因式分解应用
因式分解应用
1、 利用提公因式法简化计算过程
例：计算1368
987
521136898745613689872681368987123?+?+?+?
分析：算式中每一项都含有987
1368
，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987
+++?=
=
?=987
1368
1368987 2. 在多项式恒等变形中的应用
例1：不解方程组23
532x y x y +=-=-???
，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。
解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+-
把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。 例2：求方程x y xy -=的整数解
分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x 与y ，故可考虑借助因式分解求解
解： x y xy -=
∴-+=∴-+-=--+-=-∴-+=-∴+=-=-???+=--=??
?xy x y xy x y x y y y x x y x y x y 011111
111
11111111
即是整数
或()()()(),
∴==???=-=??
?x y x y 0022或 3. 在代数证明题中的应用
例1：证明：对于任意自然数n ，3
2322
2n n n n ++-+-一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
3
23233222
222n n n n n n n n ++++-+-=+--
=+-+=?-?33122110352
22n n n n
()()
对任意自然数n ，103?n
和52?n
都是10的倍数。
∴-+-++323222n n n n 一定是10的倍数
例2：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为2123n n ++，（n 为整数） 则()()232122n n +-+
=++++--=+=+()()
()
()
2321232124481n n n n n n
由此可见，()()232122n n +-+一定是8的倍数。 5、中考点拨：
例1。因式分解322x x x ()()--- 解：322x x x ()()---
=-+-=-+322231x x x x x ()()()()
说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。 例2．分解因式：41213
2
q p p ()()-+- 解：41213
2q p p ()()-+-
=-+-=--+=--+4121212112122132
2
2q p p p q p p q pq ()()()[()]()()
说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
4. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用
例1：已知多项式232
x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。
解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()()
由此可得211120
23a a b m b
+=-+==????
???()()()
由（1）得a =-1
把a =-1代入（2），得b =
1
2
把b =12代入（3），得m =12
例2 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ）
A a a
B a a
C a a
D a a .().().()
.()
22222
2
2
2
1111+--+++--
分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式=+++++211242a a a a a (()
=++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 43243222
2
2
22
2321
2221211()()()()()
故选择C
例3. 分解因式x x x x x 54321-+-+-
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解法1：
原式=-+--+=--+=-++-+()()
()()
()()()
x x x x x x x x x x x x x 54323222111111
解法2：
原式=-+-+-=-+-+-=-++=-++-=-++-+()()()
()()()
()()()[()]()()()
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5432424242222111111121111
5. 在几何题中的应用。
例1：已知a b c 、、是?ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2
2
2
0++---=，试判断?ABC 的形状。
分析：因为题中有a b ab 22、、-，考虑到要用完全平方公式，首先要把-ab 转成
-2ab 。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。
解： a b c ab bc ac 2
2
2
0++---= ∴++---=22222202
2
2
a b c ab bc ac
∴-++-++-+=()()()a ab b b bc c c ac a 2222222220 ∴-+-+-=()()()a b b c c a 2
2
2
0 ()()()a b b c c a -≥-≥-≥2
2
2
000，， ∴-=-=-=a b b c c a 000，， ∴==a b c
∴?ABC 为等边三角形。
例2：已知三条线段长分别为a 、b 、c ，且满足a b a c b ac >+<+，2222 证明：以a 、b 、c 为三边能构成三角形
分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”
证明： a c b ac 2222+<+
∴+--<∴-+-<--<∴-+--<-+>--∴-+>--<∴+>-<-<<+∴a c b ac a ac c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b c a b c a b c a b
a b c 2222222220
200000，即又，，即以、、为三边能构成三角形
()()()
练习
1、因式分解：x xy 324-=________。
解：x xy x x y x x y x y 32224422-=-=+-()()()
说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
2、分解因式：2883223x y x y xy ++=_________。
解：288244322322x y x y xy xy x xy y ++=++()=+222xy x y () 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。 3. 已知：a m b m c m =
+=+=+1211221
2
3，，， 求a ab b ac c bc 2
2
2
222++-+-的值。 解：a ab b ac c bc 2
2
2
222++-+- =+-++()()a b c a b c 2
2
2 =+-()a b c 2 a m b m c m =
+=+=+1211221
2
3，， ∴原式=+-()a b c 2
=+++-+??????
=()()()12112212314
2
2
m m m m
说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。 4、已知a b c a b c ++=++=00333，， 求证：a b c 5
5
5
0++=
证明： a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() ∴把a b c a b c ++=++=00333
，代入上式， 可得abc =0，即a =0或b =0或c =0 若a =0，则b c =-， ∴++=a b c 5
5
5
若b =0或c =0，同理也有a b c 555
0++=
说明：利用补充公式确定a b c ，，的值，命题得证。 5、 若x y x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。 解： x y x y x xy y 332227+=+-+=()() 且x xy y 2
2
9-+=
)1(9232
2
=++=+∴y xy x y x ， 又x xy y 2
292-+=()
两式相减得xy =0 所以x y 2
2
9+=
说明：按常规需求出x y ，的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。
例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+-
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解法1：
原式=-+--+=--+=-++-+()()
()()
()()()
x x x x x x x x x x x x x 54323222111111
解法2：
原式=-+-+-=-+-+-=-++=-++-=-++-+()()()
()()()()()()[()]()()()
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5432424242222111111121111
练习
1.分解因式：1222--+=m n mn _____________。 解：1222--+m n mn
=--+=--=+--+12111222
()
()()()
m mn n m n m n m n
说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。 2．分解因式：x y x y 22--+=____________ 解：x y x y 22--+=()()x y x y 22---
=+---=-+-()()()()()
x y x y x y x y x y 1
说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。 3. 分解因式：x x x 323412+--=____________ 解：x x x 323412+--=x x x 324312-+-
=-+-=++-x x x x x x ()()()()()
22434322
说明：分组的目的是能够继续分解。 4、 分解因式：m n mn n 222141()-+-+ 解：m n mn n 222141()-+-+
=-+-+=++---=+--=-+++-+m n m mn n m n mn m mn n mn m n mn m n mn m n 222222222
2
41
212111()()()()
()()
说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn 分成2mn 和2mn ，配成完全平方和平方差公式。
5、. 已知：a b c d ac bd 2222110+=+=+=，，且，求ab+cd 的值。 解：ab+cd=ab cd ?+?11
=+++=+++=+++=+++=++ab c d cd a b abc abd cda cdb abc cdb abd cda bc ac bd ad bd ac ac bd bc ad ()()()()()()()()
22222222
2222
ac bd +=∴=00
原式
说明：首先要充分利用已知条件a b c d 222211+=+=，中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd 因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。
5、. 分解因式：x x 323+-
分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着x x x -+-1233是的一个因式，因此变形的目的是凑x -1这个因式。 解一（拆项）：
x x x x x 333233322+-=--+
=-++--=-++3112113222
()()()()()
x x x x x x x x
解二（添项）：
x x x x x x x x x x x x x 3322222323
11313+-=-++-=-+-+=-++()()()()()
说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？
1. 在方程、不等式中的应用
例2. 如果x x mx mx 432
22-+--能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x 4
分成x x 2
2
?，而对于常数项-2，可能分解成()-?12，或者分解成
()-?21，由此分为两种情况进行讨论。
解：（1）设原式分解为()()
x ax x bx 2212+-++，其中a 、b 为整数，去括号，得： ()()x a b x x a b x 43222++++-- 将它与原式的各项系数进行对比，得： a b m a b m +=-=-=-1122，， 解得：a b m =-==101，， 此时，原式()()
=+--x x x 2221
（2）设原式分解为()()
x cx x dx 2221+-++，其中c 、d 为整数，去括号，得： ()()x c d x x c d x 43222++-+-- 将它与原式的各项系数进行对比，得： c d m c d m +=-=--=-1122，， 解得：c d m ==-=-011，， 此时，原式()()
=--+x x x 2221
2. 在几何学中的应用
例. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足
x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。
分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解： x y x xy y --+-+=2
2
220
()()()()()∴-+---=∴----=∴---+=x xy y x y x y x y x y x y 222
220
20
210()
∴--=x y 20或x y -+=10 又 x y +=8
∴--=+=??
?-+=+=??
?x y x y x y x y 20810
8
或 解得：x y ==??
?53或x y ==???
35
45.. ∴长方形的面积为15cm 2或634
2
cm 3、在代数证明题中的应用
例. 证明：若4x y -是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则810322x xy y +-是49的倍数。
分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一：()()810323422x xy y x y x y +-=+- ()2234647x y x y x y y +=+=-+
∵4x y -是7的倍数，7y 也是7的倍数（y 是整数） ∴()223x y +是7的倍数
而2与7互质，因此，23x y +是7的倍数，所以810322x xy y +-是49的倍数。 证明二：∵4x y -是7的倍数，设47x y m -=（m 是整数） 则y x m =-47
又∵()()810323422x xy y x y x y +-=+-
()()()()∴+--+=-=-21221447714214923x x m x x m m x m m x m ∵x ，m 是整数，∴()m x m 23-也是整数 所以，81032
2
x xy y +-是49的倍数。
4、中考点拨
例1.把2
2
2
2
4
954y y x y x --分解因式的结果是________________。 解：2
2
2
2
4
954y y x y x --
()
()(
)
()()()
=--=-+=++-y x x y x x y x
x x 2422
2
2
2
2
459491
12323
说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。
例2.
因式分解：6752
x x --=_______________ 解：()()67521352x x x x --=+-
说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。
5、题型展示
例1. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ） A. 1
B. -1
C. ±1
D. 2
解：()()x y mx y x y x y mx y 225656-++-=+-++- -6可分解成()-?23或()-?32，因此，存在两种情况：
（1）x +y -2 （2）x +y -3
x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m =1，由（1）可得：m =-1 故选择C 。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
例2. 已知：a 、b 、c 为互不相等的数，且满足()()()a c b a c b -=--2
4。 求证：a b b c -=-
证明：()()() a c b a c b -=--2
4
()()()()()()∴----=∴-+-+-+=∴+-++=∴+-=∴+-=∴-=-a c b a c b a ac c bc ac ab b a c b a c b a c b a c b a b b c
2
2222
2
2
40
244440
4402020
说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
例3. 若x x x a 3
2
57+++有一因式x +1。求a ，并将原式因式分解。 解： x x x a 3
2
57+++有一因式x +1
∴当x +=10，即x =-1时，x x x a 32
570+++= ∴=a 3
()()()()()()()()()()
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 32322222
573
4433
1413114311313+++=+++++=+++++=+++=+++=++
说明：由条件知，x =-1时多项式的值为零，代入求得a ，再利用原式有一个因式是x +1，分解时尽量出现x +1，从而分解彻底。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321
=-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()()
()()
()()()
解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-
=-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244
2
2
2211111121111()()()
()()()[()]()()()
2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x x 3234+- 解一：将32x 拆成222x x +，则有
=+++-=++-=-+x x x x x x x x x 22
2
2222212()()()()()()()
解二：将常数-4拆成--13，则有
原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 3222
2
1331113314412()
()()()()()()()()
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明：()()x x x 2241021100--++
=+---+=+---+=---++()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x 2237100
272310051456100
22
设y x x =-25，则
原式无论取何值都有的值一定是非负数
=-++=-+=--≥∴--++()()()()()()y y y y y y y x x x 146100816440
4102110022
222
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B
=+++--=+=+=++++()
()()()
A A
B AB B A B A B AB AB A B a b b c a b c 322333
223333332
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨：
例1.在?ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=2
证明： a b c ab bc 222166100--++=
∴++-+-=+--=+--+=+>∴+>+->-+=+=a ab b c bc b a b c b a b c a b c a b c
a b c a b c a b c a c b
2222226910250350820
880202即，即于是有即()()()()
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例2. 已知：x x x x +
=+=121
33，则__________ 解：x x
x x x x 3321111
+=+-+()()
=++--=?=()[()]
x x x x
11
21212
2
说明：利用x x
x x 22
2
1
12+=+-()等式化繁为易。
题型展示：
1. 若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100。 解：100)4)(3)(7(2
----x x x
=--+---=----+-=----+=---≤∴---≤()()()()()()[()()]
()()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x 723210051456100
58516540734100
2222222
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。 2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。 解：a a a a 22221++++()()
=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a 2222
222
22
21211()()()()
∴++=++==6742366143184922222() 说明：利用因式分解简化有理数的计算
考点16 因式分解综合应用(原卷版)
考点16 因式分解综合应用 一．选择题（共12小题） 1．（2020·南通市八一中学期中）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足 222()a c b a c b +=+-，则此三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定 2．（2020·安徽月考）已知2225m n +=，mn=12，则33-m n mn 的值为（ ） A ．-84 B ．84 C ．84± D ．300 3．（2020·长春市第五十二中学期中）长、宽分别为,a b 的长方形的周长为14，面积为10， 则22a b ab +的值为（ ） A ．140 B ．70 C ．35 D ．24 4．（2020·山西月考）用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列各项正确的是（ ） A ．()()22333a ab b a b b a ++=++ B ．()()22 333a ab b a b a b -+=-+ C ．()()22343a ab b a b a b ++=++ D ．()()22 433a ab b a b a b ++=++ 5．（2020·山西期末）将多项式32a b b -因式分解，结果正确的是（ ）
A ．()2b a b - B ．()22b a b - C ．()2b a b + D ．b(a+b)(a -b) 6．（2020·湖南期中）一次练习，王莉同学做了4道分解因式题，你认为做得不够完整的题是（ ） A ．x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x+y ） B ．x 3﹣x=x （x 2﹣1） C ．x 2y ﹣xy 2=xy （x ﹣y ） D ．x 2﹣2xy+y 2=（x ﹣y ）2 7．（2020·保定市第一中学分校期末）ABC 的三边长a 、b 、c 满足 2222223a b c a b c ++--=-，则ABC 为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 8．（2020·湖北）将多项式32x xy -分解因式，结果正确的是 （ ） A ．22()x x y - B ．2()x x y - C ．2()x x y + D ．()()x x y x y +- 9．（2020·重庆月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．29(3)(3)a a a -=+- B ．222()x x x x x -=-- C ．2 2(1)x x x +=+ D ．2(2)2y y y y -=- 10．（2020·湖南）多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ） A ．1x - B ．1x + C ．21x - D ．()21x - 11．（2020·秦皇岛）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A ．x （a+2b ）＝ax+2bx
初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用
因式分解的六种方法及其应用 因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等． 方法一提公因式法 题型1 公因式是单项式的因式分解 1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是() A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1 C．3y－4x＋1 D．3y－4x 【解析】B 2．分解因式：2mx－6my＝__________． 【解析】2m(x－3y) 3．把下列各式分解因式： (1)2x2－xy； (2)－4m4n＋16m3n－28m2n. 【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)． 题型2公因式是多项式的因式分解 4．把下列各式分解因式： (1)a(b－c)＋c－b； (2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2. 【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)． (2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)． 方法二公式法 题型1直接用公式法 5．把下列各式分解因式： (1)－16＋x4y4； (2)(x2＋y2)2－4x2y2； (3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81. 【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．
(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2. (3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4. 题型2 先提再套法 6．把下列各式分解因式： (1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3. 【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )． (2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2. 题型3 先局部再整体法 7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)． 【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法 8．把下列各式分解因式： (1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2. 【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2. (2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2. 方法三 分组分解法 9．把下列各式分解因式： (1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2. 【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )． (2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )． 方法四 拆、添项法 10．分解因式：x 4＋14 . 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝????x 2＋122 －x 2＝????x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12 )． 方法五 整体法 题型1 “提”整体 11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )． 【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z ) ＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )． 题型2 “当”整体
2020—2021年湘教版七年级数学下册《因式分解及其应用》综合测试题及答案解析.docx
新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册 综合练习因式分解及其应用 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是( ) A．a2+4a-21=a(a+4)-21 B．a2+4a-21=(a-3)(a+7) C．(a-3)(a+7)=a2+4a-21 D．a2+4a-21=(a+2)2-25 2.下面分解因式正确的是( ) A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B.(x2-4)x=x3-4x C.ax+bx=(a+b)x D.m2-2mn+n2=(m+n)2 3.若代数式x2+ax可以因式分解，则常数a不可以取( ) A．-1 B．0 C．1 D．2 4.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( ) A.-y2+1 B.x2+(-y)2 C.m2-n2 D.-x2+(-y)2 5.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A．-a2-4ab+4b2B．a2+6ab-9b2 C．a2+6a+9b2D．4（a-b）2+4（a-b）+1 6.若多项式ax2+bx+c可分解为(1-3x)2，那么a、b、c的值分别为( ) A.-9，6，-1 B.9，-6，1 C.9，6，1 D.9，6，-1 7.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是( ) A.99×(57+44)=9 999 B.99×(57+44-1)=9 900
C.99×(57+44+1)=10 098 D.99×(57+44-99)=198 8.(-1 2)2 015+(- 1 2)2 016的结果是( ) A.-1 2 B. 1 2 C.( 1 2)2 015 D.-(1 2)2 016 9.将3a2（x-y）-6ab（y-x）用提公因式法因式分解，应提出的公因式是__________. 10.计算：32×3.14+3×(－9.42)=__________. 11.因式分解：x2+3x(x-3)-9=__________. 12.设a＝192×918，b＝8882-302，c＝1 0532-7472，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是__________＜__________＜__________． 13.若x2+(m-3)x+4是完全平方式，则数m的值是__________. 14.如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________. 15.58-1能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是__________. 16.若a※b=a2-ab2，则x2※y所表示的代数式因式分解的结果是__________.
因式分解综合应用(习题及答案)
因式分解综合应用（习题） 例题示范 例1：因式分解22(22)(24)9x x x x ---++． 【过程书写】 解：令22x x t -=，则 222 (2)(4)9 289 21 (1)t t t t t t t =-++=+-+=++=+原式22 4 (21)(1)x x x =-+=-即，原式例2：已知221x x ++是多项式32x x ax b -++的一个因式，求a ，b 的值，并将该多项式因式分解． 【思路分析】 ①由已知可设32x x ax b -++=(221x x ++)(___________)； ②化简，对照系数即可． 【过程书写】 解：设322(21)()x x ax b x x x m -++=+++，则 3232(2)(21)x x ax b x m x m x m -++=+++++∴2121m m a m b +=-??+=??=? 解得533a b m =-??=-??=-? 322253(21)(3) (1)(3) x x x x x x x x ---=++-=+-∴ 巩固练习 1.把下列各式因式分解． （1）222()8()12x x x x +-++；
（2）22(24)(22)9x x x x -+--+++； （3）(1)(2)(3)(4)24x x x x -+-++； （4）32256x x x +--；（5）31x -； （6）3234x x +-；（7）222241x y x y xy +---． 2.方程2230x x --=的解为______________________． 3.若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足 3222230a a b ab ac bc b -+-+-=，则△ABC 的形状是 _____________________________．
因式分解应用
因式分解 因式分解练习: （1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a 方法讲解: 一、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例1、分解因式：652++x x 例2、分解因式：672+-x x 练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x （二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c
（3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例3、分解因式：101132+-x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y （三）二次项系数为1的齐次多项式 例4、分解因式：221288b ab a -- 练习4、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a -- （四）二次项系数不为1的齐次多项式 例5、22672y xy x +- 例6、2322+-xy y x 练习5、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a 二、主元法. 例7、分解因式：2910322-++--y x y xy x 练习7、分解因式(1)56422-++-y x y x (2)6 7222-+--+y x y xy x
2018-2019学年度冀教版七年级数学下册同步练习 第十一章 因式分解及其应用( 无答案)
因式分解及其应用1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（） A．9x2 y3 z = 3x2 z ?y3 B．x2 +x -5 =x(x +1) -5 C．a2b +ab2 =ab(a +b) D．x2 +1=x( x+1 x ) 2. 下列各式中，代数式（）是x3y+4x2y2+4xy3 的一个因式． A．x2y2 B．x+y C．x+2y D．x-y 3. 因式分解： （1）3a2b + 6ab2 -3ab ；（2）y(x -y) -(y -x) ；（3）16 -8(x -y) + (x -y)2 ；（4）(a2 +1)2 - 4a2 ； （5）3m(2x -y)2 -3mn2 ；（6）(x -1)(x -5) +4；（7）(x -1)(x + 4) -3x ；（8）4(m +n)2 -12m(m +n) +9m2 ；（9）1012 -992 ；（10）2 0182 - 2 018? 4 032 + 2 0162 ．4. 要使4a2 +ab +mb2 成为一个完全平方式，则m=． 5. 要使4a2 -ma +1 4 成为一个完全平方式，则m=． 6. 若x2 - 2x +y2 +6y+10 =0，则x=，y=．
7. 观察下列各式： 12 + 32 + 42 = 2 ?(12 + 32 + 3) 22 + 32 + 52 = 2 ?(22 + 32 + 6) 32 + 62 + 92 = 2 ?(32 + 62 +18) …… （1）小明用a，b，c 表示等式左边的由小到大的三个数，你能发现c 与a， b 之间的关系吗？ （2）你能发现等式右边括号内的三个数与a，b 之间的关系吗？请用字 母a，b 写出你发现的等式，并加以证明． 8. 观察下面的几个算式： ①14×16=100×1×2+24=224； ②24×26=100×2×3+24=624； ③34×36=100×3×4+24=1 224； …… （1）仿照上面的书写格式，请你迅速写出84×86 和124×126 的结果； （2）请利用多项式的乘法表示你所发现的规律，并进行验证．
因式分解综合复习(含答案)
因式分解综合复习 知识点一（提公因式法） 【知识梳理】 提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法． 注意事项 （1）如果多项式的首项是负数时，一般先提出“—”号，使括号内的第一项系数是正数． （2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”． （3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致． （4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式． 【例题精讲】 例1、 （1）y x x 3 4 488－－ （2） ab b a b a 2642 23－＋－ 点拨：提取公因式后剩余的多项式的项数与原多项式的项数相同，由此可以检验是否漏项.
【课堂练习】 1、将下列各式因式分解 （1）32269a b a b c - （2）32 2812m m m -+- （3）2()3()m a b n b a --- 2、多项式15m 3n 2+5m 2n-20m 2n 3的公因式是____. 3、分解因式 （1）x （x ﹣2）﹣3（2﹣x ） （2）2x （a ﹣b ）﹣3（b ﹣a ） 知识点二（运用公式法） 【知识梳理】 将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式，常见公式如下： 1. 平方差公式： ))((22b a b a b a -+=- 2. 完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- 3. 三项和完全平方公式：2222)(222c b a bc ac ab c b a ++=+++++
因式分解公式大全
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
初三数学因式分解的应用教案
初三数学因式分解的应用教案【】初三数学因式分解的应用教案教案让学生学会运用因式分解进行简单的多项式除法并且学会运用因式分解解简单的方程。 教学目标1、会运用因式分解进行简单的多项式除法。2、会运用因式分解解简单的方程。 二、教学重点与难点教学重点：因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。 教学难点：应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。三、教学过程（一）引入新课1、知识回顾(1) 因式分解的几种方法: ①提取公因式法: ma+mb=m(a+b) ②应用平方差公式: = (a+b) (a-b)③应用完全平方公式:a 2ab+b =(ab) (2) 课前热身：①分解因式:(x +4) y - 16x y （二）师生互动，讲授新课1、运用因式分解进行多项式除法例1 计算: (1) (2ab -8a b) (4a-b)(2)(4x -9) (3-2x)解:(1) (2ab -8a b)(4a-b) =-2ab(4a-b) (4a-b) =-2ab (2) (4x -9) (3-2x) =(2x+3)(2x-3) [-(2x-3)] =-(2x+3) =-2x-3 一个小问题:这里的x能等于3/2吗?为什么? 想一想:那么(4x -9) (3-2x) 呢?练习：课本P162课内练习12、合作学习 想一想:如果已知( )( )=0 ，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够满足条件呢? (让学生自己思考、相互之
间讨论!)事实上，若AB=0 ，则有下面的结论：(1)A和B同时都为零，即A=0，且B=0(2)A和B中有一个为零，即A=0，或B=0 试一试:你能运用上面的结论解方程(2x+1)(3x-2)=0 吗?3、 运用因式分解解简单的方程例2 解下列方程：(1) 2x +x=0 (2) (2x-1) =(x+2) 解：x(x+1)=0 解：(2x-1) -(x+2) =0则x=0，或2x+1=0 (3x+1)(x-3)=0原方程的根是x1=0，x2= 则3x+1=0，或x-3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1 ，x2 等练习：课本P162课内练习2 做一做！对于方程:x+2=(x+2) ，你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以(x+2)吗?为什么? 教师总结：运用因式分解解方程的基本步骤(1)如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为解若干个一元一次方程;(2)如果方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的右边化为零以后再进行解方程;遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项使右边化为零，切忌两边同时除以公因式!4、知识延伸解方程：(x +4) -16x =0解：将原方程左边分解因式，得(x +4) -(4x) =0(x +4+4x)(x +4-4x)=0(x +4x+4)(x -4x+4)=0 (x+2) (x-2) =0接着继续解方程，5、练一练①已知a、b、c为三角形的三边，试判断a -2ab+b -c 大于零?小于零?等于
因式分解综合应用(习题及答案)
因式分解综合应用（习题） ? 例题示范 例1：因式分解22(22)(24)9x x x x ---++． 【过程书写】 解：令22x x t -=，则 222(2)(4)9 289 21 (1)t t t t t t t =-++=+-+=++=+原式 22 4(21)(1) x x x =-+=-即，原式 例2：已知221x x ++是多项式32x x ax b -++的一个因式，求a ，b 的值，并将该多项式因式分解． 【思路分析】 ①由已知可设32x x ax b -++= (221x x ++)( ___________ )； ②化简，对照系数即可． 【过程书写】 解：设322(21)()x x ax b x x x m -++=+++，则 3232(2)(21)x x ax b x m x m x m -++=+++++ ∴2121m m a m b +=-??+=??=? 解得533a b m =-??=-??=-? 322253(21)(3) (1)(3) x x x x x x x x ---=++-=+-∴ ? 巩固练习 1. 把下列各式因式分解．
（1）222()8()12x x x x +-++； （2）22(24)(22)9x x x x -+--+++； （3）(1)(2)(3)(4)24x x x x -+-++； （4）32256x x x +--； （5）31x -； （6）3234x x +-； （7）222241x y x y xy +---． 2. 方程2230x x --=的解为______________________． 3. 若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足 3222230a a b ab ac bc b -+-+-=，则△ABC 的形状是
因式分解的应用
因式分解的应用 一、知识体系 1. 因式分解是代数变形的重要工具，在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础．现阶段，因式分解在数值计算、代数式的化简求值、不定方程（组）、代数等式的证明等方面都有广泛的应用；同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高。其应用主要体现在以下几个方面： ①．整体代换，代数式变形求值问题； ②．简化复杂的数值计算，利用因式分解找可以相消，凑整的部分； ③．证明数论相关问题，通过因式分解进行倍数、约数的分析； ④．解决几何问题，特别是三角形三边关系的恒等变形与证明． 2. 有些多项式因式分解后的结果在解决问题过程中常常用到，我们应该熟悉这些结果，记住一些常用公式，有助于我们快速解题： ①1(1)(1)ab a b a b +++=++，1(1)(1)ab a b a b --+=--； ②4224(22)(22)x x x x x +=-+++，42241(221)(221)x x x x x +=-+++； ③2222 2()()a b c ab bc ca a b c +++++=++； ④3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---. 二、例题讲解 例1.计算： （1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+?+?+?+?+?+?+?+?+?+? ； （2）32 322017220172015201720172018-?-+- 1.1 设322320162015(20162017)2015(20142013)2014a -?+=?--，3223 20172016(20172018)2016(20152014)2015b -?+=?--，则a ，b 的大小关系为（ ） A. a b > B. a b = C. a b < D. 无法确定 1.2 设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结 果是( ) A ．5814 B ．5841 C ．8415 D ．845l
因式分解综合应用(换元法与添项拆项)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？ 问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为____________． 问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分_______时，我们会________将其替换，从而简化式子的形式． 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？ 答：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法． 问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化 为． 答：四种基本方法． 问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分时，我们会将其替换，从而简化式子的形式． 答：重复出现；设元． 因式分解综合应用（换元法与添项拆项）（人教 版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 2.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 3.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法
4.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 5.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
因式分解综合应用 (讲义及答案)
因式分解综合应用（讲义） ? 课前预习 1. 因式分解的基本方法有______________________________． 因式分解是有顺序的，需记住口诀：“___________________”． 其中“查”指的是“检查”，特别需要检查的是分解是否彻底． 2. 把下列各式因式分解． （1）224x y x -； （2）221216a a -+-； （3）222221x xy y x y -+-++； （4）42627x x --． ? 知识点睛 _____________、__________、___________、__________是因式分解的四种基本方法，换元、添项拆项是复杂多项式进行因式分解的常用技巧，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为___________________． ①换元：当多项式中的某一部分________________时，我们会___________将其替换，从而简化式子的形式． ②添项拆项：其目的是使多项式能够用__________________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________________． ? 精讲精练 1. 把下列各式因式分解． （1）222(2)7(2)8x x x x +-+-； （2）22(42)(46)4x x x x -+-++；
（3）(1)(3)(5)(7)15 +++++； a a a a （4）(1)(2)(3)(4)24 -----； x x x x （5）22423 +++； x x x a b a b -+++；（6）32 6116（7）44 x+； x+；（8）31
因式分解定理的应用
因式分解定理的两个应用 刘学勇 (浙江省象山县荔港学校 315731) 因式分解定理：用一次多项式x a -去除多项式()f x （()f x 表示关于x 的多项式）所得的余式是一个常数，这个常数等于()f a （当x a =时关于x 的多项式的值）。 推论：多项式()f x 能被x a -整除，则()0f a =；反之若()0f a =，则x a -整除多项式()f x 。通俗的说成：如果x a =时，关于x 的多项式的值为零，那么x a -是该多项式的一个因式。反之亦然。 利用此定理可以进行因式分解和解特殊的高次方程。 例1.若()()x a x b k ---中含有因式x b +，则k = 分析：根据因式分解定理把x b =-代入()()x a x b k ---=0得2()0b a b k +-=，则k=2()b a b + 例2.已知多项式32ax bx cx d +++ 除以1x -时，所得的余数是1，除以2x -时，所得的 余数是3，那么多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是（ ） A 。21x - B 。21x + C 。1x + D 。1x - （第12届初二第二试） 解：设32 ()f x ax bx cx d =+++=(1)(2)a x x px q --++，由因式分解定理(1)1(2)3f f =??=? 解得21 p q =??=-?，所以多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是21x -。 例3.已知a ，b ，c 均为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。（1）求 4a c +的值。（2）求 22a b c --的值；（3）若 a ，b ，c 为整数，且1c a ≥> 试确定 a ， b ， c 的大小。 （第8届初二第二试） 解：（1）因为234(1)(4)x x x x +-=-+，所以1x -，4x +都能整除32 x ax bx c +++，所以 (1)0(4)0f f =??-=?，即10641640a b c a b c +++=??-+-+=?，整理得116464 a b c a b c ++=-??-+=?解得313b a =-，124c a =-，所以412a c +=， （2）22a b c --=22(313)(124)a a a ----=14。
初中数学因式分解的应用培优练习题(附答案详解)
初中数学因式分解的应用培优练习题（附答案详解） 1．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．61和63 B ．63和65 C ．65和67 D ．64和67 2．已知4821-可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．1、3 B ．3、5 C ．6、8 D ．7、9 3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，则此三角形是 ( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 4．若a-b=1，则222a b b --的值为____________． 5．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A 和B ，已知A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A 、B 各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货. 6．已知a 1?a 2?a 3?…?a 2007是彼此互不相等的负数，且M=（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2007），N=（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2006），那么M 与N 的大小关系是M N ． 7．已知a 2＋b 2-6ab=0（a ＞b ），则 a b b a +-= 8．有下列四个结论： ①a÷m+a÷n=a÷(m+n)； ② 某商品单价为a 元．甲商店连续降价两次，每次都降10%．乙商店直接降20%．顾客选择甲或乙商店购买同样数量的此商品时，获得的优惠是相同的； ③若222450x y x y ++-+=，则x y 的值为 12； ④关于x 分式方程211 x a x -=-的解为正数，则a ＞1． 请在正确结论的题号后的空格里填“√” ，在错误结论的题号后空格里填“×”： ①______； ②______； ③______； ④______ 9．如图1,在平面直角坐标系中, ,90,8AO AB BAO BO cm =∠=?= ,动点D 从原点O 出发沿x 轴正方向以/acm s 的速度运动,动点E 也同时从原点O 出发在y 轴上以/bcm s 的速度运动,且,a b 满足关系式22 4250a b a b +--+=,连接,OD OE ,设运动的时间为t 秒.
八年级数学因式分解综合应用(北师版)(综合)(含答案)
因式分解综合应用（北师版）（综合） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 故选B． 试题难度：三颗星知识点：略 2.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
故选D． 试题难度：三颗星知识点：略 3.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 要点提示： 根据分解因式的口诀“一提二套三分四查”， 首先要提公因式-x， 最后记得要“查”——是否分解彻底； 故选D． 试题难度：三颗星知识点：略 4.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
故选B． 试题难度：三颗星知识点：略 5.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 故选A． 试题难度：三颗星知识点：略 6.把ab-1+a-b分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
故选D． 试题难度：三颗星知识点：略 7.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 故选A． 试题难度：三颗星知识点：略 8.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 故选C． 试题难度：三颗星知识点：略
9.把分解因式，分解的结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 1.思路分析 ①观察式子，比较复杂，其中重复出现， 选择换元法将其替换， 设，则； ②将代入，则 2.解题过程： 故选B 试题难度：三颗星知识点：略 10.把分解因式，分解的结果是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 1.思路分析 ①观察式子，比较复杂，其中重复出现， 选择换元法将其替换， 设，则；
因式分解简单应用及答案
因式分解简单应用 一、填空题 1．已知m+n=5，mn=3，则m2n+mn2=_________． 2．已知x+y=6，xy=﹣3，则x2y+xy2=_________． 3．当a=3，a﹣b=1时，代数式a2﹣ab的值是_________． 4．若m+n=8，mn=12，则mn2+m2n的值为_________． 5．若x+y=1003，x﹣y=2，则代数式x2﹣y2的值是_________． 6．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为_________． 二、解答题 7．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．8．分解因式：a2﹣2ab+b2﹣c2． 9．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 10．分解因式：m2﹣n2+2m﹣2n 11．（1）给出三个多项式2a2+3ab+b2，3a2+3ab，a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式； （2）解方程组．
12．给出三个整式a2，b2和2ab． （1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值； （2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程． 13．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解． 14．现有三个多项式：a2+a﹣4，a2+5a+4，a2﹣a，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解． 15．给出三个多项式X=2a2+3ab+b2，Y=3a2+3ab，Z=a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．
因式分解分类讲解
因式分解一提公因式法 【知识要点】 1、分解因式的概念 把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。 2、分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是的恒等变形。 3．分解因式的一些注意点 （1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止； （3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。 4．公因式 多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的. 5.提公因式法 如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法. 6.确定公因式的方法 (1)系数公因式:应取多项式中各项系数为; (2)字母公因式:应取多项式中各项字母为. 《重点辨析》 提取公因式时的注意点
【学堂练习】 1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是? (1))1 1(22x x x x +=+; (2)1)5)(5(22--+=-a a b a (3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x (5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x 2．把下列各式分解因式 （1）a ab a 3692+- （2）4324264xy y x y x +-- 【经典例题】 例1、把下列各式分解因式 （1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a ----- （3）32)2()2(2x y b y x a -+- （4）32)3(25)3(15a b b a b -+- （5）432)(2)(3)(x y x y y x -+--- （6）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+
因式分解与应用例题特殊方法
因式分解 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 数字 提供因式单项式 多项式 因式分解公式法：平方差，完全平方，十字相乘法 分组分解 下面各式的变形中，是否为因式分解，为什么？ (1)x^2-y^2+1=(x+y)(x-y)+1 (2)(x-2)(x+1)=x^2-x-2 (3)6x^2y^3=3xy.2xy^2 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法为相反变形
错误！超链接引用无效。因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。（实际上就是把见到的问题复杂化） 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1) 错误！超链接引用无效。基本方法 错误！超链接引用无效。⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。