离散数学答案陈志奎
第1章 命题逻辑
P7 习题
1. 给出下列命题的否定命题： （1）大连的每条街道都临海。
否命题：不是大连的每条街道都临海。 （2）每一个素数都是奇数。
否命题： 并非每一个素数都是奇数。 2. 对下述命题用中文写出语句： （1）()P R Q ?∧→ 如果非P 与R ，那么Q 。 （2）Q R ∧ Q 并且R 。
3. 给出命题P Q →，我们把Q P →、P Q ?→?、Q P ?→?分别称为命题P Q →的逆命题、反命题、逆反命题。
（1）如果天不下雨，我将去公园。
解：逆命题：如果我去公园，则天不下雨； 反命题：如果天下雨，则我不去公园；
逆反命题：如果我不去公园，则天下雨了。 （2）仅当你去我才逗留。
解：（此题注意：p 仅当q 翻译成p q →） 逆命题：如果你去，那么我逗留。 反命题：如果我不逗留，那么你没去。 逆反命题：如果你没去，那么我不逗留。 （3）如果n 是大于2的正整数，那么方程n
n n x
y z +=无整数解。
解：逆命题：如果方程n
n n x
y z +=无整数解，那么n 是大于2的正整数。
反命题：如果n 不是大于2的正整数，那么方程n
n n x y z +=有整数解。
逆反命题：如果方程n
n n x
y z +=有整数解，那么n 不是大于2的正整数。
（4）如果我不获得更多的帮助，那么我不能完成这项任务。
解：逆命题：如果我不完成任务，那么我不获得更多的帮助。 反命题：如果我获得了更多的帮助，那么我能完成任务。 逆反命题：如果我能完成任务，那么我获得了更多的帮助。 4. 给P 和Q 指派真值T ，给R 和S 指派真值F ，求出下列命题的真值。 （1）(()(()()))P Q R Q P R S ?∧∨?∨??→∨?
=(()(()()))T T F T T F F ?∧∨?∨??→∨? =()T F T ?∨→ =T F ∨ =T
（2）()Q P Q P ∧→→ =()T T T T ∧→→ =T T T ∧→ =T T →
=T
（3）((()))()P Q R P Q S ∨→∧??∨?
=((()))()T T F T T F ∨→∧??∨? =(())T T F T ∨→? =T T ? =T
（4）()()P R Q S →∧?→ =()()T F T F →∧?→
=()F F F ∧→
=F
5. 构成下来公式的真值表： （1）()Q P Q P ∧→→
（2）()()()P Q R P Q P R ?∨∧?∨∧∨
（3）()P Q Q P P R ∨→∧→∧?
（4）()P P Q R Q R ?→∧?→∧∨?
6. 使用真值表证明：如果P Q ?为T ，那么P Q →和Q P →都是T ，反之亦然。
由上表可知：当P Q ?为T 时，P Q →和Q P →都是T ；P Q →和Q P →为T 时，
P Q ?为T 。故命题得证。
7. 使用真值表证明：对于P 和Q 的所有值，P Q →与P Q ?∨有同样的真值。
8. 一个有两个运算对象的逻辑运算符，如果颠倒其运算对象的次序，产生一逻辑等价命题，则称此逻辑运算符是可交换的。
（1）确定所给出的逻辑运算符哪些是可交换的：∧，∨，→，?。 （2）用真值表证明你的判断。 解：（1）∧，∨，?是可交换的。
9.设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果()x y z **和()x y z **逻辑等价，那么运算符*是可结合的。
（1）确定逻辑运算符∧，∨，→，?哪些是可结合的？ （2）用真值表证明你的判断。 解：（1）,,∧∨?是可结合的。
10. 令P表示命题“苹果是添的”，Q表示命题“苹果是红的”，R表示命题“我买苹果”。
试将下列命题符号化：
（1）如果苹果甜而红，那么我买苹果。
（2）苹果不是甜的。
（3）我没买苹果，因为苹果不红也不甜。
∧→
解：（1）P Q R
?
（2）P
?→?∧?
（3）R P Q
P15 习题
1. 指出下面命题公式哪些是重言式、永假式或可满足式。
解：
（1）重言式
∨?=
P P T
（2）永假式
P P F
∧?=
（3）重言式
→??=
()
P P T
（4）重言式
?∧??∨?=?∨???∨?=
P Q P Q P Q P Q T
()()()()
（5）重言式
P Q P Q P Q P Q T
?∨??∧?=?∧???∧?=
()()()()
（6）重言式
→??→?
()()
P Q Q P
=()()P Q Q P T ?∨?∨?=
（7）重言式
(()())()P Q Q P P Q →∧→??
=()()P Q P Q T ???=
（8）重言式
()()P Q R P Q P R ∧∨→∧∨∧
=(()())()P Q P R P Q P R ∧∨∧→∧∨∧
=()()P Q P R P Q P R ∧∨∧→∧∨∧
=T （9）重言式 P P Q ∧?→
=F Q T →=
（10）可满足式
P Q Q ∨?→
=()P Q Q P Q Q ?∨?∨=?∧∨，当Q 为真时公式为真，Q 为假时公式为假。故为可
满足式。 （11）重言式
P P Q P P Q T →∨=?∨∨=
（12）重言式
()P Q P P Q P P Q P T ∧→=?∧∨=?∨?∨=
（13）可满足式
()()P Q P P Q ∧???的真值表如下：
（14）可满足式
(()())(()())P Q R S P R Q S →∨→→∨→∨
=()()P Q R S P R Q S ?∨∨?∨→?∧?∨∨ =(()())(()())P R Q S P R Q S ?∨?∨∨→?∧?∨∨
当Q 或S 有一个为真时公式为真；当Q 和S 均为假时，若P 和R 真值相同时，公式
为真；真值不同时，公式为假。故公式是可满足式。
2. 写出与下面给出的公式等价并且仅含有联接词∧与?的最简公式。 （1）((()))P Q R P ??→∨
(((()))((())))(()(()))(())()()
P Q R P Q R P P P Q R P Q R P P T Q R P P Q R P P P P Q R ??→→∨∧→∨→???∨?∨∨∧?∨∨→??∧∧?∧?∨??∧?∧?∨??∧??∧∧?
（2）(())()P Q R P R ∨→→∨
(())()(())()(())()()(()())()()()
()
P Q R P R P Q R P R P Q R P R P Q P R P R
P Q R P R P Q R R P R P Q R P Q R ??∨∨→∨???∨∨∨∨?∨∧?∨∨?∨∨∧?∨∨?∨∧?∨∨?∨∨∧?∨∨?∨∨???∧?∧?
（3）P Q R ∨∨?
()P Q R ???∧?∧
（4）()P Q R P ∨?∧→
(())()
()
P Q R P P Q R P P Q R
P Q R ?∨??∧∨?∨∨?∨?∨∨????∧?∧
（5）()P Q P →→
()()P Q P P Q P T
?→?∨??∨?∨?
3. 写出与下面的公式等价并且仅含联结词∨和?的最简公式。 （1）()P Q P ∧∧?
P Q P F
?∧∧??
（2）(())P Q Q P Q →∨?∧?∧
()()
P T P Q T P Q P Q P Q ?→∧?∧?∧?∧??∧??∨?
（3）()P Q R P ?∧?∧?→
()
()()()()
P Q R P P Q R P Q P P Q R F P Q R P Q R ??∧?∧∨??∧?∧∨?∧?∧??∧?∧∨??∧?∧??∨∨?
4. 使用常用恒等式证明下列各式，并给出下列各式的对偶式。 （1）()()P Q P Q P ??∨?∨??∨? 证明：
()()()()
()
P Q P Q P Q P Q P Q Q P T P
??∨?∨??∨?∧∨∧??∧∨??∧?
对偶式：()()P Q P Q P ??∧?∧??∧?
（2）()()()()P Q P Q P Q P Q ∨?∧∨∧?∨????∨ 证明：
()()()(())()()
()()()()
P Q P Q P Q P Q Q P Q P P Q P P P Q P Q P Q ∨?∧∨∧?∨??∨?∧∧?∨??∧?∨??∧?∨∧??∧????∨
对偶式：()()()()P Q P Q P Q P Q ∧?∨∧∨?∧????∧
（3）(())Q P Q P T ∨??∨∧? 证明：
(())(())
()()()
Q P Q P Q P Q P Q P Q P
P Q P Q T
∨??∨∧?∨??∨∨??∨∧?∨??∧?∨?∧?? 对偶式：(())Q P Q P F ∧??∧∨? 5. 试证明下列合式公式是永真式。 （1）(())P Q P T ∧→? 证明：
(())()P Q P P Q P P Q P T
∧→??∧∨??∨?∨?
（2）(())P Q P F ??∨→?? 证明：
(())(())()P Q P P Q P P Q P P Q P F
??∨→???∨∨???∨∧??∧?∧? （3）()()Q P P Q P →∧?→? 证明：
()()()()()Q P P Q Q P P Q P Q Q P F P
→∧?→??∨∧∨?∨?∧?∨? （4）()()P P P P F →?∧?→? 证明：
()()()()P P P P P P P P P P F
→?∧?→??∨?∧∨??∧?
6. 证明下列蕴含式。 （1）P Q P Q ∧?→ 证明：
()()()()P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q Q T
∧→→??∧∨?∨??∨?∨?∨??∨?∨? （2）()()()P Q R P Q P R →→?→→→ 证明：
(())(()())(())(()())()(())()()P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q R T
→→→→→→??∨?∨→??∨∨?∨??∨?∨→∧?∨?∨??∨?∨→?∨?∨?
（3）P Q P P Q →?→∧ 证明：
()()
()(())
()(()())
()()()()P Q P P Q P Q P P Q P Q P P P Q P Q P Q P Q P Q T
→→→∧?→→?∨∧?→→?∨∧?∨?→→?∨?→→→?
（4）()P Q Q P Q →→?∨ 证明：
(())()(())()(())()
(()())()()()P Q Q P Q P Q Q P Q P Q Q P Q P Q Q Q P Q P Q P Q T
→→→∨???∨∨→∨?∧?∨→∨?∨∧?∨→∨?∨→∨?
（5）()()P P Q P P R Q R ∨?→→∨?→?→ 证明：
(()())()(()())()(()())()()()P P Q P P R Q R T Q T R Q R F Q F R Q R Q R Q R T
∨?→→∨?→→→?→→→→→?∨→∨→→?→→→?
（6）()()Q P P R P P R Q →∧?→→∧??→ 证明：
(()())()(()())()(()())()
()()()()Q P P R P P R Q Q F R F R Q Q F R F R Q Q R R Q R Q R Q T
→∧?→→∧?→→?→→→→→??∨→?∨→→??→?→→?→→→?
7. 对一个重言式使用代入规则后仍为一个重言式，对一个可满足式和一个矛盾式，使用代入规则后，结果如何？对重言式、可满足式和矛盾式，使用替换规则后，结果如何？ 解：对于代入规则：
（1）如果是可满足式，使用代入规则后可能是重言式、可满足式或矛盾式。如：可满足式P Q ∨，将Q 分别替换为P ?，R 分别得到重言式P P ∨?和可满足式P R ∨，对于可满足式P Q ∧，将Q 替换为P ?得到矛盾式P P ∧?。
（2）如果是矛盾式，使用代入规则后仍然是矛盾式。设P 是矛盾式，则P ?是重言式。而对于重言式使用代入规则后仍为重言式，即P '?是重言式，故P '是矛盾式。
对于替换规则：由于替换规则是一种对子公式逻辑上等价的替换，故对于重言式、可满足式和矛盾式使用替换规则后其真值不变。 8. 求出下列各式的代入实例。
（1）((()))P Q P P →→→；用P Q →代P ，用(())P Q P →→代Q 。 解：(((()(()))())())P Q P Q P P Q P Q →→→→→→→→ （2）(()())P Q Q P →→→；用Q 代P ，用P ?代Q 解：(()())Q P P Q →?→?→
P21 习题
1.求下列各式的主合取范式。
（1）()()()P Q R P Q R P Q R ∧∧∨?∧∧∨?∧?∧?
解：
((())(()))()(()())()()()
()()()()
()()()()()(1,2,4,5,6)
P Q R P Q R P Q R P P Q R P Q R Q R P Q R P Q Q R P R Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ?∧∧∨?∧∧∨?∧?∧??∨?∧∧∨?∧?∧??∧∨?∧?∧???∨∧∨?∧?∨∧?∨??∨∨?∧?∨∨∧∨∨?∧?∨?∨∧∨?∨?∏
（2）()()()P Q P Q P Q ∧∨?∧∨∧?
(())()()()()(0)
P P Q P Q Q P Q P Q Q Q P Q ?∨?∧∨∧??∨∧??∨∧∨??∨?∏
（3）()()P Q P Q R ∧∨?∧∧
()()()()()()()()()()
()()()()()(0,1,2,4,5)
P P P Q P R P Q Q Q Q R P Q P R P Q Q Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ?∨?∧∨∧∨∧?∨∧∨∧∨?∨∧∨∧?∨∧∧∨?∨∨∧∨∨?∧∨?∨∧?∨∨∧?∨∨??∏
2.求下列公式的主析取范式和主合取范式： （1）()()P Q P Q ?∨?→?? 合取范式：
()(()())()(()())()()()()()(0)
P Q P Q Q P P Q P Q Q P P Q Q P P Q P Q P Q P Q P Q ?→?→→?∧?→??→?∨→?∧?→??→?∨?→???∨?∨∨?∧∨∨?∨?∏
析取范式：(1,2,3)∏
（2）((()))P P Q Q R ∨?→∨?→ 合取范式：
((()))(0)
P P Q Q R P Q R ?∨∨∨∨?∨∨?∏
析取范式：(1,2,3)∑
（3）(())(())P Q R P Q R →∧∧?→?∧? 合取范式：
(())(())
()()()()
()()()()()()(1,2,3,4,5,6)
P Q R P Q R P Q P R P Q P R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ??∨∧∧∨?∧???∨∧?∨∧∨?∧∨???∨∨∧?∨∨?∧?∨?∨∧∨?∨∧∨?∨?∧∨∨??∏析取范式：(0,7)∑
（4）()()P Q S P Q R ∧?∧∨?∧∧ 析取范式：
()()()()(6,7,9,11)
P Q R S P Q R S P Q R S P Q R S ?∧?∧∧∨∧?∧?∧∨?∧∧∧∨?∧∧∧??∑
合取范式：(0,1,2,3,4,5,8,10,12,13,14,15)∏
P25 习题
1.试用真值表法证明：A E ∧不是A B ?,()B C D ?∧,()C A E ?∨和A E ∨的有效结论。
解：构造真值表如下：
第6，31行前提取值均为1时，结论为0。故命题得证。
2.1H ，2H 和3H 是前提。在下列情况下，试确定结论C 是否有效（可以使用真值表法证明。） （1）1:H P Q →
:()C P P Q →∧
证明：真值表如下：
第1，2，4行当前提取值为1时，结论都为1。故结论C 是有效的。 （2）1:H P Q ?∨ 2:()H Q R ?∧?
3:H R ?
:C P ? 证明： {1} （1） ()Q R ?∧?
P 规则
{1}
（2）
Q R ?∨
T 规则，（1），11E
{3} （3）
R ?
P 规则
{1，3} （4） Q ?
T 规则，（2），（3），9I {5}
（5）
P Q ?∨
P 规则
{1，3，5}（6） P ?
T 规则，（4），（5），11E
结论C 是有效结论。
（3）1:()H P Q P →→ 2:H P Q →
:C R
（4）1:H P Q →
2:H Q R →
:C P R → 证明：
{1} （1） P
P 规则（附加前提） {2}
（2） P Q → P 规则
{1，2} （3） Q
T 规则，（1），（2），10I {4}
（4）
Q R →
P 规则
{1，2，4} （5） R
T 规则，（3），（4），10I {1，2，4} （6）
P R →
CP 规则，
（1），（5） 3.不构成真值表证明：A C ∨不是()A B C ?→、()B A C ??∨?、()C A B ?∨?和
B 的有效结论。
证明：（1） B P 规则 （2） ()B A C ??∨? P 规则 （3） A C ?∨? T 规则，(1)(2) （4） ()A B C ?→ P 规则 （5） A C ? T 规则,(1)(4) （6） ()()A C A C ∧∨?∧? T 规则(5) （7） ()A C ?∧ T 规则(3)
（8） A C ?∧? T 规则(6)(7) （9） ()A C ?∨ T 规则(8) 因此，()A C ?∨是题目的有效结论，A C ∨不是。
4.使用推理的方法证明：L M ∨是P Q R ∧∧和()()Q R L M ?→∨的有效结论。 证明： {1} （1） P Q R ∧∧
P 规则
{1} （2） R
T 规则，（1），2I {1} （3） Q R ?∨
T 规则，（2），4I {1} （4） Q R → T 规则，（3），27E {1} （5） Q
T 规则，（1），2I {1} （6） R Q ?∨
T 规则，（5），4I {1} （7） R Q → T 规则，（6），27E {1} （8） Q R ?
T 规则，（4），（7），26E
{9}
（9） ()()Q R L M ?→∨ P 规则
{1，9}
（10）
L M ∨
T 规则，（8），（9），10I
5.不构成真值表证明下列命题公式不能同时全为真。 （1）P Q ?，Q R →，R S ?∨，P S ?→，S ? 证明：
{1} （1） S ?
P 规则 {2} （2） P S ?→
P 规则
{1，2} （3） P
T 规则，（1），（2），11I {4}
（4） P Q ? P 规则
{1，2，4} （5） Q
T 规则，（3），（4），10I {6}
（6）
Q R →
P 规则 {1，2，4，6}
（7）
R
T 规则，（5），（6），10I
{8} （8） R S ?∨ P 规则
(1，2，4，6，8) （9）
S
T 规则，（7），（8），9I
推出结论与前提矛盾，因此命题公式不能同时为真。
（2）R M ∨，R S ?∨，M ?，S ? 证明：
{1} （1） M ? P 规则
{2} （2） R M ∨ P 规则
{1，2} （3） R
T 规则，（1），（2），9I {4}
（4） R S ?∨ P 规则
{1，2，4}
（5）
S
T 规则，（3），（4），9I
推出的结论与命题公式S ?矛盾，因此命题公式不能同时为真。
6. 1H ，2H 和3H 是前提，根据推理规则断定，在下列情况下C 是否是有效结论。 （1）1:H P Q ∨ 2:H P R →
3:H Q R →
:C R
证明：
{1} （1） R ? P 规则（假设前提） {2} （2） P R → P 规则
{1，2} （3） P ?
T 规则，（1），（2），11I {4}
（4） P Q ∨ P 规则
{1，2，4} （5） Q
T 规则，（3），（4），9I {6}
（6）
Q R →
P 规则 {1，2，4，6} （7） R
T 规则，（5），（6），10I {1，2，4，6}
（8）
R R ?∧ T 规则，（1），（7），16I {1，2，4，6} （9）
R
F 规则，（1），（8）
因此C 是有效结论。 （2）1:()H P Q R →→
2:H R
:C P
证明：因为()P Q R P Q R →→??∨?∨，再由前提2:H R ，得到P ?、Q ?的值任意，即P 、Q 的值任意。因此C 不是有效结论。 7.证明下列结论的有效性。
（1）()P Q ?∧?，Q R ?∨，R P ??? 证明：（1）
R ?
P 规则 （2） Q R ?∨
P 规则
（3） Q ?
T 规则，（1），（2），9I
（4） ()P Q ?∧?
P 规则
（5） P Q ?∨
T 规则，（4），11E （6）
P ?
T 规则，（3），（5），9I
（2）()P Q R ∧→，R S ?∨?，S P Q ???∨? 证明：（1） S P 规则 （2） R S ?∨? P 规则
（3） R ?
T 规则（1）（2） （4） ()P Q R ∧→ P 规则
（5） ()P Q ?∧ T 规则（3）（4） （6） P Q ?∨?
T 规则（5）
（3）()P Q R →→，R S ∧，Q T P ∧?
由R S ∧得R 为真，再由()P Q R →→得()P Q →真假任意，故无法推出P 一定为真的结论。（题目有问题）
8.导出下列结论（如果需要，就是用规则CP ） （1）,,P Q Q R R S P S ?∨?∨→?→
证明： （1） P P 规则（假设前提） （2） P Q ?∨ P 规则
（3） Q T 规则（1）（2） （4） Q R ?∨ P 规则
（5） R T 规则（3）（4） （6） R S → P 规则
（7） S T 规则（5）（6） （8） P S → CP 规则（1）（7） （2）()P Q P P Q →?→∧
证明： （1） P P 规则（假设前提） （2） P Q → P 规则 （3） Q T 规则（1）（2） （4） P Q ∧ T 规则（1）（3） （5） ()P P Q →∧ CP 规则（1）（4） （3）()()P Q R P Q R ∨→?∧→
证明： （1） P Q ∧ P 规则（假设前提） （2） P T 规则（1） （3） Q T 规则（1） （4） P Q ∨ T 规则（2）（3） （5） ()P Q R ∨→ P 规则
（6） R T 规则（4）（5） （7） ()P Q R ∧→ CP 规则（1）（6） 9.证明下列各式的有效性（如果需要，就使用间接证明法）。 （1）(),,,R Q R S S Q P Q P →?∨→?→??
证明： （1） P ?? P 规则（假设前提） （2） P T 规则（1） （3） P Q → P 规则
（4） Q T 规则（2）（3） （5） S Q →? P 规则
（6） S ? T 规则（4）（5） （7） R S ∨ P 规则 （8） R T 规则（6）（7） （9） R Q →? P 规则
（10） Q ? T 规则（8）（9）
（11） Q Q ∧? T 规则（4）（10） （12） P ? F 规则（1）（11） （2）,,,S Q R S R P Q P →?∨????
证明： （1） P ?? P 规则（假设前提） （2） P T 规则（1） （3） P Q ? P 规则
（4） Q T 规则（2）（3） （5） S Q →? P 规则
（6） S ? T 规则（4）（5） （7） R S ∨ P 规则 （8） R T 规则（6）（7） （9） R ? P 规则 （10） R R ∧? T 规则（8）（9） （11） P ? F 规则（1）（10） （3）()(),(()),P Q R S Q P R R P Q ?→→?∨→∨??? 证明： （1） R P 规则 （2） ()Q P R →∨? P 规则
（3） Q P → T 规则（1）（2） （4） R S ∨ T 规则（1） （5） ()()P Q R S ?→→?∨ P 规则
（6） ()P Q ??→ T 规则（4）（5） （7） P Q → T 规则（6） （8） ()()P Q Q P →∧→ T 规则（3）（7） （9） P Q ? T 规则（8）
第2章 谓词逻辑
习题 P39
1.证明下列各式。
信息安全课程表(武汉大)
武大信息安全专业课程简介(一)(2007-05-27 13:18:33) 武大信息安全专业课程简介(一)(2007-05-27 13:18:33) 武大信息安全专业课程简介(一)(2007-05-27 13:18:33) 武大信息安全专业课程简介(一) 2006-12-27 13:12 课程名称（中、英文） 计算机导论 Introduction to Computer 7、课程简介 主要讲授计算机科学与技术学科体系、课程体系、知识结构（包括计算机软件与理论、计算机硬件与网络、计算机应用与信息技术等）、计算机法律、法规和知识产权，计算机学生的择业与职业道德等内容。使学生对所学专业及后续课程的学习有一个整体性、概括性的了解，树立专业学习的信心和自豪感，为今后的学习打下良好的基础。 11、参考书 1）Roberta Baber, Marilyn Meyer,《计算机导论》，汪嘉Min译，清华大学出版社，2000。 2 ) Tony Greening 主编，《21世纪计算机科学教育》，麦中凡等译，高等教育出版社，2001。 3）姚爱国等，《计算机导论》，武汉大学出版社，2003 4) 黄国兴，陶树平，丁岳伟，《计算机导论》，清华大学出版社，2004。 2、课程名称（中、英文） 计算机应用基础
An Introduction to Computer 7、课程简介 本课程是计算机科学与技术、信息安全专业的专业基础必修课。目的是使学生掌握必须的计算机基础知识与基本技能，为后续专业基础和专业课程的学习打下良好的基础。 10、指定教材 《计算机导论》，姚爱国、杜瑞颖、谭成予等编著，武汉大学出版社，2003年。 2、课程名称（中、英文） 电路与电子技术 Circuit and Electrical Technology 7、课程简介 本课程是计算机科学与技术、信息安全专业的专业基础必修课，是学生学习专业知识和从事工程技术工作的理论基础。通过对该课程的学习，让学生掌握各种电路尤其是电路的组成及基本分析方法，为系统学习专业基础和专业知识打下坚实的基础。 10、参考书目 《电路原理》，江缉光主编，清华大学出版社。 《电路原理》，范承志等编，机械工业出版社。 《模拟电子技术基础》，童诗白等主编，清华大学出版社。
信息安全课程表(武大)
武大信息安全专业课程简介(一) 课程名称（中、英文） 计算机导论Introduction to Computer 1、课程简介 主要讲授计算机科学与技术学科体系、课程体系、知识结构（包括计算机软件与理论、计算机硬件与网络、计算机应用与信息技术等）、计算机法律、法规和知识产权，计算机学生的择业与职业道德等内容。使学生对所学专业及后续课程的学习有一个整体性、概括性的了解，树立专业学习的信心和自豪感，为今后的学习打下良好的基础。 2、参考书 1）Roberta Baber, Marilyn Meyer,《计算机导论》，汪嘉Min译，清华大学出版社，2000。 2 ) Tony Greening 主编，《21世纪计算机科学教育》，麦中凡等译，高等教育出版社，2001。3）姚爱国等，《计算机导论》，武汉大学出版社，2003 4) 黄国兴，陶树平，丁岳伟，《计算机导论》，清华大学出版社，2004。 计算机应用基础An Introduction to Computer 1、课程简介 本课程是计算机科学与技术、信息安全专业的专业基础必修课。目的是使学生掌握必须的计算机基础知识与基本技能，为后续专业基础和专业课程的学习打下良好的基础。 2、指定教材 《计算机导论》，姚爱国、杜瑞颖、谭成予等编著，武汉大学出版社，2003年。 电路与电子技术Circuit and Electrical Technology 1、课程简介 本课程是计算机科学与技术、信息安全专业的专业基础必修课，是学生学习专业知识和从事工程技术工作的理论基础。通过对该课程的学习，让学生掌握各种电路尤其是电路的组成及基本分析方法，为系统学习专业基础和专业知识打下坚实的基础。 2、参考书目 《电路原理》，江缉光主编，清华大学出版社。 《电路原理》，范承志等编，机械工业出版社。 《模拟电子技术基础》，童诗白等主编，清华大学出版社。 《电子技术基础》，康华光主编，高等教育出版社。 数字逻辑Digital Logic 1、课程简介 本课程是计算机科学与技术、信息安全专业的专业基础必修课。目的是使学生了解逻辑器件与数字逻辑电路的基本工作原理，能灵活运用逻辑代数、卡诺图、状态理论来研究和分析由逻辑器件构成的数字逻辑电路，掌握计算机应用系统中基本逻辑部件的分析与设计方法，并能熟练选择和使用基本逻辑器件及常用功能器件。本课程是一门实验性较强的课程。 2、指定教材 《电子技术基础》数字部分（第四版），华中理工大学电子学教研室编，高等教育出版 3、参考书目 《逻辑设计》（第二版），毛法尧、欧阳星明、任宏萍编著，华中理工大学出版社。 《数字逻辑与数字系统》，白中英、岳怡、郑岩编，科学出版社，1998。 《数字电子技术基础》（第四版），阎石主编，高等教育出版社。 《数字逻辑》，周南良编，国防科技大学出版社，1992。 计算机组成原理Principles of Computer Construction 本课程是计算机科学与技术、信息安全专业的专业基础必修课。本课程的学习将使学生了解
离散数学 第二讲
1.1.3 命题符号化 1.1.2介绍的5种常用的联结词也可称为真值联结词或逻辑联结词。在命题逻辑中，利用这些联结词可将各种各样的复合命题符号化，基本的步骤如下： 9找出各简单命题，将它们符号化； 9使用合适的联结词，将简单命题逐个联结起来，组成复合命题的符号化形式。
例1.12将下列命题符号化： （1）小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。 （2）小王现在在宿舍或在图书馆里。 （3）选小王或小李中的一人做班长。 解：根据以上步骤，上述命题可符号化为： （1）p ∨q，其中，p：小王是游泳冠军，q：小王是百米赛跑冠军。 （2）p ∨q，其中，p：小王在宿舍，q：小王在图书馆。这里的“或”是排斥或，但因p与q不能同时发生，所以仍然符号化为p ∨q。 （3）(p ∧?q) ∨(q ∧?p)，其中，p：选小王做班长，q：选小李做班长。这里的“或”是排斥或，因p与q可能同时发生，所以须符号化为(p ∧?q) ∨(q ∧?p)。
例1.13将下列命题符号化： （1）如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 （2）小王是电子工程学院的学生，他生于1983年或1984年，他是三好学生。 解：上述命题可符号化为： （1）?r→(p→q)，其中，p：我上街，q：我去书店看看，r：我很累。（该命题也可符号化为(p∧?r)→q或p→(?r→q)） （2）p∧(q∨r)∧s，其中，p：小王是电子工程学院的学生，q：他生于1983年，r：他生于1984年，s：他是三好生。
1.1 命题符号化及联结词 5个联结词的优先级顺序为： ?、∧、∨、→、? 例我们写符号串： p ∨q ∧r→q∧?s ∨r 即为如下公式：(p ∨(q ∧r))→((q∧(?s)) ∨r)
010A3350现代密码学
《现代密码学》教学大纲 课程英文名称：Modern Cryptology 课程编号：010A3350 学时：54 学分：3.0 一、课程教学对象 本课程教学对象为五邑大学数学与计算科学学院信息与计算科学专业和数学与应用数学专业的本科学生。 二、课程性质、目的和任务 课程性质：现代密码学是五邑大学数学与计算科学学院信息与计算科学专业和数学与应用数学专业本科学生选修的专业模块课程。信息化是当今世界经济与社会发展的大趋势，其安全性也成为人们日益关切问题。密码学技术为现代电子商务、网络安全等的必备工具。 目的和任务：本课程旨在介绍流密码学、分组密码学、公钥密码学、数字签名、消息认证和密码协议等，使学生对密码学有一个清晰完整的认识。在本课程的学习过程中，学生要掌握一定的相关的理论基础知识；同时通过阅读参考文献，了解密码学的新发展、新动态，加强知识的深度和广度。通过本课程的学习，学生要了解现代密码学的基本概念，建立信息安全的模型；掌握单钥、公钥密码体制，密钥管理，消息认证和杂凑算法，数字签名和密码协议等密码学的主要内容。 三、对先修课的要求 学生在学习本课之前，应先修课程：数学分析、高等代数、离散数学、概率论与数理统计、初等数论。 四、课程的主要内容、基本要求和学时分配建议（总学时数: 54） 本课程授课计划54学时，其中理论部分44学时，实验10学时。理论部分（44学时）基本要求和安排如 下： 第1章现代密码学概论（5学时） 1.1 信息安全面临的威胁1.2 信息安全的模型 1.3 密码学基本概念 1.4 几种古典密码（C）（C）（A）（A） 第2章流密码（9学时） 2.1 流密码的基本概念 2.2 线性反馈移位寄存器 2.3 线性移位寄存器的一元多项式表示2.4 m序列的伪随机性 2.5 m序列密码的破译 2.6 非线性序列（A）（A）（A）（C）（B）（C） 第3章分组密码体制（4学时） 3.1 分组密码概述 3.2 数据加密标准 3.3 差分密码分析与线性密码分析（A）（C）（C）
离散数学答案(刘玉珍 编著)
习题1.1 1、（1）否 （2）否 （3）是，真值为0 （4）否 （5）是，真值为1 2、（1）P：天下雨 Q：我去教室┐P → Q （2）P：你去教室 Q：我去图书馆 P → Q （3）P，Q同（2） Q → P （4）P：2是质数 Q：2是偶数 P∧Q 3、（1）0 （2）0 （3）1 4、（1）如果明天是晴天，那么我去教室或图书馆。 （2）如果我去教室，那么明天不是晴天，我也不去图书馆。 （3）明天是晴天，并且我不去教室，当且仅当我去图书馆。 习题1.2 1、（1）是 （2）是 （3）否 （4）是 （5）是 （6）否 2、（1）(P → Q) →R，P → Q，R，P，Q （2）(┐P∨Q) ∨（R∧P），┐P ∨ Q，R∧P，┐P，Q，R，P （3）((P → Q) ∧ (Q → P)) ∨┐(P → Q))，(P → Q) ∧(Q → P)，┐(P → Q)，P → Q，(Q → P)，P → Q，P，Q，Q，P，P，Q 3、（1）((P → Q) → (Q → P)) → (P → Q) （2）((P → Q) ∨ ((P → Q) → R))→ ((P → Q) ∧ ((P → Q) → R)) （3）(Q → P∧┐P) → (P∧┐P → Q) 4、(P → Q) ∨ ((P∧Q) ∨ (┐P∧┐Q)) ∧ (┐P∨Q) 习题1.3
1、（1）I(P∨(Q∧R)) = I(P)∨(I(Q)∧I(R)) = 1∨(1∧0) = 1 （2）I((P∧Q∧R)∨(┐(P∨Q)∧┐(R∨S))) = (1∧1∧0)∨(┐(1∨1)∧┐(0∨1)) = 0∨(0∧0) = 0 （3）I((P←→R)∧(┐Q→S)) = (1←→0)∧(┐1→1) = 0∧1 = 0 （4）I((P∨(Q→R∧┐P))←→(Q∨┐S)) = (1∨(1→(0∧┐1)))←→(1∨┐1) = 1←→1 = 1 （5）I(┐(P∧Q)∨┐R∨((Q←→┐P)→R∨┐S)) = ┐(1∧1)∨┐0∨((1←→┐1)→(0∨┐1)) = 0∨1∨1 = 1 3、（1）原式 <=> F→Q <=> T 原式为永真式 （2）原式 <=> ┐T∨(┐(┐P∨Q)∨(┐┐Q∨┐P)) <=> (P∧┐Q)∨(Q∨┐P)
这个问题与空气动力学有关
这个问题与空气动力学有关，飞行器说白了就是纸飞机... 1.飞机前端叠的尖,减少阻力 2.外纸的选择很重要，要硬些，有弹性为好，动力要想快，就必须有足够的重量，所以要选弹性好，硬度好的纸张来做！这个它又没说标准A4，呵 3.飞行原理： 飞机机翼，横切来看下面是平的，上面较弯曲，这样一来当飞机高速运动时机翼上空气流动的速度就比机翼下方要快。这样一来，机翼下面的气压就比上面的大，从而产生一股上升的力把飞机托起。 一个好的纸飞机，一般需要加上“升降板”也就是2个标签贴（机翼上折出的小块“多余”－用来调整机翼上下气流的速度），用来调整飞机的飞行。如果左边升降版高，飞机则倾向左边飞，反之亦然。一般把升降版调成45度，太高了飞机会上升太快，最后“坠毁”，太低了飞机则无法向上飞行，坠落也很快。一架好的纸飞机，无论什么形状，最重要的是对称，平滑（阻力小），机翼和升降版的角度正确。如果机翼比较宽大，能飞行的时间就会常一些，当然，前提是你要把它抛高一点，升降板也要稍微调高一点，但是如果太高了，飞机就会打转了。如果把机翼调整得窄一点，短一点，阻力就大大地减小了，飞行的速度就会变快。在这种情况下，要想飞远一点，飞久一点就挺考验人的了，一般是把升降版调得稍低一点点，掷飞机时的力度也要掌握好，这可就是看经验了。 4.航向尽可能笔直等，多参考纸飞机如何飞的远， 比赛成绩既然是按飞行垂直距离乘以飞行时间作为单次分数...那么你就要多做 几个，多实验，根据上面的原理多做几个不同的飞机，多次实验投掷角度，投掷力度，争取达到最好的效果... 纸张：飞机 标签贴：升降板 回形针：固定 吸管：我估计和航向有关 小小游戏富含深刻道理，就是这些了，楼主悬赏多多哦.......... 64 向TA求助 回答者：775901421|三级采纳率：33% 擅长领域：暂未定制 参加的活动：暂时没有参加的活动 提问者对于答案的评价： 能具体点怎么做吗第一次做看得不太懂
计算机科学与技术专业书名册
计算机科学与技术专业书名册 大学一年级： 基础课以及通识课包括：高等数学、现性代数、大学英语、计算机导论等。 大学二年级： 课程名称专业性质教材名称 C++程序设计专业选修《面向对象程序设计（C++语言）》 Linux原理与应用专业选修《Linux原理与应用》 Oracle数据库应用专业选修《Oracle 11g应用与认证教程》 Windows原理与应用专业选修《Windows原理与应用》 编译原理专业必修《编译原理》 操作系统设计专业必修 大型应用软件设计专业必修 计算机安全保密专业选修《计算机安全与实用密码学》 计算机图形学专业选修交互式计算机图形学--基于OpenGL的自顶向下计算机外部设备专业选修《微机硬件基础》 计算机网络与通信原理专业必修《计算机网络》 计算机系统结构专业必修《计算机系统结构》 面向对象软件工程专业选修《面向对象软件工程》 数据库系统实现专业选修《数据库系统实现（英文版）》 算法设计与分析专业选修《算法设计技巧与分析》 大学三年级： 课程名教材 计算机组成原理《计算机组成与结构》（第4版）王爱英离散数学《离散数学》刘玉珍 数据结构《数据结构教程(第4版)》李春葆 C++程序设计《面向对象程序设计（C++语言）》李爱华Linux原理与应用《Linux原理与应用》郑鹏 Oracle数据库应用《Oracle 11g应用与认证教程》宋钰、汪洋编译原理《编译原理》何炎祥传感器微操作系统原理与设计《无线传感器网络操作系统TinyOS》潘浩、存储技术基础《信息存储与管理：数字信息的存储、管理和 计算机安全保密《计算机安全与实用密码学》李克洪
计算机图形学交互式计算机图形学--基于OpenGL的自顶向下计算机外部设备《微机硬件基础》宁闽南 计算机网络与通信原理《计算机网络》黄传河计算机系统结构《计算机系统结构》高辉 面向对象程序设计《面向对象与java程序设计》朱福喜 面向对象软件工程面向对象软件工程:使用UML、模式与Java(第3版)》清华版叶俊民， 汪望珠等译 嵌入式系统《嵌入式系统原理与应用技术》袁志勇 软件安全《计算机病毒分析与对抗（第二版）》傅建? 数据库系统实现《数据库系统实现（英文版）》 算法设计与分析《算法设计技巧与分析》吴伟昶网络安全《网络安全》黄传河 物联网控制原理与技术《自动控制原理》孟庆明物联网软件设计《实用软件设计模式教程》徐宏喆 信息系统安全《计算机系统安全第二版》曹天杰 信息隐藏技术《信息隐藏技术与应用》王丽娜 智能卡技术《智能卡技术》王爱英
武大信息安全课程
武大信息安全专业课程简介 1、计算机导论Introduction to Computer 课程简介 主要讲授计算机科学与技术学科体系、课程体系、知识结构（包括计算机软件与理论、计算机硬件与网络、计算机应用与信息技术等）、计算机法律、法规和知识产权，计算机学生的择业与职业道德等内容。使学生对所学专业及后续课程的学习有一个整体性、概括性的了解，树立专业学习的信心和自豪感，为今后的学习打下良好的基础。 参考书 1）Roberta Baber, Marilyn Meyer,《计算机导论》，汪嘉Min译，清华大学出版社，2000。 2 ) Tony Greening 主编，《21世纪计算机科学教育》，麦中凡等译，高等教育出版社，2001。 3）姚爱国等，《计算机导论》，武汉大学出版社，2003 4) 黄国兴，陶树平，丁岳伟，《计算机导论》，清华大学出版社，2004。 2、计算机应用基础An Introduction to Computer 课程简介 本课程是计算机科学与技术、信息安全专业的专业基础必修课。目的是使学生掌握必须的计算机基础知识与基本技能，为后续专业基础和专业课程的学习打下良好的基础。 指定教材 《计算机导论》，姚爱国、杜瑞颖、谭成予等编著，武汉大学出版社，2003年。 3、电路与电子技术Circuit and Electrical Technology 课程简介 本课程是计算机科学与技术、信息安全专业的专业基础必修课，是学生学习专业知识和从事工程技术工作的理论基础。通过对该课程的学习，让学生掌握各种电路尤其是电路的组成及基本分析方法，为系统学习专业基础和专业知识打下坚实的基础。 参考书目 《电路原理》，江缉光主编，清华大学出版社。 《电路原理》，范承志等编，机械工业出版社。 《模拟电子技术基础》，童诗白等主编，清华大学出版社。 《电子技术基础》，康华光主编，高等教育出版社。 4、数字逻辑Digital Logic 课程简介 本课程是计算机科学与技术、信息安全专业的专业基础必修课。目的是使学生了解逻辑器件与数字逻辑电路的基本工作原理，能灵活运用逻辑代数、卡诺图、状态理论来研究和分
离散数学第章复习资料刘玉珍刘永梅
习题11.1 1． 若n 个顶点的简单无向图G 中至少有2个孤立点，则结论自然成立；若G 中只有一个孤立点，而2n ≥，则G 中至少有3个顶点，其中至少有2个非孤立点，可不考虑孤立点；若G 中无孤立点，则G 中n 个顶点度数均不小于1.现设G 中n 个顶点的度数均不小于1，又G 为简单图，故所有顶点的度数均不大于n-1，即n 个顶点的度数的取值只能是1，2，…，n-1,由鸽舍原理知，结论成立。 2． 设G 有x 个顶点，则92)6(36)deg(122>??-+?≤=?∑∈x x v V v 3． m n k n k n n k n v m k k k V v 2)1()1()()deg(2-+=?+?-+?==∑∈ 4． ∑∈∈?≤=≤∈?V v V v v n v m V v v n })max {deg()deg(2})deg(min{ 故所证不等式成立。 5.（1）非同构的4个顶点的自补图只有一个 ；非同构的5个顶点的自补 图有2个 （2）G 为自补图?G 与G 的边数相同，设均为m ，又G 与G 的边数之和为n K 的边数2)1(-n n ，即2 )1(-n n =2m ，亦即)1(-n n =4m ，故n 为4的倍数，即n=4k ，或n-1为4的倍数，即n=4k+1，+∈I k 6.（1）<0,1,1,2,3,3>,<3,3,3,3>均为可图解的，其对应图为 <1,3,3,3>非可图解，否则，设3)deg()deg()deg(,1)deg(4321====v v v v ，由于要构成无向简单图，故，1v ，2v ，3v ，4v 之间必定有边关联，这与1)deg(1=v 矛盾，< 2，3，4，4，5>,<2,2,4>非可图解，以为简单图中所有顶点的度数多为n-1。<1,2,2,3,4,5>z 中有奇数个，故非可图解。
离散数学(第一讲)
一、离散数学介绍 离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 离散数学常常被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。 其中各部分内容在本书中又有如下涉及： 1．集合论部分：集合及其运算(3.1)、二元关系(3.2)与函数(3.5)、自然数及自然数集、集合的基数注：集合这个概念比较了解，在数学上，基数(cardinal number)也叫势(cardinality)，指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。这是康托尔在1874年～1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时, 给出的基数概念。他最先考虑的是集合{1,2,3} 和 {2,3,4}，它们并非相同，但有相同的基数。 那何谓两个集合有相同数目的元素？ 康托尔的答案，是所谓一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来，若能做到，两个集合的基数自然相同。 这个答案虽然简单，却起到了革命性的作用，因为用相同的方法即可比较任意集合，包括无穷集合的大小。 2．图论部分(第5章)：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配
集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3．代数结构部分（第6、7章）：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4．组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理 组合数学在本书中没有介绍，而关于组合数学的问题却是十分有趣的，可以供大家思考一下。 组合数学中的著名问题 ?计算一些物品在特定条件下分组的方法数目。这些是关于排列、组合和整数分拆的。 ?地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是 否总共只需四种颜色？这是图论的问题。 ?船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、 狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。 怎样把所有东西都运过河？这是线性规划的问 题。 ?中国邮差问题：由中国组合数学家 ?管梅谷教授① ?提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全 问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数 的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然 后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。 ?任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时 间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务 只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使 所花费的时间最少？这是线性规划的问题。 ?如何构作幻方。
离散数学 第五讲
2.2 一阶逻辑谓词公式及解释 简单命题函数+ 逻辑联结词?谓词表达式 问题：怎样的谓词表达式才能成为谓词公式，并能进行逻辑演算？
定义2.4在形式化中，我们将使用如下7种符号： 1.个体常项：用小写英文字母a ，b ，c ，…表示，当个体域D 给出时，它可以是D 中某个元素。 2.个体变项：用小写英文字母x ，y ，z ，…表示，当个体域D 给出时，D 中任意元素可代入个体变项。 3.函数符号：用小写英文字母f ，g ，…表示，当个体域D 给出时，n 元函数符号f (x 1，…，x n )可以是D n 到D 的任意一个映射。 4.谓词符号：用大写英文字母F ，G ，H ，…表示，当个体域D 给出时，n 元谓词符号F (x 1，…，x n )可以是D n 上的任意一个谓词。 2.2.1 合式公式与翻译
5.量词符号：?，? 6.联结词符号：?，∧，∨，→，? 7.括号和逗号：（、）、， 定义2.5谓词逻辑中的项，被递归定义为： 1.个体常项是项； 2.个体变项是项； 3.若?(x 1, …, x n )是n元函数，t 1 , …, t n 是项，则?(t 1 , …, t n )也是项； 4.所有项都是有限次使用1、2、3、生成的符号串才是项。 2.2.1 合式公式与翻译
2.2.1 合式公式与翻译——说明 1.有了项的定义，函数的概念就可用来表示个体常项和个体变项。如：P(x)：x是教授，f(x)：x的父亲，a：张三，那么P(f(a))则表示：“张三的父亲是教授” 2.函数的使用给谓词表示带来很大的方便。如：用谓词表示命题：对任意的整数x，x2 –1=(x+1)(x-1)是恒等式。 令：I(x)：x是整数，f(x)=x2 –1，g(x)= (x+1)(x-1)，E(x,y)：x=y，则该命题可表示为：?x(I(x)→E(f(x), g(x)))
离散数学第三讲
二、容斥原理与鸽巢原理 1、 容斥原理(§1。3。) （计数原理、包含排斥原理） 容斥原理（包含排斥原理）： 设A ，B 是有限集，则 B A B A B A -+= 容斥原理的相关推论： (i) C B A C A C B B A C B A C B A +---++= (ii) 利用归纳法 n n n k j i k j i n j i j i n i i n A A A A A A A A A A A A A 211111321)1(-<<≤≤<≤=-+++ - =∑∑∑ (iii) U A A =+, A U A -= (iv)
n n A A A U A A A 2121-= （注意基的具体含义） 设S 是有限集，r P P P ,,, 21 是r 条性质， i A 是S 中具有性质 i P 的子集，即 }{ i i P x S x x A 具有性质,∈= （i=1,2,…，r ） 则 （1）S 中至少具有性质 r P P P ,,,21 一条的元素数是： r r r k j i k j i r j i j i r i i r A A A A A A A A A A A A A 211111321)1(-≤<<≤≤<≤=-+++ - =∑∑∑ （2）S 中不具有性质r P P P ,,,21 的 元素数是： r r A A A U A A A 2121-=
e.g 1 设2≥n ，)(n ?表示不超过n 且与n 互质的 正整数的个数，求)(n ? 该函数在计算机中称为EURTER 函数。 解： }{n S ,,3,2,1 = 不妨令： r r p p p n ααα??= 1121 r p p p ,,,21 为互异的质 数； 设 } {r i p x S x x A i i ,,2,1, =∈=且 则 j i j i i i p p n A A p n A = =, r A A A n 21)(=?…… 2、 鸽巢原理（抽屉原理、鞋盒原理）（教材P63） n+1个鸽子飞进n 个鸽巢，则可以找到一鸽巢里至少有2只鸽子。 或者：
离散数学 第十二讲
第6章几个典型的代数系统 内容提要 6.1 半群与群 6.2 环与域 6.3 格与布尔代数 重点：群 2006-5-12北京邮电大学电子工程学院1
6.1 半群与群 6.1.1 半群 半群是一种特殊的代数系统，它在形式语言、自动机等领域中有具体的应用。 定义6.1设
定义6.2设
2006-5-12北京邮电大学电子工程学院4 例6.1 判断下列代数系统是否为半群： （1）
2006-5-12北京邮电大学电子工程学院5 例6.2 判断下列代数系统是否为半群： 是代数系统，其中S k ={x | x ∈Z ∧x ≥k }，k ≥0，+为普通加法。 解：+在S k 上封闭；且普通加法运算满足可结合，则是半群。 注意：k ≥0这个条件是非常重要的，若k ＜0，则+在S k 上不封闭。 另：代数系统和
- 版030531002离散数学教学大纲
- 离散数学第章复习资料刘玉珍刘永梅
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