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2009年二轮考点透析3运用导数研究函数的图象与性质

考点透析3运用导数研究函数的图象与性质

考点:1。初等函数的导数； 2。导数的运算法则； 3.导数与切线；

4.导数与函数的单调性（隐含不等式）；

5.用导数研究函数的零点与极值点。一．导数的几何意义及其考查

1.曲线3231y x x =-++过点（1，1）的切线方程为（）

A ．32y x =-

B ．23+-=x y

C ．1y =

D ．1x =

【错解】 2

(36)

3x x k y x x =='==-+=，∴所求切线方程为：32y x =-

【错因剖析】误以为点（1， 1）在曲线3231y x x =-++上。求曲线上某点处的切线方程方程，与求曲线过某点处的切线方程的意义不同。前者所给点本身就是切点，而后者有可能是切点，也有可能不是切点，而是曲线在另一点处的切线经过了这个点。

【正解】∵点（1，1）不满足曲线3231y x x =-++，因此点（1， 1）不在曲线3231y x x =-++上，设切点为00(,)P x y ,则有 3200031y x x =-++，20036k x x =-+，过点P 的切线方程：

322000003136)()y x x x x x x +--=-+-（将点（1， 1）代入上式得2000(33)0x x x -+=

所以切点为P （0，1），所以所求切线方程为：y=1.故选C

2.（全国一7）设曲线1

x y x +=

-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ）

A ．2

B ．12

C ．1

- D ．2-

3.在函数x x y 83

-=的图象上，其切线的倾斜角小于4

π的点中，坐标为整数的点的个数是（）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

解：∵x x y 83-=，∴238[01]y x '=-∈，，∴2*8

23,3

x x Z <≤≤∈，∴x φ∈，故选D 4．曲线y=x 3

过点(

, 0)的切线的方程是 ( C ) A. y=0 B. 3x －y －2=0 C. y=0或3x －y －2=0 D. x=0和3x －y －2=0 解：设P （x 0,y 0）为曲线y=x 3

上的一点，则过P 点切线的方程为：)(302

00x x x y y -=-

令0,3

y x 得，3020032x x y -=-，又因为P （x 0,y 0）为曲线y=x 3上所以 3

00x y =，解得1,000==x x 或，可得切线的方程是y=0或3x －y －2=0，选C

5．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（）

A ．)1(3)1()(2-+-=x x x f

B ．)1(2)(-=x x f

C ．2

)1(2)(-=x x f D ．1)(-=x x f

6.曲线y=sinx 在点(

,6π)处的切线方程是 .

解：cos

k y π

'===

∴切线方程是

(2321π

-=-

x y ，即2112323+-=πx y 7．曲线y= x 3

+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为 ( )

A.(1,0)

B.(2,8)

C.(1,0)和(-1,-4)

D.(2,8)和(-1,4)

200000000:(,),)314

1,01,4

P x y x x y x y C

'=+====-=-0解设则k=f (x 解得或选

8．已知函数()y f x =的图象在点(1

(1))M f ，处的切线方程是1

y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．3

9. 对正整数n ，设曲线y ＝x n

(1－x)在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{

a n

n+1

}的前n 项和的公式是2n+1

－2

10.设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．2 11.直线1

y x b =

+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝．ln2－1． 12.已知抛物线c bx ax y +++=2通过点P （1，1），且在点Q （2，-1）处与直线y=x-3相切。则实数c b a ,,的值为

解：因为点P （1，1）在抛物线上，所以1=++c b a ……………………①

b ax y c

bx ax y +=∴++=2`2 b a y x +=∴=4`|2

因为过切点Q （2，-1）的切线的斜率14=+=b a k …………………② 又因为切点Q （2，-1）在抛物线c bx ax y +++=2上

124-=++∴c b a …………………………………………………………③

联立①②③可解得9,11

,3=-==c b a 【点评】理清曲线F （x,y ）=0、切点P(x 0,y 0)、切线L:b kx y +=三因素之间的关系是解决这类问

题的关键，即联立方程组00000(,)0

`()F x y y kx b

k f x =??

=+??=?

求解

。

例1.已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C ：y=－x 2

+a ，如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.

（Ⅰ）a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（Ⅱ）若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

解：（Ⅰ）函数y=x 2

+2x 的导数y ′=2x+2,曲线C 1在点P （x 1,x 2

1+2x 1）的切线方程是：

y －(x 21+2x 1)=(2x 1+2)(x －x 1),即 y=(2x 1+2)x －x 2

1 ①

函数y=－x 2

+a 的导数y ′=－2x, 曲线C 2 在点Q （x 2,－x 22+a ）的切线方程是

即y －(－x 22+a)=－2x 2(x －x 2). y=－2x 2x+x 2

2+a . ②

如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，

所以 2

122211{x x a x x -=++=- 消去x 2得方程 2x 2

1+2x 1+1+a=0.

若判别式△=4－4×2（1+a ）=0时，即a=－

21时解得x 1=－2

，此时点P 与Q 重合. 即当a=－21时C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x －4

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－2

时C 1和C 2有两条公切线

设一条公切线上切点为：P （x 1,y 1）, Q （x 2 , y 2 ）其中P 在C 1上，Q 在C 2上，则有x 1+x 2=－1, y 1+y 2=x 2

1+2x 1+(－x 2

2+a)= x 2

1+2x 1－(x 1+1)2

+a=－1+a . 线段PQ 的中点为).2

1,21(a +--

同理，另一条公切线段P ′Q ′的中点也是).2

1,21(a

+-- 所以公切线段PQ 和P ′Q ′互相平分.

【点评】本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力。

二．研究函数的单调性

13.对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ C ）

A.f （0）＋f （2）<2f （1）

B. f （0）＋f （2）≤2f （1）

C. f （0）＋f （2）≥2f （1）

D. f （0）＋f （2）>2f （1）解：依题意，当x ≥1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f '（x ）≤0，f （x ）在（－∞，1）上是减函数，故f （x ）当x ＝1时取得最小值，即有f （0）≥f （1），f （2）≥f （1），故选C

14．设32

:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞，

内单调递增，4

q m ≥，则p 是q 的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件

解： ()f x 在()-∞+∞，内单调递增，则()f x '在()-∞+∞，上恒成立。

23400x x m ?++≥?≤?从而4

m ≥；

反之，4

q m ?≥()0f x '≥，()f x ∴在()-∞+∞，内单调递增，选C.

15.若函数y=－

34x 3

+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解： y ′=－4x 2

+b ，若y ′值有正、有负，则b>0．答案：b>0 16．设函数()32

()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数，则求b 、c 的值为

解：∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++。

从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++

32(3)(2)x b x c b x c =+-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；

17.求函数f x x x ()log ().=--05223的单调增区间是。

错解：u x x x =--=--222314()在(]-∞，1上是减函数，在[)

1，+∞上是增函数。又log .05u 是减函数，所以函数f x ()的递增区间是(]

-∞，1，递减区间是[)

1，+∞。

错因分析：上述错解忽略了函数f x ()的定义域是()()-∞-+∞，，13 ，而不是()-∞+∞，。

正解：函数

f x x x ()l o

g ().=--05223的定义域是()()-∞-+∞，，13 。

u x x x =--=--222314()在()-∞-，1上是减函数，在()3，+∞上是增函数。

又l o g

().050u 在，+∞上是减函数，所以根据复合函数的单调性，函数f x ()的递增区间是()-∞-，1，递减区间是()3，+∞。

例2. (2006山东)设函数()(1)l f x a x a x =

-++，其中1a ≥-，求f(x)的单调区间.

解：由已知得函数f(x)的定义域为(1,-+

∞，且'

()(1),

ax f x a x -=≥-+ （1）当10a -≤≤时，f ′(x)<0函数f(x)在(1,-+∞上单调递减，

（2）当0a >时，由f ′(x)=0解得1

.x a

若1

(1,)x a

∈-，则f ′(x)<0函数f(x)在1(1,)a

-上单调递减.

若1(

,)x a ∈+∞则，f ′(x)>0函数f(x)在1(,)a

+∞上单调递增.

综上所述：

当10a -≤≤时，函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.

当0a >时，函数f(x)在1

(1,)a -上单调递减，函数f(x)在1(,)a

+∞上单调递增.

例 3.已知函数()21f x x =-，()()g x f f x =????，()()()4F x pg x f x =-.是否存在实数p ，使

()F x 在()(,2f -∞??上是增函数，且在()()2,0f 上是减函数？若存在，求出p ；若不存在，请说

明理由.

解：由()21f x x =-，可得()()(

)

22423,112f g x x

x x =-=--=-

()()()2424(2)4(1)F x pg x f x p x x x =-=---，

先假设存在实数p 使()F x 在(],3-∞-是增函数，且在()3,0-上是减函数，由于()F x 是可导函数，所以()30F '-=，因为

()()()21

142334

4F x x x x x x ??'=+-=--+ ???

当3x ≤-时，()0F x '>，说明函数()F x 在(],3-∞-是增函数；当30x -<<时，()0F x '<，说明函数()F x 在()3,0-上是减函数. 综上所述，满足条件的p 存在，且1

p =

. 【点评】三次函数是高考命题的热点之一，因为三次函数的导数是二次函数，以此为切入点，将二次函数、二次不等式、二次方程紧密联系在一起。

例4.（广东卷19）设k ∈R

，函数1

11()1x x f x x ?

-=???

，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论

函数()F x 的单调性．

【解析】1

,1,1()(),1,kx x x

F x f x kx kx x ?-

-=-=??≥?

,1,

(1)

'(),1,

k x x F x k x ?-

?-≥??

对于1

()(1)1F x kx x x =

-<-，2

1'(),1(1)

F x k x x =-<-

当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数；

当0k >时，函数()F x

在(,1-∞

上是减函数，在(1上是增函数；

对于()(1)

F x k x =-≥，'(),1,F x k x =-≥

当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数；当0k <时，函数()F x 在211,14k ??+????上是减函数，在211,4k ??

++∞????

上是增函数。

三．构造函数证明不等式.

例5．当0>x 时,证明不等式2

11x x e x

+>成立. 证明:设()2

11x x e x f x

--=,则()x e x f x --=1',令()x e x g x --=1, 因为()1'-=x e x g ,

当0>x 时, ()01'>-=x e x g ,所以()x g 在()+∞,0上为增函数, 而()00=g ,所以()()00=>g x g ,所以()x g 在()+∞,0上恒为正,

即()x f '在()+∞,0上恒为正.所以()x f 在()+∞,0上为增函数,且()00=f . 所以02112>-

--x x e x

.即0>x 时, 22

1x x e x ++>成立. 【点评】利用单调性证明不等式的常用思路是先构造函数,再借助导数确定单调性.一般地,证明

()()()b a x x g x f ,,∈>,可以构造函数()()(),x g x f x F -=如果(),0'>x F 则()x F 在()b a ,上是增函

数,同时若(),0≥a F 由增函数的定义可知,()b a x ,∈时,有()0>x F .即证明了()()x g x f >

例6.（08天津卷21）已知函数4

()2f x x ax x b =+++（x R ∈），其中R b a ∈,．（Ⅰ）当10

a =-

时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围．

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．

（Ⅰ）解：3

()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．当103

a =-

时，2

()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．

令()0f x '=，解得10x =，21

x =

，32x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以()f x 在(0,)2，(2,)+∞内是增函数，在(,0)-∞，(,2)2

内是减函数．（Ⅱ）解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程2

4340x ax ++=的根．

为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24403x ax +≥+成立，即有2

9640a ?=-≤．

解些不等式，得3

838

a -

≤≤．这时，(0)f b =是唯一极值．因此满足条件的a 的取值范围是88

[,]33

-．

（Ⅲ）解：由条件[2,2]a ∈-，可知2

9640a ?=-<，从而2

4340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．

因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．

为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，当且仅当111))1((f f ≤-≤???，即22b a

b a

≤--≤-+???，

在[2,2]a ∈-上恒成立．

所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-．

四．研究函数的零点和极值点

18.（广东卷7）设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ）

A ．3a >-

B ．3a <-

C ．1

3a >-

D ．1

a <-

19．方程x 3

－3x+c=0在［0，1］上至多有_______个实数根．

解：设f （x ）=x 3－3x+c ，则f '（x ）=3x 2－3=3（x 2

－1）．当x ∈（0，1）时，f '（x ）<0恒成立．

∴f （x ）在（0，1）上单调递减．

∴f （x ）的图象与x 轴最多有一个交点．

因此方程x 3

－3x+c=0在［0，1）上至多有一实根．

研究函数图象，方程的根，函数的零点等问题时，常将这些问题进行合理转化为研究函数单调性，极值和最值等问题，根据函数的这些性质，利用数形结合，使问题得以求解．这些是高考的出题热点．

例7.已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+是否存在实数,m 使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

解：函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数

()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∵

x －8+),0()

3)(1(268262>--=+-=

x x x x x x

当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；当(1,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数；当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数；当1,x =或3x =时，'()0.x φ=

()(1)7,()(3)6ln315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值

当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>

∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

()70,

()6ln 3150,

x m x m φφ=->???

=+-

【点评】利用导数对函数的极值和单调性,准确把握函数图像特征,画函数图象,从而有效地作出函数零点的个数的判断,即y=f(x)与x 轴的交点个数.

例8.已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：

()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--．

（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使 23(31)2b t a t =--．

于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程 3

230t at a b -++=有三个相异的实数根．

记 32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：

由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302

t t ==

，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2

t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过(

)a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则

0()0.a b b f a +>??

，

即 ()a b f a -<<．例9.已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

（I ）求()f x 的解析式；（II ）是否存在自然数,m 使得方程37

()0f x x

=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。解：（I ）

()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),

∴可设()(5)(0).f x ax x a =->

()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=

由已知，得612,

a =22,

()2(5)210().

a f x x x x x x R ∴=∴=-=-∈

（II ）方程37

()0f x x

=等价于方程32210370.x x -+= 设32()21037,h x x x =-+则2'()6202(310).h x x x x x =-=-

当10

(0,)3x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当10

(,)3

x ∈+∞时，'()0,()h x h x >是增函数。

101

(3)10,()0,(4)50,327

h h h =>=-<=>

∴方程()0h x =在区间1010

(3,),(,4)33

内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)+∞内没有实

数根，

所以存在惟一的自然数3,m =使得方程37

()0f x x

+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根。

例10．已知f(x)=x 2

,问是否存在正实数a ,使得关于x 的方程f(x)= f （a ）有且仅有两实数解.若有求出这个实数a ，若没有请说明理由。

【解】∵ f(x)=f(a)得x 2

+16x =a 2+16a

, 即(x －a )(x+a －16

)=0,得方程的一个解x 1=a>0. 方程x+a －

16ax

=0化为ax 2+a 2x －16=0, 由△=a 4

+64a >0,得

x 2=22a a -<0, x 3=22a a

->0,

∵x 2<0, x 3>0, ∴x 1≠ x 2,且x 2≠ x 3.又方程有且只有二个不等实根

则x 1= x 3,即a 则3a 2a 4

=8a ,

得a =0(舍)或a =2>0, 故当a =2时原方程f(x)=f(a)有且仅有两个不同的实数解.

例11.（08四川）已知3x =是函数()()2

ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）

求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。

【解】：（Ⅰ）因为()'2101a

f x x x

+-+

所以()'

361004

f =

+-= 因此16a = （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

()()()2

16ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞ ()()2'2431x x f x x

-+=+

当()

()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >

当()1,3x ∈时，()'

0f x <

所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞

()f x 的单调减区间是()1,3

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'

x =

所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()2

1616101616ln291f f =-?>-=

()

()2

13211213f e f --<-+=-<

所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<

因此，b 的取值范围为()32ln221,16ln29--。例12.（陕西卷21）．已知函数2

()kx f x x c

+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；

（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围．

解：（Ⅰ）222222

()2(1)2()()()

k x c x kx kx x ck

f x x c x c +-+--+'==++，由题意知()0f c '-=，即得2

20c k c ck --=，（*）

0c ≠，0k ∴≠．

由()0f x '=得2

20kx x ck --+=，

由韦达定理知另一个极值点为1x =（或2x c k

）．（Ⅱ）由（*）式得21k c =

-，即21c k

=+．当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-．

（i ）当0k >时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数．

1(1)012

k k

M f c +∴==

=>+， 2

21()02(2)

kc k m f c c c k -+-=-==<++，

由2

122(2)

k k M m k -=++≥及0k >，解得k

（ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，

和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数． 2

()02(2)

k M f c k -∴=-=>+，(1)02k m f ==<

22(1)1

112(2)22

k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．

综上可知，所求k 的取值范围为(2)[2)-∞-+∞，，．例14.（2007年湖南文）已知函数32

11()32

f x x ax bx =

++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）求24a b -的最大值；（II ）当2

48a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，

若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从

l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．

思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I ）因为函数32

11()32

f x x ax bx =

++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)

-，，(13]，内分别有一个实根，

设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=

2104x x <-≤．于是

04<，20416a b <-≤，且当11x =-，

23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．

（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21

(1)32

y a b x a =++-

-，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，所以21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

-在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =

++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．

若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．

所以11a =--，即2a =-，又由2

48a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =

--．解法二：同解法一得21()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

- 2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+．因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．

当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()1222a a h x x x ?

???

=++

-+ ? ?????

，则当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102

h =?++

=，所以2a =-，又由2

48a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =

--．例16.已知椭圆方程为22

194

x y +=。问在椭圆上是否存在点(,)P x y 到定点(,0)A a (其中03a <<)的距离的最小值为1，若存在，求出a 的值及点P 的坐标；若不存在，请给予证明．【解析】设存在点P )(

,x y 满足题设条件，∴2AP =()

x a y -+ 又22

194

x y +=

∴2

y =24(1)9x -，∴2AP =()2x a -+24(1)9x -=22

524,(3)9

x ax a x -++≤，

设2259()24,(3),2095f x x ax a x x a x a '=

-++≤-==10则f (x)=解为9 当950353a a <≤<≤即0时，29442516[3,3],()()44155599a x f x f a ?∈-≥=-≥-?=> 当935a >即5

a <<，()f x 为[-3，3]上的减函数，min (3)f f ∴= 即2[3,3],()(3)(3)1x f x f a ?∈-≥=-=，∴2a =，此时点P 的坐标是)(

3,0．故当2a =时，存在这样的点P 满足条件，P 点的坐标是)(

3,0．

【点评】要注意分类讨论。

例17．设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2

x ＋2a ln x （x >0）.

（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2

x －2a ln x ＋1. （Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a

f x x x x

'=-

+>，，故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22

()10x F x x x x

-'=-=>，，列表如下：

故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．

（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．

于是由上表知，对一切(0)x ∈+，

∞，恒有()()0F x xf x '=>．从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，

∞内单调增加．所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即2

1ln 2ln 0x x a x --+>．故当1x >时，恒有2

ln 2ln 1x x a x >-+．

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

导数经典专题整理版

导数在研究函数中的应用知识点一、导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（） A.033=+-y x B.022=+-y x C.012=+-y x D.013=+-y x （2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（） A.),(e e B.)2ln 2,2( C.)0,1( D.),0(e 【变式】（1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（） A.13+=x y B.12+=x y C.13-=x y D.12-=x y （2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（） A.1 B.2 C.21 D.2 1- 知识点二、导数与函数的单调性（1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为且该区间为函数)(x f 的单调_______区间； (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间.

例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和（2）函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为（） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像. （1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是（熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点）例1.（1）求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值（2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值

导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（）（A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（）（A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

(完整版)导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

导数综合大题分类

导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一利用导数研究函数的单调性、极值与最值题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论．（1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值．已知函数f (x )＝x －1 x ，g (x )＝a ln x (a ∈R )． (1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈? ?????0，12，求h (x 1)－h (x 2)的最小值． [审题程序] 第一步：在定义域，依据F ′(x )＝0根的情况对F ′(x )的符号讨论；第二步：整合讨论结果，确定单调区间；第三步：建立x 1、x 2及a 间的关系及取值围；第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数，求出最小值． [规解答] (1)由题意得F (x )＝x －1 x －a ln x ，其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1 x 2 ，

(完整版)导数与函数图像问题

导数与函数图像问题 1.函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是（） 2．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f ' 在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和 ()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（） 4若函数f （x ）=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x ）的图象是（） A ． B ． C ． D ． 5.设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f′（x ），且函数f （x ）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x ）的图象可能是（） A ． B ． C ． D ． a b x y ) (x f y ?=O

导数及其应用经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可导，且(2)f '=，求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二导数的几何意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二函数单调性的应用考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二求函数的单调区间及逆向应用例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则

高中数学导数典型例题精讲

高中数学导数典型例题精讲 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限：（1）1 lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）0 0lim x x x x →=，00 11lim x x x x →=. 两个重要的极限：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? (e=…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=，则 (1)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????；(2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;(3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞ ?=?(3)()lim 0n n n a a b b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?( c 是常数) )(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -=' (4) x x 1)(ln ='；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 导数的运算法则（1）' ' ' ()u v u v ±=±.（2）' ' ' ()uv u v uv =+.（3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

导数与函数图像

导数与函数图像问题
1.函数 y ? f (x) 的图像如右图,那么导函数 y ? f , (x) 的图像可能是（）
2．函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ，导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，则函数 f (x) 在开区间 (a, b)
内有极小值点（）
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
a
3 ．设 f ?(x) 是函数 f (x) 的导函数，将 y ? f (x) 和
y
y ? f ?(x)
b
O
x
y ? f ?(x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
4若函数 f（ x） =x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f′ （ x）的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
5.设函数 f（ x）在 R 上可导，其导函数为 f′ （ x），且函数 f（ x）在 x=-2处取得极小值，则函数 y=xf′（x）的图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
1

6．设函数 f（ x） =ax2+bx+c（ a， b， c∈ R），若 x=-1为函数 y=f（ x） ex 的一个极值点，则下列图象不可能为 y=f（x）的图象是（）
A．
B．
C．
D．
7.若函数 y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y=f（x）在区间[a，b] 上的图象可能是（）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数 y=xf′（ x）的图象如上中图所示（其中 f′（ x）是函数 f（ x）的导函数），
下面四个图象中 y=f（x）的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
9.设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f′（x），且函数 y=（1-x）f′（x）的图象如上
右图所示，则下列结论中一定成立的是（）
A．函数 f（x）有极大值 f（2）和极小值 f（1）值 f（1） C．函数 f（x）有极大值 f（2）和极小值 f（-2）值 f（2）
B．函数 f（x）有极大值 f（-2）和极小 D．函数 f（x）有极大值 f（-2）和极小
2

导数典型例题.doc

导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等，考查的题型有客观题(选择题、填空题) 、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为 2 A.0 B.100 C.200 D.100 ! 解法一 “(0、_ .. f (° tx) _f(o) .. .-xC-x-DO-2V'^-100)-0 解法 f (0)_叽 L _叽 - _ ||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 ! ???选 D. .x _0 解法二设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100) _100 ! . ???选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 111 【例2】已知函数f(x)_ c ； c ^x ? — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一

2022年高考数学总复习：导数与函数的综合问题

第 1 页共 15 页 2022年高考数学总复习：导数与函数的综合问题命题点1 证明不等式典例已知函数f (x )＝1－x －1e x ，g (x )＝x －ln x . (1)证明：g (x )≥1； (2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1e 2. 证明 (1)由题意得g ′(x )＝ x －1x (x >0)，当01时，g ′(x )>0，即g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．所以g (x )≥g (1)＝1，得证． (2)由f (x )＝1－x －1e x ，得f ′(x )＝x －2e x ，所以当02时，f ′(x )>0，即f (x )在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，所以f (x )≥f (2)＝1－1e 2(当且仅当x ＝2时取等号)．① 又由(1)知x －ln x ≥1(当且仅当x ＝1时取等号)，② 且①②等号不同时取得，所以(x －ln x )f (x )>1－1e 2. 命题点2 不等式恒成立或有解问题典例已知函数f (x )＝1＋ln x x . (1)若函数f (x )在区间? ???a ，a ＋12上存在极值，求正实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式f (x )≥k x ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1－1－ln x x 2＝－ln x x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．

(完整版)函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈．（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。（Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或因为0t ≠，以下分两种情况讨论：（1）若0,,2 t t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。（2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x

导数的切线方程和图像知识点与习题

导数 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时， 1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则：

导数及导数应用专题练习题

高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十）一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线斜率为（） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为 ( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ． y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为0,4π?????? ，则点P 的横坐标的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--??? ? D ．1,12?????? 5. 已知23 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++ ++，则(0)f '=（）． A ．n B ．1n - C ．(1)2 n n -D ．1 (1)2n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

导数探讨函数图像的交点问题

由2006年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题 2006年高考数学导数命题的方向基本没变，主要从五个方面(①与切线有关的问题②函数的单调性和单调区间问题③函数的极值和最值问题④不等式证明问题⑤与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平。但是，2006年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新。福建理科卷第21题研究两个函数的交点个数问题，福建文科卷第19题研究分式方程的根的分布问题，湖南卷第19题研究函数的交点问题，四川卷第21题研究函数图象的交点个数问题。从以上试卷我们可以发现导数命题创新的两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化，由用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。考查了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的高考题。例1（福建理科第 21题）已知函数f(x)=－x 2+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); （Ⅱ）是否存在实数 m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围；，若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）略（II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点， ∴令f(x)= g(x) ∴g(x)－f(x)=0 ∵x>0 ∴函数(x)=g(x)－f(x) = 2x －8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 ∵26 2862(1)(3)'()28(0),x x x x x x x x x x 当x ∈(0,1)时， )(1x 〉0，)(x 是增函数；当x ∈(1,3)时，)(1x 〈0，)(x 是减函数；当x ∈(3,+∞)时，)(1x 〉0，)(x 是增函数；当x=1或x=3时， )(1x =0。∴x 极大值1m －7,x 极小值 3m+6ln 3－15.∵当x →0时， (x)→，当x 时，(x)∴要使(x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须 ,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值 m x m x ∴7

导数的应用练习题

导数的应用二、典型例题题型一未定式及其逆问题的求解例1、求下列极限（∞∞）：（1）0ln tan 2lim ln tan 3x x x +→　（2）0lim ln x x x +→　（3）arctan lim (1)x x x a x x a a x →∞->+ （4）ln(1)lim an n e n →∞+ （1）解：原式2'2002cot 2sec 22tan 3lim lim 13cot 3sec 33tan 2L H x x x x x x x x ++ →→===．（2）解：原式1'ln 1 lim lim 0t x L H t t t t t =→+∞→+∞-==-=．（3）提示：arctan 1()arctan lim lim 11() x x x x x x a x x x a x a x x a →+∞→+∞--==++； arctan ()arctan lim lim ()12 x x x x x x a x x a x x a x a x π →-∞→-∞--==++．（4）提示：0a ≤，原式0=；0a >，原式ln(1) lim an n an e a n -→∞++==（不能用'L H ）．注：ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,x x x x x x x a b a x x a x ββαββα><+>无限增大之速渐快； ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,!,n n n n n n n a b a n n a n n ββαββα><+>无限增大之速渐快．例2、求下列极限（0 000,,1,,0∞ ?∞∞-∞∞，）：（1）4301 sin sin lim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1 x x x x x e →-++-；（3）01lim(cot )1x x x e →--；（4）21lim[ln(1)]x x x x →∞-+；（5）2arctan lim ()x x x π→+∞；（6）101lim()x kx n x k e n →=∑；（7）2122lim()x x x a →∞+．（1）提示：原式3300 32000tan ~sin 11cos 1 lim lim sin lim 36 x x x x x x x x x x x x →→→--+==．（2）提示：解：原式2200 '2001~(1)ln(1)ln(1)1 lim lim 22x L H x x e x x x x x x x →→--++-+===-．（3）提示：原式2'20001tan 1tan sec 1 lim lim lim (1)tan 22x x x L H x x x x e x e x e x e x x x →→→-----====-．（4）提示：原式1'20ln(1)1 lim 2 t x L H t t t t =→-+==．（5）提示：原式22 2 2 ln arctan arctan 12[(1)]2 lim 1lim lim 111x x x x x x x x x e e e e ππ π π∞ →+∞ →+∞ →+∞ -+- -====（令 2 arctan 1x t π -=）．（6）提示：原式1 1 00 11 ln( ) 11 1lim 1'lim lim 2 n n kx kx n kx k k x x x k e n e n n ke L H n x x e e e e ∞==→→→=-+∑∑ ∑ ====．（7）提示：原式0 ∞=22222ln()2() 'lim lim 21x x x a x x a L H x x e e →∞→∞++==．注1 ：对1n =，不能直接使用L’H 法则，先求0 1lim 1x x x ∞→+∞ =，而0 00 lim 1x x x + →=．

2009年二轮考点透析3运用导数研究函数的图象与性质

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