实数与向量相乘

实数与向量相乘

1.实数与向量相乘的意义

一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a m

n 的向量. 要点诠释：

设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的

长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义

一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka

，它的长度与方向规定

如下：

（1）如果k 0,a 0且≠≠

时，则：

①ka 的长度：||||||ka k a = ；

②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a

反方向；

（2）如果k 0,a=0=

或时，则：0ka = ，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量

的数乘. 要点诠释：

（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；

（3）ka

表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表

示向量的箭头写在数字上面；

（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：

（1）()()m na mn a =

（结合律）；

（2）()m n a ma na +=+

（向量的数乘对于实数加法的分配律）；

（3）m （+b

）=m a a mb +

（向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理

（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：

任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a = ，01a a a

=

.

（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =

.

要点诠释：

（1）定理中，b m a = ，m 的符号由b 与a

同向还是反向来确定.

（2）定理中的“a 0≠ ”不能去掉，因为若a 0= ，必有b 0=

，此时m 可以取任意实数，

使得b ma =

成立.

（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b m a = ，则向量b

与非零向量a

平行.

（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =

.

（5）A 、B 、C 三点的共线?AB//BC ?若存在实数λ，使 AB BC λ=

.

要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义

向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：

（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解

平面向量基本定理：如果12,e e

是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于

这一平面内的任一向量a

，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+ .

要点诠释：

（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e

叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．

(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+ 形式，叫做向量的分解，当12

,e e

相互垂直时，就称为向量的正分解.

每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。如图：

从物理学的角度上面的现象是：将一个力分解为不同方向的两个力。

例：1如果向量a ，b 是同一平面内的两个不平行向量。已知向量c 是该平面内的一个非零向量，画出向量c 在向量a ，b 方向上的分向量吗？

练习：1.已知向量OA ，OB 和p ，q

求作：（1）向量p 分别在OA ，OB 方向上的分向量。 （2）向量q 分别在OA ，OB 方向上的分向量。

O

C a

b

c

P

q O A

B

1、计算: (1). =+BC AB _______ (2). =-AC AB _______.

(3).

BC CD AB ++=_________.(4). DB AB -=______. (5) CA BC AB ++=______ (6). ()()DE

BE CD AB -+-=________.

2、计算:()()

b a b a 3322+--=___________。

3、已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,设b OB a OA ==,,写出向量AB 关

于a 、b 的分解式____________. 4、如图，在□ABCD 中，点F 是AB 的中点， E 点在BC 上， 且BC=3BE ，设a BF =，b BE =， 那么向量CA 关于a 、b 的分解式为CA =________。

5、AD 是△ABC 的中线，G 是重心, b AC a AB ==,,则AD =_____，=AG ____。

6、如图，点D 、E 在?ABC 边AB 和AC 上, DE ∥BC,

3

2

=AB AD ，设，试用向量BC 表示向量D E :_________ 7、如图，AB ∥CD ，且OC :AO=3：4，设a AO =，b OB =，

那么CD 用a 、b 的线性表示为CD =___________________

8、已知向量a 、b 满足关系式()

042

132=-+x b a , 用向量a 、b 表示向量x .

O

D

C

A B

O

E

F

B

A C

D

A

B C

D E

一、填空题

1、 若a 是非零向量，则a k 的方向是 ：当0

2、 如果两个非零向量b a 、

满足b a λ=(λ是非零实数)，那么a 和b 一定是___________；当1=λ时，它们是__________的向量；当1-=λ时，它们是___________的向量

3、 设k 是非零实数，b a 、是非零向量，用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：

_______________________________________

4、 如果b a 、

是两个不平行的向量，那么b a 52--叫做b a 、的______________________ 5、 对于非零向量a ，它的长度为5，如果把与它同向的单位向量记作0a ，那么向量a 可以

记作____________

6、 设e 是单位向量，若x 与e 方向相同，且满足

2

3

=

e

x ，请用e 表示x ：________________ 7、 如果,c b a 32=+,b a 02=+则

=b

a _____________________

8、 在四边形ABCD 中，设a AB =，b CD =，如果,a b 2=那么四边形一定是_________

（填四边形的名称）

9、 已知ABC ?的重心是点G ，则=++GC GB GA _______________

10、 设O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，点P 为平面内与O 不重合的任意一点，

设a OP =，试用a 表示PD PC PB PA +++：________________________________ 二、选择题

11、 下列式子中，错误的是（ ）

A. a a a 2=+

B. ()0=-+a a

C.()

b a b a --=+- D. a b b a -=- 12、 向量()()

OM BC BO MB AB ++++化简后的结果等于( )

A. BC

B. AB

C. AC

D. AM

13、 点C 在线段AB 上，且AB AC 5

3

=

，若BC m AC =，则m 的值等于（ ）

A.

32 B. 23 C. 32- D. 2

3- 14、 给出下列3个命题，其中真命题的个数是( )个

（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等 A.0 B.1 C.2 D.3

15、 已知一个单位向量e ，设b a 、

是非零向量，则下列等式中正确的是（ ） A.a e a = B. b b e = C. e a a

=1 D.

=

a a

1b b

1

三、解答题 16、 计算：()

??

? ??---+-a b b a 21313232。

17、已知向量关系式()

,x b a 062=-+试用向量b a 、

表示x 。

18、已知非零向量b a 、

，请用作图方法验证()

b a b a 222+=+（不写作图方法，保留作图痕迹，请写出验证过程）。

19、在ABC ?中，E G 、为AC 的三等分点，H F 、为BC 三等分点，a CA =，b

BC =写出GH EF AB 、、

关于b a 、的线性组合。

a

b

A B

C

E G F

H

20、如图，已知平行四边形ABCD 中，点F E 、分别是边AB DC 、的中点，CF AE 、与对角线BD 分别交于点H G 、，设a AF =，b AD =（满分12分）

（1） 试用b a 、分别表示向量GE GH 、 （2） 作出向量DH 分别在b a 、

方向上的分向量

21、在ABC ?中，D 是AB 边的在中点，E 是BC 延长线上的点，且.BC BE 2=。

（1） 用BC BA 、表示向量DE （2） 用CB CA

、表示向量DB

22、在四边形ABCD 中，,b a AB 2+=,b a BC --=4,b a CD 35--=请判断四边形的形状，并证明你的结论。

A

B

D

E

C

B

A

C

E

F

G

H

沪教版九年级上册数学 24.7 实数与向量相乘 向量的线性运算 教案

24.6-24.7 实数与向量相乘 向量的线性运算 教案 【学习目标】 1．理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律； 2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量； 3．认识两个平行向量的代数表达形式； 4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系. 【要点梳理】 要点一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设n 为正整数，为向量，我们用a n 表示n 个相加；用a n -表示n 个-相 加.又当m 为正整数时， a m n 表示与同向且长度为a m n 的向量. 要点诠释： 设P 为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P 也就是将的长度进行放缩，但方向相反. 2．向量数乘的定义 一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下： （1）如果k 0,a 0且≠≠时，则： ①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意. 实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释： （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （4）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设m n 、为实数，则： （1）()()m na mn a =（结合律）；

向量的加减法实数与向量的乘积专题练习

高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则等于 （ ） A ．+ B ．+ C ．DH + D ．GH + 2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0 C ．长度相等的向量叫相等向量 D ．共线向量是在同一条直线上的向量 3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于 （ ） A ． B ．4 C ．4 D ．4 4．已知向量与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+ D ．||||||+=+ 5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．=+ B ．=- C ．d a b =- D ．b a c =-

6．下列各量中是向量的是 （ ） A ．质量 B ．距离 C ．速度 D ．电流强度 7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ） A ． )35(2 1 21e e + B ． )35(2121e e - C ．)53(2 1 12e e - D ．)35(2 1 12e e - 8．若),,(,,,R ∈=+μλμλ不共线则 （ ） A ．==, B ．o ==μ, C ．o ==,λ D ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(2 1 [31b a b a --+的结果是 （ ） A ．-2 B ．-2 C ．- D ．- 10．下列三种说法： ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量。其中正确的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则 等于 （ ） A ．λ+ B ．+λ C ．)1(λλ-+ D ．λ λ λ+++111 12．已知ABCD 为菱形，则下列各式中正确的个数为 （ ） ①= ②||||BC AB = ③||||+=- ④||4||||22=+2 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上） 13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e e e k +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 . 16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .

实数与向量的乘积

实数与向量的乘积 1.实数与向量的乘积：设λ为任意实数，a r 为任意的非零向量。λ与a r 的乘积是一个向量， 记作______ 模：a λr 的模等于||a r 的_____倍，即||a λ=r _____ 方向：（1）当0λ>时，规定a λr 与a r 的方向______ （2） 当0λ=时，规定a λ=r ______ （3）当0λ<时，规定a λr 与a r 的方向______ 由于规定了a λr 的模||a λr 与a λr 的方向，这样a λr 就能确定了。 4.根据实数与向量的乘积的定义，可知a λr 与a r 是____________的向量 5.两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是：存在非零实数λ，使b =r ______ 6. 实数与向量的乘积满足以下运算律： 设,R λμ∈，则（1）()a a a λμλμ+=+r r r （2）()()a a λμλμ=r r （3）()a b a b λλλ+=+r r r r 7.已知非零向量a r 的单位向量0a =u u r ______，方向与向量a r ______ 例2下列结论中 ⑴,a b r r 是两向量，则a b r r 与的关系必为,,a b a b a b >=

沪教版(上海)九年级上册数学 24.6-24.7实数与向量相乘 向量的线性运算 同步练习

24.6-24.7实数与向量相乘 向量的线性运算 同步练习 一、选择题 1. 若四边形ABCD 的对角线交于点O ，且有，则以下结论正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++=u u u r u u u r u u u r u u u r （） A.FE u u u r B.AC u u u r C.DC u u u r D.FC u u u r 3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C)，则AP =u u u r ( ) A ．(),(0,1)A B AD λλ+∈u u u r u u u r B ．2(),(0,)2 AB BC λλ+∈u u u r u u u r C ．(),(0,1)AB A D λλ-∈u u u r u u u r D ．2(),(0,)2 AB BC λλ-∈u u u r u u u r 4. 已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM → 成立，则m 等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，，那么 等于（ ） A ． B ． C ． D ． 6.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，123 AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则λ=( ) A. 23 B. 13 C.13 - D.23 - 二、填空题 7．已知向量,a b r r ，且AB →＝2a b +r r ，BC →＝56a b -+r r ，CD →＝72a b -r r ，共线的三点是__________． 8. 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若 AC →＝λAE →＋μAF → ，其中λ、μ均为实数，则λ＋μ＝________. 9. 已知AD 是△ABC 的中线，点G 是△ABC 的重心，=，那么用向量表示向量 为 ． 10.如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量为123 r r r u r u r u r 、 、，则OD u u u r =_______________.

2020年中招数学复习考前考点模拟导航练：实数与向量相乘(含解析)

2020年中招数学复习考前考点模拟导航练 实数与向量相乘（解析版) 1．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④方向相同 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知向量，若与共线，则( ) A ． B ． C ． D ． 或 3．下列结论正确的是（ ）． A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量 B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r 不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r 是 单位向量 D ．计算向量的模与单位长度无关 4．下列各式正确的是（ ）． A ．() 22a b c a b c ++=++r r r r r r B ．()( ) 330a b b a ++-=r r r r C ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u r D ．3544a b a b a b ++-=-r r r r r r 5．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r 用 向量a b ?r r 表示为（ ） A ．12a b +r r B ．2133a b +r r C ．2233a b +r r D ．1124 a b +r r 6．下列说法中，正确的是（ ） A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0 B ．如果e r 是单位向量，那么e r ＝1 C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r D ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ，

实数与向量相乘教案

教师姓名 学生姓名 年 级 初三 上课日期 2014/6/12 学 科 数学 课题名称 实数和向量相乘 计划时长 2h 教学目标 1．理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法． 2．对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量；并能联系已学过的几何知识，正确地用已知向量表示与它平行的向量． 3．在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的数学思想． 教学重难点 教学重点：1.实数与向量相乘的意义. 2.实数与向量相乘满足的运算律. 教学难点：利用实数与向量相乘的意义解决几何中的两直线平行及线段长度问题. 一 知识点梳理 知识点1 实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义 一般地，设n 为正整数，a 为向量，那么我们用n a 表示n 个a 相加；用—n a 表示n 个—a 相加，又当m 为正整数时， m n a 表示与a 同向且长度为m n |a |的向量. 2.实数与向量相乘的运算的规定 设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作k a . 如果k 0≠，且a 0≠，那么k a 的长度|k a |=|k ||a |；k a 的方向：当k 0>时，k a 与a 同方向；当k 0<时，k a 与a 反方向. 当k =0或a =0，那么0ka = 例1：已知非零向量a ，求作5,3,2 a a - 并指出他们的长度和方向． 例2：已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，EG 与FH 相交于点O ．设AD a BA b == ，，试用向量a 或b 表示向量OE OF 、 ，并写出图中与向量OE 相等的向量． O H F G E B A C D

高一数学《向量与实数相乘》知识点巩固

2019学年高一数学《向量与实数相乘》知识点 巩固 及时对知识点进行总结，整理，有效应对考试不发愁，下文由查字典大学网初中频道为大家带来了向量与实数相乘知识点巩固，欢迎大家参考阅读。 实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义 ??表示n个一般的，设n为正整数，为向量，我们用na表示n个相加;用?na?相加.又当m为正整数时，要点诠释：设P为一个正数，Pa就是将a的长度进行放缩，而方向保持不变;—Pa也就是将a的 长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义 如下： n?n?a表示与同向且长度为a的向量. mm 一般地，实数k与向量a的相乘所得的积是一个向量，记作ka，它的长度与方向规定 (1)如果k?0,且a?0时，则： ???①ka的长度：|ka|?|k||a|; ②ka的方向：当k?0时，ka与a同方向;当k?0时，ka与a 反方向; (2)如果k?0,或a=0时，则：ka?0，ka的方向任意.实数k 与向量a相乘，叫做向量

的数乘. 要点诠释： (1)向量数乘结果是一个与已知向量平行(或共线)的向量; (2)实数与向量不能进行加减运算; 示向量的箭头写在数字上面; (4)向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则： (3)ka表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表 (1)m(na)?(mn)a(结合律); (2)(m?n)a?ma?na(向量的数乘对于实数加法的分配律); )=ma?mb (向量的数乘对于向量加法的分配律) (3)m(a+b 4.平行向量定理 (1)单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：????????????1? 任意非零向量a与它同方向的单位向量a0的关系：a?aa0，a0?a. a (2)平行向量定理：如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数m，使b?ma. 要点诠释： ?b?? (1)定理中，m?，m的符号由b与a同向还是反向来确定.

高中数学湘教版必修第二册第四章4.3向量与实数相乘练习题-普通用卷

高中数学湘教版必修第二册第四章4.3向量与实数相乘练 习题 一、选择题 1. 如图，在△ABC 中，AN ?????? =12 AC ????? ，P 是BN 的中点，若AP ????? =m AB ????? +1 4AC ????? ，则实数m 的值是( ) A. 1 4 B. 1 C. 1 2 D. 3 2 2. 如图，Rt △ABC 中，∠ABC =π 2，AC =2AB ，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB ????? =a ? ，AC ????? =b ? ，则向量AD ?????? =( ) A. a ? +b ? B. 1 2a ? +b ? C. a ? +1 2 b ? D. a ? +2 3 b ? 3. 如图所示，已知在△ABC 中， D 是边AB 上的中点，则CD ????? =( ) A. BC ????? ?1 2BA ????? B. ?BC ????? +1 2BA ????? C. ?BC ????? ?12BA ????? D. BC ????? +1 2BA ????? 4. 在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AC =2√3，BM ?????? +12 CB ????? =0? ，DC ????? =λDN ?????? ，若AM ?????? ?AN ?????? =29，则λ=( ) A. 1 8 B. 1 7 C. 1 6 D. 1 5

5. 在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =1 4AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒 有PB ????? ?PC ????? ≥P 0B ??????? ?P 0C ??????? ，则( ) A. ∠ABC =90° B. ∠BAC =90° C. AB =AC D. BC =AC 6. 在△ABC 中，∠ABC =60°，BC =2AB =2，E 为AC 的中点，则AB ????? ?BE ????? =( ) A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 1 7. 已知向量AB ????? =a ? +3b ? ，BC ????? =5a ? +3b ? ，CD ????? =?3a ? +3b ? ，则( ) A. A ，B ，C 三点共线 B. A ，B ，D 三点共线 C. A ，C ，D 三点共线 D. B ，C ，D 三点共线 8. 在?ABCD 中，E 为AC 上一点，且AC ????? =3AE ????? ，记AD ????? =a ? ，AB ????? =b ? ，则BE ? ???? =( ) A. ?2 3a ? +1 3 b ? B. 13a ? ?2 3 b ? C. 43a ? +1 3 b ? D. ?43a ? +1 3 b ? 9. 下列各式不能化简为PQ ????? 的是( ) A. AB ????? +(PA ????? +BQ ?????? ) B. (AB ????? +PC ????? )+(BA ????? ?QC ????? ) C. QC ????? ?QP ????? +CQ ????? D. PA ????? +AB ????? ?BQ ?????? 10. 平面上点P 与不共线三点A 、B 、C 满足关系式：PA ????? +PB ????? +PC ????? =AB ????? ，则下列结论正确的是( ) A. P 在CA 上，且CP ????? =2PA ????? B. P 在AB 上，且AP ????? =2PB ????? C. P 在BC 上，且BP ????? =2PC ????? D. P 点为△ABC 的重心 二、填空题 11. 已知圆O 半径为2，弦AB =2，点C 为圆O 上任意一点， 则AB ????? ?AC ????? 的最大值是__________ ． 12. 已知菱形ABCD 的边长为2， ，点E ， F 分别在边BC ，DC 上，BC =3BE ，DC =λDF ，若AE ????? ?AF ????? =1，则λ的值为_____． 13. 已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ????? +PC ????? +2PA ????? =0 ? ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 ． 14. 在△ABC 中，点M ，N 满足AM ?????? =2MC ?????? ，BN ?????? =NC ?????? .若MN ??????? =x AB ????? +y AC ????? ，则x +y =___________．

上海教育版数学九上24.6实数与向量相乘教案

1word 版本可编辑.欢迎下载支持. 24.6实数与向量相乘（1） 一、教学内容分析 在学生已经学习向量的有关概念和加、减运算的基础上，本节通过将“几个相同向量连加”与“几个相同数的连加”类比，引入了正整数与向量相乘的运算，然后说明了整数与向量相乘的意义. 二、教学目标设计 1．通过类比几个相同的数连加的运算，认识整数与向量 相乘的规定的合理性；理解实数与向量相乘的意义，掌握实 数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非 零向量，能画出它们相乘所得的向量 2．领悟类比思想，增强概括能力 三、教学重点及难点 实数与向量相乘的几何意义，． 四、教学用具准备 实物投影仪、多媒体设备 五、教学流程设计 六、教学过程设计 （一）温故知新 复习：1．向量的加法和减法的运算方法是什么？怎么表示的？平 行四边形法则是怎么表示的？ 2． a 已知：向量b a ,求：（1）b a +（2） b a - （二）探索新知 1．思考：已知=++a a a 3a ，那么=++→ → → a a a ？ 几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？ 例题 1 已知向量a ，如何求（1）a a a ++ 温故知新 探索新知 巩固练习 反思小结 布置作业

2word 版本可编辑.欢迎下载支持. 学生动手画图验证猜测结论并归纳. 变式：（2）求 )()()(a a a -+-+-=？ 2．归纳 我们规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算： 一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加； 用a n -表示n 个a -相加．.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且 长度为a m n 的向量. [说明] 例题1是根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳,体会实数与向量相乘的几何表示，初步感受到实数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量 例题2 已知非零向量a ，求作,3,3,25a a a --并指出他们的长度和方向. 例题3 已知平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 、分别是各边的中点 EG 与FH 相交于点O.设b BA a AD ==,请用向量a 或b 表示向量OF OE ,， 并写出图中与向量相等的量. [说明]本例题将平行四边形的性质与向量加法的平行四边法则结合运用． 例题4 已知点D 、E 分别在ABC ?的边AB 与AC 上DE ∥BC ，3AD=4DB ， 试 A B C D E H G F O A B E C D

实数与向量相乘及向量的线性运算(提高)知识讲解

实数与向量相乘及向量的线性运算（提高） 知识讲解 【学习目标】 1．理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律； 2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量； 3．认识两个平行向量的代数表达形式； 4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系. 【要点梳理】 要点一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设n 为正整数，为向量，我们用a n 表示n 个相加；用a n -表示n 个a -相 加.又当m 为正整数时，a m n 表示与同向且长度为a m n 的向量. 要点诠释： 设P 为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P 也就是将的长度进行放缩，但方向相反. 2．向量数乘的定义 一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定 如下： （1）如果k 0,a 0且≠≠时，则： ①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意. 实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释： （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （4）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设m n 、为实数，则： （1）()()m na mn a =（结合律）； （2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3）m （+b ）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 要点二、平行向量定理

实数与向量相乘

实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义 一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a m n 的向量. 要点诠释： 设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的 长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义 一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定 如下： （1）如果k 0,a 0且≠≠ 时，则： ①ka 的长度：||||||ka k a = ； ②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0= 或时，则：0ka = ，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量 的数乘. 要点诠释： （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表 示向量的箭头写在数字上面； （4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则： （1）()()m na mn a = （结合律）； （2）()m n a ma na +=+ （向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3）m （+b ）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理 （1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释： 任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a = ，01a a a = . （2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma = . 要点诠释： （1）定理中，b m a = ，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定. （2）定理中的“a 0≠ ”不能去掉，因为若a 0= ，必有b 0= ，此时m 可以取任意实数， 使得b ma = 成立. （3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b m a = ，则向量b 与非零向量a 平行. （4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma = . （5）A 、B 、C 三点的共线?AB//BC ?若存在实数λ，使 AB BC λ= .

高一下册数学《向量与实数相乘》练习题及答案

高一下册数学《向量与实数相乘》练习题及答案一、向量的数乘运算 计算下列各式： (1)4(a+b)-3(a-b); (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c); (3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b). 思路分析：利用向量的线性运算律计算. 解：(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b. (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c) =3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c. (3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b) =a-b-a-b+a+b =a+b =0·a+0·b=0+0=0. 计算：(1)3(6a+b)-9; (2)-2; (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 解：(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. (2)原式=-a-b =a+b-a-b=0. (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.

向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并. 二、向量共线条件的应用 已知向量e1和e2不共线. (1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线. (2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值. 思路分析：(1)要证A，B，D三点共线，可证，共线(或与共线等);(2)当ke1+e2与e1+ke2共线时，由向量共线的条件知必有ke1+e2=λ(e1+ke2)，从而求得k的值. (1)证明：∵=e1+e2， =+=2e1+8e2+3e1-3e2 =5(e1+e2)=5， ∴∥.又∵AB∩BD=B， ∴A，B，D三点共线. (2)解：∵ke1+e2与e1+ke2共线， ∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)， 则(k-λ)e1=(λk-1)e2. 由于e1与e2不共线，

实数与向量相乘及向量的线性运算(基础) 知识讲解

实数与向量相乘及向量的线性运算（基础） 知识讲解 【学习目标】 1．理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律； 2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量； 3．认识两个平行向量的代数表达形式； 4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系. 【要点梳理】 要点一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义： 一般地，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个-相 加.又当m 为正整数时，a m n 表示与同向且长度为a m n 的向量. 要点诠释： 设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；-P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2．向量数乘的定义 一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定 如下： （1）如果k 0,a 0且≠≠时，则： ①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意. 实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释： （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （4）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3. 实数与向量的相乘的运算律： 设m n 、为实数，则： （1）()()m na mn a =（结合律）； （2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；

高中数学4.3向量与实数相乘第一课时同步练习湘教版必修2

高中数学 4.3 向量与实数相乘 第一课时同步练习 湘教版必修2 1．已知a 是非零向量，则下列向量中，模最大且与a 反向的向量是( ) A ．4a B ．13 -a C ．2a D ．－5a 2．以下等式中正确的是( ) A ．a －a ＝0 B ．0a ＝0 C ．m －n ＝－(n －m ) D ．|λm |＝λ|m | 3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则( ) A ．AO ＝CO B ．A C ＝2CO C ．A D ＝CB D ．BO ＝12 BD 4．点C 在线段AB 上，且AC ＝25 AB ，若AC ＝λBC ，则λ等于( ) A ．23 B ．32 C ．23- D ．32 - 5．如图所示，在正△ABC 中，P ，Q ，R 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则与向量PQ 共线的 向量共有( ) A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 6．已知a 是非零向量，b ＝－2a ，c ＝13 b ，则| c |＝λ|a |时，λ＝__________. 7．点C 在线段AB 上，且32 AC CB =，则AC ＝__________AB ，BC ＝__________AB . 8．若AB ＝3e 1，CD ＝－5e 1，且|AD |＝|BC |，则四边形ABCD 是__________． 9．若|a |＝m ，b 与a 反向，且|b |＝3，则a ＝__________b . 10．若ABCD 是正方形，E 是DC 的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝__________.

参考答案 1. 答案：D 2. 答案：C 解析：a －a ＝0，则A 错误；0a ＝0，则B 错误；|λm |＝|λ||m |，则D 错误，故选C ． 3. 答案：D 解析：结合图形易知只有D 项正确． 4. 答案：C 解析：由图形可知，AC 与BC 方向相反，且|AC |＝23 |BC |，因此应有AC ＝23 -BC . 5. 答案：C 解析：与PQ 共线的向量是QP ，AR ，RA ，RC ，CR ，AC ，CA ，共有7个，选 C ． 6. 答案：23 解析：|c |＝ 13|b |＝13·|－2a |＝23|a |，故λ＝23. 7. 答案：35 25 - 解析：由题意得||35||AC AB =，故AC ＝35AB ，而25 BC AB = ， ∴BC ＝25 -AB . 8. 答案：等腰梯形 解析：∵AB ＝3e 1，CD ＝－5e 1， ∴CD ＝53 -AB . ∴AB 与CD 平行且方向相反，易知|CD |＞|AB |. 又∵|AD |＝|BC |，∴四边形ABCD 是等腰梯形． 9. 答案：3m - 解析： ||||3 m =a b ，又b 与a 反向，故a ＝3m -b .

实数与向量

课 题：实数与向量的积（1） 教学目的： 1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义； 2.掌握实数与向量的积的运算律； 3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行. 教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 教学难点：对向量共线的充要条件的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量， ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 8．向量加法的交换律：+=+ 9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 11．差向量的意义： = a , = b , 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量二、讲解新课： 1．示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a ) =++=a +a +a =3a =++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a （1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |；（2）-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a | 2．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |

沪教版(上海)九年级上学期24.6第3课时实数与向量相乘(3)

沪教版（上海）九年级上学期24.6第3课时实数与向量相乘 （3） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．已知a 是一个非零向量，且b ka =，那么向量a 与b 的位置关系是______向或者______向，记作b ______a ． 2．如果向量AB 与向量CD 不重合，且有2AB CD =，那么线段AB 与CD 的位置关系是______，线段AB 与CD 的长度关系是______． 3．a 是非零向量，设b k a =． （1）当b 与a 同向时，有b =______； （2）当b 与a 反向时，有b =______； （3）当0b =时，有k =______． 4．若e 为单位向量，则e =______． 5．单位向量有______个，不同单位向量是指它们的______不同． 6．如果e 是单位向量，a 与e 的方向相反，且长度为 34，则a =______． 二、单选题 7．下列式子中错误的是（ ）． A ．2a a a += B ．()0a a +-= C ．() a b a b -+=-- D ．a b b a -=- 8．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -= B ．a b b a +=+ C ．如果()0a k b k =?≠，那么b 与a 平行 D ．如果a b =，那么a b = 9．下列结论正确的是（ ）． A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量 B ．若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量

C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量 D ．计算向量的模与单位长度无关 三、解答题 10．设向量a 、b 且()2a b a b -=+．试判别向量a 与b 是否平行？ 11．已知5a c =，12b c =- ，试判别向量a 与b 是否平行，若平行是同向平行还是反向平行？ 12．判断下面给出的向量a 与b 是否平行，并说明理由：12a k k =-，1222b k k =-+． 13．用向量方法证明“三角形中位线定理”，已知在ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC ，且12 DE BC =． 14．在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--．证明：四边形ABCD 是梯形．

实数与向量的乘法

资源信息表 附录3实数与向量的乘积 一、教学内容分析 实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基

础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。 二、教学目标设计 1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。 三、教学重点与难点 重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 四、教学用具准备 多媒体、实物投影仪 五、教学流程设计

六、教学过程设计 1．设置情境： 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系F m a =。这些公式都是实数与向量=，位移与速度的关系s v t 间的关系。 师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a ++和-+-+-向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什 a a a ()()() 么变化？这些变化与哪些因素有关？ 生：a a a ++的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同， a a a -+-+-的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反。 ()()() 师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积） 2．探索研究 1）定义： 请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考） 可根据小学算术中3333335 ++++=?的解释，类比规定：实数λ与向量a的积就是λa，它还是一个向量，但要对实数λ与向量a相乘的含义作一番解释才行。 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa. 它的长度和方向规定如

实数与向量相乘-教师版

主课题：实数与向量相乘 知识精要 1. 实数与向量相乘的运算 设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作k a 。 如果k ≠0，且≠0，那么k 的长度|k |=|k|||； k 的方向：当k ＞0时，k 与同方向；当k ＜0时k 与反方向， 如果k=0或=，那么k =。 2. 实数与向量相乘满足的运算律：设m ，n 为实数，则 （1） 实数与向量相乘的结合律：m(n )=(mn)； （2） 实数与向量相乘对于实数加法的分配律：（m+n ）a =m a +n a ； （3） 实数与向量相乘对于向量加法的分配律：m(a +b )=m a +m b 。 3. 平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m ，使=m 。 4. 单位向量 长度为1的向量叫单位向量。设为单位向量，则||=1。 单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作0。由实数与向量的乘积可知： a =|a |a 0 ，a 0 a 。 精解名题 例1. 如图，已知非零向量，求作：（1）-2+ 32； (2)3-2 5 ?→ ?a 例2. 计算：（1）- 23+（-23） （2） 2(31+21)-5(2+4 1 )

=- 2 1a -23b =-328a -4 1b （3）)3(23c b a c b a -+--+）（ （4）)23(223b a c b a ----）（ 解：原式=c b a c b a c b a 25-6-23--=+--+ 原式=c b a b a c b a 6323636--=+--- 例3. 如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC =a ， AD =b 。 用a 、 b 表示下列向量：(1)AB ；(2)CA ;；(3)BE ；(4)CF 。 解：（1）=- 21 （2）=－-21 （3）=-21b +43 （4）=-21b -4 3 例4. 下列语句中，错误的是（ A ） A. 单位向量与任何向量都平行 B. 已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c C. 已知、、c 是非零向量，如果+=2c ，-=3c ，那么与是平行向量 D. 对于非零向量，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0，由实数与向量的乘积，可知0= 5 1 例5. 如图，在△ABC 中，=a ，AC =b ，延长AB 到点B 1，使AB 1=5AB ，延长 AC 到点C 1，使AC 1=5AC ，连接B 1C 1，求和11C B ,并判断BC 与11C B 是否平行。

九年级数学上册246实数与向量相乘教案沪教版五四制

实数与向量相乘 教学内容： 1、实数与向量相乘的运算 设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。 如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =； ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向， 如果0k =或0a =，那么0ka =。 2、 实数与向量相乘满足的运算律：设m 、n 为实数，则 （1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =； （2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma na +=+； （3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma mb +=+。 3、平行向量定理 如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。 4、单位向量 长度为1的向量叫单位向量。设e 为单位向量，则1e =。 单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。 对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01 a a a =。 精解名题： 例1、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532 a a - ?→?a 例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324 a b a b +-+

（3）(3)2(3)a b c a b c +--+- （4）3(22)(32)a b c a b ---- 例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。 用a 、b 表示下列向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。 例4、下列语句中，错误的是（ ） A ．单位向量与任何向量都平行； B ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ； C ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量； D ．对于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知 015 a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，AC b =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判断BC 与11B C 是否平行。 例6、设AM 是△ABC 中线，求证：1()2 AM AB AC =+.