt = e x 2 2 当 t＞0 时， x 1 0 1 x1

F ( x ) = ∫ ?∞ e ? | t | dt = ∫ ?∞ e ?t dt + ∫0 e -t dt 2 2 2 1 1

1 ?x ?x = + (1 ? e ) = 1 ? e

2 2 2 25.函数(1+x2)－1 可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解不能是分布函数，因 F (－∞)＝ 1 ≠ 0. a ,

确定 a 的值；求分布函数 26.随机变量 X ～ f ( x )，并且 f ( x ) = 2 π(1+ x ) F ( x )；计算 P { | X | ＜1 } .解 1 = ∫ ?∞ +∞ a a ∞ dx = arctan x +∞ = a ? π ( 1+ x2 ) π因此 a =1 F ( x) = ∫ ?∞ x 1 1 dt = arctan

t ?x∞ 2 π ( 1+ t ) π 1 1 = + arctan x 2 π 1 1 1 1 P { | X | ＜1 } = ∫ ?1 dx = 2 ∫ 0 dx 2 π ( 1+ x ) π ( 1+ x2 ) 2 1 = arctan x 01 = π2 27.随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为： A ? , ?1 ? F ( x) = ? x 2 ? 0, ? x＞2 ，x ? 2.确定常数 A 的值，计算P { 0 ? X ? 4 } .解由 F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得1? A =0, 4 A=4 P { 0 ? X ? 4 } = P { 0＜X ? 4 } = F ( 4 ) ? F ( 0 ) = 0.75 f 28.随机变量 X～f ( x )， ( x )＝ A , 确定 A e x + e?x 的值；求分布函数 F ( x ) . 16 解 1 = ∫ ?∞ 因此 A ex ∞ dx = A ∫ ? ∞ dx e x + e ?x 1 + e2x π = A arctan e x ∞∞ = A ? 2 A ＝ 2 ，π∞ ?∞ F (x)=∫ 2 2 dt = arctan et π( et + e ?t ) π 2 = arctan

e x πx x ?∞ 29.随机变量 X～

f ( x )， ? 2x ? , 0＜x＜a f ( x ) = ? π2 ?

0 , 其他.其他 ? 确定 a 的值并求分布函数 F ( x ) .解 1 = ∫0 a 2x x2 dx = 2 2 ππ a 0 = a2 π2 因此，a = π当 0＜x＜π时， F ( x ) ∫0 2t x2 dt = 2 π2 π ?0, x ? 0 ? 2 ?x F ( x) = ? 2 , x＜π0＜ ?π?1, x ? π? x 30.随机变量 X 的分布函数为 ?0 , ? F ( x ) = ? a 2 x 2 + 2ax + 2 ?ax e , ?1 ? 2 ? x?0 x＞0 (a＞0) 求 X 的概率密度并计算 P ? 0＜X＜ 1 ? .? ? ? a ? 解当x ? 0 时，X 的概率密度 f ( x ) ＝0；当 x ＞ 0 时，f ( x ) ＝F? ( x ) ? 0, ? f ( x ) = ? a 3 x 2 ?ax e , ? ? 2 x?0, 0. x＞ 31.随机变量 X 服从参数为 0.7 的 0－1 分布，求 X2，X2－2X 的概率分布.解 X2 仍服从 0－1 分布，且 P { X2＝0 } ＝P { X ＝0 } ＝0.3，P{X2＝1}＝P{X 1 ? 1 ? 1 ? ? P ? 0＜x＜ ? = P ? 0＜x ? ? = F ( ) ? F ( 0 ) a ? a ? a ? ? 5 ?1 = 1 ? e ≈ 0.08 2 17 ＝1}＝0.7 X2－2X 的取值为－1 与 0 , P{X2－2X＝0} ＝P { X＝0 } ＝0.3 P { X2－2X＝－1 } ＝1－P { X＝0 } ＝0.7 32.已知 P { X＝10n } ＝P { X＝10-n }＝ 1n , n = 1 , 2 , K , 解 Y=lgX，求 Y 的概率分布.Y 的取值为±1, ±2 , … P { Y=n } =P { lgX=n } =P { X=10n } = 1 3 3 3 P { Y=－n } =P { lgX=－n } =P { x=10-n } ＝ 1 n＝1 , 2 , … 33. X 服从〔a , b〕上的均匀分布，Y=ax+b (a≠0)，求证 Y 也服从均匀分布.证设 Y 的概率密度为 fY ( y ) ，X 的概率密度为 fX ( x )，只要 a ≠ 0， y = ax + b 都是 x 的单调函数.当 a ＞ 0 时，Y 的取值为〔a2+b , ab+b〕, x=h( y)= 1 1 ( y ? b ) , h? ( y ) = x ? = y a a 1 f Y ( y ) = h? ( y ) f X [ h ( y ) ] = , y ∈ [ a 2 + b , ab + b ], a (b?a ) 当y ∈ [ a 2 + b , ab + b ] 时， fY ( y ) =0.类似地，若 a ＜0，则 Y 的取值为〔 ab+b , a2+b 〕 ? ?1 , ? f Y ( y) = ? a(b ? a) ? 0, ? ab + b ? y ? a 2 + b , 其他.因此，无论 a＞0 还是 a＜0，ax+b 均服从均匀分布.34.随机变量 X 服从〔0 , π 2 〕上的均匀分布 Y=cosX , 求 Y 的概率密度 fY ( y ).解 y=cosx 在〔0, h? ( y ) = ?1 1? y 2 π 2 〕上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccosy 2 π , fx ( x ) = 0＜ y ＜1 , 其他., 0 ? x ? π 2 .因此 2 ? , ? fY ( y ) = ? π 1 ? y 2 ? 0， ? 35.随机变量 X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y=ex , Z =｜lnX｜，分别求随机变量Y 与 Z 的概率密度 fY ( y ) 及 fZ ( z ) .解 y = ex 在(0 , 1)内单调 , x=lny 可导，且x?y = 1 , fX ( x ) =1 y 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有 18 ?1 ? , fY ( y ) ? y ? 0, ? 1＜ y ＜ e , 其他.在(0 , 1)内 lnx ＜ 0｜lnx｜=-lnx 单调，且 x = e ? z ，x?z＝－e ? z ，因此有 ?e ? z ， fz ( z ) = ? ? 0, 0 ＜z ＜+ ∞, 其他. 36.随机变量 X～f ( x ) ， ?e ? x , f (x)=? ? 0, x ＞0 x?0 Y = X , Z = X2 , 分别计算随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fy ( y ) 与

fZ ( z ) .解当 x ＞ 0 时，y = x 单调，其反函数为x = y2 , x?y = 2y ?2 y e ? y , ? fY ( y ) = ? ? 0, ? 2 y＞0 , y ? 0. z 当 x ＞ 0 时 z＝x2 也是单调函数，其反函数为x = ? 1 ? e ? f z ( z) = ? 2 z ? 0, ? z , x? z= 1 2 z z＞0 ，z ? 0. (x)= 2 37.随机变量 X～f ( x )，当x ? 0 时, f π(1 + x 2 ) , Y=arctanX , Z = 解 1 X ,分别计算随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fY ( y ) 与 fz ( z ) . ? 2? 其反函数x=tany , x? y=sec2y 在 ? ? 0, π ? 内由于 y = arctanx 是单调函数， ? ? π 2 2 f Y ( y ) = sec y = π(1 + tan 2 y ) π即 Y 服从区间(0 , π )上的均匀分布. 2 1 z = 在 x＞0 时也是 x 的单调函数，其反函数 x= 1 x z 2 恒不为零，因此，当 0 ＜ y ＜ 2 时， , x? z = ?1 . 2 z 因此当 z＞0 时， fz ( z ) = ?1 2 2 = 2 z π [ 1+ ( 1 )2 ] π ( 1 + z 2 ) z 2 ? , z＞0 ? f z ( z ) = ? π(1 + z 2 ) ? 0, z?0 ? 19 即Z = 圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动.求该质点横 38.一个质点在半径为 R，坐标 X 的密度函数 fX ( x ) .解如图，设质点在圆周位置为 M，弧 M A 的长记为 L，显然 L 是一个连续型随机变量，L 服从〔0，πR〕上的均匀分布. ? 1 , ? f L ( l ) = ? πR ? 0, ? 0 ? l ? πR ，其他. 1 X 与 X 同分布. M 点的横坐标 X 也是一个数，且图 2-1 随机变量，它是弧长 L 的函 X ＝ Rcosθ＝ Rcos 函数 x = Rcosl / R 是 l 的单调函数 ( 0＜ l ＜πR ) ,其反函数为 l ＝Rarccos x R ? lx = ?R R2 ? x2 L R 当－R ＜ x ＜R 时，L?x ≠ 0，此时有 fX ( x ) = ?R R ?x 2 2 ? 1 1 = πR π R 2 ? x 2 当x ? －R 或x ? R 时，fX ( x ) ＝0 . 39.计算第 2 , 3 , 5 , 6 , 11 各题中的随机变量的期望.解根据第 2 题中所求出的 X 概率分布，有 EX = 0 × 21 15 2 1 + 1× + 2 × = 38 38 38 2 亦可从 X 服从超几何分布，直接计算EX = n N1 5 1 = 2× = N 20 2 + 1× 6 1 1 + 2× = 16 16 16 2 1 亦可从 X 服从二项分布(2， )，直接用期望公式计算： 4 1 1 EX = np = 2 × = 4 2 9 9 1 + 3× + 4× = 1 .3 4 44 220 220 (2) EY = 0 × 3 +1 × 9 + 2 × 9 + 3 × 1 = 0.3 4 44 220 220 1 27 在第 6 题中，EX = 0 × +1 × + 2 × 108 + 3 × 84 = 2.25 220 220 220 220 1 ?1 ? ?1 ? 在第 11 题中， EX = 1 × ? ? d ? + 2 × + 3 × ? + d ? 3 ?3 ? ?3 ? 在第 3 题中EX = 0 × 9 在第 5 题中(1) EX = 1 × 3 + 2 × 20 = 2 + 2d 0＜｜d｜＜ 1 3 40. P { X = n } = c , n=1, 2, 3, 4, 5, 确定 C 的值并计算 EX.解 n c c c c c 137c =1 ∑ =c+ + + + = n =1 n 2 3 4 5 60 5 C= 60 137 5 n =1 EX = ∑ n ? 41.随机变量 X 只取－1, 0, 1 三个值，且相应概率的比为 1 : 2 : 3，计算 EX.解设 P { X ＝－1 } ＝ a，则 P { X ＝0 } ＝2a, P { X＝1 } ＝3a ( a＞0 ) ，因 a + 2a + 3a = 1 , 故 a ＝1/6 EX = ?1 × c 300 = 5C = n 137 42.随机变量 X 服从参数为 0.8 的 0－1 分布，通过计算说明 EX2 是否等于 ( EX )2 ? 解 EX＝P { X＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64 EX2＝1×0.8＝0.8＞( EX )2 43.随机变量 X～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e- | x |，计算 EXn，n 为正整数.解当n 为奇数时，x n f EX n = ∫ ?∞ 0.5x n e ? | x | dx = 0 +∞ 1 2 3 1 + 0 × + 1× = 6 6 6 3 ( x ) 是奇函数，且积分∫ 0 x n e ? x dx 收敛，因此∞ 当 n 为偶数时，EX n = ∫ ?∞ 0.5x n e ? | x | dx = 2∫ 0 0.5x n e ? x dx = ∫0 +∞ +∞ +∞ x n e ? x dx = Γ ( n + 1 ) = n ! 44.随机变量 X～f ( x ) ，? x, ? f ( x) = ?2 ? x , ? 0, ? n 0 ? x ?1, 1＜x ＜2 , 其他.其他计算 EX (n 为正整数) .解EX n = ∫ ?∞ x n f ( x ) dx = ∫ 0 x n+1dx + ∫ 1 ( 2 ? x ) x n dx 1 2 +∞ = 1 2 1 + ( 2 n+1 ? 1 ) ?

( 2 n+ 2 ) ? 1 n + 2 n +1 n+2 2 n+2 ? 2 = ( n +1) ( n + 2 ) 45.随机变量 X～f ( x ) ，?cx b , f (x)=? ? 0, 0 ? x ?1, 其他.其他 c =1 b +1 b,c 均大于 0，问 EX 可否等于 1，为什么? 解而EX = ∫ 0 cx b +1dx = 1 b ∫ ?∞ f ( x )dx = ∫ 0 cx dx = 1 +∞ c b+2 21 由于方程组 ? c ?b + 1 = 1 ? ? ? c =1 ?b + 2 ? 无解，因此 EX 不能等于 1. 46.计算第 6，40 各题中 X 的方差 DX .解在第 6 题中，从第 39 题计算知 EX＝ 9 ，4 27 4 × 108 9 × 84 1215 EX = + + = 220 220 220 220 2 DX＝EX2－( EX )2≈0.46 在第 40 题中，已计算出 EX＝300 , 137 c 5 EX 2 = ∑ n 2 × = ∑ cn = 15c n =1 n n=1 900 = 137 5 DX=EX2-(EX)2≈1.77 47.计算第 23，29 各题中随机变量的期望和方差.解在第 23 题中，由于 f ( x ) ＝ 1 （0＜x＜1）,因此 2 x 1 1 EX = ∫ 0 dx = 3 2 x 2 x 1 1 EX 2 = ∫ 0 dx = 5 2 x x DX = EX2－ ( EX )2 = 4 45 π在第 29 题中，由于 f ( x ) ＝ 2x ( 0＜x＜π ) , 因此 2 EX = ∫ 0 2x 2 dx = π 2 π 3 2x3 π2 π EX 2 = ∫ 0 2 dx = π 2 π 2 2 DX＝EX2－ ( EX )2= π解∞ EY= ∫ ?+∞ yfY ( y ) dy = ∫ 01 2 18 dy = 2 π 48.计算第 34 题中随机变量 Y 的期望和方差. 2y π 1? y 2 EY2= ∫ 01 2 2y π1? y2 dy = 1 2 DY= 1 ? 4 π2 ? 8 = π2 2π 2 49.已知随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为： 22 F ( x ) 0, ? ? 2 ?1 + x + x , 2 = ?2 ? 2 ? 1 + x － x ， ?2 2 ? 1, ? x＜ ? 1，? 1 ? x＜0 ，0 ? x＜1，x ? 1.计算 EX 与 DX .解依题意，X 的密度函数 f ( x ) 为： ?1 + x , ? f ( x ) = ?1 ? x , ? 0，? ? 1 ? x＜0 ，0 ? x＜1，其他.解 EX＝∫ ?01 x ( 1 + x ) dx + ∫ ?01 x ( 1 ? x ) dx = 0 EX2= ∫ ?01 x 2 ( 1 + x ) dx + ∫ 01 x 2 ( 1 ? x ) dx = 1 DX= 1 6 6 50.已知随机变量 X 的期望 EX＝μ，方差 DX ＝σ2，随机变量 Y = 和 DY .解 EY = 1 ( EX－μ ) ＝0 σ X ?? σ , 求 EY DY = DX σ2 =1 1 ) 4 51.随机变量 Yn～B ( n, 并画出概率函数图. ,分别就 n=1, 2, 4, 8, 列出 Yn 的概率分布表，解 Y1 P Y3 P Y4 P 0 3 4 1 1 4 Y2 P 1 27 64 0 9 16 1 6 16 2 1 16 0 27 64 2 9 64 3 1 64 0 81 256 1 108 256 2 54 256 3 12 256 4 1 256 Y8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 23 P 6561 1749 2041 1360 5670 1512 252 24 a a 6a 2a 8a a a a a 其中 a = 1/65536 .图略. 52.设每次试验的成功率为 0.8，重复试验 4 次，失败次数记为 X，求 X 的概率分布.解 X 可以取值 0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为 P ( X＝m ) ＝C44?m × 0.84?m × 0.2m ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 计算结果列于下表 X P 0 1 2 3 4 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016 53.设每次投篮的命中率为 0.7，求投篮 10 次恰有 3 次命中的概率；至少命中 3 次的概率.解记 X 为 10 次投篮中命中的次数，则 X～B ( 10 , 0.7 ) . 3 P { X = 3 } = C10 0.7 3 0.37 ≈ 0.009 P { X ? 3 }= 1? P { X = 0 }? P { X = 1 }? P { X = 2 } =1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38 ≈0.9984 54．掷四颗骰子，求“6 点”出现的平均次数及“6 点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解掷四颗骰子，记“6 点”出现次数为 X，则 X～B（4， 1 ）. 6 EX = np =2 3 55．已知随机变量 X～B （n, p），并且 EX=3，DX=2，写出 X 的全部可能取值，并计算P { X ? 8 } .解根据二项分布的期望与方差公式，有 ?np = 3 ? ?npq = 2 5 ，其 X 的最可能值为〔 6 5 625 P { X = 0 } = ( )4 = 6 1296 500 若计算 P { X = 1 } = ，显然 P { x = 2 } , P { x = 3 } , 1296 P { x = 4 } 概率更小.由于 np + p = np + p 〕=0 解方程，得 q= 2 ，p= 1 ，n=9 . 3 3 X 的全部可能取值为 0, 1, 2, 3, …, 9 .P { X ? 8 }= 1? P { X = 9 } = 1－( 1 ) 9 ≈ 0.9999 56．随

机变量 X～B（n，p） EX=0.8，EX2=1.28，问 X 取什么值的概率最大，其，概率值为何? 解由于 DX = EX2－(EX)2=0.64, EX=0.8, 即 3 24 ?npq = 0.64 ? ?np = 0.8 解得 q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于 np+p=1，因此 X 取 0 与取 1 的概率最大，其概率值为 P { X = 0 } = P { X = 1 } = 0.8 4 = 0.4096 57．随机变量 X～B（n, p） Y=eaX，计算随机变量 Y 的期望 EY 和方差 DY .，解随机变量 Y 是 X 的函数，由于 X 是离散型随机变量，因此 Y 也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有i EY = ∑ e ai P｛X = i｝∑ e ai C n p i q n?i = i=0 n i =0 n n ∑ C (e p ) q = i =0 i n a i n i =0 n?i = (e a p + q ) n EY 2 = ∑ (e ai ) 2 P｛X = i｝ i ∑ C n (e 2 a p) i q n ?i = (e 2 a p + q) n = i =0 n DY = (e 2 ap + q) n ? (e ap + q ) 2 n 58.从一副扑克牌（52 张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量 X，Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X，Y 的概率分布以及期望和方差.解 X 服从超几何分布，Y 服从二项分布 B （4， 1 ）. 2 P｛X = m｝ = C C C m 26 4?m 26 4 52 1 1 (m = 0,1,2,3,4) P ｛Y = m｝ C 4m ( ) m ( ) 4?m (m = 0,1,2,3,4) = 2 2 具体计算结果列于下面两个表中.X P Y P EX = n 0 1 2 3 4 46/833 208/833 325/833 208/833 46/833 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 0 1/16 59.随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，查表写出概率 P｛X = m｝m = 0,1,2,3,4 并与 , 上题中的概率分布进行比较.X N1 26 = 4× =2 N 52 N N N ?n 26 26 48 16 DX = n 1 ? 2 ? = 4× × × = N N N ?1 52 52 51 17 1 EY = np = 4 × = 2 DY = npq = 1 2 P 0 1 2 3 4 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 60．从废品率是 0.001 的 100000 件产品中，一次随机抽取 500 件，求废品率不超过 0.01 的概率.解设 500 件中废品件数为 X，它是一个随机变量且 X 服从 N=100000， N1 =100， n=500 的超几何分布.由于 n 相对于 N 较小，因此它可以用二项分布 B 500，

（ 0.001）近似.又因在二项分布 B（500，0.001）中，n=500 比较大，而 p=0.001 非常小， 25 因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np=0.5.? X P? ? 0.001 } = P｛X ? 5｝ ? 500 5 0 .5 m e ?0.5 = 0.999986 ≈ ∑ m = 0 m! 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有 0.8 个疵点，若规定疵点数不超过 1 个为一等品，价值 10 元；疵点数大于 1 不多于 4 为二等品，价值 8 元；4 个以上者为废品，求：（1）产品的废品率；（2）产品价值的平均值解设 X 为一件产品表面上的疵点数目，（1） P｛X＞4｝= 1 ? P｛X ? 3｝= 1 ? ∑ P｛X = m｝ 0.0014 = m=0 3 （2）设一件产品的产值为 Y 元，它可以取值为 0，8，10.EY = 0 × P｛Y = 0｝8 × P｛Y = 8｝10 × P｛Y = 10｝ + + 1 ｝ = 8P｛＜X ? 4｝ 10 P｛X ? 1 + = 8 × 0.1898 + 10 × 0.8088 ≈ 9.61(元) 62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有 2 个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为

X ，4 页中没有印刷错误的页数为 Y ，依题意， P｛X = 1 = P｛X = 2｝｝即λe ? λ = λ2 2! e ?λ解得λ=2，即 X 服从λ=2 的泊松分布. p = P｛X = 0｝ e ?2 = 显然 Y～B (4, e ?2 ) 63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率.解设 X 为粮仓内老鼠数目，依题意 P｛X = 1 = 2 P｛X = 2｝｝ P ｛Y = 4｝ p 4 = e ?8 = λ e ? λ = 2 × λ 2 2! e ?λ解得λ=1. P｛X = 0｝e ?1 = 64．上题中条件不变，求 10 个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.

解接上题，设 10 个粮仓中有老鼠的粮仓数目为 Y，则 Y～B（10，p），其中P = X＞0｝ 1 ? P｛X = 0｝ 1 ? e ?1 , q = e ?1 ｛ = = P｛Y ? 2｝= P ｛ Y = 0｝ P｛ Y = 1 + P｛ Y = 2｝ + ｝ = e ?8 (36e ?2 ? 80e ?1 + 45) ，65．设随机变量 X 服从 [2, 3] 上的均匀分布，计算 E(2X)，D（2X） D(2 X )

2 . 26 解 1 76 , EX 2 = DX + ( EX ) 2 = 12 12 1 E(2X)=5，D(2X)=4DX= ，

3 2 2 2 D (2 X ) = D (

4 X ) = 16 DX = 16 EX 4 ? ( EX 2 ) 2 211 3 EX 4 = ∫ 2 x 4 dx =

5 211 577

6 1504 DX 2 = EX 4 ? ( EX 2 ) 2 = ? = 5 144 720 1504 D (2 X ) 2 = 16 DX 2 = 45 EX=2.5，DX= [ ] 66．随机变量 X 服从标准正态分布，求概率P X ? 3｝ P 2.35 ? X ? 5｝P X ? 1｝P X ? ?7｝. , ｛ ,｛ , ｛｛解P X ? 3｝= Φ (3) = 0.998

7 ｛ P 2.35 ? X ? 5 = Φ(5) ? Φ (2.35) = 0.0094 ｛｝P X ? 1 = Φ (1) = 0.8413 ｛｝P X ? ?7 = 1 ? Φ (7) = 0 ｛｝ 67．随机变量 X 服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的 a 的数值： = （2）P{ X ? a} = 0.9; （1） P｛X ? a｝ 0.9; ；（3）P{X ? a} = 0.97725; （4）P{ X ? a} = 0.1; 解（1）P { X ? a} = Φ (a) = 0.9 ，查表得 a=1.2

8 （2）P { X ? a} = 2Φ (a ) ? 1 = 0.

9 ，得Φ（a）=0.95，查表得 a=1.64 （3） P { X ? a} = Φ (a) = 0.97725 ，查表得 a =2 （4）P{ X ? a} = 2Φ(a) ? 1 = 0.1 ，得Φ (a)= 0.55，查表得 a = 0.13 68.随机变量 X 服从正态分布 N (5,2 2 ) ，求概率 P{5＜X ＜8}, P{X ? 0} , P{ X ? 5 ＜2}.解 ?8?5? ?5?5? P{5＜X＜8} = Φ? ? ?Φ? ? ?

2 ? ? 2 ? = Φ (1.5) ? Φ (0) = 0.4332 P {X ? 0} = Φ (? 2.5) = 1 ? Φ(2.5) = 0.0062 ? X ?5 ? P{ X ? 5 ＜2} = P ? ? 1? = 2Φ(1) ? 1 2 ? ? =0.6826 69．随机变量 X 服从正态分布 N ( ? ,σ 2 ) ，若 P{X＜9} = 0.975 , P{X ＜2} = 0.062 ，计算μ和σ的值，求 P{X＞6}.?9?? ? 解 P{X＜9} = Φ? ? = 0.975 ? σ ? ?2?? ? ? ? ?2? P{X＜2} = Φ? ? = 0.062, Φ? ? = 0.938 ? σ ? ? σ ? 查表得： 27 ?9 ? ? ? σ = 1.96 ? ? ? ? ? 2 = 1.54 ? σ ? 解以μ和σ为未知量的方程组，得μ=5.08，σ=2.P{X＞6} = 1 ? P{X ? 6} = 1 ? Φ (0.46) =0.3228 70．已知随机变量 X～N (10,2 2 ) ， P{X ? 10＜c} = 0.95 ， P{X＜d} = 0.02

3 ，确定 c 和 d 的值. ? X ? 10 c ? P{ X ? 10 ＜c} = P ? ＜ ? 2? ? 2 = 2Φ? c ? ? 1 = 0.95 ? ? ?2? ?c? Φ? ? = 0.975 ， ?2? 查表得 c = 1.96, c = 3.92 2 ? d ? 10 ? P{X＜d} = Φ ? ? = 0.023 ? 2 ? 解 ?

10 ? d ? ? = 0.977 ? 2 ? 查表得 ? 10 ? d ? = 2, d = 6 ? ? ? 2 ? Φ? 71．假定随机变量 X 服从正态分布 N ( ? ,σ 2 ) ，确定下列各概率等式中 a 的数值：（1） P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 0.9; （2） P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 0.95; （3） P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 0.99; 解 ? X ?? ? P{? ? aσ＜X ＜? + aσ} = P ? ＜a ? ? σ? =2Φ(a) -1 （1）2Φ(a)-1=0.9，Φ(a)=0.95，a=1.64；（2）2Φ(a)-1=0.95，Φ(a)=0.975, a=1.96；（3）2Φ(a)-1=0.99，Φ(a)=0.995，a=2.58.72．某科统考的考试成绩 X 近似服从正态分布 N (70, 10 2 ) , 第 100 名的成绩为 60 分，问第 20 名的成绩约为多少分? 解P{X ? 60} ≈ 1 ? P{X ? 60} = 1 ? Φ ? 60 ? 70 ? ? ? ? 10 ? = Φ (1) = 0.8413.设参加统考人数为 n，则 100 =0.8413，n= 100 ≈ 19 n 0.8413 设第 20 名成绩约为 a 分，则P{X ? a} = 20 ≈ 0.1681 n 28 P{X ? a} = 0.8319 ? a ?

70 ? ? = 0.8319 ? 10 ? 查表得 a ? 70 = 0.96 10 Φ? a=79.6 因此第 20 名的成绩约为 80 分.29 习题三 1．袋内有四张卡片，分别写有数字 1，2，3，4，每次从中任取一张，不放回地抽取两次，记 X、Y 分别表示两次取到的卡片

上数字的最小值与最大值，求（X，Y）的概率分布.解（X，Y）可以取值为（1，2）（1，3），，…，(3，4).事件 {X = 1, Y = 2} 是两个互不相容事件“第一次取到数字 1 且第二次取到数字2”与“第一次取到数字 2 且第二次取到数字1”的和，其概率为 1/6，类似地可以计算出其他 pij 的值（见下表）. Y X 2 1 2 3 1 6 3 1 6 1 6 4 1 6 1 6 1 6 3 6 p i. 3 6 2 6 1 6 0 0 1 6 0 2 6 p.j 2．求上题中随机变量 X 与 Y 的边缘分布.并计算期望 EX，EY 与方差DX，DY.解在（X，Y）的联合分布表中，将每一行对各列求和，得到 X 的边缘分布 pi.（i=1，2，3）.类似地，可以得到关于 Y 的边缘分布，其具体结果见上题联合分布表.EX= 1 × 3 + 2 × 2 + 3 × 1 = 5 EX 2 = 10 6 6 6 3 3 1 2 3 10 35 EY = 2 × + 3 × + 4 × = EY 2 = 6 6 6 3 3 5 5 DX = EX 2 ? ( EX ) 2 = DY = 9 9 3．一个袋内有 10 个球，其中有红球 4 个，白球 5 个，黑球 1 个，不放回地抽取两次，每次一个，记 X 表示两次中取到的红球数目，Y 表示取到的白球数目，求随机向量（X，Y）的概率分布及 X、Y 的边缘概率分布.解显然（X，Y）的全部取值为（0，1）（0，2），，…（2，0）. P{X = 0, Y = 1} = 1 C5 5 = 2 C10 45 ：类似地可以计算出其他 pij 的值（见下表） Y X 0 0 4 45 1 5 45 20 45 2 10 45 0 1 0 30 2 6 45 0 0 4．上题中试验条件不变，若记 ?0 第i次取到红球 ? X i = ?1 第i次取到白球 ?2 第i次取到黑球 ? 解式 i=1，2，求随机向量 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布，计算两次取到的球颜色相同的概率. P{X = i, Y = j} = P{X = j}P{ = i X = i} Y 易见 ( X 1 , X 2 ) 的全部可能取值为（0，0）（0，1），，…（2，1）.应用乘法公不难计算出 pij 的全部值（见下表）： X 2 0 1 20 90 20 90 5 90 16 45 2 4 90 5 90 X1 0 1 2 12 90 20 90 4 90 0 P{X 1 = X 2 } = P{X 1 = 0, X 2 = 0} + P{X 1 = 1, X 2 = 1} = 5．第 3 题中袋内球的组成及抽取次数不变，但是改为有放回抽取，求第 4 题中定义的随机向量 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布.解 ( X 1 , X 2 ) 的取值为(0，0)，(0，1)，… (2，2)．且 P{X 1 = i, X 2 = j} = P{x = i}P{x = j} ，因此， ( X 1 , X 2 ) 的联合概率分布为下表所示： X 2 0 1 0.20 0.25 0.05 2 0.04 0.05 0.01 X1 0 1 2 0.16 0.20 0.04 6．将 3 个球随机地放入四个盒子，记 X i 表示第 i 个盒子内球的个数，i=1，2，求随机变量 X 1 与 X 2 的联合概率分布及关于 X 2 的边缘分布.解 ( X 1 , X 2 ) 取值为（0，0）（0，1），，…（3，0）23 8 P{X 1 = 0, X 2 = 0} = 3 = 4 64 31 1 C3 ·2 2 12 = 43 64 2 1 C C 6 P{X 1 = 0, X 2 = 2} = P{X 1 = 2, X 2 = 0} = 3 3 2 = 4 64 1 1 1 C C2 C 12 P{X 1 = 1, X 2 = 1} = 3 3 2 = 4 64 1 C3 3 P{X 1 = 1, X 2 = 2} = P{X 1 = 2, X 2 = 1} = 3 = 4 64 1 1 P{X 1 = 0, X 2 = 3} = P{X 1 = 3, X 2 = 0} = 3 = 4 64 P{X 1 = 0, X 2 = 1} = P{X 1 = 1, X 2 = 0} = 列成联合分布表如下，表中最下一列为 X2 的边缘分布 P{X 2 = j} = p.j，j=0，1，2， 3. X 2 0 8 64 12 64 6 64 1 64 27 64 1 12 64 12 64 3 64 2 6 64 3 64 3 1 64 X1 0 1 2 3 0 0 0 1 64 0 0 9 64 0 27 64 p.j 7．将 3 个球随机地放入四个盒子，设 X 表示第一个盒子内球的个数，Y 表示有球的盒子个数，求随机向量（X，Y）的概率分布.解（X，Y）的取值为（0，1）（0，2）（0，3）（1，2）（1，3）（2，2），，，，，． P{X = 0, Y = 1} = 1 C3 3 = 3 4 64 类似地可以依次计算出 pij 的值（见下表）： Y X 0 1 2 3 1 3 64 2 18 64 9 64 9 64 3 6 64 18 64 0 0 1 64 0 0 0 8.已知随机向量（X，Y）只取（0，0）（-1，1）（-1，2）及（2，0）四对值，相，， 32 应概率依次为 1 ， 1 ， 1 和 5 .列出（X， Y）的概率分布表，求 Y 的边缘分布及 12

6 3 12 X+Y 的概率分布.解 Y X -1 0 2 0 0 1 12 5 12 1 2 1 1 6 2 1 3 0 0 1 6 0 0 1 3 p.j （X，Y）的联合概率分布如上表所示，表中最下一行为 Y 的边缘分布，X+Y 的分布见下表： X+Y P 0 1 4 1 1 3 2 5 12 9．袋中有 10 张卡片，其中有 m 张卡片上写有数字 m，m=1，2，3，4，从中不重复地抽取两次，每次一张，记 Xi 表示第 i 次取到的卡片上数字，i=1，2.求 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布以及 X1+X2，X1X2 的概率分布.解 ( X 1 , X 2 ) 可以取（1，2）（1，3），，…（4，4），其相应概率见下表： X 2 1 0 2 90 3 90 4 90 2 2 90 2 90 6 90 8 90 3 3 90 6 90 6 90 12 90 4 4 90 8 90 12 90 12 90 X1 1 2 3 4 X1+X2 可以取 3，4，…，8 各值，X1X2 可以取 2，3，4，6，8，9，12，16 各值，其相应概率见以下二表： X1 + X 2 3 4 5 6

7

8 33 P 2 45 4 45 10 45 11 45 12 45 6 45 X1X 2 2 2 45 3 3 45 4 5 45 6 6 45 8 8 45

9 3 45 12 16 12

45 6 45 P A (1 + x )(1 + y 2 ) 2 +∞ +∞ 10．随机向量（X，Y）～f（x, y），

f ( x, y ) = x, y＞0 A dxdy (1 + x )(1 + y 2 ) 2 确定系数 A 的值，求联合分布函数 F(x, y).解∫? ∞ ∫? ∞ f ( x, y )dxdy = ∫0 ∫0 +∞ +∞ = π2 A =1 4 4 A= 2 π ?4 ? arctan x arctan y, x, y＞0 F ( x, y ) = ? π2 ?0 ，其他. ? 11．随机向量（X，Y）服从区域 D 上的均匀分布，求分布密度 f（x,y）, 其中 D 为下面给定的区域：（1） D = {( x, y ), ? 1 ? x ? 1, 1 ? y ? 2} （2） D = ?( x, y), x ? ? 2 4 + （3） D = {( x, y), x 2 + y 2 ? 2 y} 解 ?1 , （1） S D = 2, f ( x, y) = ? 2 ? ?0, ? ? y2 ? 1?

9 ? ( x, y ) ∈ D , ( x, y ) ∈ D; ?1 , ( x, y ) ∈ D , （2） S D = 6 π,

f ( x, y ) = ? 6π ? ?0, ( x, y ) ∈ D; ? ?1 , ( x, y ) ∈ D , （3） S D = π, f ( x, y ) = ? π ? ?0, ( x, y ) ∈ D. ? 12．求上题中关于 X 及关于 Y 的边缘密度.解（1） ?1 ? , ? 1 ? x ? 1, f X ( x) = ? 2 ?0, 其他; ? ?1, 1 ? y ? 2, fY ( y) = ? ?0, 其他; （2） f X ( x) = 3∫ x2 4 x2 ? 1? 4 1? 1 1 dy = 4 ? x 2 , x ? 2, 6π 2π 34 当｜x｜＞2 时，fx （x）=0，类似地 ?2 9 ? y 2， ? fY ( y) = ? 9π ? 0，? y ?3 y ＞3 2 1 ? x2 π（3）当｜x｜?1 时， f X ( x) = ∫ 1+ 1+ x 2 2 1 1? 1? x π dy = 当｜x｜＞1 时，fX（x）=0，类似地， ?2 2y ? y2 , ? fY ( y) = ? π ? 0， ?

0 ? y ? 2，其他； 13．计算第 11 题（3）中的 EX 及 EY.解EX = ∫ xf X ( x)dx = ∫ ?∞ +∞ 2x 1 ? x 2 dx = 0 ?1 π 1 EY = ∫0 2 2y 2 y ? y 2 dy = 1 π14．分别判断第 3、7、8 各题中的随机变量 X 与 Y 是否独立? 解在第 3 题中， P{ x = 0, y = 0 } = 0 而P{X = 0}P{Y = 0} ≠ 0 ,因此 X 与 Y 不独立；同样方法可以判断出第 7 与第 8 题中的 X 与 Y 均不独立.15．判断第 10，11 各题中的随机变量 X 与 Y 是否独立? 解在第 10 题中， FX ( x) = P{X ?2 ? arctan x, x＞0, ? x} = ? π ? 0, x ? 0. ? ?2 ? arctan y, y ＞0, FY ( y ) = ? π? 0, y ? 0.? 由于对任何 x、y 均有 F(x, y)=FX(x)FY(y)，因此随机变量 X 与 Y 独立；在第 11 题（1）中的 f（x, y）=fX (x) fY (y)，因此 X 与 Y 是独立的，而在第 11 题的（2）与（3）中，不能对于所有 x,y 均满足等式 f（x,y）= fX (x) fY (y) ,因此（2）与（3）中的 X，Y 是不独立的. 16．设随机变量 X1 与 X2 独立，其概率分布由下面两表确定， X = X 1 + X 2 ,Y = X 1· X 2 ，令求随机向量（X1，X2）的概率分布及 X、Y 的概率分布. X1 P 解 0 0.6 1 0.4 X2 P 1 0.5 2 0.3 3 0.2 由于 X1 与 X2 独立，因此有 P{X = i ,Y = j} = P{X = i}P{Y = j} 具体计算结果列于下表 X 2 1 2 3 35 X1 0 1 0.30 0.20 0.18 0.12 0.12 0.08 X 的取值为 1，2，3，4. P{X = 1}

= P{X 1 + X 2 = 1} = P{X 1 = 0 , X 2 = 1} =0.30 类似地，可以计算出 P{ X = i }, i = 2, 3, 4 列于下表 X P 1 0.30 2 0.38 3 0.24 4 0.08 随机变量 Y 可以取 0，1，2，3 各值. P{Y = 0} = P{X 1 X 2 = 0} = P{X 1 = 0} = 0.60 P{Y = 1} = P{X 1 X 2 = 1} = P{X 1 = 1, X 2 = 1} = 0.20 P{Y = 2} = P{X 1 X 2 = 2} = P{X 1 = 1, X 2 = 2} = 0.12 P{Y = 3} = P{X 1 X 2 = 3} = P{X 1 = 1, X 2 = 3} = 0.08 17．有一种两版面的报纸，每版印刷错误数服从参数为 1 的泊松分布，假定各版印刷错误相互独立，求一份这种报纸上印刷错误总数 X 的概率分布.解设 X1，X2 分别表示第 1、第 2 版面上的印刷错误，X= X1+X2，X 可以取一切非负整数.P{X = n} = P{X 1 + X 2 = n} n = ∑ P{X 1 = k , X 2 = n ? k } k =0 n = ∑ P{X 1 = k }P{X 2 = n ? k } k =0 =∑ 1 ?1 1 e ?2 n n! e e ?1 = ∑ k = 0 k! (n ? k )! n! k =0 k!(n ? k )! n = 18．设随机变量 X1 与 X2 独立，且 Xi～B(2,0.8) ,i=1,2 令 X=X1+X2，Y=X1·X2，求 X、Y 的概率分布.解 X 可以取 0，1，2，3，4 各值 k P{X = k } = P{X 1 + X 2 = k } = ∑ P{X 1 = m, X 2 = k ? m} m =0 e ?2 n k 2 n? 2 ∑ Cn = e n! k =0 n! (n = 0,1,2,…) = ∑ P{X 1 = m}P{X 2 = k ? m} k m =0 k m = ∑ C2 0.8m × 0.2 2?m × C2k ?m 0.8k ?m × 0.2 2?k +m m =0 = ∑ C 2m C 2k ?m × 0.8 k × 0.2 4?k k (k = 0,1,2,3,4) Y 可以取 0，1，2，4 各值 = C 4k 0.8 k × 0.2 4?k m=0 36 P{Y = 0} = P{( X 1 = 0) U ( X 2 = 0)} = P{X 1 = 0} + P{X 2 = 0} ? P{X 1 = 0}P{X 2 = 0} = 0.0784 P{Y = 1} = P{X 1 = 1}P{X 2 = 1} = 0.1024 P{Y = 2} = 1 ? P{y = 0} ? P{y = 1} ? P{y = 4} = 0.4096 P{Y = 4} = P{X 1 = 2}P{X 2 = 2} = 0.4096 19．求上题随机向量（X,Y）的协差矩阵 V.解，由上题知，X～B（4，0.8） EX=3.2，DX=0.64 EY=2.56，DY=1.7408 EXY = E ( X 1 + X 2 )X 1 X 2 = EX 12 X 2 + EX 1 X 22 Cov( X , Y ) = EXY ? EXEY = 1.024 = EX 12 EX 2 + EX 1 EX 22 = 2 EX 12 EX 1 = 9.216 ?0.64 1.024 ? V =? ? ?1.024 1.7408? 20．求第 6 题中随机向量（X1，X2）的协差矩阵 V.解EX 1 = EX 2 = 3 , EX 12 = EX 22 = 9 , DX 1 = DX 2 = 9 4 8 2 16 3 3 ?3?

3 ,Cov( X 1 , X 2 ) = ? ? ? = ? 8 8 ?4? 16 3? ?9 ?16 ? 16 ? V =? ? ?? 3 9 ? ? 16 16 ? ? ? EX 1 X 2 = 21．求第 7、8 各题中随机向量（X，Y）的均值向量及协差矩阵.解在第 7 题中， EX = 3 , EX 2 = 9 , DX = 9

4 8 37 91 87 2 EY = , EY = , DY = 16 16 256 111 EXY = , Cov( X , Y ) = EXY ? EXEY = 0 64 ?9 ? ?3 ? 0 ? ?16 EX ? ? 4 ? ? ? μ = ? ? = ? ?,V = ? ? 87 ? ? EY ? ? 37 ? 0 ? 16 ? ? 256 ? ? ? ? ? 1 13 37 EX = , EX 2 = , DX = 3 6 18

5 3 29 2 EY = , EY = , DY =

6 2 36 5 10 EXY = ? , Cov( X , Y ) = ? 6 9 10 ? ?1 ? ? 3

7 ? ? ?3 ? ? 1

8

9 ?=? ? V =? ? 5? 10 29 ? ? ?? ?6? ? 9 36 ? ? ? ? ?

16 在第 8 题中 37 22.计算第 11 题（3）中随机向量（X，Y）的协差矩阵 V.解2 1 ? x 2 dx = 0 π 2 2 1 1 2x 1 4x 1 ? x 2 dx = ∫0 1 ? x 2 dx = DX = EX 2 = ∫?1 ππ 4 2y 2 EY = ∫0 2 y ? y 2 dy = 1π 2 5 22y EY 2 = ∫0 2 y ? y 2 dy = π 4 1 2 DY = EY 2 ? (EY ) = 4 xy +∞ +∞ 2 2 y? y EXY = ∫?∞ ∫?∞ xyf (x, y )dxdy = ∫0 dy ∫? 2 y ? y dx = 0 π Cov( X , Y ) = EXY ? EXEY = 0 EX = ∫?1 x · 1 2 2 ?1 ? V = ?4 ?0 ? ? ? 0? ? 1? 4? ? 23．设随机向量（X，Y）～f（x,y） ? Axy 2 0 ? x ? 2,0 ? y ? 1 f (x , y ) = ? 其他 ?0 其他求系数 A，X 的边缘概率密度 f1(x)，并计算（X，Y）在以（0，0）（0，2），，（2，1）为顶点的三角形内取值的概率.2A +∞ +∞ 1 2 2 解∫?∞ ∫?∞ f (x, y )dxdy = ∫0 dy ∫0 Axy dx = 3 2 A = 1, 3 A

= 1 .5 当0?x?2 时， 1 f X (x ) = ∫01.5 xy 2 dy = 0.5 x 当 x＜0 或 x ＞2 时，fX(x)=0 记所求概率为 p，则有p = ∫0 dy ∫0 1.5 xy 2 dx = 0.6 1 2y 24．计算上题中随机向量（X，Y）的均值向量及协差矩阵.解EX = ∫020.5x

2 dx = 4

3 EX = ∫ 0.5 x dx = 2, DX = 2 2 0 3 2 9 Cov( X , Y ) = 0 3 4

3 3 1 2 EY 2 = ∫0 dy ∫0 1.5 xy

4 dx = , DY =

5 80 1 2 2 3 EXY = ∫0 dy ∫0 1.5 x y dx = 1 EX = ∫0 dy ∫0 1.5 xy 2 dx = 1 2

38 ?4? ?3? ?=? ? ?3? ?4? ? ? ?2 ?9 V =? ?0 ? ? ? 0 ? ? 3? 80 ? ? 25．随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从〔0，2〕上的均匀分布，Y 服从λ=2 的指数分布，写出随机向量（X，Y）的概率密度，计算概率P{X?Y}.解?1 ? , 0 ? x ? 2, f X (x ) = ? 2 ?0, 其他； ? ?2e ?2 y , y＞0 fY ( y ) = ? y?0 ?0, 由于 X 与 Y 独立，因此有P{X ? Y } = ∫∫ f (x, y ) dxdy x? y ?e ?2 y ,0 ? x ? 2, y＞0, f (x、y ) = f X (x ) fY ( y ) = ? ?0, 其他.2 +∞ 21 = ∫0 dx ∫x e ?2 y dy = ∫0 e ?2 x dx 2 1 ?4 = 1? e 4 ( ) 26．已知随机向量（X，Y）的协差矩阵 V 为 ?4 V =? ?6 ? 6? ? 9? ? 计算随机向量（X+Y，X-Y）的协差矩阵.解 D ( X+Y ) =DX+2Cov ( X，Y ) +DY = 25 D ( X-Y ) =DX-2Cov ( X，Y ) +DY = 1 Cov ( X+Y，X-Y ) = DX-DY = -5 ?25 V =? ?? 5 ? 5? ? 1? 27．设随机变量 Y 是 X 的线性函数，Y=aX+b，a≠0）（，且随机变量 X 存在期望 2 EX=μ，方差 DX=σ，求随机向量（X，Y）的协差矩阵.解 DY = a 2 DX = a 2σ 2 Cov( X , Y ) = Cov( X , aX + b ) = aDX = aσ 2 ?σ 2 aσ 2 ? V = ? 2 2 2? ?aσ a σ? ? ? 28．一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为 5，10，15，20，25（单位：厘米），假定射击时弹着点的位置为（X，Y），且（X，Y）服从二维正态分布，其密度为 1 ? f ( x, y ) = e 200π x2 + y2 200 现规定弹着点落入最小的圆域得 5 分，落入其他各圆环（从小到大）的得分依次为 4 分、3 分、2 分及 1 分，求 1 次射击的平均得分.解设随机变量 W 为一次射击的得分，则 W 可以取 0，1，2，3，4，5 各值. 39 P{ = 0} = W x 2 + y 2＞625 ∫∫ f (x, y )dxdy 令x = r cosθ , y = r sin θ = ∫0 dθ ∫25 2π+∞ r ? e 200πr 200 2 dr = 0.0439 同样方法可以计算出 P{ = 1} = 0.0914, P{ = 2} = 0.1893, W W P{ = 3} = 0.2819, P{ = 4} = 0.2760, W W P{ = 5} = 0.1175.W 5 EW = ∑ iP{ = i} = 3.0072 W i =0 29．上题中设 Z 为弹着点到靶心的距离，求 Z 的概率密度 fZ（z）及期望 EZ.解依题意随机变量 Z 是 X 与 Y 的函数，且 Z = X 2 +Y 2 当 z＞0 时，FZ (z ) = P{Z ? z} = 令 x=rcosθ，y=rsinθ ? r ? 200 FZ (z ) = ∫ dθ ∫ e dr = 1 ? e 200π ? z ? z ? e 200 , z＞0 f Z (z ) = ?100 ? 0, z?0 ? 2π 0 z 0 2 ∫∫ x2 + y2 ?z2 ? 1 e 200πx2 + y2 200 dxdy r2 z2 200 z2 ? EZ = ∫ zf Z (z ) = ∫ e 100 +∞ ?∞ +∞ 0 z2 200 dz = 5 2 π 30．随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别是 ? 0? ?=? ? ? 0? ? ? ?16 V =? ?12 ? 12 ? ? 25 ? ? 求出密度函数 f ( x, y) 的表示式解ρ = Cov(x , y ) = 0.6 σ 1σ 2 将μ1= μ2 =0，σ12 = 16,σ22 = 25 ，ρ=0.6 代入二维正态分布的概率密度公式，得 ? ?

1 ? 3

2 ? 16 ? 50 xy + 25 ? ? f ( x, y ) = e ? 32π 25 ? x 2

3 y2 ? 31．设随机向量（X，Y）～f（x,y）， f ( x, y ) = 1 ??2 x e ? 2π? 2 + 3 x ( y ?1)+ 1 ( y ?1)2 ? ? 2 ? 求（X，Y）的均值向量与协差矩阵.解易见（X，Y）服从二维正态分布μ1=0，μ2=1 且σ1，σ2，ρ满足下列等式： 40 ? 1 =2 ? 2 2 ? 2(1 ? ρ ) σ 1 ? ? 2ρ ? = 3 ? 2 ? 2(1 ? ρ ) σ 1σ 2 ? 1 1 = ? 2 2 ? 2(1 ? ρ) σ 2 2 ? 解上面方程组，得σ 1 = 1,σ 2 = 2, ρ= ? Cov( X ,

Y ) = ρσ 1σ 2 = ? ?0 ? ?=? ? ?1 ? 3 ×1× 2 = ? 3 2 ?1 ? 3? V =? ? ??

3 4? ? ? 2 2 3 2 ，确定 A 的值，并求 X 与 Y 的相关矩阵.其中 32．随机向量（X，Y）～f（x,y） ? [( x +5 ) +8 ( x +5 )( y ? 3 )+ 25 ( y ?3 ) ] f (x, y ) = Ae 解法一：∫?+∞ ∫?+∞ f (x, y )dxdy ∞ ∞ = A∫?∞ ∫?∞ e ? [( x +5 ) +8( x +5 )( y ?3 )+25( y ?3 ) ]dxdy +∞ +∞ 2 2 = A∫?∞ dy ∫?∞ e ?[( x +5 )+4( y ?3 )] e ?9 ( y ?3 ) dx +∞ +∞ 2 2 = A π ∫?∞ e ?9 ( y ?3 ) dy = +∞ 2 Aπ=1 3 A= 3 π 2 2 +∞ 3 f Y ( y ) = ∫?∞ e ?[( x +5 ) +8( x +5 )( y ?3 )+ 25( y ?3 ) ]dx π 3 ?9 ( y ?3 ) = e π 1 2 EY = ? 2 = 3 DY = σ 2 = 18 2 类似地+∞ f X (x ) = ∫?∞ f (x, y )dy = 3 5 π e ? 9 ( x +5 )2 25 25 28 + ∞ +∞ Cov( X , Y ) = ∫?∞ ∫?∞ (x + 5)( y ? 3) f (x, y )dxdy EX = ?1 = ?5, DX = σ 12 = = 3 π ? (s ∫-∞ ∫-∞ ste +∞ +∞ 2 + 8 st + 25t 2 )dsdt ρ XY = 2 9 Cov( X , Y ) =? DX DY =?

4 5 计算表明 X 与 Y 的相关系数矩阵 R 为 4? ? ?1 ? 5 ? R=? ? ?? 4 1? ? 5 ? ? ? 解法二：与 31 题解法相同，略.33．随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为 41 ? ?1 ? ?=? ? ?? 2 ? ? σ 12 ρσ 1σ 2 ? V =? ? σ22 ? ? ρσ1σ 2 ? ? 求随机向量（9X+Y，X-Y）的均值向量与协差矩阵.解E（9X+Y）=9EX+EY=9μ1+μ2 E（X-Y）=EX-EY=μ1-μ2 D（9X+Y）=81DX+18Cov ( X，Y ) +DY 2 = 81σ 12 + 18ρσ 1σ 2 + σ 2 D（X-Y）=DX-2Cov（X，Y）+DY 2 = σ12 ? 2 ρσ1σ 2 + σ 2 Cov（9X+Y，X-Y）=9DX-8Cov（X，Y）-DY μ= ? ?

E (9 X + Y )? ?9 ?1 + ? 2 ? ? ?=? ? E ( X ? Y ) ? ??1 ? ? 2 ? 2 9σ 12 ?

8 ρσ 1σ 2 ? σ 2 2 ?81σ 12 + 18ρσ 1σ 2 + σ 2 V =? 2 2 ?9σ 1 ? 18ρσ 1σ 2 ? σ 2 ? 2 9σ 12 ? 18ρσ 1σ 2 ? σ 2 ? ? σ 12 ? 2 ρσ1σ 2 + σ 22 ? ? *34．随机变量 X～N（0，1） Xi=Xi，i=1，2，3.求三维随机向量（X1，X2，X3），的均值向量与协差矩阵.解 EX 1 = EX = 0, EX 2 = EX 2 = DX + (EX )2 = 1 EX 3 = EX = ∫ x 3 +∞ ?∞ 3 1 2π e ? x2 2 dx = 0 DX 1 = DX = 1 EX 4 = ∫?∞ +∞ x4 2π 6 e ? x2 2 dx = 3 DX 2 = DX 2 = EX 4 ? EX 2 EX 6 = ∫?∞ +∞ ( ) ) 2 =2 x e x2 ? 2 2π 2 dx = 15 DX 3 = DX 3 = EX 6 ? EX 3 3 ( 2 = 15 EX 1 X 2 = EXX = EX = 0, EX 2 X 3 = EX = 0, 5 EX 1 X 3 = EX = 3 4 Cov( X 1 X 3 ) = 3 ?1 0 3 ? V = ?0 2 0 ? ? ? ?3 0 15? ? ? Cov( X 2 , X 3 ) = 0 Cov( X 1 X 2 ) = 0 ? EX 1 ? ?0? ? ? ? = ? EX 2 ? = ?1 ? ? ? ? EX 3 ? ?0? ? ? ? ? *35．随机变量 X1，X2，…，Xn 相互独立，期望和方差都存在，求证 X1，X2，…， Xn 的相关矩阵为 n 阶单位矩阵.证由于 X1，X2，…，Xn 相互独立，因此 EXiXj=EXiEXj 42 Cov(X j , X j ) = EX i X j ? EX i EX j = 0 ρ X X = 0, i ≠ j, i = 1,2,…, n i j ρ X Xi = 1, i = 1,2,…, n i 36．随机变量序列 X1，X2，…，Xn，…相互独立同正态分布 N (? ,σ 2 )，当 n 充分大 n 时，可否认为∑ X i ，近似服从正态分布 N (? ,σ 2 ) ，为什么? 解可以，事实上，由于 X1，…，Xn 相互独立，同正态分布 N (? ,σ 2 ) ，不论 n 是否 n 充分大，∑ X i 都一定服从正态分布 N (n? , nσ 2 ) ，不仅仅是近似服从正态分布. i =1 i =1 ?ρ X X ? R = ?… ?ρ? XX 1 n 1 ρX X 1 2 … 1 ρX nX2 … ρX Xn ? ?1 0 … 0 ? ? … … ? = ?… … … …? ? ? … ρ X X ? ?0 0 … 1 ? ? ? ? 1 n n 37 ．设随机变量序列 X1 ， X2 ，… ， Xn ，… 相互独立同分布，其概率密度 1 f ( xi ) = , i = 1,2,…，问它们是否满足中心极限定理，为什么? 2 π 1 + xi ( ) 解因此不满足.由于 Xi 的期望不存在.这是由于积分∫?∞ +∞

x dx = +∞ 1+ x2 ∫?∞ x f (x )dx = +∞ +∞ 对于期望不存在的随机变量序列不满足中心极限定理. 38．200 个新生儿中，求男孩数在 80 到 120 之间的概率（假定生男、生女的机会相同）.解令 Xi = ? ?1, 第i名新生儿为男孩 ?0, 其他 200 X 表示 200 名新生儿中男孩数目，则X = ∑ X i i =1 X～B ? 200, 1 ?, ，EX=100，DX=50 由于 n 相当大，X 近似服从正态分布 N（100， ? ? ? 2? 50） P{80＜X＜120} = P{ X ? 100 ＜20} ? X ? 100 20 ? = P? ＜? ≈ 2Φ(2.83) ?

1 50 50 ? ? = 0.995 39．从一大批废品率为 3％的产品中随机地抽取 1000 个，求废品数在 20 到 40 个之间的概率.解设 1000 个中的废品个数为 X，则 X 服从超几何分布，由于整批产品数量很大，而抽取数目 1000 相对于一大批产品是很少的.因此 X 近似服从二项分布 B(1000，0.03). EX=30，DX =29.1.由n=1000，X 近似服从正态分布 N(30，29.1).? X ? 30 10 ? P{20＜X＜40} = P ? ＜ ? 29.1 ? ? 29.1 ≈ 2Φ(1.85) ? 1 = 0.936 43 40．随机变量 X1，X2，…，X100 相互独立同分布，EX1=μ，DX1=16，求 P{ X ? ? 其中 X = 解X ?1 }，根据中心极限定理∑ X i 近似服从正态分布N (100? ,40

2 ), 100 1 100 ∑ Xi 100 i =1 .近似服从分布 N (? ,0.4 2 ) i =1 ? X ?? ? ? ? P X ? ? ? 1 = P? ? 2.5? ? 0 .4 ? ? ? ≈ 2Φ(2.5) ? 1 = 0.988 { } 41．袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为 500 克，标准差为 10 克，一箱内装100 袋，求一箱食盐净重超过 50250 克的概率.解设箱中第 i 袋食盐净重为Xi 克，i=1，…，100.则 X1，…，X100 相互独立同 100 分布.EXi=500， i=100，DX 设一箱食盐净重为 X 克，X = ∑ X i ， =50000， =10000，则 EX DX i =1 由于 n=100，X 近似服从中心极限定理 P{X＞50250} = 1 ? P{X ? 50250} ? X ? 50000 ? = 1 ? P? ? 2 .5 ? 100 ? ? ≈ 1 ? Φ (2.5) = 0.006 42．计算机有 120 个终端，每个终端在一小时内平均有

3 分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有 10 个终端同时需使用打印机的概率.解依题意，在某一时刻每个终端使用打印机的概率为 1 ,且 120 个终端同时需20 DX X 使用打印机的数目 X～B ?120, 1 ? ， =6， =5.7， ? ? EX 20 ? ? ?X ?6

4 ? P{X ? 10} = 1 ? P{X＜10} = 1 ? P ? ＜ ? 5.7 ? ? 5.7 ≈ 1 ? Φ(1.68) = 0.046 近似服从正态分布 N （6， 5.7）.43．一大批种子中，良种占 20％，从中任选 5000 粒，计算其良种率与 20％之差小于 1％的概率.解设 5000 粒中良种数目为 X ，则 X 近似服从二项分布 B（5000，0.2），由于 n=5000，故 X 又近似服从正态分布 N（1000，800）. ? X ? X - 1000 ? ? P? ? 0.2 ＜0.01? = P ? ＜0.01? ? 500 ? ? 5000 ? ? X ? 1000 50 ? = P? ＜? ≈ 2Φ(1.77 ) - 1 800 800 ? ? = 0.923 44．上题中在所取的 5000 粒中，若以 99％的把握断定其良种率与规定的良种率 20％误差的范围，问此时良种数所在的范围为何? 解接上题，设 a 满足概率等式： ? X ? P? ? 0.2 ? a ? = 0.99 ? 5000 ? 44 即? X ? 1000 5000a ? ? P? ? = 0.99 800 800 ? ? ? 5000a ? 2Φ ? ? ? 1 ≈ 0.99 ? 800 ? 5000a 2.58 ≈ 2.58 800 a≈ 5000 800 1000 ? 5000a ? X ? 1000 + 5000a Ｘ在 927 与 1073 之间.45．第一章表 1－2 中曾记录了皮尔孙掷硬币 12000 次正面出现 6019 次，若我们现在重复他的试验，求正面出现的频率与其概率之差的绝对值，不大于当年皮尔孙试验所发生的偏差的概率.解设随机变量 X 表示掷硬币 12000 次中正面出现的次数， X～B 12000，，则（ 0.5）且 X 近似服从正态分布 N（6000，3000）.? X 1 19 ? P? ? ? ? ? 1200 2 12000 ? ? X - 6000 19 ? = P? ? ? 3000 ? ? 3000 ≈ 2Φ (0.35) ?

1 = 0.274 46．电话交换台有 10 条外线，若干台分机，在一段时间内，每台分

机使用外线的概率为 10％，问最多可装多少台分机才能以 90％的把握使外线畅通.解设最多可装 n 台分机， X 为 n 台分机中同时使用外线的数目， X～B n，记则（ 0.1），一般 n 不会太小，可以认为 X 近似服从正态分布

N(0.1n，0.09n).n 应满足下面概率等式：P{X ? 10} = 0.90 即 ? X ? 0.1n 10 ? 0.1n ? P{X ? 10} = P ? ? ? 0 .3 n ? ? 0.3 n ? 10 ? 0.1n ? ? = 0.90 ≈Φ? ? ? ? 0.3 n ? 10 ? 0.1n 0.3 n 解以 n 为未知量的方程： = 1.28 得到n≈68. 47．某车间有同型号机床 200 部，每部开动的概率为 0.7，假定各机床开关是相互独立的，开动时每部要消耗电能 15 个单位，问电厂最少要供应该车间多少单位电能，才能以 95％的概率保证不致因供电不足而影响生产? 解设随机变量 X 表示 200 部机床中同时开动的机床数目， X～B 200，则（ 0.7），且 X 近似服从正态分布 N（140，42），令 m 满足下列概率等式：P{X ? m} = 0.95 即45 ? X ? 140 m ? 140 ? P{X ? m} = P ? ? ? 42 ? ?

42 ? m ? 140 ? ? ≈Φ? ? ? 42 ? ? ? m ? 140 ? ? = 0.95 Φ? ? ? 42 ? ? m ? 140 = 1.64, m ≈ 151. 42 计算得知，电厂最少要供应该车间 2265 单位电能. 48．计算机在进行加法时，每个加数取整数（按四舍五入取最为接近它的整数），设所有加数的取整误差是相互独立的，且它们都服从〔-0.5，0.5〕上的均匀分布.（1）若将 300 个数相加，求误差总和的绝对值超过 15 的概率；（2）至多几个数加在一起，其误差总和的绝对值小于 10 的概率为 0.9.解设 Xi 为第 i 个加数的取整误差，i=1，2，…，300.X 表示 300 个加数的误差 300 1 总和，则有 X1，…，X300 相互独立，EXi=0， DX i = ，X= ∑ X i ，EX=0，DX=25.X 近 i =1 12 似服从分布 N (0,52 ) .（1） P{ X ＞15} = 1 ? P{ X ? 15} ?X ? = 1 ? P? ? 3? ? 5 ? ≈ 1 ? [2Φ (3) ? 1] = 0.0027 （2）设 n 为所求的加数个数，则 n 应满足下面概率等式：?n ? P ? ∑ X i ＜10? = 0.9 ? i =1 ? 但是∑ X i 近似服从分布 i =1 n N ? 0, n ? ，因此自 ? ? ? 12 ? 即 ? ? 12 ? ?

12 n ?n ? P ? ∑ X i＜10? = P ? ∑ X i ＜10 ? n ? ? i =1 ? ? n i =1 ? ? ?

10 12 ? ? ?1 ≈ 2Φ ? ? n ? ? ? ? 10 12 ? ? ? 1 = 0 .9 2Φ ? ? n ? ? ? ?

10 12 ? ? = 0.95 Φ? ? n ? ? ? 10 12 n = 1.64 n = 446 49．设有 30 个电子器件，它们的使用寿命（单位：小时）T1，T2，…，T30，都服从λ=0.1 的指数分布，其使用情况是第一个损坏，第二个立即使用，第二个损坏，第三个立即使用等等，令 T 为 30 个器件使用的总计时间，计算 T 超过 360 小时的概率. 46 解计算 30 个相互独立同指数分布随机变量之和的分布已超出本书范围，尽管 n 为 30 不是足够大，但我们仍用正态分布近似计算.ETi = λ?1 = 10, DTi = λ?2 = 100 ETi = 30 ETi = 300, DT = 30 DTi = 3000 T 近似服从分布 N（300，3000）. ? T ? 300 60 ? P{T＞360} = 1 ? P{T ? 360} = 1 ? P ? ? ? 3000 ? ? 3000 ≈ 1 ? Φ (1.10 ) = 0.1357 50．某产品次品率为 10％，应取多少件，才能使合格品不少于 100 件的概率达到 95％? 解设应取 n 件产品，n 件产品中合格品数为 X，则 X～B（n，0.9）.EX=0.9n DX=0.09n，依题意，n 应满足下面概率等式：P{X ? 100} = 0.95 即 ? X ? 0.9n 100 ? 0.9n ? ? 100 ? 0.9n ? ? = 0.95 P? ? ? ≈ 1?Φ ? ? ? 0 .3 n ? ? 0.3 n ? 0 .3 n ? Φ? ? ? 0.9n ? 100 ? ? = 0.95 ? ? 0.3 n ? 0.9n ? 100 = 1.64 0.3 n n = 118 51．随机地掷 10 颗骰子，用切比雪夫不等式估计点数总和在 20 和 50 之间的概率.解设第 i 颗骰子的点数为 Xi，i=1，2，…，10，X 表示 10 颗骰子点数总和， X1 ，… ， X10 相互独立同分布： EX i = 7 35 175 , DX i = , EX = 35, DX = 2 12 6 P{20＜X＜50} = P{ X ? 35＜15}? 1 ? 1 175 × 225

概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计练习题练习题及参考答案(东师)

《 概率论与数理统计》练习题一 一、判断正误，在括号内打√或× 1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2 N 的样本，则 n i i X n X 1 1 服从)1,0(N 分布； 2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ； 3．（√）设 ＜＜x x |， 20|＜x x A ， 31|＜x x B ，则B A 表示 10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有 B A B A ； 6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(, 8)( Y D X D ，则4)( Y X D ； 9．（√）设总体)1,(~ N X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则3216 3 6161?X X X 是 的无偏估计量； 10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。 二、填空题 1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则 EX DX p 1: 3． ,, , 0,1)(其他b x a a b x f 是 均匀 分布的密度函数； 4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)( A P ，5.0)( B P ，4.0)( C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为 则 a )()(Y D X D ； 6．设随机变量X 的概率分布为

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率论与数理统计练习册题目

第一章 概率论的基本概念 习题一 随机试验、随机事件 一、判断题 1.()A B B A =?- （ ） 2.C B A C B A =? （ ） 3.()φ=B A AB （ ） 4.若C B C A ?=?，则B A = （ ） 5.若B A ?，则AB A = （ ） 6.若A C AB ?=,φ,则φ=BC （ ） 7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则 （1）事件“含有红球”为必然事件； （ ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ） （3）事件“含有白球”为随机事件； （ ） 8.互斥事件必为互逆事件 （ ） 二、填空题 1. 一次掷两颗骰子， （1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ； （2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。 2.化简事件()()() =???B A B A B A 。 3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件： （1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ； （2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ； （3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ； （4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ； （5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ； （6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ； （7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ； （8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ； （9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ； （10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ； 三、选择题 1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。 A 、A 与D 是互不相容的 B 、A 与 C 是相容的 C 、B 与C 是相容的 D 、B 与D 是相互对应的事件 2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ） A 、A ABC =； B 、A C B A =??； C 、A BC ? ； D 、C B A ??

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<

概率论与数理统计练习题附答案详解

第一章《随机事件及概率》练习题 一、单项选择题 1、设事件 A 与 B 互不相容，且 P (A )＞ 0， P (B )＞ 0，则一定有（ ） （A ） P(A) 1 P(B) ； （B ）P(A|B) P(A) ； （C ） P(A| B) 1； （D ） P(A|B) 1。 2、设事件 A 与 B 相互独立，且 P (A )＞ 0， P (B )＞ 0，则（ ）一定成立 （A ） P(A|B) 1 P(A)； （ B ） （C ） P( A) 1 P(B) ； （ D ） P(A|B) 0； P(A|B) P(B)。 3、设事件 A 与 B 满足 P (A )＞ 0， P ( B )＞ 0，下面条件（ ）成立时，事件 A 与 B 一定独立 （ A ） （ C ） P( AB) P( A)P(B) ； （B ） P( A B) P( A)P(B) ； P(A|B) P(B) ； （D ） P(A|B) P(A)。 4、设事件 A 和 B 有关系 B A ，则下列等式中正确的是（ ） （ A ） （ C ） P( AB) P( A) ； （B ） P(B|A) P(B)； （D ） P(A B) P(A)； P(B A) P(B) P( A) 。 5、设 A 与 B 是两个概率不为 0 的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ） A 与 B 互不相容； （B ） A 与 B 相容； （C ） P(AB) P(A)P(B)； （D ） P(A B) P(A)。 6、设 A 、B 为两个对立事件，且 P (A ) ≠0， P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ） P( A B) P( A) P( B)； （B ） P( A B) P(A) P(B)； （C ） P( AB ) P( A) P( B) ； （D ） P(AB) P(A)P(B)。 7、对于任意两个事件 A 与 B ， P( A B) 等于（ ） （A ） P( A) P( B) （B ） P( A) P(B) P( AB) ； （C ） P( A) P( AB) ； （D ） P(A) P(B) P(AB) 。 二、填空题 1、若 A B ， A C ，P (A )=0.9， P(B C) 0.8，则 P( A BC ) =__________。 2、设 P (A )=0.3，P ( B )=0.4，P (A|B )=0.5，则 P (B|A )=_______ ， P( B | A B ) =_______。 、已知 P( A) 0.7 ， P(A B) 0.3 ，则 P(AB) 。 3 4、已知事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A B) ，且 P( A) p ，则 P( B) = 。 5、一批产品，其中 10 件正品， 2 件次品，任意抽取 2 次，每次抽 1 件，抽出后不再放回，则第 2 次抽出

概率论与数理统计课后习题答案

习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ；

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

概率论与数理统计习题及答案

概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1）在什么条件下P（AB （2）在什么条件下P（AB） 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

= 14+14+13-112=34 7. 52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p =5332 131313131352C C C C /C 8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）= 517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-( 17 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000