厦门大学数学分析考研真题2003、2005
2003年
{}.
1lim :15.(n n
n n n e n x x ，x ）=??? ?
?+∞→证明为实数列且收敛到实数
设分一
.
0)()()
(max )(),()(],[)()20.(0'
0'
00==∈≤≤x f ，x f x f ，x f b a x x ，f b a x f b
x a 则存在证明若处取到最大值即在上的实值函数为设分二{
。
x g ii ；
x g i x g x g ，f x f ）（x x x f x f 存在且连续
为连续函数证明为
定义函数有二阶连续导数设分三)())():)()(),0()(200
,)
(0
),0('
≠==
。b a dx x
x
x x b
a
为常数其中计算四0,0,ln )1sin(ln .1
>>-?
。y x y x dxdy y （x 的内部为圆其中计算
分五+=+Ω+??Ω
2
2,))20.(
)()()(),()15.('
)
()
(2
y F dx e
y F ，y y y y y y
x 的导函数计算可微函数均为关于设分六?-=
βα
βα
。x n n n n
的各函数求函数项级数
分七∑
+∞
=+0
2!
)12()20(
.
002,00
2.,)20.(2
212
2
2
2
2
2
21<-=++=???=??+???+??+=+=B AC ，
A B C 。u y
u C
y
x u B
x
x A
y x y x 其中为常数且
的两个相异实根必为证明变换为
现要把方程设分八λλλλη
ξληλξ
2005年
一、判断题（回答是或否）（75?'）
１．实数列｛n x ｝若不趋于无穷大，则必存在收敛的子列；
２．设函数)(x f 在非空的开区间),(b a 有连续的导数，则对
2121),,(,),,(x x b a x x b a ≠∈?∈?ξ，使得
)()
()(2
121ξf x x x f x f '=--
３．设函数项级数∑∞=1
)(n n x f 在有限区间I ),(+∞-∞?上一致收敛，且)(1
∑∞
=n n x f 收敛，
则)(1
∑∞
=n n x f 在I 上必一致收敛；
４．函数)(x f 在某点0x 连续的充要条件是：对对任意收敛到0x 的收敛列｛n x ｝，数
列)}({n x f 均收敛； ５．设
)
(x f 是n 次多项式，
则
R
x a ∈?, 都有：
)(!
)
()()()()()
(a f
n a x a f a x a f x f n n
-+
+'-+= ；
６．设)(x f 在),(b a 上导数处处存在，
]
,[].[b a d c ??，由中值定理，
),()(,(b a d c d c ∈<=?ξξ）
，使得：))(()()(c d f c f d f -'=-ξ，则),(d c ξξ=是关于d c , （),(b a d c ∈<）的连续函数；
７．当函数)(x f 在],[b a 上R －可积时，?
∑
=∞
→-=b
a
n
k n n
k f n
a
b dx x f 1
)(
lim )(
二、设)(x f 在),[+∞a 上二阶可导，且0)(,0)(<'>a f a f ，当a x >时，0)(<''x f ，证
明方程)(x f ＝０在),[+∞a 内有唯一的一个实根。
三、设有界函数)(x f 在],[b a 上可积，且?=b
a
dx x f 0)(，证明在)(x f 的连续点处有)
(x f ＝０ 四、讨论级数)0()
ln 1(11>-
∑
∞
=p n
x x n
n
n p
的收敛性。
五、证明：若函数)(x f 在区间],0[l 上连续及当l ≤≤ξ0时，0)(2
22≠++-z y x ξ，则
函数u(x,y ,z)＝
ξ
ξξd z
y
x f ?
++-1
2
2
2
)
()
(，满足Laplace 方程：0
2
2
2
2
2
2
=??+
??+
??
z
u y
u x
u
六、设)
(x f ∑∞=1
n n
n
x a
的收敛半径为∞，令∑∞
==
1
)(k k
k
n x a
x f ，证明：))((x f f n 在任何有限
区间],[b a 上都一致收敛于))((x f f
七、设函数)(x f 在],[b a 上R －可积，证明存在],[b a 上的多项式函数列....)
2,1)((=n x n ?
使得：x f dx x b
a b a
n
n ?
?=
∞
→)()(lim
?
八、计算：?
+-=
C
Y
X
YdX XdY I 2
2
21π
，其中：ey cx Y by ax X +=+=,，C ：包围原点的简单
闭曲线（0≠-cb ae ）