初等代数复习题

第一章

数 与 数 系

自然数系和0

1、用自然数的序数理论证明:

(1)743=+ (2) 1243=?

2、把n 个互不相等的自然数排成一个n 级方阵,取每行数的最大数,得n 个数,设其中最小的一个是x ;再取每列数的最小数,又得n 个数,设其中最大的一个是y .试比较y x 与的大小.

3、考察下列等式 2+3+4=1+8 5+6+7+8+9=8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64

试猜想一个一般公式,并加以证明.

4、证明:在n n 22? (N n ∈)个相等的小方格组为的棋盘上,任意挖去一个小方格后,总可以用由这样3个小方格构成的L 形块恰好铺满.

5、证明:可以把自然数1,2,3,n , )3(≥n 围成一圈, 使每相邻两数之差不超过2.

6、 已知 1)2()1(==f f

)()1()2(n f n f n f ++=+ ,2,1=n 求证 对任何N n m ∈,,有

)1()1()()()1(+++=++m f n f m f n f m n f

7、 设 12)(+=n n f []??

?

??=-==,,3,2,)1(1

3)( n n g f n n g

求证 12)(1-=+n n g .

8、现有111张卡片,在每张卡片上都写上一个自然数,若这111个自然数的和小于3136,证明至少有3张卡片上的数相等. 9、 已知),(n m f 对任何N n m ∈,,满足

??

?

??+=++=++=)),,1(,()1,1(),2,()1,1(,1),1(n m f m f n m f m f m f n n f

求证:1)2),2(+=n n f 2)22),3(+=n n f 3)22),4(2-=+n n f 整数环

1、已知 d c p b a p --10,10,求证 bc ad p -.

2、设2不整除a ,求证 812-a .

3、设Z b a ∈,, 求证 233b a -的充要条件2b a -.

4、已知 n k a 10?= ,N n ∈ ,{}0?∈N k , 求证:)9)(7)(3)(1(++++a a a a 的末三位数是189.

5、证明:前n 个自然数的和的个位数码不能是2,4,7,9.

6、已知 1)2()1(==f f

)()1()2(n f n f n f ++=+ ,2,1=n

求证 当4)(3n f n 时,

. 7、证明从1,2,, 100里任意取出的51个数中,至少有两个数,其中的一个是另一个的倍数. 有理数域

1、 把下列分数可以化成怎样的循环小数,并且指出循环节长:

1)

;66

1 2)9252; 3);46083 4)10014

.

2、把下列小数可以化成分数 1)0.。

43658 2)0.

.

58934637. 3、已知 1)2()1(==f f

)()1()2(n f n f n f ++=+ ,2,1=n n a 表示)(n f 的个位数码,求证 n a a a 21.0是有理数. 4、已知 ,,N n k ∈n a 表示 k k k n +++ 21 的个位数码,

求证 n a a a 21.0是有理数. 5、将

798

1

分解成三个单位分数之和,能够分成四个吗? 实数集

1、 下列闭区间是否组成闭区间套?能否确定唯一的实数?

1);121,34322321 ,,,,,,???

???+++????????????n n n n 2);1212,143121 ,,,,,,??

??

??-??

??????

????n

n 2、设d b Q d c b a ,,,,,∈是无理数,且,d c b a +=+ 求证:d b c a ==,

3、已知 0<k a <2 ,

,,,1,0n k = 求证在n a a a ,,,10 中至少有两个数,它们差的绝对值小于n 2 . 4、设a >0,b >0,b a ,互素,n

n b a ,

不全是整数,

求证n b a 是无理数.

5、设a >1,b >1,b a ,互素,求证)lg(a 是无理数.

6、证明 32+是无理数.

7、求适合[]022=--x x 的一切实数.

复数域

1、 已知在三角形ABC 中,2

π

=

∠C ,D 是AB 上任一点,

求证: ()()()222CD AB AD BC BD AC ?=?+? 2、 设()8sin cos 1θθi +-是实数,求θ. 3、 用复数的乘法证明:

1) 481arctan 71arctan 51arctan 31

arctan

π=+++ 2) 2

6516arcsin 135arcsin

5

4

arcsin π=++ 4、在复平面内_

z z =3表示怎样的图形,求6

π

角的终边与这个图形 交点A 所对应的复数.把OA ?→

?按逆时针方向旋转4

π

到OB ?→

?,

求B 点所对应的复数.

5、设P 为定直线AB 外任一点,把AP ?→

?按逆时针方向旋转2π

到P A '?→

?,

再把BP ?→

?按顺时针方向旋转2

π

到P B ''?→

?,求证P P '''与的中点是定点.

6、计算100

50

)

1(3i i -+)

( 第二章 式、代数式、不等式

整式

1、如果48234+-++x Bx Ax x 是D Cx x ++2的完全平方,求D C B A 、、、.

2、求d cx bx ax +++23为完全平方式的条件.

3、如果d cx bx ax +++23能被22h x +整除,证明 bc ad = .

4、将下列各式作因式分解并指出所用方法 (1)36355622-++-+b a b ab a (2))()()(b a ab a c ca c b bc -+-+- (3)120)4)(3)(2)(1(-----x x x x

(4)2222)(4)(b a ab b ab a ++++ (5)26)6)(4)(3)(2(x x x x x ----- (6)8448b b a a ++ 分式与根式

1、已知01x 2=++x ,求14141

x

x +的值. 2、已知

c b a z c a y c b a x +-=-=++22,求证z

y x c

z x b z y x a +-=

-=++22. 3、求下列各多项式的值: (1)1046404)(,22

6923-+-=+=x x x x f x (2)22353),(,2

323,2

323y xy x y x f y x +-=-+=

+-=

4、求下列各根式的值: (1)22,1

515,1

515y x y x ++-=

-+=

(2).,,4,6y

x y x y x xy y x +->==+

5、求3222322232232++-?+++?++?+的值.

6、化简下列各式 (1)

;5

4073124---+ (2)2231252324++++

(3)??

?

??+??

? ??+??? ?

?+--1

1

2222111n n x

x x x x x )1(≠x

指数式与对数式

1、已知,6.13log 2=求54log 72的值.

2、已知a =7log 14 ,514=b ,求28log 35的值.

3、已知b a =-

=-)81

1

1lg(,)9

11lg(,试用b a 、表示3lg ,2lg . 4、已知,54log ,18log 2412==βα 求证 1)(5=-+βααβ. 三角式与反三角式

1、证明 α

α

ααααsin 22sin 2cos 2cos 2cos cos 112

++=n n n

.

2、证明 n

n n x

x x x x x 2

sin 2sin 2

cos 2cos 2cos

2cos 32=

第三章 方程

1、解方程

(1)()1921357x 22

2++=++x x x

(2)()91)72)(52(92=-+-x x x

2、用观察法、换元法、比例变形、因式分解等方法解下列方程: (1)求()()()765321??=---x x x 的有理根. (2)求03323=-+-x x x 的实数根. (3)a

a x

x 11+=+

(4)44)5)(4)(3)(2(=--++x x x x (5)

45

3611220

72302471352

32232+++++=+++++x x x x x x x x x x (6) x x x x x 2255252-=++++

3)已知n m 、是有理数,方程02=++n mx x 有一个根是25-, 求n m +的值.

4)设21x x 、是方程032=-+x x 的两个不同的根,求1942231+-x x 的值. 5)已知1m 2+=m ,12+=n n ,n m ≠,求55n m +的值. 6)已知2

11+=

x ,求8223+-+x x x 的值.

7)当a 在什么范围内取值时,方程a x x =-52有且只有

两个相异实数根? 8)能使关于x 的方程

01

2

211112

=-++++-+-+x a x x x x x 只有一个实根的所有a 的值的总和等于多少?

第四章 函数

1、如果{}{}e d c b a B A ,,,,,5,4,3,2,1==,确定下列各个序偶的集合中哪些是从A 到B 的函数?其中哪些是一对一而且到上的函数?并求它们的定义域.

(1){}),5(),,4(),,3(),,2(),,1(e d c b a f = (2){}),4(),,5(),,1(),,3(),,2(a a a a a g = (3){}),4(),,1(),,2(),,3(),,5(),,1(a d b a d e h =

(4){}),4(),,4(),,3(),,2(),,1(e x c b a j = (5){}),2(),,3(),,4(),,1(),,5(d c b e a k = 2、下列各个关系中,哪些是R 到R 的函数?其中哪些是一一对应?求出它们的值域,并指出哪些关系不是函数,为什么? (1){}x y R y x y x s =∈=,,),( (2) {}1,,),(22=+∈=y x R y x y x t (3){}2,,),(=-∈=y x R y x y x u (4){}1,,),(=∈=y R y x y x v (5){}时当时;当时;当0,00,20,2,,),(==>-=<=∈=x y x y x y R y x y x w

3、求证函数2

1x x y +=在区间(0,∞

+)内有最小值3

223. 4、求函数)0,0(2

>>+=

b a b

ax x

y 的最大值. 5、求证函数1122+-+++=x x x x y ,当0=x 时取最小值2.

6、已知2

11

x y +=

的图像,用怎样的变换可作 (1)2212++=x x y ,(2)2

21

2+-=x x y 的图像?

7、根据参数a ,求方程132+=-a x 的解的个数.

8)已知映射,其中R B A B A f ==→,:对应法则,2:2x x y f +-=对于实数

,B k ∈在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是

A 、1>k

B 、1≥k

C 、1

D 、1≤k 9)下列函数中与函数32x y -=相同的是

A 、x x y 2-=

B 、x x y 2--=

C 、32x y -=

D 、x

x y 2

2

-= 10)已知函数)(x f 的定义域为(0,1),求)(2x f 的定义域;已知函数

)12(+x f 的定义域为(0,1),求)(x f 的定义域;已知函数)1(+x f 的

定义域为[]0,2-,若),1,0(∈k 求)()()(k x f k x f x F ++-=的定义域; 答案:{}{}{}k x k x x x x x x -≤≤-<<<<<<-11311001;;

11)已知函数862++-=k kx kx y 的定义域是R ,求实数k 的取值范围. 答案:10≤≤k

12)(2007湖北模拟)记{}b a ,min 为b a ,两数的最小值,当正数y x ,变化时,?

?

?

???

+=22,min y x x x t 也在变化,则t 的最大值为 . 答案:当22==y x 时,t 取最大值2

2.

13)(2008

上海春招)函数1

6

)(2-++-=x x x x f 的定义域

是 . 答案:[)(]3112,,?- 14)求下列函数的值域 (1)12++=x x y ; (2)12+-=

x x y (3)2

21

x

x y -+=. 答案:(1)()()

()??

?

??+∞?∞-+∞?∞-??

??

??∞+,940,)3(,11,)2(4

3

15)求函数12--=x x y 的值域.

提示:换元法 答案:??

?

?

??+∞,8

15

16)已知x x f 1

1)(-

=,当??

????∈2,21x 时,求)(x f 的值域. 17)(2007湖南)函数??

??

?>+-≤-=1

,34,

1,44)(2x x x x x x f 的图象和函数x x g 2log )(=的图象的交点个数是 A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 18)设函数??

?

?

?≤<-≤≤-+=),

10(),01(1x x x x y 求它的反函数.

19)(2007湖南模拟) 设函数??

?

??≤>+=-)4(2

),4()1(log 43x x x y x 的反函数)(1x f -,

且a f =-)8

1

(1,则=+)7(a f A 、-2 B 、-1 C 、1 D 、2

20、用番号标出下列函数单调性证明中的基本步骤,并用下划线方式指出其规范书写中的关键词.

求证:函数2)(x x f =在(0,+∞)上是增函数.

证明:设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数,且1x ≤2x ,则

)(1x f -)(2x f =2

1x -22x =())(2121x x x x +-

由1x ,2x 是0,+∞)上的任意两个实数,得021≥+x x

由1x ≤2x ,得021≤-x x 于是)(1x f -)(2x f 0≤ 即)(1x f ≤)(2x f

所以,2)(x x f =在(0,+∞)上是增函数.

第二章 式、代数式、不等式

1、(1)求解不等式

02

1

≥-+x x ,并逐步标明解题依据 (2)写出列方程解应用题的基本步骤.

2、写出用图解法解不等式f(x)

3

10<

+-≤xy y x . 4、指出下列不等式组所表示的平面部分:

??

???<+≤-+≤9099222

22y x y x x y 5、解不等式:44)3()1(+++x x ≥272 答案:x ≤-5或x ≥1

第五章 数列

1)在数列{}n a 中,11=a ,n

n a a 41

11-

=+,122-=n n a b ,其中*∈N n

(1)求证:数列{}n b 是等差数列;

(2) 求证:在数列{}n a 中对任意*∈N n ,都有n n a a <+1.

2)(2008海淀区期末)设数列{}n a 的前n 项和为1,1=a S n 且数列{}n S 是

以2为公比的等比数列。

(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求1231++++n a a a

答案:(1)???

??

??≥==-)

2(2)

1(1

1

n n a n n ; (2)31

212++n 。

3)(2007海淀区模拟)已知数列{}n a 的前n 项和为,n S

),

2(27≥+=n S a n n 21=a

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设n

n a b 2l og 1=

,n n n n b b b T 221+++=++ ,是否存在最小的正整数k ,

使得对于任意的正整数n ,有12

k

T n <恒成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由。 答案:(1)232-=n n a ;

(2)存在最小的正整数4=k ,使得12

k

T n <

恒成立。

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