《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录

抽取的次数。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选

举的结果。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次

品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察

装球的情况。

（10） 测量一汽车通过给定点的速度。

（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1） A 发生，B 与C 不发生。

（2） A 与B 都发生，而C 不发生。

（3） A ，B ，C 都发生。

（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。

（5） A ，B ，C 都不发生。

（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。

（7） A ，B ，C 中至多于二个发生。

（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。

3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式

（1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。

4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，?

?????<≤=234

1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。

5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ，

B ，

C 至少有一个发生的概率。

6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。

（1） 求恰有90个次品的概率。

（2） 至少有2个次品的概率。

7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？

（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？

8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求

第4只次品管子在下列情况发现的概率。

（1） 在第5次测试发现。

（2） 在第10次测试发现。

9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一

事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。

10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概

率。

（1） 二只都是正品。

（2） 二只都是次品。

（3） 一只是正品，一只是次品。

（4） 第二次取出的是次品。

11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率

是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

12. 某工厂中，机器321,,B B B 分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%

的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器321,,B B B 生产的概率分别是多少？

13. 将二信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的

概率为0.01。信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？

14. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p ，且设各继电器接点

闭合与否相互独立。求L 至R 连通的概率是多少？

L R

15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一次

而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。

16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X 表示取出的三只球中的最大号

码，写出随机变量X 的概率质函数。

17. （1）设随机变量X 的概率质函数为!}{k a k X P k

λ==，0,,2,1,0>=λ k 为常数，试确定常数a 。

(2) 设随机变量X 的概率质函数为N

a k X P ==}{，1N ,,2,1,0k -= ，试确定常数a 。

18. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5

次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。

19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）

每分钟的呼唤次数大于10的概率。

20. 设随机变量X 的分布函数为

?????<≥-=-.

0,0,

0,1)(x x e x F x

（1） 求}3{},2{>≤X P X P ， （2）求概率密度)(x f 。

21. 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为160=μ，

σ的正态分布，若要求80.0}200120{≥≤

22.

求X Y =的概率质函数。

23. 设X 的概率密度为

?????<<=其它

,00,2)(2ππx x

x f ，求sinX Y =的概率密度。

24. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

?????

≤

≤≤≤+=其它.

,0,20,10,3),(2y x xy x y x f

求}1{≥+Y X P 。

25. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

???≤≤=其它.,0,10,1)(x x f X ?????≤>=-.000)(y ,,

y ,e y f y Y

试求随机变量Z=X+Y 的概率密度。

26. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

),2exp(21),(22

2

2σπσy x y x f +-=+∞<<∞-+∞<<-∞y x ,。

求22Y X Z +=的概率密度。

27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从)20,160(2N 分布，随机地选取4只，求其中没有一

只寿命小于180 小时的概率。

28. 设随机变量X 的概率质量函数为

求)(),(),(53X E X E X E +。

29. 设X 服从二项分布，其概率质量函数为

{}.10.,,2,1,0,)1(<<=-???

? ??==-p n k p p k n k X P k n k 求)(X E 和)(X D 。 30. 设X 服从泊松分布，其概率质量函数为

{}.0,,2,1,0,!

>===-λλλ

k k e k X P k 求)(X E 和)(X D 。 31. 设X 服从均匀分布，其概率密度函数为

?????<<-=，

其它0,,1)(，b x a a b x f 求)(X E 和)(X D 。

32. 设X 服从正态分布，其概率密度函数为

()+∞<<∞->???

?????-=x x f ,02-x exp 21)(22σσμσπ，。 求)(X E 和)(X D 。

33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。以X 表示

其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E [X]，D[X]。

34. 对于任意两个随机变量X ，Y ，证明下式成立：

（1） ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+；

（2） )()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。

35. 设随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-000x ,

x ,e f(x)x 。求（1）Y=2X ，（2）x e Y 2-=的数学期望。 36. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为

???<<<<=其它，,

x,y ,x K,y)f(x,0010 试确定出常数K ，并求)XY (E 。 37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契比雪夫不等式估计每

毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。

38. 设随机变量X 的概率密度函数为??

???≤>=-000x ,x ,e )x (f x λλ，其中0>λ为常数。求)(X E 和)(X D 。

39. 设随机变量X 的概率密度函数为??

???≤>-=0,00),2exp()(222x x x x x f σσ，其中0>σ为常数。求)(X E 和)(X D 。

40. 设随机变量X 的概率质量函数为{}1-==k pq k X P ， ,,k 21=。其中p q ,p -=<<110为常数，则称X

服从参数为p 的几何分布。试求)(X E 和)(X D 。

41. 设随机变量(X ，Y)的概率密度函数为.20208

1≤≤≤≤+=y ,x ,)y x ()y ,x (f 。求)(X E 、)Y (E 、)Y ,X (Cov 。 42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它

们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。

（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？

43. (1)一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。

为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。

(2)一个复杂的系统，由n 个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。

44. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每

个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。