弗洛伊德算法、dijkstra算法、灰色预测等程序
一、弗洛伊德算法程序
注：本程序可以实现有很多的路，并且距离知道，求第一个地方到其他的地方最短路问题。 某公司在六个城市1c 、2c 、…、6c 中有分公司，从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市的票价最便宜的路线图。
?????????
???????????∞∞∞∞∞∞ 0 55 25 25 1055 0 10 20 2525 10 0 10 20 40 20 10 0 15 25 20 15 0 5010 25 40 50 0 function [D,R]=floyd(a)
n=size(a,1);
D=a
for i=1:n
for j=1:n
R(i,j)=j;
end
end
R
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); R(i,j)=R(i,k); end end end k D R end >>a=[ ];%题目中给出的矩阵 >>[D,R]=floyd(a) 二、最短路问题算法程序 注：本程序可以实现第i 个点到各个点的最短路问题。 function [l,z]=minroad(w,a) %Dijkstra 最短路算法Matlab 程序用于求从起始点a 到其它各点的最短路 %w 为赋权邻接矩阵 %w 为a 到其它各点最短路径的长度 %z记载了最短路径生成树 n=size(w,1); v=1:n; s=a; if(a>n) l=[]; z=[]; return; end l=inf*ones(1,n); u=a; l(s)=0; z(s)=a; v(s)=[]; while(length(v)>0) for i=v if(l(i)>l(u)+w(u,i)) l(i)=l(u)+w(u,i); z(i)=u; end end [t,i]=min(l(v)); s=[s,v(i)]; u=v(i); v(i)=[]; end end >> w=[0 50 inf 40 25 10 50 0 15 20 inf 25 inf 15 0 10 20 inf 40 20 10 0 10 25 25 inf 20 10 0 55 10 25 inf 25 55 0]; >> a=1; >> [l,z]=minroad(w,a) 注：本程序可以实现第一个点到其他点最短的走法。%dijsk最短路径算法 clear,clc G=[0 2 4 inf inf inf inf 2 0 inf 3 3 1 inf 4 inf 0 2 3 1 inf inf 3 2 0 inf inf 1 inf 3 3 inf 0 inf 3 inf 1 1 inf inf 0 4 inf inf inf 1 3 4 0]; >> N=size(G,1); %顶点数 v0=1; %源点 v1=ones(1,N); %除去原点后的集合 v1(v0)=0; %计算和源点最近的点 D=G(v0,:); while 1 D2=D; for i=1:N if v1(i)==0 D2(i)=inf; end end D2 [Dmin id]=min(D2); if isinf(Dmin),error,end v0=[v0 id] %将最近的点加入v0集合，并从v1集合中删除v1(id)=0; if size(v0,2)==N,break;end %计算v0（1）到v1各点的最近距离 fprintf('计算v0（1）到v1各点的最近距离\n');v0,v1 id=0; for j=1:N %计算到j的最近距离 if v1(j) for i=1:N if ~v1(i) %i在vo中 D(j)=min(D(j),D(i)+G(i,j)); end D(j)=min(D(j),G(v0(1),i)+G(i,j)); end end end fprintf('最近距离\n');D if isinf(Dmin),error,end end v0 三、灰色预测程序 注：本程序可以根据现有的几年数据，预测出以后几年的趋势。function f=huiseyuce clear,clc syms a b c=[a,b]'; A=[89677,99215,109655,120333,135823,159878,182321,209407,246619,300670]; B=cumsum(A); %原始数据累加 n=length(B); for i=1:(n-1) C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; %生成累加矩阵 end D=A; D(1)=[]; D=D'; E=[-C;ones(1,n-1)]; c=inv(E*E')*E*D; c=c'; a=c(1);b=c(2);c E %预测后续数据 F=[]; F(1)=A(1); for i=2:(n+20) F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+b/a; end G=[];G(1)=A(1); for i=2:(n+20) G(i)=F(i)-F(i-1); %得到预测出来的数据 end t1=2000:2009; t2=2000:2029; G plot(t1,A,'o',t2,G) %原始数据和预测的数据做比较 摘要 本次课程设计主要核心为利用迪杰斯特拉算法和Floyd算法实现无向图的最短路径的计算和求解。要求理解算法的具体实现流程、学会正确使用该算法求解实际问题。本次课程设计具体内容是：通过对两个算法的理解与应用来比较两个算法的优缺点。本程序要求结合最短路算法以及相应的数据结构的定义和使用，实现一个最短路径算法的简单应用。本课程设计是对书本知识的简单应用，以此培养大家用书本知识解决实际问题的能力；培养实际工作所需要的动手能力；培养以科学理论和工程上能力的技术，规范地开发大型、复杂、高质量的应用软件和系统软件。 关键字：迪杰斯特拉算法，Floyd算法，最短路径，算法设计，数据结构 目录 摘要 --------------------------------------------------------------- 1 一、Dijkstra算法--------------------------------------------------- 3 1.1定义概览 ---------------------------------------------------- 3 1.2算法描述 ---------------------------------------------------- 3 1.2.1算法思想：--------------------------------------------- 3 1.1.2算法步骤----------------------------------------------- 3 1.3算法代码实现 ------------------------------------------------ 4 1.4算法实例 ---------------------------------------------------- 5 二、Floyd算法------------------------------------------------------ 7 2.1定义概览 ---------------------------------------------------- 7 2.2算法描述 ---------------------------------------------------- 7 2.2.1算法思想原理------------------------------------------- 7 2.3算法代码实现 ----------------------------------------------- 10 三、结论 ---------------------------------------------------------- 11 四、参考文献 ------------------------------------------------------ 12 数学建模的见习就告一段落了，经过这为期一周的学习，我对数学建模有了更深入的认识，而不像以前只是肤浅的了解。短短的一周的时间也让自己成长了不少。掌握了准确快 捷的计算方法和严密的逻辑推理，提高用数学工具分析解决实际问题的意识和能力，和对 建模方法的大胆假设，最终提升分析问题，解决问题的能力。 这学期也开过数学建模课,但都只是基于课本,没有涉及实战的演练。对这个见习还有比 较期待的，我们这一组有朱汉兵和我两个成员，抽到的是用弗洛伊德算法解决重心问题。 当即我们便讨论如何处理重心问题，弗洛伊德算法在数据结构的学过，用来解决图的最短 路径问题，想到这一个突破口，我们也算是找到了解决的第一步。 我们分头查找着有关弗洛伊德算法的资料，找到了重心问题的本质在于最短路径问题，运用于解决设施到所有服务对象点的距离总和最小的模型。知道了这一点，接下来便 是用数学解决问题。要解决问题首先要有与之相对应的模型或算法，了解和掌握弗洛伊德 算法后，得到方案的大体雏形，再参考一些经典书籍，我们细化了模型实施步骤，有了明 确的方案，我们变得轻松许多，我们选择了MATLAB这一强大的数学软件作为编程工具。 在这点上，朱汉兵利用他深厚的数学底将算法的每步、每一个点用数学语言表述出。在他 的数学算法基础上，我负责将算法用MATLAB加以实现。刚开始的时候，因遗忘了好多MATLAB命令，可以说举步维艰，只能回过看老师留给我们的PPT。差不多熟悉常用的命令，虽说还会报错，并且模型算法也易于实现，但程序也写的顺利。 在原有的弗洛伊德算法我们加以修改，得到了重心问题的最佳方案，我们的见习也 算法完了大半。再反过头分析整个模型，也发现了一些小瑕疵，例如MATLAB程序中：找 到重心这一步，我采用的是先排序在找数组最小元素，而是用find(m==min(m))这个命令，就可以实现，让程序变得简洁，也更才算是正规的MATLAB语言。最终顺利的完成见习任务，我们顿时轻松许多，但这次见习留下的东西还有很多. 对于数学专业的学生来，并不能只满足这一小部分，分析问题和分解决问题的能力 才是数学建模的价值，也是我们所追求的。提出模型——验证模型——修改模型——再验证——再修改，真正的复杂问题是不可能只靠空想就能出结果的，否则也不叫复杂问题了.只有通过不懈的思考与尝试，发现有问题以后及时修改、琢磨新的思路和先前的瑕疵，才 能完善模型。因此，在以后的建模过程中，我学到了这种一步一步、不断修改的踏实的研 究方法，而不再像以前只是懵懵懂懂的绞尽脑汁想个方案，然后就凑合了事，虽然明知有 缺陷也不知该从何下手。 毫不夸张的说，建模过程充分挖掘了我们的潜能，使我们对自己的能力有了新的认识，特 别是自学能力得到了极大的提高，而且思想的交锋也迸发出了智慧的火花，从而增加了继 续深入学习数学的主动性和积极性。再次，数学建模也培养了我们的概括力和想象力，也 就是要一眼就能抓住问题的本质所在。我们只有先对实际问题进行概括归纳，同时在允许 的情况下尽量忽略各种次要因素，紧紧抓住问题的本质方面，使问题尽可能简单化，这样 才能解决问题。小组合作也让我，深刻体会到了团队合作精神的重要性。建模的过程不仅 仅取决于小组成员个人的基础和努力，更依赖的还是小组成员合作精神的发挥。既要发挥 自己的优点，更不可忽视自己的缺点和同伴的优势，互相磨合，互相学习，互相借鉴。 本次见习将让我受益良久。 Floyd算法Matlab程序第一种: %floyd.m %采用floyd算法计算图a中每对顶点最短路 %d是矩离矩阵 %r是路由矩阵 function ,d,r,=floyd(a) n=size(a,1); d=a; for i=1:n for j=1:n r(i,j)=j; end end r for k=1:n for i=1:n for j=1:n if d(i,k)+d(k,j) end k d r end 第二种: %Floyd算法 %解决最短路径问题，是用来调用的函数头文件 %[D,path]=floyd(a) %输入参数a是求图的带权邻接矩阵，D(i,j)表示i到j的最短距 离,path(i,j)i,j之间最短路径上顶点i的后继点 %[D,path,min1,path1]=floyd(a,i,j) %输入参数a是所求图的带权邻接矩阵，i,j起点终点,min1表示i与j最短距离，path1为最短路径function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal) D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:n if D(i,j)~=inf path(i,j)=j; end end end for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j) 求最短路径算法总结 分类：数据结构 标签： floyd算法 it 部分内容参考 All-Pairs 的最短路径问题:所有点对之间的最短路径 Dijkstra算法是求单源最短路径的，那如果求图中所有点对的最短路径的话则有以下两种解法： 解法一： 以图中的每个顶点作为源点，调用Dijkstra算法，时间复杂度为O(n3)； 解法二： Floyd（弗洛伊德算法）更简洁，算法复杂度仍为O(n3)。 n 正如大多数教材中所讲到的，求单源点无负边最短路径用Dijkstra，而求所有点最短路径用Floyd。确实，我们将用到Floyd算法，但是，并不是说所有情况下Floyd都是最佳选择。 对于没有学过Floyd的人来说，在掌握了Dijkstra之后遇到All-Pairs最短路径问题的第一反应可能会是：计算所有点的单源点最短路径，不就可以得到所有点的最短路径了吗。简单得描述一下算法就是执行n次Dijkstra算法。 Floyd可以说是Warshall算法的扩展了，三个for循环便可以解决一个复杂的问题，应该说是十分经典的。从它的三层循环可以看出，它的复杂度是n3，除了在第二层for中加点判断可以略微提高效率，几乎没有其他办法再减少它的复杂度。 比较两种算法，不难得出以下的结论：对于稀疏的图，采用n次Dijkstra比较出色，对于茂密的图，可以使用Floyd算法。另外，Floyd可以处理带负边的图。 下面对Floyd算法进行介绍： Floyd算法的基本思想： 可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k 与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。 Floyd算法的基本步骤： 定义n×n的方阵序列D-1, D0 , … Dn－1, 初始化：D-1＝C D-1[i][j]＝边 弗洛伊德算法详解 算法的数据结构 弗洛伊德算法采用图的带权邻接矩阵存储结构。 算法基本思想 假设求顶点Vi到Vj的最短路径。弗洛伊德算法依次找从Vi到Vj，中间经过结点序号不大于0的最短路径，不大于1的最短路径，…直到中间顶点序号不大于n-1的最短路径，从中选取最小值，即为Vi到Vj的最短路径。 算法具体描述 若从Vi到Vj有弧，则从Vi到Vj存在一条长度为弧上权值（arcs[i][j] ）的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。 首先考虑从Vi到Vj经过中间顶点V0的路径（Vi，V0，Vj）是否存在，也就是判断弧（Vi，V0）和（V0，Vj）是否存在。若存在，则比较（Vi，Vj）和（Vi，V0，Vj）的路径长度取较短的为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于0的最短路径。 在此路径上再增加一个顶点V1，也就是说，如果（Vi，…V1）和（V1，…Vj）分别是当前找到的中间顶点序号不大于0的最短路径，那么，（Vi，…V1，…Vj）就有可能是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路径。将它和已经得到的从Vi到Vj中间顶点序号不大于0的最短路径相比较，从中选出最短的作为从Vi到Vj中间顶点序号不大于1的最短路径。然后，再增加一个顶点V2继续进行这个试探过程。 一般情况下，若（Vi，…Vk）和（Vk，…Vj）分别是从Vi到Vk和从Vk到Vj的中间顶点序号不大于k-1的最短路径，则将（Vi，…，Vk，…Vj）和已经得到的从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k-1的最短路径相比较，其长度最短者即为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k的最短路径。 经过n次比较之后，最后求得的便是从Vi到Vj的最短路径。 按此方法可同时求得各对顶点之间的最短路径。 现定义一个n阶方阵序列 D（-1），D（0），D（1），…，D（k），…，D（n-1） 其中 D（-1）[i][j]=arcs[i][j] //Floyd算法 //求网G（用邻接矩阵表示）中任意两点间最短路径 //D[][]是最短路径长度矩阵，path[][]最短路径标志矩阵 void Floyd(MGraph * G,int path[][MAX_VERTEX_NUM],int D[][MAX_VERTEX_NUM],int n){ int i,j,k; for(i=0;i 数据结构与算法课程实验报告实验四：图的相关算法应用 姓名：王连平 班级：09信科2班 学号：I09630221 实验四图的相关算法应用 一、实验内容 求有向网络中任意两点之间的最短路。 二、实验目的 掌握图和网络的定义，掌握图的邻接矩阵、邻接表和十字链表等存储表示。掌握图的深度和广度遍历算法，掌握求网络的最短路的标号法和floyd算法。 三、问题描述 对于下面一张若干个城市以及城市间距离的地图，从地图中所有可能的路径中求出任意两个城市间的最短距离及路径，给出任意两个城市间的最短距离值及途径的各个城市。 四、问题的实现 4.1数据结构的抽象数据类型定义和说明 1） typedef struct ArcCell{//储存弧信息 int Distance; ArcCell *info;//此项用来保存弧信息，，在本实验中没有相关信息要保存 }ArcCell,AdjMatrix[ MAX_VERTEX_NUM][ MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct{//储存顶点信息 string vexs[ MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量 AdjMatrix arcs;//邻接矩阵 int vexnum , arcnum;//图的当前顶点数和弧数 }MGraph; 顶点信息和弧信息都是用来建立一个有向网G 2） d[v][w];//G中各对顶点的带权长度 若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点 4.2主要的实现思路 首先通过一个函数（CreateDN）建立图的邻接矩阵储存方式,一次输入某条弧的起点，终点，和权值。通过调用Locate函数来找到该弧在邻接矩阵中的相应位置。 其次运用弗洛伊德算法来求各定点的最短路劲，具体思路为：如果从v到w有弧，则存在一条长度为arcs[v][w]的路径，该路径不一定是最短路径。考虑路径（v,u,w）是否存在，若存在，比较（v,w）和（v,u,w）的长度，取较短者为从v到w的中间点序号不大于0的最短路径。以此类推，每次增加一个点，从而求出任意两点间的最短路径。这样，经过n次比较后，所求得的必为从v到w的最短路径。按此方法，可以同时求得任意两点间的最短路径。 五、主要源程序代码（包含程序备注） #include 课程设计任务书 目录 第1章概要设计 (1) 1.1题目的内容与要求 (1) 1.2总体结构 (1) 第2章详细设计 (2) 2.1主模块 (2) 2.2构建城市无向图 (3) 2.3添加城市 (4) 2.4修改城市距离 (5) 2.5求最短路径 (6) 第3章调试分析 (7) 3.1调试初期 (7) 3.2调试中期 (7) 3.3调试末期 (7) 第4章测试及运行结果 (7) 附页（程序清单） (10) 第1章概要设计 1.1题目的内容与要求 内容：给出一张无向图，图上的每个顶点表示一个城市，顶点间的边表示城市间存在路径，边上的权值表示城市间的距离。试编写程序求解从某一个城市出发到达任意其他任意城市的最短路径问题。 要求： 1)能够提供简单友好的用户操作界面，可以输入城市的基本信息，包括城市名 称，城市编号等； 2)利用矩阵保存城市间的距离； 3)利用Floyd算法求最短路径； 4)独立完成系统的设计，编码和调试； 5)系统利用C语言完成； 6)按照课程设计规范书写课程设计报告。 1.2总体结构 本程序主要分为四个模块（功能模块见图1.1）：主模块对整个程序起一主导作用，开始构建一城市无向图，对其进行添加城市顶点，以及对原来的距离数据进行修改，整体构建结束可以实现求一城市到其他城市的最短路径问题。 图1.1 功能模块图 第2章详细设计 2.1主模块 用户根据屏幕上显示的操作提示输入要进行操作的模块，通过调用相对应的模块程序，达到用户所想进行操作。程序的总框架大致分为四个模块：1.建立城市无向图2.添加城市模块3.修改城市距离4.求最短路径。具体实现过程见2.2：建立城市无向图2.3：添加城市2.4：修改城市距离2.5：求最短路径。流程图中通过输入n，由n的值来选择调用相对应子函数，实现所选择的功能，调用完后可以返回调用主函数进行下一次选择，从而实现反复调用子函数而实现四个模块的功能等。 图2.1 主模块流程图 最短路径动态规划问题及其程序设计 林旭东 (深圳大学管理学院,广东深圳518060) [摘要]本文以最短路径问题为例,在给出佛洛伊德算法的基础上,设计了求解该算法的计算程序,这样可大大提高最短路径计算的效率。 [关键词]最短路径; 动态规划; 程序设计 1 佛洛伊德算法 已知有n个顶点的有向图,佛洛伊德算法能够求解出每一对顶点之间的最短路径。假设使用邻接矩阵d ( i, j)来对图进行存储, d ( i, j)表示υi 到υj 之间的距离,可是该距离不一定是最短距离。佛洛伊德算法的基本思想是:为求顶点υi→υj 之间的最短距离,需要进行n次试探。首先将υ0 加入路[收稿日期] - 12 - 22[作者简介]林旭东(1972 - ) ,男, 湖北武汉人,深圳大学管理学院副教授,博士后,主要研究方向:数量模型与决策分析。径,考虑路径υi →υ0 →υj 是否存在,如果存在,则比较υi →υj和υi →υ0 →υj 的路径长度,取长度短的路径作为υi →υj 的路径,记作(υi ,υj ) 。接着在路径上再增加一个顶点υ1 ,比较υi→υ1 →υj 和(υi ,υj )的路径长度, 取长度短的路径作为(υi ,υj) 。不断将顶点υ2 ,υ3 , .,υn - 1加入进行试探, 最后得到的(υi ,υj )必定为υi →υj 的最短路径。若使用数组dk ( i, j)表示加入顶点k后,最短路径长度的变化情况,使用数组pk ( i, j)表示加入顶点k后,最短路径上顶点的变化情况,这样佛洛伊德算法就会产生一组d 0 ( i, j) ,d1 ( i, j) , ., dn - 1 ( i, j)和一组p0 ( i, j) , p1 ( i, j) , ., pn - 1 ( i, j) 。 R2 = 01314 014 01286 0 01197 01263 01394 01146 问题描述 实现Floyd算法，并求所示有向图中各顶点之间的最短路径及其长度。 算法思想 采用图的邻接矩阵存储，实现Floyd算法~，数组P[][][]存储是否存在中间点使长度缩短。 设计描述 数据存储结构类型的定义： typedef struct MGraph{ char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; int arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; int vexnum,arcnum; GraphKind kind; }MGraph; 源程序 #include 数据结构课程设计报告撰写要求 （一）纸张与页面要求 1．采用国际标准A4型打印纸或复印纸，纵向打印。 2．封页和页面按照下面模板书写（正文为：小四宋体1.5倍行距）。 3．图表及图表标题按照模板中的表示书写。 （二）课设报告书的内容应包括以下各个部分：（按照以下顺序装订） 1.封页(见课设模版) 2、学术诚信声明，所有学生必须本人签字，否则教师拒绝给予成绩。 2.任务书(学生教师均要签字,信息填写完整) 3.目录 4.正文一般应包括以下内容: （1)题目介绍和功能要求（或描述） 课程设计任务的详细描述(注意不能直接抄任务书),将内容做更详细的具体的分析与描述； （2) 系统功能模块结构图 绘制系统功能结构框图及主要模块的功能说明； （3) 使用的数据结构的描述: 数据结构设计及用法说明; （4) 涉及到的函数的描述 ; （5) 主要算法描述( 程序流程图) （6) 给出程序测试/运行的结果 设计多组数据加以描述（包括输入数据和输出结果） （7) 课程设计的总结及体会 （8) 参考文献 格式要求：[1]作者，等. 书名.出版地：出版社，出版年 5.附录：程序清单 (应带有必要的注释) 沈阳航空航天大学 课程设计报告 课程设计名称：数据结构课程设计 课程设计题目：利用弗洛伊德（Floyd)算法求解 最短路径 院（系）：计算机学院 专业：计算机科学与技术(物联网方向) 班级：34010105 学号： 姓名： 指导教师： 说明：结论（优秀、良好、中等、及格、不及格）作为相关教环节考核必要依据；格式不符合要求；数据不实,不予通过。报告和电子数据必须作为实验现象重复的关键依据。 Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法，用于求解任意两点间的最短距离，时间复杂度为O(n^3)。我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下： 1void Floyd(){ 2int i,j,k; 3for(k=1;k<=n;k++) 4for(i=1;i<=n;i++) 5for(j=1;j<=n;j++) 6if(dist[i][k]+dist[k][j] 运筹学实验报告-Floyd算法班级：信息082班姓名：桑治平学号：200812030220 10.6 先写出距离矩阵： D=[0 3 inf 4 inf inf inf inf inf; inf 0 3 inf 2 3 inf inf inf; inf inf 0 inf inf inf inf inf 5; inf inf inf 0 inf inf 3 inf inf; inf inf inf inf 0 3 inf inf inf; inf inf inf inf inf 0 1 inf 2.5; inf inf inf inf inf inf 0 2 2; inf inf inf inf inf inf inf 0 4; inf inf inf inf inf inf inf inf 0; ]; Floyd算法如下： n = size(D,1); D1 = D; for i = 1:n for j = 1:n R(i,j) = j; end end R for k = 1:n for i = 1:n for j = 1:n if D1(i,k) + D1(k,j) < D1(i,j) D1(i,j) = D1(i,k) + D1(k,j); R(i,j) = R(i,k); end end end k D1 R end 运行结果如下： >> Floyd R = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k = 1 D1 =0 3.0000 Inf 4.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 Inf 2.0000 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf 5.0000 Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 1.0000 Inf 2.5000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2.0000 2.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 R = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k = 2 D1 =0 3.0000 6.0000 4.0000 5.0000 6.0000 Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 Inf 2.0000 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf 5.0000 Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 1.0000 Inf 2.5000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2.0000 2.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 R = 1 2 2 4 2 2 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 最短路径之Dijkstra算法详细讲解 １最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤 #include for (i=0;i #include 基于matlab的floyd算法 matlab计算最短路径 function [d,path]=floyd(a,sp,ep) % floyd - 最短路问题 % % Syntax: [d,path]=floyd(a,sp,ep) % % Inputs: % a - 距离矩阵是指i到j之间的距离，可以是有向的 % sp - 起点的标号 % ep - 终点的标号 % % Outputs: % d - 最短路的距离 % path - 最短路的路径 % a =[ 0 50 inf; 50 0 15 ; Inf 15 0 ];% a(i,j)，从节点i到j之间的距离 % [d,path]=floyd(a,2,5) sp=3; ep=1; n=size(a,1); D=a; path=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:n if D(i,j)~=inf path(i,j)=j; %j是i的后续点 end end end for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,j)>D(i,k)+D(k,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); path(i,j)=path(i,k); end end end end p=[sp]; mp=sp; for k=1:n if mp~=ep d=path(mp,ep); p=[p,d]; mp=d; end end d=D(sp,ep) path=p 试计算下图的最短路径， 1.起点C点，终点A点。 2.起点A点，终点G点。 3.起点D点，终点F点。 试计算下图的最短路径， 1.起点F点，终点A点。 2. 起点E点，终点C点。 Floyd算法 算法能实现求一个图中任意两点间最断距离，并给出路径。 设图G的顶点数为n，D=(d ij)n×n，为其距离矩阵，Floyd算法步骤如下： Step 1：输入距离矩阵D； Step 2：k=1， Step 3：i=1； Step 4：d ij=min(d ij,d ik+d kj),j=1,2,…,n; Step 5：i++；如果i≤n，转Step 4； Step 6：k++；如果k≤n，转Step 3；否则转Step 7； Step 7：程序结束，输出结果。 用Floyd算法求图中各顶点之间的最短路的Matlab程序。 M=99999; a=[0,20,14,M,M,M,M M,0,M,15,12,M,M M,M,0,10,M,13,M M,M,M,0,8,M,9 M,M,M,M,0,8,10 M,M,M,M,M,0,12 M,M,M,M,M,M,0]; length=floyd(a) r代表任意城市之间经过的路径,这个结果比起Mathematica来说不好理解，这个也是我自己对比上面结果的理解。 第一行代表1经过1，2，3，4，5，6，7的路径； 第一个数是1，代表1直接到1最短 （1，1） 第二个数是2，代表1直接到2最短 （1，2） 第三个数是3，代表1直接到3最短 （1，3） 第四个数是3，代表1经过3再到4最短 （1，3，4） 第五个数是2，代表1经过2再到5最短 （1，2，5） 第六个数是3，代表1经过3再到6最短 （1，3，6） 第七个数是3，代表1经过3再到7最短 （1，3，7）？？和前面不一样 出现问题了，其实错误在于3不是直接到7最短造成的（我们取的3到7距离为99999） 而前面3个红色的路径是不会出现这种情况的（可以看下面的表）。 可以看第三行 3是经过4再到7最短！ 所以（1，3，4，7） 任意城市之间经过的路径我们只需要求红色括号里面的路径就可以了（用上面的分析可以得到答案），其他的已经是最短路了。 { {1,1} {1,2} {1,3} {} {} {} {} {2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2，5，6} {2，5，7} {3,1} {3,2} {3,3} {3,4} {3，4，5} {3,6} {3，4，7} {4,1} {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4，5，6} {4,7} {5,1} {5,2} {5,3} {5,4} {5,5} {5,6} {5,7} {6,1} {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6} {6,7} {7,1} {7,2} {7,3} {7,4} {7,5} {7,6} {7,7} } 如果熟练后也可以很快得到结果！迪杰斯特拉算法和Floyd算法实现无向图的最短路径的计算和求解
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