专题13 三角形的基本知识
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三角形是最基本的几何图形,是研究复杂几何图形的基础,许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等,它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.
解与三角形的基本知识相关的问题时,常用到数形结合及分类讨论法,即用代数方法解几何计算题及简单的证明题,对三角形按边或按角进行恰当分类.
应熟悉以下基本图形:
图4
图3
图2
图1
C
D
B
A
D C
B
A
D
C
B
A D
C
O
B
A
例题与求解
【例1】 在△ABC 中,∠A =50°,高BE ,CF 交于O ,则∠BOC =________.
(“东方航空杯”——上海市竞赛试题)
解题思路:因三角形的高不一定在三角形内部,故应注意符合题设条件的图形多样性.
【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分,则这个等腰三
角形底边的长为( )
A .17cm
B .5cm
C .5cm 或17cm
D .无法确定
(北京市竞赛试题)
解题思路:中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等,应分情况讨论.
【例3】 如图,BE 是∠ABD 的平分线,CF 是∠ACD 的平分线,BE 与CF 交于G ,若∠BDC =140°,∠BGC =110°,求∠A 的大小.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:运用凹四边形的性质计算.
G
C D
B
E
F A
【例4】 在△ABC 中,三个内角的度数均为正数,且∠A <∠B <∠C ,4∠C =7∠A ,求∠B 的度数.
(北京市竞赛试题)
解题思路:把∠A ,∠C 用∠B 的代数式表示,建立关于∠B 的不等式组,这是解本题的突破口.
【例5】 (1)周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?
(2)现有长为150cm 的铁丝,要截成)2(>n n 小段,每段的长不小于1cm 的整数,如果其中任意3小段都不能拼成三角形,试求n 的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段.
(江苏省竞赛试题)
解题思路:对于(1),不妨设三角形三边为a ,b ,c
,且c b a <<,由条件
及三角形三边关系定理可确定
c 的取值范围,从而可以确定整数
c 的值.
对于(2),因n 段之和为定值150cm ,故欲使n 尽可能的大,必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.
【例6】 在三角形纸片内有2 008个点,连同三角形纸片的3个顶点,共有2 011个点,在这些点中,没有三点在一条直线上.问:以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形?
(天津市竞赛试题)
解题思路:本题的解题关键是找到规律:三角形内角每增加1个内点,就增加了2个三角形和3条边. 能力训练
A 级
1.设a ,b ,
c
是△ABC 的三边,化简c b a c b a --+++=____________.
2.三角形的三边分别为3,a 21-,8,则a 的取值范围是__________.
3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4,这个三角形是_______(按角分类)三角形.
4.如图,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________. (“缙云杯“试题)
E
D
C
B
A
H
D
C
M
G B
A
E
C
B
A
(第4题) (第5题) (第6题)
5.如图,已知AB ∥CD ,GM ,HM 分别是∠AGH ,∠CHG 的角平分线,那么∠GMH =_________.
T E
D G
H
C
B
A F
2
1
A
C
E
D
B
(第7题) (第9题) 6.如图,△ABC 中,两外角平分线交于点E ,则∠BEC 等于( ) A .
)90(21A ∠-? B .A ∠+?21
90 C .
)180(21A ∠-? D .A ∠-?2
1180 7.如图,在△ABC 中,BD ,BE 分别是高和角平分线,点F 在CA 的延长线上,FH ⊥BE 交BD 于G ,交BC 于H .下列结论:
①∠DBE =∠F ;②2∠BEF =∠BAF +∠C ;③∠F =2
1
(∠BAC -∠C );④∠BGH =∠ABE +∠C . 其中正确的是( )
A .①②③
B .①③④
C .①②③
D .①②③④ 8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数,那么这样的不同的三角形共有( )
A .6个
B .7个
C .8个
D .9个 9.如图,将纸片△ABC 沿着D
E 折叠压平,则( ) A .∠A =∠1+∠2 B .∠A =
2
1
(∠1+∠2) C .∠A =
31(∠1+∠2) D .∠A =4
1
(∠1+∠2)
(北京市竞赛试题)
10.一个三角形的周长是偶数,其中的两条边分别是4和1 997,则满足上述条件的三角形的个数是( )
A .1个
B .3个
C .5个
D .7个
(北京市竞赛试题)
11.如图,已知∠3=∠1+∠2,求证:∠A +∠B +∠C +∠D =180°.
(河南省竞赛试题)
32
1E
G
F
D
C B
A
12.平面内,四条线段AB ,BC ,CD ,DA 首尾顺次连接,∠ABC =24°,∠ADC =42°. (1)∠BAD 和∠BCD 的角平分线交于点M (如图1),求∠AMC 的大小.
(2)点E 在BA 的延长线上,∠DAE 的平分线和∠BCD 平分线交于点N (如图2),求∠ANC .
全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,111749AD 是整数,求AD 解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4即 4-2<2AD <4+21<AD <3∴AD=2 2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12 CD AB 延长CD 与P ,使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 4. 5. 证明:连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC A D B C
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD DE =DC ∠FDE =∠GDC (对顶角)∴△EFD ≌△CGD EF =CG ∠CGD =∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD =∠1∠1=∠2 ∴∠CGD =∠2∴△AGC 为等腰三角形,AC =CG 又EF =CG ∴EF =AC 7. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠ C 证明:延长AB 取点E ,使AE =AC ,连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD =∠CAD ∵AE =AC ,AD =AD ∴△AED ≌△ACD (SAS ) ∴∠E =∠C ∵AC =AB+BD ∴AE =AB+BD ∵AE =AB+BE ∴BD =BE ∴∠BDE =∠E ∵∠ABC =∠E+∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∴∠ABC =2∠C 8. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB =∠CEF =90° ∵EB =EF ,CE =CE ,∴△CEB ≌△CEF ∴∠B =∠CFE ∵∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° ∴∠D =∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC =∠FAC ∵AC =AC ∴△ADC ≌△AFC (SAS ) ∴AD =AF ∴AE =AF +FE =AD +BE 9. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ,连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE (SAS ) ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE (AAS )∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C AB ‖ED ,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度, ∵∠EAB=∠BDE , B A C D F 2 1 E D C B A F E A
第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是
全等三角形 一、目标认知 学习目标: 1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素; 2.探索三角形全等的条件,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式。 重点: 1. 使学生理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式; 2 .三角形全等的性质和条件。 难点: 1.掌握用综合法证明的格式; 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等 经典例题透析 类型一:全等三角形性质的应用 1、如图,△ABD≌△ACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角. 思路点拨:AB=AC,AB和AC是对应边,∠A是公共角,∠A和∠A是对应角,按对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边可求解. 解析:AB和AC是对应边,AD和AE、BD和CE是对应边,∠A和∠A是对应角,∠B和∠C,∠AEC和∠ADB是对应角. 总结升华:已知两对对应顶点,那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角,第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边. 已知两对对应边,第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角.
举一反三: 【变式1】如图,△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗?为什么? 【答案】证明:由△ABC≌△DBE,得AB=DB,BC=BE, 则AB-BE=DB-BC,即AE=CD。 【变式2】如右图,,。 求证:AE∥CF 【答案】 ∴AE∥CF 2、如图,已知ΔABC≌ΔDEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE 的度数与EC的长。 思路点拨:由全等三角形性质可知:∠DFE=∠ACB,EC+CF=BF+FC,所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。 解析:在ΔABC中, ∠ACB=180°-∠A-∠B, 又∠A=30°,∠B=50°, 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF, 所以∠ACB=∠DFE, BC=EF(全等三角形对应角相等,对应 边相等)。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华:全等三角形的对应角相等,对应边相等。 举一反三: 【变式1】如图所示,ΔACD≌ΔECD,ΔCEF≌ΔBEF,
2 初三数学相似三角形 (一)相似三角形是初中几何的一个重点,同时也是一个难点,本节复习的目标是: 1. 理解线段的比、成比例线段的概念,会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比,了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明,会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一, 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现,分值一般在 10%左右,有时也单独成题,形成创新与探索型试题;有利于培养学生的综合素质。 (二)重要知识点介绍: 1. 比例线段的有关概念: 在比例式 a b c (a : bc :d )中, a 、 d 叫外项, d b 、 c 叫内项, a 、c 叫前项, b 、 d 叫后项, d 叫第四比例项,如果 b=c ,那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,使 AC=AB BC ,叫做把线段 AB 黄金分割, C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: ①基本性质: a c b d ②合比性质: a c b d ad bc a b c d b d ③等比性质: a c ? b d m (b d ? n n ≠ 0) a c ? m a b d ? n b 3. 平行线分线段成比例定理: ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图: l 1∥ l 2∥ l 3 。 AB 则 BC DE , AB EF AC DE , BC DF AC EF ,? DF
全等三角形典型例题: 例1:把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D 在BC 上,连结BE ,AD ,AD 的延长线交BE 于点F .求 证:AF ⊥BE . 练习1:如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC , AE 是过点A 的直线,BD ⊥AE ,CE ⊥AE , 如果CE=3,BD=7,请你求出DE 的长度。 例2: △DAC, △EBC 均是等边三角形,AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证:(1)AE=BD ; (2)CM=CN ; (3) △CMN 为等边三角形;(4)MN ∥BC 。 例3:(10分)已知,△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC ,过A 任作一直线l ,作BD ⊥l 于D ,CE ⊥l 于E ,观察三条线段BD ,CE ,DE 之间的数量关系. ⑴如图1,当l 经过BC 中点时,DE = (1分),此时BD CE (1分). ⑵如图2,当l 不与线段BC 相交时,BD ,CE ,DE 三者的数量关系为 ,并证明你的结论.(3分) ⑶如图3,当l 与线段BC 相交,交点靠近B 点时,BD ,CE ,DE 三者的数量关系为 . 证明你的结论(4分),并画图直接写出交点靠近C 点时,BD ,CE ,DE 三者的数量关系为 .(1分) 图1 图2 图3 C B A l B C A B C D E l A B C l E D
练习1:以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边,分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF,连结EF、EC。试说明:(1)EF=EC;(2)EB⊥CF B A F E 练习2: 如图(1)A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC若AB=CD,G是EF的中点吗?请证明你的结论。 若将⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图(2)时,其余条件不变,上述结论还成立吗?为什么?