因此当a=1-k 时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值2
122k
k k --+. 7.(2010年山东卷,文21)已知函数f(x)=ln x-ax+1a
x
--1(a ∈R).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当a ≤
12
时,讨论f(x)的单调性.
解:(1)当a=-1时, f(x)=ln x+x+
2x
-1,x ∈(0,+∞),
所以f ′(x)=22
2
x x x
+-,x ∈(0,+∞),所以f ′(2)=1, 即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为1. 又f(2)=ln 2+2,
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln 2+2)=x-2, 即x-y+ln 2=0. (2)因为f(x)=ln x-ax+
1a
x
--1, 所以f ′(x)=
1
x
-a+21a x -=-22
1ax x a x
-+-,x ∈(0,+∞). 令g(x)=ax 2
-x+1-a,x ∈(0,+∞). (i)当a=0时,g(x)=-x+1,x ∈(0,+∞),
所以当x ∈(0,1)时,g(x)>0,
此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,
此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
(ii)当a≠0时,令f′(x)=0,即ax2-x+1-a=0,
解得x1=1,x2=1
a
-1.
①当a=1
2
时,x1=x2,g(x)≥0恒成立,
此时f′(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当02
时,
1
a
-1>1>0,
x∈(0,1)时,g(x)>0,
此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
x∈（1,1
a
-1）时,g(x)<0,
此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
x∈（1
a
-1,+∞）时,g(x)>0,
此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
③当a<0时,由于1
a
-1<0.
x∈(0,1)时,g(x)>0,
此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
x∈(1,+∞)时,g(x)<0,
此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
综上所述:
当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减;函数f(x)在(1,+∞)上单调递增;
当a=1
2
时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当02
时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,
在（1,1
a
-1）上单调递增;
在（1
a
-1,+∞）上单调递减.
考点二利用导数研究函数的极值和最值
1.(2013年福建卷,文12)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( )
(A)?x∈R,f(x)≤f(x0)
(B)-x0是f(-x)的极小值点
(C)-x0是-f(x)的极小值点
(D)-x0是-f(-x)的极小值点
解析:由极大值不一定是最大值可排除选项A,取f(x)=-(x-2)2,则x=2是f(x)的极大值点,但-2不是f(-x)的极小值点,排除选项B,-f(x)=(x-2)2,-2不是-f(x)的极小值点,排除选项C.故选D.
答案:D
2.(2013年新课标全国卷Ⅱ,文11)已知函数f(x)=x 3
+ax 2
+bx+c,下列结论中错误的是( )
(A)?x 0∈R,f(x 0)=0
(B)函数y=f(x)的图象是中心对称图形
(C)若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)上单调递减 (D)若x 0是f(x)的极值点,则f ′(x 0)=0
解析:因为函数f(x)的值域为R,故选项A 正确.假设函数y=f(x)的对称中心为(m,n),按向量a=(-m,-n)将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 为奇函数, 因此f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,代入化简得 (3m+a)x 2
+m 3
+am 2
+bm+c-n=0对x ∈R 恒成立.
由22
30,0,m a m am bm c n +=??+++-=?
得 32
,3.
3333a m a a a a n a b c f ?=-??
??????????=-+?-+?-+=- ? ? ? ????
??????? 所以函数f(x)=x 3
+ax 2
+bx+c 的对称中心为,33a
a f ??
??-
- ? ?????
,故选项B 正确.f ′(x)=3x 2
+2ax+b,若f(x)有极小值点x 0,则f ′(x)=0有两不等实根即f(x)必有极大值点,设为x 1,若x 13.(2012年重庆卷,文8)设函数f(x)在R 上可导,其导函数为f ′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf ′(x)的图象可能是( )
解析:构建一个符合条件的函数,f(x)=(x+2)2
,
则f ′(x)=2(x+2),y=xf ′(x)=2x(x+2)=2x 2
+4x,故选C.
答案:C
4.(2012年陕西卷,文9)设函数f(x)=
2x
+ln x,则( )
(A)x=
12为f(x)的极大值点 (B)x=
12
为f(x)的极小值点
(C)x=2为f(x)的极大值点 (D)x=2为f(x)的极小值点
解析:∵f ′(x)=-
22x +1x =2
2x x - (x>0), 当x>2时,f ′(x)>0,当05.(2011年浙江卷,文10)设函数f(x)=ax 2
+bx+c(a,b,c ∈R),若x=-1为函数f(x)e x
的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是( )
解析:设g(x)=f(x)e x
,则g(x)=(ax 2
+bx+c)e x
,
∴g ′(x)=e x
[ax 2
+(b+2a)x+b+c],
由已知g ′(-1)=0, ∴a-b-2a+b+c=0, ∴a=c.
∴f(x)=ax 2
+bx+c 可化为f(x)=ax 2
+bx+a,
∴f(x)=0若有根时,两根之积x 1x 2=1. 而选项D 中两根x 1<-1,x 2<-1,x 1x 2>1.故选D. 答案:D
6.(2011年福建卷,文10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x 3
-ax 2
-2bx+2在x=1处有极值,则ab 的最大值等于( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)9 解析:∵f ′(x)=12x 2
-2ax-2b,
且f(x)在x=1处有极值, ∴f ′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6, 又a>0,b>0,
∴ab ≤
()2
4
a b +=9,当且仅当a=b=3时“=”成立,
∴ab 的最大值为9.故选D.
答案:D
7.(2010年山东卷,文8)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-
1
3
x 3
+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
(A)13万件 (B)11万件
(C)9万件 (D)7万件
解析:∵y=-
1
3
x 3
+81x-234,∴y ′=-x 2
+81(x>0). 令y ′=0得x=9,令y ′<0得x>9,令y ′>0得08.(2009年辽宁卷,文15)若函数f(x)=21
x a
x ++在x=1处取得极大值,则a=
.
解析:f ′(x)=()()
()
22
211x x x a x +-++,f ′(1)=
34
a
-=0,a=3. 答案:3
9.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文20)已知函数f(x)=e x
(ax+b)-x 2
-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b 的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值. 解:(1)f ′(x)=e x
(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4,f ′(0)=4. 故b=4,a+b=8. 从而a=4,b=4.
(2)由(1)知,f(x)=4e x
(x+1)-x 2
-4x.
f ′(x)=4e x (x+2)-2x-4=4(x+2)（e x
-12
）.
令f ′(x)=0得,x=-ln 2或x=-2.
从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f ′(x)>0; 当x ∈(-2,-ln 2)时,f ′(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增, 在(-2,-ln 2)上单调递减.
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e -2
).
10.(2013年江西卷,文21)设函数
f(x)=()1
,0,11,1,1x x a a
x a x a
?≤≤????-<≤?-?a 为常数且a ∈(0,1).
(1)当a=
12
时,求f 13f ???? ?
?????
; (2)若x 0满足f(f(x 0))=x 0,但f(x 0)≠x 0,则称x 0为f(x)的二阶周期点.证明:函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x 1,x 2;
(3)对于(2)中x 1,x 2,设A(x 1,f(f(x 1))),B(x 2,f(f(x 2))),C(a 2
,0),记△ABC 的面积为S(a),求S(a)在区间
11,32??
????
上的最大值和最小值.
解:(1)当a=
12
时,f 13??
???
=23, f 13f ???? ?
?????=f 23?? ???=2213??- ???=23
. (2)f(f(x))=()()()()()
()2222
221,0,1,,11,1,111,1 1.1x x a a a x a x a a a x a a x a a a x a a x a a ?≤≤???-<≤?-?
??-<<-+-???--+≤≤?-?
当0≤x ≤a 2
时,由2
1
a x=x 解得x=0,
因为f(0)=0,
故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当a 2
由
()
1
1a a - (a-x)=x,
解得x=
21
a
a a -++∈(a 2
,a),
因f 2
1a a a ??
?-++??
=1
a ·
2
1
a
a a -++ =
211a a -++≠2
1
a
a a -++, 故x=21
a
a a -++为f(x)的二阶周期点;
当a-a+1时,
由
()
2
1
1a - (x-a)=x,
解得x=
1
2a
-∈(a,a 2
-a+1), 因f 12a ??
?-??=11a -·112a ?
?- ?-??=12a -,
故x=
1
2a
-不是f(x)的二阶周期点;
当a 2
-a+1≤x ≤1时,
由
()
1
1a a -(1-x)=x,
解得x=
21
1
a a -++∈(a 2
-a+1,1).
因f 211a a ??
?-++??=11a -·2
111a a ??
- ?-++??
=
2
1
a
a a -++ ≠211
a a -++, 故x=21
1
a a -++为f(x)的二阶周期点.
因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,
x 1=
2
1
a
a a -++, x 2
=21
1
a a -++. (3)由(2)得A 22
,11a a a a a a ??
?-++-++??
, B 22
11,11a a a a ??
?-++-++??
, 则S(a)=
1
2·()
22
11
a a a a --++, S ′(a)=
12
·
()
()
322
2
2221a a a a a
a --+-++,
因为a ∈
11,32??????
, 有a 2
+a<1,
所以S ′(a)=
1
2
·
()
()
322
2
2221a a a a a
a --+-++
=12·()()()()
22221111a a a a a a a -??+-+-??-++
>0.
（或令g(a)=a 3
-2a 2
-2a+2,
g ′(a)=3a 2
-4a-2=323a ?--
?
?23a ??
+- ? ???
, 因a ∈(0,1),g ′(a)<0, 则g(a)在区间
11,32??????上的最小值为g 12?? ???=5
8>0, 故对于任意a ∈
11,32??????
, g(a)=a 3
-2a 2
-2a+2>0,
S ′(a)=
1
2
·
()
()
322
2
2221a a a a a
a --+-++>0）,
则S(a)在区间
11,32??
????
上单调递增, 故S(a)在区间
11,32??????上的最小值为S 13?? ???
=1
33, 最大值为S 12??
???
=120. 11.(2013年浙江卷,文21)已知a ∈R,函数f(x)=2x 3
-3(a+1)x 2
+6ax. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. 解:(1)当a=1时,f ′(x)=6x 2
-12x+6,所以f ′(2)=6.
又因为f(2)=4,所以切线方程为y-4=6(x-2), 即6x-y-8=0.
(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. f ′(x)=6x 2
-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).
令f ′(x)=0,得x 1=1,x 2=a.
比较f(0)=0和f(a)=a 2
(3-a)的大小可得
g(a)=(
)20,13,3,3,a a a a <??
当a<-1时,
得g(a)=3a-1.
综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为
g(a)=(
)231,1,0,13,3,3,
a a a a a a ?-<-?
<≤??->?
12.(2012年重庆卷,文17)已知函数f(x)=ax 3
+bx+c 在点x=2处取得极值c-16.
(1)求a,b 的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值. 解:(1)因为f(x)=ax 3
+bx+c,
故f ′(x)=3ax 2
+b,
由于f(x)在点x=2处取得极值c-16,
故有()()20,
216,
f f c '=???=-??
即120,
8216,a b a b c c +=??
++=-?
化简得120,
48,
a b a b +=??
+=-?解得a=1,b=-12.
(2)由(1)知f(x)=x 3
-12x+c; f ′(x)=3x 2
-12=3(x-2)(x+2). 令f ′(x)=0,得x 1=-2,x 2=2. 当x ∈(-∞,-2)时,f ′(x)>0, 故f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当x ∈(-2,2)时,f ′(x)<0, 故f(x)在(-2,2)上为减函数; 当x ∈(2,+∞)时,f ′(x)>0, 故f(x)在(2,+∞)上为增函数.
由此可知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c, f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c-16. 由题设条件知16+c=28,得c=12. 此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3, f(2)=-16+c=-4,
因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4. 13.(2011年北京卷,文18)已知函数f(x)=(x-k)e x
.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
解:(1)f ′(x)=(x-k+1)e x
.令f ′(x)=0,得x=k-1.
所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);
单调递增区间是(k-1,+∞).
(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
当0由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在[k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;
当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
考点三导数的综合应用
1.(2013年湖北卷,文10)已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
(A)(-∞,0) (B)（0,1
2
）
(C)(0,1) (D)(0,+∞)
解析:f′(x)=ln x+1-2ax,依题意ln x+1-2ax=0有两个正实数根x1,x2(x1g(x)=ln x+1-2ax有两个零点.当a≤0时不合题意,所以a>0;g′(x)=1
x
-2a,令g′(x)=0,得x=
1
2a
,于是
g(x)在（0,1
2a
）上单调递增,在（
1
2a
,+∞）上单调递减,所以g(x)在x=
1
2a
处取得最大值,则
f′
1
2a
??
?
??
=ln
1
2a
>0,
1
2a
>1,所以01
2
.故选B.
答案:B
2.(2013年重庆卷,文20)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为
100×2πrh=200πrh(元),
底面的总成本为160πr2元,
所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.
根据题意得200πrh+160πr2=12000π,
所以h=1
5r
(300-4r2),
从而V(r)=πr2h=π
5
(300r-4r3).
由h>0,且r>0可得故函数V(r)的定义域为
(2)由(1)知V(r)=π
5
(300r-4r3),
故V ′(r)=
π
5
(300-12r 2
). 令V ′(r)=0,解得r 1=5,r 2=-5(因为r 2=-5不在定义域内,舍去). 当r ∈(0,5)时,V ′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r ∈时,V ′(r)<0,故V(r)在上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大. 3.(2013年福建卷,文22)已知函数f(x)=x-1+
x
e α (a ∈R,e 为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数f(x)的极值;
(3)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k 的最大值. 解:(1)由f(x)=x-1+x
e α, 得
f ′(x)=1-
x
e α. 又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x 轴, 得
f ′(1)=0, 即1-
e
α=0,
解得a=e. (2)f ′(x)=1-
x
e α, ①当 a ≤0时,
f ′(x)>0, f(x)为(-∞,+∞)上的增函数, 所以函数f(x)无极值. ②当a>0时,令f ′(x)=0, 得e x
=a,x=ln a.
x ∈(-∞,ln a),f ′(x)<0;
x ∈(ln a,+∞),f ′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增,
故f(x)在x=ln a 处取得极小值, 且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值. 综上,当a ≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,f(x)在x=ln a 处取得极小值ln a,无极大值. (3)当a=1时,f(x)=x-1+
1x
e . 令g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+
1x
e , 则直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点, 等价于方程g(x)=0在R 上没有实数解. 假设k>1,此时g(0)=1>0,
g 11k ??
?-??
=-1+1
11k e -<0,
又函数g(x)的图象连续不断,由零点存在性定理,
可知g(x)=0在R 上至少有一解,与“方程g(x)=0在R 上没有实数解”矛盾,故k ≤1. 又k=1时,g(x)=
1x
e >0,
知方程g(x)=0在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1.
4.(2013年陕西卷,文21)已知函数f(x)=e x
,x ∈R.
(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程; (2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=
12
x 2
+x+1有唯一公共点.
(3)设a???
与
()()f b f a b a --的大小,并说明理由. 解:(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x, 设所求切线的斜率为k, ∵g ′(x)=
1
x
, ∴k=g ′(1)=1,
于是在点(1,0)处切线方程为y=x-1. (2)曲线y=e x
与y=
12
x 2
+x+1公共点的个数等于函数? (x)=e x
-12
x 2
-x-1零点的个数.
∵? (0)=1-1=0,
∴? (x)存在零点x=0. 又?′(x)=e x
-x-1,
令h(x)=
?′(x)=e x
-x-1,
则h ′(x)=e x
-1, 当x<0时,h ′(x)<0,
∴?′(x)在(-∞,0)上单调递减. 当x>0时,h ′(x)>0,
∴?′(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴?′(x)在x=0处有唯一的极小值?′(0)=0, 即?′(x)在R 上的最小值为?′(0)=0, ∴?′(x)≥0(当且仅当x=0时等号成立), ∴? (x)在R 上是单调递增的, ∴? (x)在R 上有唯一的零点, 故曲线y=f(x)与y=
12
x 2
+x+1有唯一的公共点.
(3) ()()f b f a b a ---f 2a b +?? ???=b a e e b a
---2a b
e +
=
22
a b a b b a
e e be ae
b a
++--+-
=2
a b e b a
+-·[2a b e +-2a b
e --(b-a)]. 设函数u(x)=e x
-1
x e
-2x(x ≥0),
则u ′(x)=e x
+
1x
e -2≥
∴u ′(x)≥0(当且仅当x=0时等号成立), ∴u(x)单调递增. 当x>0时,u(x)>u(0)=0. 令x=
2
b a
-, 则得2
b a e --2
a b e
--(b-a)>0,
又
2
a b e
b a
+->0, ∴
()()f b f a b a -->f 2a b +??
???
.
5.(2013年新课标全国卷Ⅱ,文21)已知函数f(x)=x 2e -x
. (1)求f(x)的极小值和极大值;
(2)当曲线y=f(x)的切线l 的斜率为负数时,求l 在x 轴上截距的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f ′(x)=-e -x
x(x-2).(*)
当x ∈(-∞,0)或x ∈(2,+∞)时,f ′(x)<0,
当x ∈(0,2)时,f ′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增. 故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;
当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e -2
. (2)设切点为(t,f(t)),
则l 的方程为y=f ′(t)(x-t)+f(t). 所以l 在x 轴上的截距为 m(t)=t-
()()
f t f t '=t+2t t -=t-2+2
2t -+3. 由已知和(*)式得t ∈(-∞,0)∪(2,+∞). 令h(x)=x+
2x
(x ≠0),
则当x ∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为
∞);
当x ∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).
所以当t ∈(-∞,0)∪(2,+∞)时, m(t)的取值范围是(-∞,0)∪
∞).
综上,l 在x 轴上的截距的取值范围是 (-∞,0)∪
∞).
6.(2013年四川卷,文21)已知函数f(x)= 22,0
ln ,0x x a x x x ?++?
,其中a 是实数.设A(x 1
,f(x 1
)),B(x 2
,f(x 2
))
为该函数图象上的两点,且x 1(2)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直,且x 2<0,证明:x 2-x 1≥1;
(3)若函数f(x)的图象在点A,B 处的切线重合,求a 的取值范围.
(1)解:函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).
(2)证明:由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为f ′(x 1),点B 处的切线斜率为f ′(x 2), 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时, 有f ′(x 1)f ′(x 2)=-1.
当x<0时,对函数f(x)求导,得f ′(x)=2x+2. 因为x 1所以,(2x 1+2)(2x 2+2)=-1, 所以2x 1+2<0,2x 2+2>0. 因为x 2-x 1=12
[-(2x 1+2)+2x 2+2]
当且仅当-(2x 1
+2)=2x 2
+2=1,即x 1
=-3
2
且x 2=-
1
2
时等号成立)
所以,函数f(x)的图象在点A,B 处的切线互相垂直时, 有x 2-x 1≥1.
(3)解:当x 1x 1>0时,f ′(x 1)≠f ′(x 2), 故x 1<0当x 1<0时,函数f(x)的图象在点(x 1,f(x 1))处的切线方程为y-(2
1x +2x 1+a)=(2x 1+2)(x-x 1), 即y=(2x 1+2)x-2
1x +a.
当x 2>0时,函数f(x)的图象在点(x 2,f(x 2))处的切线方程为y-ln x 2=
2
1x (x-x 2),
即y=
2
1x ·x+ln x 2-1.
两切线重合的充要条件是
12
221
1
22,ln 1.x x x x a ?=+???-=-+?①
②
由①及x 1<01x <2.
由①②得, a=ln x 2+(
2
12x -1)2
-1=-ln
21x +14(2
1x -2)2
-1.
令t=
21x ,则0且a=
14
t 2
-t-ln t.
设h(t)=
14
t 2
-t-ln t(0则h ′(t)=
1
2
t-1-1t =()2
132t t
--<0,
所以h(t)(0h(2)=-ln 2-1,
所以a>-ln 2-1.
而当t ∈(0,2)且t 趋近于0时,h(t)无限增大, 所以a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).
故当函数f(x)的图象在点A,B 处的切线重合时,a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).
7.(2013年天津卷,文20)设a ∈[-2,0],已知函数f(x)= ()33
25,0,3,0.2
x a x x a x x ax a ?-+≤?
?+-
+>?? (1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;
(2)设曲线y=f(x)在点P i (x i ,f(x i ))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x 1x 2x 3≠0.证明:x 1+x 2+x 3>-1
3
. 证明:(1)设函数f 1(x)=x 3
-(a+5)x(x ≤0),
f 2(x)=x 3
-
3
2
a +x 2
+ax(x ≥0), ①f 1′(x)=3x 2
-(a+5),由于a ∈[-2,0], 从而当-1-(a+5)<3-a-5≤0, 所以函数f 1(x)在区间(-1,0]内单调递减. ②f 2′(x)=3x 2
-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),
由于a ∈[-2,0],所以当0当x>1时,f 2′(x)>0.
即函数f 2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
综合①,②及f 1(0)=f 2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知f ′(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,
36a +)内单调递减,在区间(3
6
a +,+∞)内单调递增,因为曲线y=f(x)在点P i (x i ,f(x i ))(i=1,2,3)处的切线相互平行, 从而x 1,x 2,x 3互不相等,且f ′(x 1)=f ′(x 2)=f ′(x 3). 不妨设x 1<0由321x -(a+5)=322x -(a+3)x 2+a=32
3x -(a+3)x 3+a, 可得32
2x -32
3x -(a+3)(x 2-x 3)=0,
解得x 2+x 3=
3
3a +, 从而0<3
6
a +.
设g(x)=3x 2
-(a+3)x+a,
则g(
3
6
a +))1x -(a+5)=g(x 2)解得1
<0,
所以x 1+x 2+x 33
3a +,
设则a=2352t +,
因为a ∈[-2,0],所以t ∈??, 故x 1
+x 2
+x 3
>-t+2316
t +=
1
2(t-1)2
-13≥-1
3
, 即x 1+x 2+x 3>-
1
3
. 8.(2012年浙江卷,文21)已知a ∈R,函数f(x)=4x 3
-2ax+a. (1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当0≤x ≤1时,f(x)+|2-a|>0. (1)解:由题意得f ′(x)=12x 2
-2a. 当a ≤0时,f ′(x)≥0恒成立,
此时f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
当a>0时,f ′
此时函数f(x)的单调递增区间为(-∞和∞],单调递减区间为.
(2)证明:由于0≤x ≤1,故当a ≤2时,
f(x)+|2-a|=4x 3
-2ax+2≥4x 3
-4x+2.
当a>2时,f(x)+|2-a|=4x 3+2a(1-x)-2≥4x 3+4(1-x)-2=4x 3
-4x+2.
设g(x)=2x 3
-2x+1,0≤x ≤1,
则g ′(x)=6x 2
于是g ′(x),g(x)随x 的变化情况如下表:
所以,g(x)min
=g 3? ??
=1-9>0. 所以当0≤x ≤1时,2x 3-2x+1>0. 故f(x)+|2-a|≥4x 3
-4x+2>0. 9.(2012年山东卷,文22)已知函数f(x)=ln x
x k
e + (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)
在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行. (1)求k 的值; (2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=xf ′(x),其中f ′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e -2
.
解:(1)由f(x)=
ln x
x k
e +, 得
f ′(x)=1ln x
kx x x
xe
--,x ∈(0,+∞), 由于曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x 轴平行, ∴f ′(1)=0, ∴k=1.
(2)由(1)得f ′(x)=
1x
xe (1-x-xln x),x ∈(0,+∞).
令h(x)=1-x-xln x,x ∈(0,+∞), 当x ∈(0,1)时,h(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,h(x)<0, 又∵e x
>0,
∴当x ∈(0,1)时,f ′(x)>0,
当x ∈(1,+∞)时,f ′(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)证明:∵g(x)=xf ′(x), ∴g(x)=
1x
e (1-x-xln x),x ∈(0,+∞).
由(2)知h(x)=1-x-xln x,
则h ′(x)=-2-ln x=-(ln x-ln e -2
),
∴当x ∈(0,e -2
)时,h ′(x)>0,函数h(x)单调递增;
当x ∈(e -2
,+∞)时,h ′(x)<0,函数h(x)单调递减.
∴当x ∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e -2
)=1+e -2
.
2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y =的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-， ， C ．(1)(1)-∞-+∞， ， D ．(10)(01)-，， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A B C D
C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，， ，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，
2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题
2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案） （2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题） 一、函数奇偶性与周期性 1.（2015年1卷13）若函数f （x ） =ln(x x +为偶函数，则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数，所以ln(ln(x x ++- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性 2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足 ．若 ， 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解：因为是定义域为 的奇函数，且 ， 所以, 因此， 因为 ，所以， ，从而 ，选C. 3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1 m i i i x y =+=∑（ ） （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01， 对称，而11 1x y x x +==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑，故选B ． 二、函数、方程与不等式 4.（2015年2卷5）设函数211log (2),1, ()2,1,x x x f x x -+-
2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题
2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项： 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科 一 、解答题（本大题共22小题，共0分） 1.（2017北京东城区高三一模数学(文)）设函数ax x x x f +-=232131)(，R a ∈． (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围； (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由． 2.（2017北京丰台区高三一模数学(文)） 已知函数1()e x x f x +=，A 1()x m ,，B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. （Ⅰ）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：120x x +>. 3.（2017北京丰台区高三二模数学(文)） 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程； 姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------●
高考数学真题汇编——函数与导数
高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则
高考数学真题导数专题及答案
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y = C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ， ， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ， ， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A ． B ． C ． D ．
C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时 a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，
高考真题导数第一问分类汇总
切线问题 1 已知函数31()4 f x x ax =++，()ln g x x =-．当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； 2 设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． 3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．求a 、b 的值； 4 设函数()()23x x ax f x a R e +=∈若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 5已知函数f(x)＝e x －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. 求a 的值及函数f(x)的极值； 6设函数，曲线在点处的切线方程为， 7已知函数．求曲线在点处的切线方程； 8设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．求a ，b ，c ，d 的值； ()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f
单调性问题 1已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．求)(x f 的解析式及单调区间； 2 讨论函数2()2 x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>； 3已知函数()2x x f x e e x -=--. 讨论()f x 的单调性； 4 设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2．求)(x f 的单调区间 ； 5已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的 切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值； (2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； 6设，已知定义在R 上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．求的单调区间； 7已知函数()ln()x f x e x m =-+. 设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； a ∈Z 432 ()2336f x x x x x a =+--+(1,2)0x ()g x ()f x ()g x
(完整word版)北京高考导数大题分类.doc
导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤： ① 确定定义域（易错点） ②求导函数 f ' (x) ③对 f ' ( x) 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理 . ④ f ' ( x) 中 x 的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间 . 例 1： f ( x) a x 3 a 1 x 2 x ，则 f ' ( x) (ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况 3 2 ⑤ f ' ( ) 最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时， 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递增； x 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递减 . 例 2： f (x) a x 2 ln x ，则 f ' ( x) = ax 2 1 , ( x 0) ，显然 a 0时 f ' ( x) 0 ，此时 f (x) 的 2 x 单调区间为 (0, ) . ⑥ f ' ( ) 最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现 f ' (x) 0 或者 f ' ( x) 0 的情况 x 求出 f ' ( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域 内，那么单调区间只有两段 . 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间， 即 x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 . 例 3: 若 f ( x) a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f ' ( x) ( ax 1)( x 1) ， (x 0) 解方程 f ' ( x) 2 1 x 0 得 x 1 1, x 2 a a 0时，只有 x 1 1 在定义域内 . a 0 时 , 比较两根要分三种情况： a 1,0 a 1, a 1 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论 f ' ( x) 在每个子区间内的正负，求得 f (x) 的单调区间。
高考导数大题30道(2020年整理).doc
导数大题 1 ．已知函数()b ax x x f ++=2 3的图象在点P (1,0)处的切线与直线03=+y x 平行? (1)求常数a 、b 的值; (2)求函数()x f 在区间[]t ,0上的最小值和最大值(0>t )? 2 ．已知函数R a ax x x f ∈+-=,)( 3 (1)若)(x f 在),1[+∞上为单调减函数,求实数a 取值范围; (2)若,12=a 求)(x f 在[-3,0]上的最大值和最小值? 3 ．设函数x e x x f 22 1)(=. (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若当]2,2[-∈x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围. 4 ．已知函数.),2,1()(3)(3 l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= (1)求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程; (2)求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =?
()I 求()f x 的单调区间; ()II 若()f x 在1x =-处取得极大值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围? 7 ．已知函数2 ()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y . (Ⅰ)求b a ,的值; (Ⅱ)若方程()f x m +=m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数); 8 ．已知函数21 2 ()()ln f x a x x =-+.(R a ∈) (1)当a =1时,求()f x 在区间[1,e ]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方,求a 的取值范围。 10．已知函数2 ()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+,且对于任意实数x ,恒有(5)(5)F x F x -=-? ⑴求函数)(x f 的解析式; ⑵已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调,求实数a 的取值范围; ⑶讨论函数21()ln(1)()2 h x x f x k =+- -零点的个数?
(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc
1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 的解，附近，如 果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条 件12】“对任意 B．必要而不充分条件 ，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（） ．既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则 ．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数 ，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选 所述，“ 对任 意B． ，
【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用， 根 据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意； 当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0， ， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一的零点，需 ，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意； 当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0， ，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足 ，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时 零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ． 名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想， 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取 值范围是（）
导数及其应用高考题精选含答案
导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的
近五年高考试题分类汇编-导数部分(附答案解析)
2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析） 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x
13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的 切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .
2016年高考导数试题及答案(精选)
1.(新课标1)已知函数 有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设x 1，x 2是的两个零点，证明： +x 2<2. 解：（Ⅰ） '()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =，则()(2)x f x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1 ,)x ∈+∞时，'()0f x >．所 以 ()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0 b <且ln 2a b <，则22 3()(2)(1)()022 a f b b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点． （iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2 e a ≥-，则ln(2)1a -≤，故当 (1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以() f x 不存在两个零点． 若2 e a <- ，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞． （Ⅱ）不妨设1 2x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1) -∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于 222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---． 设 2()( 2 ) x x g x xe x e -=---， 则 2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从 而22()(2)0g x f x = -<，故122x x +<． 2(新课标2)(I)讨论函数x x 2f (x) x 2 -= +e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2 x =(0)x e ax a g x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ， 求函数()h a 的值域.
2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编
导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ，
高考文科数学专题复习导数训练题(汇编)
高考文科数学专题复习导数训练题（文） 一、考点回顾和基础知识 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 2.导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 3.求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）
最新2019高考数学《导数及其应用》专题完整题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷 导数及其应用 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．22 (1cos )x dx π π-+?等于（ ） A ．π B . 2 C . π-2 D . π+2(2009福建理) 2．若()224ln f x x x x =--，则()'f x ＞0的解集为（ ） A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-?+∞ C. ()2,+∞ D. ()1,0-（2011江西理4） 3．若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)2 1x e x x ++ (211) 1 24x x <-+ (C)21cos 12x x -… (D)21 ln(1)8 x x x +-… 4．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()() 00S t S =，则导函数()' y S t =的图像大致为 二、填空题 5．已知3 2 ()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为____________ 6．已知f (x )＝x 3，g (x )＝－x 2＋x －29a ，若存在x 0∈[－1，a 3](a ＞0)，使得f (x 0)＜g (x 0)，则实
数a 的取值范围是 ▲ ．(0，－3＋21 2) 7． 若函数32()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为 .[1,5) 8．曲线2 y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为________ 9．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b += ． 10．已知32()33f x x bx cx =++有两个极值点12,x x ，且[][]121,0,1,2x x ∈-∈，则(1)f 的取值范围 ． 11．已知函数ln ()x f x x = ，则()f x 的最大值为 12．函数y=x 3+lnx 在x=1处的导数为 . 13．若函数()()02 3 >-=a ax x x f 在区间?? ? ??+∞,320上是单调递增函数，则使方程()1000=x f 有整数解的实数a 的个数是 。 三、解答题 14． 已知函数()2 a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >． (1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值； (2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围． .
