2004全国硕士研究生统一入学考试考研数学一试题及答案解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 . (2) 已知x x xe e f -=')(，且(1)0f =, 则()f x = .

(3) 设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分?

-L

ydx xdy 2的值

为 .

(4) 欧拉方程)0(0242

22

>=++x y dx dy

x dx

y d x 的通解为 . (5) 设矩阵??

??

?

?????=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*

A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B

(6) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >

= .

二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把+

→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x

x x

???

===

30

2

sin ,tan ,cos 2

γβα，排列起来，

使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )

(A)γβα,,. (B)βγα,,. (C)γαβ,,. (D)αγβ,,.

(8) 设函数()f x 连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 ( )

(A)()f x 在(0，)δ内单调增加. (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少. (C)对任意的),0(δ∈x ，有()(0)f x f > . (D)对任意的)0,(δ-∈x ，有()(0)f x f > . (9) 设

∑∞

=1

n n

a

为正项级数，下列结论中正确的是 ( )

(A) 若n n na ∞

→lim =0，则级数

∑∞

=1

n n

a

收敛.

(B) 若存在非零常数λ，使得λ=∞

→n n na lim ，则级数

∑∞

=1

n n

a

发散.

(C) 若级数

∑∞

=1n n

a

收敛，则0lim 2

=∞

→n n a n .

(D) 若级数∑∞

=1

n n

a

发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞

→n n na lim .

(10) 设()f x 为连续函数，?

?=

t

t

y

dx x f dy t F 1

)()(，则)2(F '等于 ( )

(A) 2(2)f . (B) (2)f . (C) (2)f -. (D) 0.

(11) 设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为 ( )

(A)??????????101001010 (B)??????????100101010. (C)??????????110001010. (D)????

?

?????100001110.

(12) 设,A B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵，则必有 ( )

(A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.

(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.

(13) 设随机变量X 服从正态分布(0,1)N )，对给定的)10(<<αα，数αu 满足

αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于( )

(A) 2

αu . (B) 2

1α

-

u

. (C) 2

1α-u . (D) α-1u .

(14) 设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02

>σ 令∑==n

i i X n Y 1

1，

则( )

(A) Cov(.),2

1n

Y X σ=

(B) 21),(σ=Y X Cov .

(C) 212)(σn n Y X D +=

+. (D) 2

11)(σn

n Y X D +=-.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分12分)

设2

e b a e <<<, 证明)(4

ln ln 2

2

2

a b e a b ->

-.

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km h

. 经测试，减速伞打开后，

飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66?=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？(注kg 表示千克，kg

h

表示千米/小时.)

(17)(本题满分12分)

计算曲面积分

,)1(3222

33dxdy z

dzdx y dydz x I ??∑

-++=

其中∑是曲面)0(12

2≥--=z y x z 的上侧.

(18)(本题满分11分)

设有方程01=-+nx x n

，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当

1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.

(19)(本题满分12分)

设(,)z z x y =是由01821062

22=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的

极值点和极值.

(20)(本题满分9分)

设有齐次线性方程组

)

2(,

0)(,02)2(2,0)1(212121≥??

????

?=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n

试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

设矩阵????

??????---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.

(22)(本题满分9分)

设A ,B 为随机事件，且111

(),(),()432

P A P B A P A B ===，令 ;,,0,1不发生发生A A X ??

?= .,

,0,1不发生

发生B B Y ???=

求：(I)二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II)X 和Y 的相关系数.XY ρ

(23)(本题满分9分)

设总体X 的分布函数为 11,1,(;)1,0,x F x x

x β

β?>-?=?≤??

其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，

求：(I) β的矩估计量； (II) β的最大似然估计量.

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题

(1)【答案】1-=x y

【详解】方法1：因为直线1=+y x 的斜率11k =-，所以与其垂直的直线的斜率2k 满足

121k k =-，所以21k -=-，即21k =，

曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程的斜率为1，即

11

)(ln ==

'='x

x y ，得1x =，把1x =代入ln y x =，得切点坐标为)0,1(，根据点斜式公式得所求切线方程为：)1(10-?=-x y ，即1-=x y

方法2：本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线ln y x =过此切点的导数为11

==

'

=x y x x ，得10=x ，所以切点为()00(,ln )1,0x x =，由此可知所求切线方程为)1(10-?=-x y ， 即 1-=x y .

(2)【答案】

2)(ln 2

1

x 【详解】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可.

方法1：令t e x

=，则t x ln =，1x e t -=，于是有t t t f ln )(=

'，即.ln )(x

x

x f =

' 两边积分得 2

l n 1()l n l n (l n )2

x f x d x x d x x C x =

==+??. 利用初始条件(1)0f =, 代入上式：2

1(1)(ln1)02

f C C =+==，即0C =，故

所求函数为 ()f x = 2

)(ln 2

1x .

方法2：由ln x

x e =，所以x

x xe e f -=')(ln ln x

x x

x e e e

e

-=?=，所以.ln )(x x x f ='下同.

(3)【答案】

π2

3

【详解】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.

L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，用参数式可表示为

.

2

0:,

sin 2,cos 2π

θθθ→

??

?==y x

于是

2L

xdy ydx -=

?

20

2cos 2sin 22sin 2cos d d π

θθθθ??-??

?

20

[2cos 2cos 22sin 2sin ]d πθθθθθ=?+??

()2

2

222220

[2cos 4sin ][2cos sin 2sin ]d d ππ

θθθθθθθ=+=++??

2

2

2

220

[22sin ]22sin d d d πππθθθθθ=+=+???()220

21cos 2d π

πθ

θθ=+-?

2220

0131cos 22sin 2222

d πππ

ππθθθθ=+-=-? ()3133sin sin 002222

πππ

π=

--=-=

(4)【答案】2

2

1x c x c y +=

【详解】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换t

e x =化为常系数线性齐次微分方程即可.

令t

e x =，有1ln ,dt t x dx x =

=，则 1dy dy dt dy dx dt dx x dt

=?=， 221d y d dy dx dx x dt ??= ?

??

()211dy d dy d uv vdu udv x dt x dx dt ?? =+ -+ ??? 211dy d dy dt x dt x dt dt dx ??=-+?

???2222222111dy d y d y dy x dt x dt x dt dt ??

=-+=- ???

代入原方程：22

2211420d y dy dy

x x y x dt dt x dt

???-+?+= ?

??，整理得 0232

2=++y dt dy dt y d ，

此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为2

320r r ++=，所以特征根为：

121,2r r =- =- ，12r r ≠ ，所以02322=++y dt dy

dt

y d 的通解为

1221212r t r t t t y c e c e c e c e --=+=+

又因为t

e x =，所以2211

,t

t e

e x x --=

=，代入上式得 212122

.t t c c

y c e c e x x

--=+=+

(5)【答案】9

1 【详解】

方法1：已知等式两边同时右乘A ，得*

*

2ABA A BA A A =+，

由伴随矩阵的运算规律：**A A AA A E ==，有2AB A B A A =+，而

210

120001

A =33

21

(1)12

+=-2211=?-?3=， 于是有 A B AB +=63，移项、合并有 A B E A =-)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有

(36)363A E B A E B A -=-==，

而 36A E -21010031206010001001????????=-????????????6306

003

3600603

00

30

06

003

????

????=-=

????????-???? 33

03

(1)

(3)(3)3330

+=--=-??27=，

故所求行列式为B 33627A A E

=

=

-19

= 方法2：由题设条件*

*

2ABA BA E =+，得 *

*

2ABA BA -=*

(2)A E BA E -=

由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行

列式，有 **

(2)21A E BA A E B A E -=-==

其中210

1

20001

A =33

21

(1)12

+=-2211=?-?3=； 由伴随矩阵行列式的公式：若A 是n 阶矩阵，则 1

n A A

-*

=.

所以，31

2

A A

A -*

===9 ； 又 010

2100001

A E -=1210(1)01

+=-=1.

故11

92B A E A

*

=

=-.

(6)【答案】

e

1

【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算. 指数分布的概率密度为

,0()0

0x e x f x x λλ-?>?=?≤??若若，其方差21λ=DX .

于是，由一维概率计算公式，{}()b

X a

P a X b f x dx ≤≤=

?

，有

}{DX X P >=dx e X P x ?+∞

-=>

λ

λλλ

1}1

{=1

1x

e e

λλ

+∞--=

二、选择题 (7)【答案】 (B) 【详解】

方法1：20

2

200

tan tan 2lim lim

lim 0cos cos x x

x x x tdt x x

x

t dt

β

α+

+

+

→→→?= =?

?

洛必达，则β是α的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，

又2

3

2

3

000

1

sin sin 2lim lim lim 2tan tan x

x x x x x t dt

x x x

tdt

γ

β+

+

+

→→→?

= ?

?

洛必达 2

01lim 4x x x +→

=∞等价无穷小替换， 可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 方法2：用k

x (当0x →时)去比较.

22

1000cos cos lim

lim

lim ,x

k

k

k x x x t dt x x

x

kx

α

+

+

+-→→→=?洛

欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，有2

2000000

lim cos cos lim lim 1lim x

x x x t t x x x α

+++

+

→→→→===， 所以(当+

→0x 时)α与x 同阶.

2

1

13

00000tan tan 222

lim lim

lim lim lim x k k k k k x x x x x tdt

x x x x x x kx kx kx β

+

++

++---→→→→→??===?洛

欲使上式极限存在但不为0，应取3k =, 有332

0002tan 2tan 2lim lim lim 333

x x x x x x x x β+++-→→→===， 所以(当+→0x 时)β与3

x 同阶.

313

132

2

2

2

1

11

00000sin sin lim lim lim lim lim ,222x

k k

k k k x x x x x t dt

x x x x x

x x kx kx kx γ

+

+

+

+

+-

-

---→→→→→??===?

洛 欲使上式极限存在但不为0，应取2k =, 有221

001lim lim 224

x x x x x γ++-→→==?， 所以(当+→0x 时)γ与2

x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是

,,αγβ，选(B).

(8)【答案】 (C)

【详解】函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).

由导数的定义，知 0)

0()(lim

)0(0

>-='→x

f x f f x

根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有

0)

0()(>-x

f x f .

即当)0,(δ-∈x 时，0x <，有()(0)f x f <；而当),0(δ∈x 时，0x >有()(0)f x f >.

(9)【答案】 (B)

【详解】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过反例排除找到正确选项. 方法1：排除法. 取()()

1

1ln 1n a n n =

++，则n n na ∞→lim =0，

又()()111

1ln 11p

n p n n p ∞

= >??++ ≤?∑收敛，当发散，当

，所以()()1111ln 1n n n a n n ∞∞===++∑∑发散，排除A ，D ； 又取n n a n 1

=，因为p 级数111

1p

n p n

p ∞

= >??

≤?∑收敛，当发散，当

，则级数111

n n n a n n ∞∞===∑∑收

敛，但2

2

1lim lim lim n n n n n a n n n n

→∞

→∞

→∞

=?

==∞，排除(C), 故应选(B).

方法2：证明(B)正确. lim 0n n na λ→∞=≠,即lim 1n n a n

λ→∞=.因为11

n n

∞

=∑发散，

由比较判别法的极限形式知，

1

n

n a

∞

=∑也发散，故应选(B)..

(10)【答案】(B)

【详解】在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x :

?

'-'=')

()

()()]([)()]([])([x b x a x a x a f x b x b f dt t f

否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.

方法1：交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有t ，其他地方不出现t

由??=t

t

y dx x f dy t F 1)()(知：1y x t y t <

y x <

，得

??=t t y

dx x f dy t F 1

)()(=???-=t x t

dx x x f dx dy x f 1

1

1

)1)((])([

于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有 )2()2(f F ='，故应选(B). 方法2：设()()x f x 'Φ=，于是

1

()()t t y

F t dy f x dx =??1

1

()()t

t t t

y

y

dy x dx dy d x '=Φ=Φ?

???

1

[()()]t t y dy =Φ-Φ?1

()(1)()t t t y dy =Φ--Φ?

所以 ()()(1)()()()(1),F t t t t t f t t ''=Φ-+Φ-Φ=-

所以 (2)(2)F f '=，选

(B).

(11)【答案】(D)

【详解】由题设，将A 的第1列与第2列交换，即

12010100001AE A B ??

??==??

????

，

将B 的第2列加到第3列，即

100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ????????

????????===????????????????????????

故011100001Q ??

??=??????

，应选(D).

(12)【答案】(A)

【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若A 为n m ?矩阵，B 为n p ?矩阵，如果0AB =，

则()()r A r B n +≤

设A 为n m ?矩阵，B 为s n ?矩阵，由0AB =知，()()r A r B n +≤，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数

因A 为非零矩阵，故()1r A ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r B n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B 的行向量组线性相关.

因B 为非零矩阵，故()1r B ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r A n n ≤-<，由向

量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A 的列向量组线性相关.

故应选(A).

方法2：设A 为n m ?矩阵，B 为s n ?矩阵，将B 按列分块，由0AB =得，

[]12,,,0,0,1,2,

,.s i AB A A i s ββββ====

因B 是非零矩阵，故存在0i β≠，使得0i A β=. 即齐次线性方程组0Ax =有非零解. 由齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件()r A n <, 知()r A n <. 所以A 的列向量组线性相关.

又()0T

T

T

AB B A ==，将T

A 按列分块，得

12[,,

,]0,0,1,2,

,.T T T T T

T

T T m i B A B B i m αααα====

因A 是非零矩阵，故存在0T

i α≠，使得0T

T i B α=，即齐次线性方程组0Bx =有

非零解. 由齐次线性方程组0Bx =有非零解的充要条件，知T

B 的列向量组线性相关，由T

B 是由B 行列互换得到的，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A). 方法3：设 (),i j m n A a ?=()i j n s B b ?=, 将A 按列分块，记 ()1

2

n A A A A =

由0AB =?()111212122

21

2

12s s n n n ns b b b b b b A A A b b b ?? ? ?

????

???

()111111

,,0n n s n s n b A b A b A b A =+

+++=

(1) 由于0B ≠, 所以至少有一个 0i j b ≠(1,1i n j s ≤≤≤≤), 又由(1)知,

11220j j ij i nj n b A b A b A b A ++

+++=, 所以12,,,m A A A 线性相关. 即A 的列向

量组线性相关.

(向量组线性相关的定义：如果对m 个向量12,,,n m R ααα∈，有m 个不全为零

的数12,,

,m k k k R ∈，使11220m m k k k ααα++=成立，则称12,,

,m ααα线性相关.)

又将B 按行分块，记 12n B B B B ??

? ?= ? ???, 同样， 0AB =?1112112122

2212

n n m m mn n a a a B a a a B a a a B ????

???

??? ??????

???????111122121122221122n n n n m m mn n a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++??

?

++

+ ?

=

? ? ?++

+?

?

0= 由于0A ≠,则至少存在一个0i j a ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 使

11220i i i j j in n a B a B a B a B +++

+=,

由向量组线性相关的定义知，12,,

,m B B B 线性相关, 即B 的行向量组线性相关，

故应选(A).

方法4：用排除法.取满足题设条件的,A B .

取001000,10010001A B ??????=≠=≠??????????，有00100100,10001AB ??

????==????

??????

A 的行向量组，列向量组均线性相关，但

B 的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.

又取110100,00000100A B ??????=≠=≠??????????，有1101000000100AB ??

????==????

??????，

A 的行向量组线性无关，

B 的列向量组线性相关，故(C)不成立.

由排除法知应选(A).

(13)【答案】C

【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何0x >有

{}{}{}1

2

P X x P X x P X x >=<-=

>.或直接利用图形求解. 方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是

}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α

即有 21}{α

-=≥x X P ，可见根据分位点的定义有2

1α-=u x ，故应选(C). 方法2：

图1 图2

如图1所示题设条件. 图2显示中间阴影部分面积α，{}P X x α<=.两端各余面积

12α

-，所以12

{}P X u αα-<=，答案应选(C).

(14)【答案】A.

【详解】由于随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，所以必有：

2, (,)0, i j i j

Cov X X i j σ?==?

≠? 又 2

2

2

11

1

()n n n

i i i i i

i i i D a X a D X a

σ

===??== ???∑∑∑

O

x

y

()f x

{}P X u αα>=

O x

y

{}P X x α<=

12

α

- ()f x

下面求1(,)Cov X Y 和1()D X Y +.

而1

1,n

i i Y X n ==∑故本题的关键是将Y 中的1X 分离出来，再用独立性来计算.

对于选项(A)：

1111112

111(,)(,)(,)(,)n n

i i i i Cov X Y Cov X X Cov X X Cov X X n n n ====+∑∑11DX n =21n σ=

所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算. 可以看本题(C),(D)选项. 因为X 与Y 独立时，有()()()D X Y D X D Y ±=+. 所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：

222

1122211

1(1)1()()n n n n D X Y D X X X n n

n n n

σσ++-+=++

+=+ =

2

22

233σσn n n n n +=+， 2

222

22111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=- =

.22222

2σσn n n n n -=- 所以本题选 (A)

三、解答题

(15)【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.

方法1：因为函数()2

ln f x x =在()

2[,],a b e e ?上连续，且在(),a b 内可导，所以满足拉

格朗日中值定理的条件，

对函数()2

ln f x x =在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得

()()()22222ln ln ln ln ,b a b a b a e a b e ξ

ξξξ

'-=-=- <<<<

下证：

2

2ln 4

e ξ

ξ

>

. 设t t t ln )(=

?，则2

ln 1)(t

t

t -='?，当t e >时，1ln 1ln 0t e -<-= ，即,0)(<'t ? 所以)(t ?单调减少，又因为2

e ξ<，所以)()(2

e ?ξ?>，即

2222

ln ln e

e e =>ξξ

，得22ln 4e ξξ> 故 )(4

ln ln 22

2a b e

a b ->

-. 方法2：利用单调性， 设x e

x x 22

4

ln )(-

=?，证()x ?在区间()2,e e 内严格单调增即可. 24ln 2)(e x x x -='?，(22

2222ln 444()20e e e e e e ?'=-=-=，)2ln 12)(x x x -=''?,

当x e >时，1ln 1ln 0x e -<-=，,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少，

从而当2

e x e <<时，2()()0x e ??''>=，即当2e x e <<时，)(x ?单调增加.

因此当2

e x e <<时，)()(a b ??>，即a e

a b e b 22

22

4ln 4ln ->-

， 故 )(4

ln ln 22

2

a b e

a b ->

-. 方法3：设22

24()ln ln ()x x a x a e

?=---, 则2ln 4()2x x x e ?'=-，21ln ()2x x x ?-''=, ?x e >时, 1ln 1ln 0x e -<-=，得()0x ?''<，

?()x ?'在2(,)e e 上单调减少, 从而当2e x e <<时, 22

244

()()0x e e e

??''>=

-=，?()x ?在2(,)e e 上单调增加. 从而当2e a x b e <<≤<时, ()()0x a ??>=. ?()0b ?>，即222

4

ln ln ()b a b a e ->

-.

(16)【详解】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 方法1：由题设，飞机质量9000m kg =，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触

跑道开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ，速度为()v t ，则 0)0(,)0(0==x v v .

根据牛顿第二定律，得kv dt dv m -=. 又dx dv v dt dx dx dv dt dv =?=. 由以上两式得 dv k m dx -=，积分得 .)(C v k

m

t x +-=

由于0)0(,)0(0==x v v ，所以0(0)0.m x v C k =-+= 故得0v k

m

C =，

从而 )).(()(0t v v k

m

t x -=

当0)(→t v 时， ).(05.110

0.6700

9000)(60km k mv t x =??=→

所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 方法2： 根据牛顿第二定律，得 kv dt

dv

m

-=, 分离变量：

dv k dt v m =-，两端积分得：1ln k

v t C m

=-+， 通解：t m

k Ce

v -=，代入初始条件00

v v

t ==，解得0v C =，故.)(0t m

k e

v t v -=

飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v →，对应地t →+∞. 于是由d x v d t =，有

00

00

() 1.05().k

k t t m

m

mv mv x v t dt v e

dt e

km k

k

+∞

--+∞+∞

===-=

=?? 或由()0k

t m dx

v t v e dt -=

=，知)1()(000--==--?t m k

t t m k

e m

kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0

km m

kv t x =→

方法3：由kv dt dv m -= ，dx v dt =，化为x 对t 的求导，得dt dx

k dt

x d m -=22, 变形为

02

2=+dt dx

m k dt

x d ，0(0)(0),(0)0v x v x '=== 其特征方程为 02

=+λλm k ，解之得m

k

-==21,0λλ，故.21t m k

e C C x -+=

由 2000

00

0,k

t m t t t t kC dx

x v e v dt m

-=======-=，得,0

21k

m v C C =

-= 于是 ).1()(0

t m k

e k

mv t x --=

当+∞→t 时，).(05.1)(0km k m v t x =→ 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km .

(17)【详解】这是常规题，加、减曲面片高斯公式法，转换投影法，逐个投影法都可用. 方法1：加、减曲面片高斯公式. 取1∑为xoy 平面上被圆12

2

=+y x 所围部分的下侧，记Ω

为由∑与1∑围成的空间闭区域，则

dxdy

z

dzdx y dydz x I ??∑+∑-++=

1

)1(3222

33

1

33212223(1)x dydz y dzdx z dxdy I I ∑-++-=-??

由高斯公式：设空间闭区域Ω是由分段光滑的闭曲面∑所围成，函数

()()(),,,,,,,,P x y z Q x

y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有 P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dv x y z ∑Ω??

???++=++ ?????

?????? 这里3322,2,3(1)P x Q y R z = == -，2226,6,6P Q R

x y z x y z

???===???， 所以 2

216()I x

y z dv Ω

=

++???

利用柱面坐标：cos sin ,01,02,x r y r r dv rdrd dz z z θ

θθπθ=??

= ≤≤ ≤≤ =??=?

，有：

22

16()I x y z dxdydz Ω

=++???=rdz r z dr d r )(6201

010

22

???

-+πθ

()

()2

2

122

11

2320

00

11212122

r r z r r z dr r

r r dr ππ--??=+=+- ?

????

()1

32460

11124346r r r

π??- ?=-?+- ??? 11226ππ=?=

记D 为1∑在xoy 平面上的投影域(){}

2

2,1D x y x

y =+≤，则0z =，0dz =，

又1∑为2

2

0(1)z x y =+≤的下侧，从而：

()1

3322223(1)301D

I x dydz y dzdx z dxdy dxdy ∑=++-=--????33D

dxdy π==??

(其中

D

dxdy ??为半径为1圆的面积，所以11D

dxdy ππ=?=??) 故 1223.I I I πππ=-=-=-

方法2：用转换投影法：若(),z z x y =，z 对,x y 具有一阶连续偏导数，则

,z z

dzdx dxdy dydz dxdy x y

??=-

=-??. 曲面

22221:1,(1),

2,2z z

z x y x y x y x y

??=--+≤=-=-??∑，由转换投影公式

332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑

=++-??

332[2()2()3(1)]z z

x y z dxdy x y

∑

??=-

+-+-???? 44222[443(1)3]D

x y x y dxdy =++---??

利用极坐标变换：cos ,01,02,sin x r r dxdy rdrd y r θ

θπθθ

=? ≤≤ ≤≤ =?

=?，所以

21

4444220

[4cos 4sin 3(1)3]I d r r r rdr π

θθθ=++--??

21

5454530

[4cos 4sin 3(2)]d r r r r dr πθθθ=++-??

24404413(cos sin )6622d πθθθ=++-?

()2222222004cos sin 2cos sin 6d d ππθθθθθθ??=+--?????? 222

0412cos sin 26d πθθθπ??=--??? 22220041cos sin 2263d d ππ

θθθθπ=--?? ()20411cos 4236d ππθθπ=---? 22004112cos 4sin 433624d πππππθθπθ=---=--? 0ππ=--=- 或

2440

44(cos sin )66d π

θθθ+?

直接利用公式4

4220031cos sin 422

d d ππ

πθθθθ==????及

224

4

44220

cos 4cos 4sin sin d d d d π

ππ

π

θθθθθθθθ===?

???

则

24

4044431(cos sin )24666422

d π

πθθθπ+=?????=? 所以，原式2πππ=-=-

(18)【分析】利用零点定理证明存在性，利用单调性证明惟一性. 而正项级数的敛散性可用比较法判定.

零点定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ?<，那么在开区间

(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ=；单调性：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在(),a b 内可导，如果在(),a b 内()0f x '>，那么函数()f x 在[],a b 上单调增加；比较审敛

法：设

1

n

n u

∞

=∑和

1

n

n v

∞

=∑都是正项级数，且n n u v ≤，若级数

1

n

n v

∞

=∑收敛，则级数

1

n

n u

∞

=∑收敛.

【证明】记()1n

n f x x n x =+-，则()n f x 是连续函数，由01)0(<-=n f ，

0)1(>=n f n ，对照连续函数的零点定理知，方程01=-+nx x n 存在正实数根).1,0(∈n x

当0x >时，0)(1>+='-n nx x f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程

01=-+nx x n 存在惟一正实数根.n x

由01=-+nx x n

与0>n x 知n

n x x n

n n 1

10<-=<，故当1>α时，函数y x α=单调增，所以αα

)1(0n x n <<. 而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞

=1

n n x α

收敛.

(19) 【分析】根据极值点存在的充分条件：

设函数(,)z f x y =在点()00,x y 的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又

0000(,)0,(,)0x y f x y f x y = =，令000000(,),(,),(,)x x x y y y f x y A f x y B f x y C

= = =，则(,)z f x y =在

()00,x y 处是否取得极值的条件如下： (1)2

0AC B ->时具有极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值； (2)20AC B -<时没有极值；

(3)20AC B -=时，可能有极值，也可能没有极值，需另外讨论.

所以对照极值点存在的充分性定理，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点，接下来求函数二阶偏导，确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.

求二元隐函数的极值与求二元显函数的极值的有关定理是一样，差异仅在于求驻点及极值的充分条件时，用到隐函数求偏导数.

【详解】因为 01821062

2

2

=+--+-z yz y xy x ，所以

两边对x 求导：02262=??-??--x

z z x z y

y x ， ① 两边对y 求导：0222206=??-??--+-y

z

z y z y

z y x . ②

根据极值点存在的充分条件，令 00z

x

z y

??=??????=???，得 303100x y x y z -=??-+-=?，故 ???==.,3y z y x

将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得

???

??===3,3,

9z y x 或 ??

?

??-=-=-=.3,3,9z y x 对照极值点存在的充分条件，为判别两点是否为极值点，再①分别对,x y 求偏导数，②分别对,x y 求偏导数

①式对x 求导： 02)(22222222=??-??-??-x

z

z x z x z y ，

②式对x 求导：,02222622=???-?????-???-??--y x z

z x z y z y x z y x z

①式对y 求导： ,02222622=???-?????-???-??--y

x z

z x z y z y x z y x z

②式对y 求导： 02)(22222022222=??-??-??-??-??-y

z

z y z y z y y z y z ，

将??

?

??===3,3,

9z y x ??

?

????=??=??0,0y z x

z

代入，于是61)3,3,9(2

2=??=x z A ，2

1

)

3,3,9(2-

=???=y

x z

B ，3

5)

3,3,9(2

2=

??=y

z C ，故03612

>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是(,)z x y 的极小值点，极小值为(9,3)3z =.

类似地，将?????-=-=-=.3,3,9z y x ??

?????=??=??0,

0y

z x

z 代入，于是22

(9,3,3)

1

6

z A x ---?==-?， 2(9,3,3)

12z B x y

---?=

=??，22

(9,3,3)

53

z C y ---?==-?，可知03612

>=-B AC ， 又06

1

<-=A ，从而点(-9, -3)是(,)z x y 的极大值点，极大值为(9,3)3z --=-.

考研提高-2020考研数学一试卷分析

2020考研数学一试卷分析 随着考研数学考试的结束，2020考研也慢慢地落下了它的帷幕。从整体上来看，今年的考研数学试卷依旧延续了以往的特点：覆盖广泛、重点突出，着重考查了“三基与五能力”。即对基本概念、基本原理、基本方法、数学计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、利用数学知识分析并解决实际问题的能力、概括能力的考查。从难度上看，2020年数学一与2019年稍难，特色特别鲜明。下面我们来具体分析: 选择题，高等数学考查了无穷小的比较、导数定义、多元函数可微定义、阿贝尔定理等知识点难度适中，但灵活性较强，对学生的基本功要求较高。 线性代数涉及了线性表出、初等变换两个考查对象，其中线性表示与空间直线进行关联，有一定的难度。 概率与统计考查了中心极限定理，这个考点有点意料之外，但如果知道中心极限定理的意义还是比较简单的。 填空题，高等数学涉及了∞-∞极限计算、参数方程求导、反常积分计算、偏导计算都属于常规考点，比较简单。 线性代数考查了四阶行列式的计算，难度不大。 概率考到了协方差的计算，属于概念题，容易上手。总的来说，填空题没有难度。 解答题部分主要考查综合考查了计算能力、分析和解决问题的能力，突出了综合性和计算量大的特点，其中高等数学有二元函数极值的计算、第二类曲线积分的计算、第二类曲面积分的计算、无穷级数的求和问题和中值定理的相关证明。中值定理的证明一直都是考生的弱项，得分率会比较低；第二类曲面积分的计算难度较大，考生们的计算方法主要来自高斯公式，但今年的题目却要求利用原始定义、即化为二重积分计算，许多考生没想到，得分率

会低一些；其他的题目都在可控范围内，由此可发现2020考研数学一较2019难一点。 线性代数比较简单，第20考查了矩阵的可逆性判定及相似对角化的判定问题，属于常规考点，难度不大。第21题考查了二次型的标准型问题，属于常规题型，较易完成。 概率论与数理统计第22题考查了分布函数的求解，主要是利用全概率公式，这在以往的真题中比较常见；第23依旧考查最大似然估计，极为常见，难度不大。 综上，2020年数学一，高等数学难度稍大于2019，出高分比较难。 结合2020年考研数学特点，我们建议备考2021年考研的考生注意以下几个问题：（1）重视基础。研究生入学考试是个选拔性考试但同时也是一个面向大众化的考试，不是竞赛，所以普通题目肯定占了绝大多数，考生们只要抓住“三基”就可做到以不变应万变。建议考生从当年1至6月认真读书，整理笔记、打牢基础。 （2）重视计算，眼界放宽，突出特色。数学一难的就是综合性强，覆盖面广，考生摸不清考试方向。建议考生可在7-10月强化学习中，认真总结和归纳重点题型和方法，通过练习和常见结论迅速提高运算能力,同时能明确考纲中数学一的特色知识，例如空间解析几何与向量代数、曲线曲面积分、空间曲线的切法与法平面、空间曲面的切平面与法线、傅里叶级数等。 （3）重视真题。考研数学已经历30多年，其中产生的规律、套路不容抹杀，考生应有效利用。建议考生在11月至考前认真对待真题，反复研究，搞清楚是什么，用什么，为什么方能真正笑傲考场。 最后，祝愿2020考生都能如愿进入理想学府！

历年考研数学三真题(2004-2015)word打印版

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若lim k k x a →∞ =，则221lim lim k k k k x x a +→∞ →∞ ==. (B)若221lim lim k k k k x x a +→∞ →∞ ==，则lim k k x a →∞ = (C) 若lim k k x a →∞ =，则321lim lim k k k k x x a +→∞ →∞ == (D)若331lim lim k k k k x x a +→∞ →∞ ==，则lim k k x a →∞ = 2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 3.设{} 2222(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y D 上连续， 则(,)D f x y dxdy ??= （） 2cos 2sin 420 004 2sin 2cos 42000 4 10 110 ()(cos ,sin )(cos ,sin )()(cos ,sin )(cos ,sin )()2(,)()2(,)x X A d f r r rdr d f r r rdr B d f r r rdr d f r r rdr C dx f x y dy D dx f x y dy π π θ θ πππ θ θ πθθθθθθθθθθθθ++?? ?? ?? ?? ?? ? 4.下列级数中发散的是（） （A ）13n n n ∞ =∑ (B)11)n n ∞=+ (C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑ (D)1! n n n n ∞ =∑ 5.设矩阵22111112,,14A a b d a d ???? ? ? == ? ? ? ????? 若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的 充分必要条件为（） (),A a d ?Ω?Ω (),B a d ?Ω∈Ω (),C a d ∈Ω?Ω (),D a d ∈Ω∈Ω 6.设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为222 1232y y y +-，其中

2017考研数学：梳理框架的重要性

2017考研数学：梳理框架的重要性 2017考研复习还剩下几天时间，这个期间相信所有考生最重视的事情就是复习的效率。现今社会生活节奏日益加快，考研也是一样，在最短的时间里获得最多的知识就可以说已经成功了一大部分。而针对考研数学的学习特点，因为要掌握各种题型的解法和技巧，所以对考察考生的思维能力是比较关键的对象。在短时间内要做到掌握陌生题型的所有方法和技巧可以说是很难达到的，在此提醒广大考生，可以通过请教的方式获取更直接的正确解题技巧，可以询问老师或有经验的前辈。 考生在做文科复习的时候，基本上就明白了为章节之间做出概要和总结找出章节中的联系有多重要，但是对于数学很多考生还是拘泥于背概念和做题上，无法找出知识点之间的联系。 1.其实任何学科知识点的框架化都十分的重要。 我们在做题之余还要注重各章节之间的内在联系，数学考试中会有很多应用到多个知识点的综合性试题和应用型试题。这个类型的题目都比较灵活，难度很大。对综合性的典型考题的分析，来提高自身解决综合性问题的能力。 2.数学有其自身的规律，其表现的一个重要特征就是各知识点之间、各科目之间的联系非常密切，这种相互之间的联系给综合命题创造了条件，因而考生应进行综合性试题和应用题训练。 养成良好的做题习惯，认真的用心去做，遇到陌生的题型要积极自己进行思考并联想关联的知识点，在复习多注意其知识点带来的新题型的解法，平时将遇到的难题多进行翻看，时间长了你对难题的应对能力也就会有很大的提高。对于复合型的难题，要积累自己的解题思路，将每个知识点有机的结合起来。真正的将书本上的知识转化成自己真正学到并可以灵活运用的东西。 3.数学题型以灵活性著称，大多数同学都会为此感到头疼。 数学题型虽然千变万化，但其知识结构却基本相同。一般来讲只要用心去理解了就可以得出比较方便的解题套路熟练掌握后既能提高解题的针对性，又能提高解题速度和正确率。我们都知道基本概念、基本方法、基本性质是考研数学复习的根基。线性代数的概念比较抽象，方法与性质也有相应的适用条件。 在平时的复习中就要有很扎实的基础，线性代数的知识点是三大科目里最少的，但基本概念和性质较多，他们之间的联系也比较紧密。掌握知识点之间的联系与区别，对大家处理其他低分值试题也是有助益的。 最后预祝广大考生可以在2017考研冲刺复习中一举拿下数学，在考试中有一个良好的发挥。 对于正在忙碌考研的考生来说，试题所考什么样的类型是很关心的。也有不少同学做了自己的预测，也就是所谓的押题!在这里老师们依据最近几年的考研数学考试大纲以及真题所考类型，概括出以下几个重点题型来供大家参考，助同学们考研成功! 题型一向量的线性相关性 向量的线性相关性是最近几年考研数学真题中线性代数的一个常考题型，比如在2014

考研数学分析重要考点归纳

考研数学分析重要考点归纳 1.1考点归纳 一、数列极限 1．定义 设{an}是一个数列，，对?ε＞0，?正整数N，当时，有，则称{an}收敛于a，则a称为数列的极限，记作． （1）无穷小数列：； （2）无穷大数列：；

（3）发散数列：若极限不存在，则称为发散数列； （4）收敛?的任何子列都收敛． 2．性质 （1）唯一性 收敛数列{an}只有一个极限． （2）有界性 若{an}收敛，则?正数M，对?n∈N*有． （3）保号性 若（或＜0）则对或（），?正数N，当n＞N时有an＞a′（或an＜a′）．

（4）保不等式性 收敛数列{an}与{bn}．若?正数N0，当n＞N0时有a n≤bn，则 （5）夹逼性 设{an}，{bn}都收敛于a，{cn}满足：?正数N0，当n＞N0时有 则{cn}收敛，且 3．四则运算

4．单调有界定理 单调且有界的数列一定存在极限． 5．柯西收敛准则 {an}收敛?对?ε＞0，?正整数N，当n，m＞N时有 二、函数 1．函数三要素 定义域值域对应法则

2．性质 （1）有界性 若?正数M，对?x∈D有 则称f在D上有界． （2）单调性 ①单调递增对?x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）； ②单调递减对?x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）． （3）奇偶性 D关于原点对称 ①奇函数f（－x）＝－f（x），图像关于原点对称； ②偶函数f（－x）＝f（x），图像关于y轴对称． （4）周期性 若?T＞0，对一切x∈D，x＋T∈D，有f（x＋T）＝f（x），称T为函数f的周期，T的最小值称为最小正周期． 3．分类 （1）复合函数 形如y＝f（g（x）），u＝g（x）的函数称为复合函数，对于每一个x，经过中间变量u，都得到唯一确定的y值，其中u＝g（x）的值域不能超过y＝f（u）的定义域． （2）反函数

2004年考研数学三真题及解析

2004年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f u v ?= ??. (3) 设?? ???≥ -<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=?. (4) 二次型2 132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______. (6) 设总体X 服从正态分布),(2 1σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2 ,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==?? -+-????=??+-?????? ∑∑. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2 ) 2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞ →)(lim ， ?????=≠=0 ,00 ,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则 (A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题： (1) 若 ∑∞=-+1 212)(n n n u u 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛.

2016考研数学近五年考试6大特点分析

2016考研数学近五年考试6大特点分析 2016考研数学大纲已发布，经过将新大纲与去年的大纲进行比对后发现，基本无变化。我们通过对近五年考试特点的分析，指导大家如何备考。 ?重视计算 计算能力可以说是现在考研的第一能力。2013-2015年的题的计算量都比较大，良好的计算习惯，同学们要从打草稿开始。今年，2016年命题专家在数学考试分析中又说了一句话：考生在复习的过程中要克服满足于知晓运算过程眼高手低的毛病，要真正动手计算，在实践中提高计算能力，这一点希望要引起大家的重视。 计算，是命题专家这两年一直强调一个点，就是说考研数学考试的计算，不是简单的数字计算，是对概念和算理的一个考察，同学们计算上的共性，一个是计算能力弱，第二个是我们觉得计算没有找到好方法，以致于算得慢，做得烦。这一点需要大家注意。 ?三基本 70%的题是考察三基本。数学基础知识的考察要求既全面又突出重点，注意层次，重点知识是学习支撑体系的主要内容，考察时要达到较高的比例并要达到必要的深度。重点内容重点考，还要达到一定的深度。 在2015年的真题中，大家可以看到考试中心比较强调基础的。在数一数三的题当中有一个公用大题十分是同济教材六版88页的定理的证明，这是比较基础的，直接考教材中定理。这个题的得分率，数一只有0.5，数三0.42，说明其实考的并不理想。所以现阶段同学们复习还要注重核心的，基础的内容。 再比如说利用泰勒公式求极限，这一届命题组是很稳定的，每年必考的这种问题。那么即便是数三的同学也要注意，泰勒公式可能是了解的。但是这是求极限的一种核心的方法，这个题用泰勒公式做显然是简单的，2015年数一数三这个题也是利用泰勒公式，核心方法重点考察，重复考察，所以这一点。 ?应用必考 继续加强应用性的考察，应用性是数学学科的特点。解答数学应用题是分析问题和解决问题能力的高层次的反应，反应出考生的创新意识和实践能力，所以实践中应该有所体现。2015年试卷中数二的物理应用得分率是0.319，数三一个经济应用，这个还是比较常见的，

2017年考研数学三真题与解析

2017年考研数学三真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z x x xy y ?=--?， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x ????=-=-==-?????? 解方程组2 2320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足 230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4． 若级数 21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-

考研数学试卷分析

考研数学试卷分析 第一，总体难度不大，但覆盖面广。 试卷中高等数学占78%，分数值约为116分，线性代数占22%，分数值约为 34分。试卷结构为单选题8个，填空题6个，解答题9个(包括证明题)。选择 题1至6题考查高等数学知识点，7至8题考查线性代数知识点，填空题9至 13题考查高等数学知识点，14题考查线性代数知识点，解答题15至21题考查高等数学知识点，22至23题考查线性代数知识点。 如高等数学部分，试题中微积分部分涉及到的知识点有：求极限(数列极限、函数极限)；无穷小的比较，连续与间断的判定，零点定理的应用；极限与导数的关系；根据导数的定义以及几何意义证明结论，求法线方程；隐函数求导； 导数的应用如微分中值定理，函数的极值，最值求法，拐点坐标；不定积分， 反常积分的求法；定积分的应用；二元函数的连续性，偏导数的求法；二重积 分的计算、线性微分方程的求解。 线性代数涉及知识点有：伴随矩阵与矩阵的关系；向量组的线性相关性， 非齐次方程组解的判定条件、特征值特征向量的计算、矩阵相似对角化的充分 条件。 第二，考研数学仍然侧重对基础知识运用的考查。 考研数学题目还是强调了“三基本”，即数学考试的目的就是对基本概念、 基本性质、基本原理的考察，这类考试性质没有变。考查学生的数学掌握水平，是否具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力等。具体来说，从整体试卷来看，题目对知识点的综合性要求还是较高、题目具有一定的 灵活性。试卷中仍然还是微积分部分的难度高于线性代数的难度。今年的考题 包括一些选择题，如果平常复习仅仅是死记硬背，对于知识点不能灵活掌握运用，这种题做起来会有困难。

2012年考研数学三真题及标准答案

２0１2年考研数学三真题 一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。下列每题给出的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。） (1)曲线y=x 2+x x2?1 渐近线的条数为 (Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。 【解析】 由lim x→+∞y=lim x→+∞ x2+x x2?1 =1=lim x→?∞ y=lim x→?∞ x2+x x2?1 ， 得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； 由lim x→1y=lim x→1 x2+x x?1 =∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线； 由lim x→?1y=lim x→?1 x2+x x?1 =1 2 得x=?1不是曲线的渐近线; 综上所述，本题正确答案是C 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线 (2)设函数f(x)=(e x?1)(e2x?2)?(e nx?n)，其中n为正整数， 则f′(0)= （A）(?1)n?1(n?1)! (B)(?1)n(n?1)! （C)(?1)n?1(n)! (D）(?1)n(n)! 【答案】A 【解析】 【方法1】

令g (x )=(e 2x ?2)?(e nx ?n)，则 f (x )=(e x ?1) g (x ) f ′(x)=e x g (x )+(e x ?1)g′(x ) f ′(0)= g (0)=(?1)(?2)?(?(n ?1)) =(?1)n?1(n ?1)! 故应选Ａ． 【方法2】 由于f (0)=0,由导数定义知 f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0 (e x ?1)(e 2x ?2)?(e nx ?n)x =lim x→0(e x ?1)x ?lim x→0(e 2x ?2)?(e nx ?n) =(?1)(?2)?(?(n ?1))=(?1)n?1(n ?1)!. 【方法3】 排除法，令n =2,则 f (x )=(e x ?1)(e 2x ?2) f ′(x )=e x (e 2x ?2)+2e 2x (e x ?1) f ′(0)=1?2=?1 则（B)(C)（D)均不正确 综上所述，本题正确答案是(A ） 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ = (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2 (Ｂ) ∫dx 20 ∫f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2

2017考研数学一真题解析

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 （1 ）若函数()0,0f x x b x =>?≤? 在0x =连续，则（ ）。 A. 12ab = B. C. D. x 择（A. B. C. D. 【解析】令2 ()()F x f x =，则有'()2()'()F x f x f x =，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即2 2[(1)][(1)]f f >-，即|(1)||(1)f f >-，故选择C 。 （3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r 的方向导数为（ ）。 A.12 B.6

C.4 D.2 【答案】D 【解析】2{2,,2}gradf xy x z =，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0} gradf =，则有122 {4,1,0}{,,}2||333 f u grad u u ?=?==?。 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）。 A. 010t = B. 01520t << C. 025t = D. 025t > 【答案】C 【解析】从0到0t 时刻，甲乙的位移分别为0 10 ()t v t dt ? 与0 20 ()t v t dt ?，由定积分的几何意义 可知， 25 210 (()()201010v t v t dt -=-=? ，因此可知025t =。 （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 维单位矩阵，则（ ）。 A. T E αα-不可逆 B. T E αα+不可逆

2004考研数一真题及解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ . (3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分?-L ydx xdy 2的值为__________. (4)欧拉方程)0(0242 22 >=++x y dx dy x dx y d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001?? ??=?? ???? A ,矩阵 B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ . (6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把+ →0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x x x ???===03002 sin ,tan ,cos 2 γβα,使排在后面的 是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >

考研数学试题解析

考研数学试题解析 考研数学试题解析 一、问题求解（本大题共5小题，每小题3分，共45分）下列每题给出5个选项中，只有一个是符合要求的，请在答题卡上将所选择的字母涂黑。 1、某家庭在一年支出中，子女教育支出与生活资料支出的比为3:8，文化娱乐支出与子女教育支出比为1:2。已知文化娱乐支出占家庭总支出的10.5%，则生活资料支出占家庭总支出的（） （A）40%（B）42%（C）48%（D）56%（E）64% 【解析】：D。文化：子女：生活=3:6:16，所以。 2、有一批同规格的正方形瓷砖，用他们铺满整个正方形区域时剩余180块，将此正方形区域的边长增加一块瓷砖的长度时，还需要增加21块瓷砖才能铺满，该批瓷砖共有（） （A）9981块（B）10000块（C）10180块（D）10201块（E）10222块 【解析】：C。设原边长为a，则。 3、上午9时一辆货车从甲地出发前往乙地，同时一辆客车从乙地出发前往甲地，中午12时两车相遇，货、客车的速度分别是90千米/小时、100千米/小时。则当客车到达甲地时，货车距乙地的距离是（） （A）30千米（B）43千米（C）45千米（D）50千米（E）57千米 【解析】：E。设甲乙相距S，则S=(100+90)×3=570，客车到甲地时时间570÷100=5.7小时，货车距乙地570-90×5.7=57。

4、在分别标记了数字1、2、3、4、 5、6的6张卡片中随机取3张，其中数字之和等于10的概率（） （A）0.05（B）0.1（C）0.15（D）0.2（E）0.25 【解析】：C。1,3,6；1,4,5；2,3,5。 5、某商场将每台进价为2000元的冰箱以2400元销售时，每天销售8台，调研表明这种冰箱的售价每降低50元，每天就能多销售4台。若要每天销售利润最大，则冰箱的定价应为（） (A)2200（B）2250（C）2300（D）2350(E)2400 【解析】：B。设降低x个50元，则(400-50x)·(8+4x)=(800-100x)·(200+100x), 当800-100x=200+100x，x=3，所以定价为2250 6、某委员会由三个不同的专业人员组成，三个专业人数分别是2,3,4，从中选派2位不同专业的委员外出调研，则不同的选派方式有（） （A）36种(B)26种（C）12种（D）8种（E）6种 【解析】：A。。 7、从1到100的整数中任取一个数，则该数能被5或7整除的概率为（） （A）0.02（B）0.14（C）0.2（D）0.32（E）0.34 【解析】：D。能被5整除的100个，能被7整除的14个，能被35整除的2个；(20+14-2)÷100=0.32。 8、如图1，在四边形ABCD中，AB//CD，AB与CD的边长分别为4和8，若△ABE的面积为4，则四边形ABCD的面积为（） (A）24（B）30（C）32（D）36（E）40 【解析】：D。

2017年考研数学一真题与解析

2017年考研数学一真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．若函数1cos 0(),0x x f x b x ?->? =?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 3．函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为 （A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】 22,,2f f f xy x z x y z ???===???，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为 ()01 4,1,0(1,2,2)23f gradf n n ?=?=?=?u u r r 应该选（D ） ４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t > 【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线

考研数学满分(150分)的独家经验

以下是我对如何选择数学辅导书的建议： 第一轮：陈文灯、黄先开《数学复习指南》＋辅导班笔记（无论你在哪里上的辅导班），可以说这本书在数学复习方面雄踞头榜，我周围的人几乎人手一册，连续多年热销，说明它还是比较实用的。 （第一轮复习用书中能与其有一拼的是李正元、李永乐的《数学复习全书》，没看过，不好评论。）如果考生在10月底前能将其看完，数学复习已经有了一个很好的基础，不妨与辅导班笔记结合在一起看，比如辅导班20次课，每次的内容用3-4天处理完，包括笔记和《复习指南》的对应章节，这样不到三个月就能把数学详细的复习一遍。还要强调一点，辅导班的笔记应该认真看，而且不宜隔太久。 第二轮：陈文灯、黄先开主编的《题型集粹与练习题集》是供第二轮复习用的，如果在经历了首轮复习之后，自我感觉效果很好、复习的很扎实，用这本《题型集粹与练习题集》是比较合适的。如果复习的很仓促，效果不理想，可以看李永乐主编的《基础过关660》，这本书把知识点又梳理了一遍，题目也比较好。 模拟冲刺阶段：2005年市场上主要的模拟题有陈文灯主编的《数学最后冲刺》、李永乐主编的《数学经典400题》、胡金德主编的《数学预测试卷》、和赵达夫主编的《数学模拟考场》，这几本书我一本也没买，因为所在的学校开办的数学冲刺班上的14套卷子已经够多了，而且这些题的质量也很不错，是数学系老师“集体智慧的结晶”，关于以上那公开发行的五本书，综合周围朋友的意见，点评如下： 陈文灯主编的《数学最后冲刺》：题目简单，据考研论坛上有网友提供的消息，文灯大师在北京的冲刺班上称这套题是假的； 李永乐的《数学经典400题》：难，和朋友讨论过上面的题目，一道小题可能就综合了几个知识点； 胡金德《数学预测试卷》：难，周围不少人做后备受打击； 至于文灯学校免费向学员发放的两套模拟题，黄先开老师在暑期班上说这是对暑假讲义的补充，用他的话说是“把我们后来发现的新题以模拟题的形式免费发给大家”，所以值得一做。

2017年考研数学一真题及答案解析

2017年考研数学一真题及答案解析

2017年考研数学一真题及答案解析 跨考教育 数学教研室 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数 1cos 0(),0x x f x b x ?->? =?≤? 在0x =处连续，则（ ） ()()1 1()2 2 ()02 A ab B ab C ab D ab = =-== 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0x =处连续11. 22 b ab a ∴=?=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ） ()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1) (1)(1) A f f B f f C f f D f f >-<->-<- 【答案】C 【解析】' ()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >?>∴?>?Q 或()0 (2)'()0 f x f x

（3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导 数为（ ） ()12 ()6 ()4 ()2 A B C D 【答案】D 【 解 析 】2(1,2,0) 122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333 f u gradf xy x z gradf gradf u ?=?=? =?=?=? 选D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单 位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1 ()v v t =（单位：/m s ） ，虚线表示乙的速度曲线2 ()v v t =，三块阴影部分面积的数值 依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0 t （单 位：s ），则（ ） 0510********() s (/) v m s 10 20 0000()10()1520()25()25 A t B t C t D t =<<=> 【答案】B

数学一2004年考研真题及答案解析

1 2004年数学一试题分析、详解和评注 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y . 【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。 【详解】 由11)(ln =='='x x y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-?=-x y ， 即 1-=x y . 【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为1100==' =x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-?=-x y ， 即 1-=x y . 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知x x xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)= 2)(ln 2 1x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可。 【详解】 令t e x =，则t x ln =，于是有 t t t f ln )(= '， 即 .ln )(x x x f =' 积分得 C x dx x x x f +==?2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x . 【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。 完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题. （3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分?-L ydx xdy 2的值为 π2 3 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周22 2=+y x 在第一象限中的部分，可表示为 .20:, sin 2,cos 2πθθθ→???==y x 于是 θθθθθπd ydx xdy L ]sin 2sin 22cos 2cos 2[220?+?=-?? =.2 3sin 22 02πθθππ =+?d 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可. 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7 .

1997考研数学一真题及答案详解

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1) 201 3sin cos lim (1cos )ln(1) x x x x x x →+=++ . (2) 设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3,则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 . (3) 对数螺线e θ ρ=在点2(,)(, )2 e π π ρθ=处的切线的直角坐标方程为 . (4) 设12243311A t -????=?? ??-?? ,B 为三阶非零矩阵,且0AB =,则t = . (5) 袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一 球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 二元函数22 , (,)(0,0),(,)0, (,)(0,0)xy x y x y f x y x y ?≠?+=??=? 在点(0,0)处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 (2) 设在区间[,]a b 上()0,()0,()0,f x f x f x '''><>令12(),()()b a S f x dx S f b b a ==-?, 31 [()()]()2 S f a f b b a =+-,则 ( ) (A) 123S S S << (B) 213S S S << (C) 312S S S << (D) 231S S S << (3) 2sin ()sin ,x t x F x e tdt π += ? 设则()F x ( ) (A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数 (4) 设111122232333,,,a b c a b c a b c ααα???????????? ===?????????????????? 则三条直线1110a x b y c ++=,2220a x b y c ++=,

2020考研数学一真题参考2004答案解析

2020年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________ . (2)已知,且,则=__________ . (3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为__________. (4)欧拉方程的通解为__________ . (5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________ . (6)设随机变量服从参数为的指数分布,则= __________ . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A) (B) (C) (D) (8)设函数连续,且则存在,使得 (A)在(0,内单调增加 (B)在内单调减少 (C)对任意的有 (D)对任意的有 ln y x =1=+y x (e )e x x f x -'=(1)0f =()f x L 222=+y x ?-L ydx xdy 2)0(0242 22 >=++x y dx dy x dx y d x 210120001????=?????? A B ** 2=+ABA BA E *A A E B X λ}{DX X P >+ →0x dt t dt t dt t x x x ???===03002 sin ,tan ,cos 2 γβαγβα,,βγα,,γαβ,,αγβ,,()f x ,0)0(>'f 0>δ()f x )δ()f x )0,(δ-),0(δ∈x ()(0)f x f >)0,(δ-∈x ()(0)f x f >

2017考研数学一真题及答案

2017考研数学一真题及答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1 ）若函数1,0(),0x f x ax b x ?->? =??≤? 在0x =处连续，则（ ） ()()11()2 2()02 A ab B ab C ab D ab = =-== 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0 x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设函数()f x 可导，且' ()()0f x f x >，则（ ） ()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1) (1)(1) A f f B f f C f f D f f >-<->-<- 【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >?>∴? >?Q 或()0 (2)'()0 f x f x

2 选D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ） () s 0000()10 ()1520()25()25A t B t C t D t =<<=> 【答案】B 【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为 120 (t),(t),t t v dt v dt ? ?则乙要追上甲，则 210 (t)v (t)10t v dt -=? ，当025t =时满足，故选C. （5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ） ()()()()22T T T T A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆 不可逆 【答案】A 【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T E x 有非零解，故0αα-=T E 。 即αα-T E 不可逆。选项B,由()1ααα=T r 得ααT 的特征值为n-1个0，1.故αα+T E 的 特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。 （6）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ????????????===?????????????????? ,则（ ）