平面波通过光阑──透镜分离系统的焦移
1997年3月安徽大学学报(自然科学版)
March 1997第21卷第1期
Journal of Anhui University Natural Science Edition
Vol.21No.1
平面波通过光阑透镜分离系统的焦移
刘 学 军
(安徽大学物理系 合肥 230039)
摘 要 本文运用Collins 衍射积分公式分析了平面波通过光阑透镜分离系统的焦
移情况,给出了明确的表达式,并以数值计算例说明。还得到了两种对称分布。
关键词 光阑透镜分离系统,Collins 公式,焦移,对称分布
中图分类号 O436.10 引 言
已有文献〔1〕〔2〕利用惠更斯菲涅耳衍射积分方法分析了球面波通过光阑
透镜分离系统的衍射情况,得出其焦移同光阑与薄透镜之距离有关的结论,但未能给出具体的公式。本文从Collins 衍射积分公式出发,具体分析了平面波通过光阑透镜分离系统的焦移情况,较严格地导出了有关焦移的表达式,并结合数值计算例进行说明,得到当满足一定的分离条件时,其轴上聚焦光强的极大值点既可位于透镜几何焦点的左侧,也可位于其右侧,或相重合,还得到了一定条件下的对称分布等结论。
图1 平面波通过光阑透镜分离系统的衍射
1 焦区附近的场、强分布
如图1所示,一单色平面波入射到一光阑—无孔径薄透镜分离的光学系统上,该系统
以矩阵A B
C D
su 来描述。其中,透镜到光阑平面的距离为S 0,F 为薄透镜的后焦点,f 为焦
距,P 点为焦区附近空间中一代表点。对于旋转对称系统,为了方便计算,我们采用柱坐
收稿日期:1996-11-05
标系(aρ,θ,ζ)及(γ,Ψ,Z),其中:ξ=aρcosθ
η=aρsinθ.2
(0≤ρ≤1),
x=r cosΨ
y=r sinΨ
若入射面上
的场分布为:U0=A0,则根据Collins公式,P点的场分布可写成:
U(P)=2πiA0a2
λB?e
-iπ
λB?Dr
2
?e-ikl?∫10J02arπ
λB未能
ρ
li?e
-iπA
λB a
2ρ2
?ρdρ(1)
(其中:L=S0+L=S0+f+z),若A B
C D
论。=
1l
01
射
1
1 0
-1/f 1
波入
1S0
01
以矩A B
=1-l/f
-1/f
z (1-l/f)s0+l
1-s0/f
区附,则U(P)=
2πiA0a2
λ[l+(1-l
f )S0]
?е
-iπ(1-
S
f
λ[l+(1-l
f
)S
]
?е-ikL?∫10J0
2arπ
λ[l+(1-l
f
)S0]
)
2ρ
]
?е-iπ(1-l f)
λ[l+(1-l
f )S
]
?a2ρ2?ρdρ,
令
F(z)=
a2A
λB=-N a
z
f
1+z
f
(1-
S0
f
)
, (F(z)为整个系统的全菲涅耳数) E(r,z)=
2arπ
λ[l+(1-l
f
)S0]
=2πN a
r
a
1+z
f
(1-
S0
f
)
(2)
a2
λf=N a, (N a为观察点在透镜后焦点处孔径的菲涅耳数)
]
进一步有
2πiA0a2
λ[(1-l
f )S0+l]
=2πiA0N a[1+(1-
S0
f
)
F(z)
N a
],
π(1-S0 f
)
λ[l+(1-l
f )S0]
r2+KL=
1
1+(1-
S0
f
)
F(z)
N a
(
f
a
)2?-2πF(Z)
+)(+ (3)
+1-S0
f
l1
E2(r,z)
4πN a
)
+K(S0+f)= ′N (令此式等于 ′N) 2
则:U(P)=2πiA0[N a+(1-S0
f
)F(z)]?e-i ′N?∫10J0E(r,z)ρ++
?e iπF(Z)ρ2?ρdρ(4)
34
第1期刘学军:平面波通过光阑透镜分离系统的焦移
I(P)=U(P)?U3(P)=I0[1+(1-S0
f
)
F(z)
N a
]2?[C′2+S′2],(5)
其中: I0=(πA0N a)2,为透镜后焦点处的光强大小。
C′=2∫10J0(E(r,z)ρ)?cos(πF(z)ρ2)ρdρ, (6) S′=2∫10J0(E(r,z)ρ)?sin(πF(z)ρ2)ρdρ.i
以上即为焦区附近空间的场、强分布。
2 焦移情况
2.1 场、强分布
对于主轴上近焦区域的场、强分布,由(4)式可得:
U(P)=-A0N a
F(Z)
[1+(1-
S0
f
)
F(z)
N a
]?e-ikL?(e-iπF(Z)-1),(7)
I(P)=I0[1+(1-S0
f
)
F(z)
N a
]2?
sin(
πF(z)
2
)
πF(z)
2
2
(8)
2.2 焦移及光强变化情况
(1)表达式
由(8)式,可进一步求出轴上光强最大值处的位置,由d I
d z =
d I
d F(z)
?d F(z)
d z
=0,要
求d I
d F(z)
=0
可推得: tan(
π
2
F M(z))
π
2F M
(z)
=1+(1-
S0
f
)
F M(z)
N a
(9)
轴上最大光强所对应的F M(z)的值即由上式所确定。由此式也可见:F M(z)的值由N a
及S0
f
所决定。进一步,由(2)式,可得相对焦移的大小:
Δz=
z M
f
=-
F M(z)
N a+(1-
S0
f
)F M(z)
(10)
(其中:z M表示轴上聚焦光强的极大值点同透镜几何焦点的偏离,Δz反映相对偏离程度)相对光强的大小为:
ΔI I0
=
I m ax-I0
I0
=
2
πF
M
+(1-
S0
f
)
2
πN a
a
2
?sin2(
π
2
F M)-1,(11) (其中:I m ax表示轴上聚焦光强极大值处所对应的光强值).
44安徽大学学报(自然科学版)第21卷
由上两式也可见:Δz 及ΔI I 0
的大小皆由N a 及S 0f
所决定。
Δz 、Δ
I I 0
随N a 及S 0f
的具体变化情况,我们在下面给予讨论。
(2)
作图和讨论
图2-1 S 0
f
取几个确定值时,
Δz 随N a
的变化图2-2 S 0f
取几个确定值时,
ΔI
I 0
随N a
的变化
图3-1 N a 取几个确定值时,Δz 随
S 0
f
的变化图3-2 N a 取几个确定值时,
ΔI
I 0
随
S 0
f
的变化5
4第1期刘学军:平面波通过光阑透镜分离系统的焦移
分别作出
当
S 0f 一定时,Δz 、ΔI
I 0
随N a 的变化关系图.当N a 一定时,Δz 、ΔI
I 0
随S 0f
的变化关系图。
论。 (1)由图2-1,图2-2可见:当
S 0f 为一定值时,|Δz |及ΔI
I 0
都随着N a 的增大而减少,随N a 的减少而增大。当N a ?∞时,即过渡到几何光学成像情况。
(2)结合图3-1、图3-2分析一下,当N a 取几个确定值时,Δz 及
ΔI
I 0
随
S 0
f
的变化情况。针对
S 0
f
的变化分以下三种情况来讨论:①0≤S 0 1+ z f ,若以μN =-2πF (z )来替换F (z ),则(8)、(9)式成文献(3)中的(3.2)、(3.11)式。0 f <1,由(9)式 可得出:此时,光强最大值处所对应的F M (Z )的值大于零,则Δz =-F M N a +(1-S 0 f )F M < 0,即焦移是离开透镜的焦点移向透镜方向。由图可见:当N a 一定时,在0≤S 0 f <1区间 内,Δz 为负值,且|Δz |、ΔI I 0随着S 0f 的增大而逐渐减小,趋于零。 ②S 0f =1时,1-S 0f =0,则轴上光强分布为:I (P )=I 0sin πN az 2f M πN az 2f 2 ,此式类似于夫琅和费单缝衍射时的横向光强分布。当z =0时,得中央主最大值:I m ax =I 0.可见,此时不管N a 如何变,F M (z )=0,z =0处(即后焦点处)的光强恒为最大值,即无焦移产生。 ③1< S 0f ≤2时:有-1≤1-S 0 f <0,进一步,由(9)式可得出,此时光强最大值处所对 应的F M (z )的值小于零,则:Δz >0,即此时的焦移是离开透镜的焦点,背离透镜方向。由 图可见:当N a 一定,1 I 0 的值也随着逐渐增大。 (3)两种对称分布:①当S 0=f 时,此时轴上光强是关于透镜的后焦点呈左、右对称分布的。在此可证明:S 0=f 时,由(2)、(8)两式,有:F (z )=-N a z f ,I (P )= I 0 sin π 2F (z )π 2 F (z )2 ,若:z 2=-z 1,则:F 2(z )=-F 1(z ),I 2(P )=I 1(P )。 6 4安徽大学学报(自然科学版)第21卷 ②当 S 0f 取一些关于S 0f =1处的对称值(如S 0f =0同S 0f =2处,S 0f =12同S 0f =3 2 处等)之时,衍射后焦区附近的轴上光强分布及焦移情况呈现出关于透镜后焦点的对称分布。证明如下:若S 0f =m (0≤m <1时),对应于z 处的光强为I (z ),其关于S 0 f =1处的对称处为: S 0 f =2-m ,此时,据(2)、 (8)两式,若z ′=-z ,则有:F ′(z ′)=F ′(-z )=-F (z ), I ′ (z ′)=I (z ), 即关于S 0 f =1处的对称处的轴上光强是关于焦点沿轴对称分布的。显然,两对称处的焦移也是关于透镜的后焦点沿轴对称分布的。 3 总结 以上我们立足Collins 衍射积分公式,分析了平面波通过光阑—透镜分离系统后的焦 移情况,得到了一些有意义的结果。更进一步,我们还可以从(4)、 (5)两式出发,对其焦区附近空间的三维光强分布及位相分布情况做具体的讨论,有关内容,将另文分析。 参考文献 〔1〕 R.G.Wenzel et al.J.Opt.S oc.Am.A ,1986;3(6):838〔2〕 R.G.Wenzel.J.Opt.S oc.Am.A ,1987;4(2):340 〔3〕 Y ajun Li and Emil Wolf.Optics Commun ,1981;39(4):211 〔4〕 M.Born and E.Wolf. Principles of Optics ,6th edition ,pergamon press ,1980 Focal Shift in a Plane Wave Focused by an Aperture Lens Separated System L i u X uej un (Department of Physics ,Anhui University ) Abstract Applying the Collins formula ,the focal shift for a plane wave passing through an aperture -lens separated system is analysed in this paper.A positive equation is derived and illustrated by numerical calculations.Two kinds of symmetrical distribution are derived ,too. K ey w ords aperture -lens separated system ,Collins formula ,focal shift ,symmetrical distribution. 7 4第1期刘学军:平面波通过光阑透镜分离系统的焦移