相似三角形常用模型及应用

相似三角形常用模型及应用

相似证明中的基本模型

A 字形

图①A 字型,结论:

AD AE DE AB AC BC ==,图②反A 字型,结论:AE AD DE

AC AB BC

== 图③双A 字型,结论:

DF BG EF GC =,图④含形A 字形,结论AH a a

AH BC

-=(a 为形边长)

I

H G F

E

D C

B A

G

F

E

D

B

A

E

D

C

B A E

D C B

A

图① 图② 图③ 图④

8字型

图①8字型,结论:

AO BO AB OD CO CD ==,图②反8字型,结论:AO BO AB CO DO CD ==、四点共圆 图③双8字型,结论:

AE DF BE CF =,图④A 8字型,结论:111

AB CD EF

+= 图⑤,结论:EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ?=?△△△△

E

F

D C B

A F E

D C B

A

O

D C B

A

O

D

C B

A

G

F

E

D C

B A

图① 图② 图③ 图④ 图⑤

一线三等角型

结论:出现两个相似三角形

H

E D

C B A

E D

C B

A

E

D

C

B

A

C

60°F E D

C

B A

F

E

D C

B A

图① 图② 图③ 图④

角分线定理与射影定理

图①角分线型,结论:

AB BD AC DC =,图②外角分线型,结论:AB BD

AC CD

= 图③斜射影定理型,结论:2AB BD BC =?,

图④射影定理型,结论:1、2AC AD AB =?,2、2CD AD BD =?,3、2BC BD BA =?

D C B

D B

A C

A

E

D

C

B A

D C B A

梅涅劳斯型常用辅助线

G F

E

D

C

B

A

G

F

E

D

C

B

A G F

E D

C B A

D

E

F

C

B

A

考点一 相似三角形

【例1】 如图,D 、E 是ABC ?的边AC 、AB 上的点,且AD AC ?=AE AB ?,求证:ADE B ∠=∠.

E

D

C

B

A

中考满分必做题

【例2】 如图,在ABC ?中,AD BC ⊥于D ,CE AB ⊥于E ,ABC ?的面积是BDE ?面积的4倍,6AC =,

求DE 的长.

E

D C

B A

【例3】 如图,ABC △中,60ABC ∠=?,点P 是ABC △一点,使得APB BPC CPA ∠=∠=∠,

86PA PC ==,,则PB =________.

P

C

B

A

【例4】 如图,已知三个边长相等的形相邻并排,求EBF EBG ∠+∠.

H

G

F

E

D C

B A

考点二:相似三角形与边的比例

?考点说明:可运用相似三角形模型,常用A 字形与8字形

【例5】 在ABC ?中,BD CE =,DE 的延长线交BC 的延长线于P , 求证:AD BP AE CP ?=?.

P

E

D C

B

A

【例6】 如图,在ABC ?的边AB 上取一点D ,在AC 取一点E ,使AD AE =,直线DE 和BC 的延长线相

交于P ,求证:

BP BD

CP CE

=

P

E

D

C

B

A

【例7】 如图,M 、N 为ABC △边BC 上的两点,且满足BM MN NC ==,一条平行于AC 的直线分别交

AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .

求证:3EF DE =.

F N

M

E

D C

B

A

考点三:相似三角形与接矩形

?考点说明:接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题,考查了相似三角形对应高的比等于相似比

【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米,面积为1.5平方米,工人师傅要把它加工成一个

面积最大的形桌面,请甲、乙两位同学进行设计加工方案。甲设计的方案如图①所示,乙设计的方案如图②所示,你认为哪位同学设计的方案较好,请说明理由(加工损耗忽略不计)

【例8】 ABC ?中,形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上,另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上,

15BC =,BC 边上的高10AD =,求EFGH S W .

G

F E D C

B A

F E D

C B A

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