圆周角和圆心的关系

圆周角与圆心角的关系

一、背景分析

1.学习任务分析

本节课的学习任务是：理解圆周角的概念，理解并证明圆周角定理。

本节课是在学生掌握了圆的有关性质和圆心角概念的基础上进行的，是前面学过的三角形内角和定理的推论和等腰三角形性质的延续，又是下一节课学习圆周角定理的三个推论的依据,还能使学生了解分情况证明数学命题及化归的思想和方法，是本章重点内容之一。

综合上述对教材内容的分析，结合新课标的要求，我确定本节课的重点是：理解圆周角的概念和圆周角定理。

2.学情分析

九年级学生已经具备一定的观察讨论、自主探索、归纳总结的能力，但在我所带的班级中，多数学生表现欲不强，怕说错话，解错题，而本节课又是分三种情况证明圆周角定理，采用由特殊到一般的方法，这种探索问题的方法学生数学活动的经验较少，即使少数优秀学生能在教师给出三种情况的条件下证明出圆周角定理，他们也不一定能考虑到要分情况去讨论论证并用化归的思想方法去解决。

所以我认为本节的课的难点是：利用分类讨论和化归的思想方法推导证明圆周角定理。

依据新课标要求，根据本节内容在教材中的地位和作用，以及九年级学生的认识结构和心理特征，我确定以下目标：

1．理解圆周角的概念，理解并证明圆周角定理．

2．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，感受以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想和化归的数学方法．

3．让学生在主动探索、合作交流的过程中，获得成功的愉悦感，培养学生独立思考、善于总结的学习习惯。

三、课堂结构

基于以上的背景分析和教学目标分析，为了达到突出重点、突破难点的目的，本节课我设计了这样的教学环节：

激趣引入——概念明晰——活动探究——大显身手——品味收获——布置作业

四、教学媒体选择

教学媒体的使用上，采用多媒体课件和传统教学相结合，同时借用几何画板，对本节课的教学是非常必要的，充分应用多媒体教学直观、形象的优势，在反馈练习上加快了课堂节奏，增大了课堂容量，借用几何画板使得演示圆周角与圆心角三种位置关系和度量二者的大小关系上更加直观、生动，同时为克服多媒体教学的局限性，利用黑板进行必要的板书，便于学生加强记忆，并能帮助解决课堂中的突发问题。

1.教学方法

根据本节课的教学目标、教学内容和学生学情，教学上采用“探究式”的教学方法。教师着眼于引导，学生着重于探索，意在帮助学生通过直观情境观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论、练习来深化对知识的理解。

2.学生学法

学生学习的关键在于教师如何调动、挖掘学生的积极性、主动性。本着“最近发展区”原则，课堂上，学生主要采用动手实践、自主探索、合作交流的学习方法，在教师的指导下从直观感知上升到理性思考。经历观察、实验、猜想、验证、论证、归纳的学习过程，让不同层次的学生有不同层次的收获与发展。

六、教学过程

环节一激趣引入

（课件展示）在上周二下午的兴趣小组活动中，咱们班足球小组的李博、季明、王亮三位同学进行了一场游戏，现在老师把他们的游戏抽象成数学问题：三人进行一场射门游戏，过球门AC画了一个圆，李博、季明、王亮分别站在圆上B、D、E的位置直线射球，但是李博和王亮不同意这样比赛，说季明所在的位置相对于球门AC的张角大，游戏不公平，你怎么看？（引发学生思考∠ABC、∠AEC和∠ADC的大

小。）

教师依次提出问题串：

问题1：到底是不是∠ADC大呢？带着对这个问题的思考我们一起走进今天的课堂。

问题2：首先请同学们回忆一下在此之前我们都学过哪些与圆有关的角？（学生回答圆心角）

问题:3：什么是圆心角呢？（学生回答：顶点在圆上，两边是两条半径的角是圆心角）

问题4：那么∠ABC、∠AEC和∠ADC是圆心角吗？（不是）

问题5:与圆心角相比，它们有什么特征呢？（学生回答:顶点在圆上，两条边分别与圆还有另外一个交点。）

问题6：依据他们共同的特征，你能给他们取个名字吗？（学生回答：圆周角）

非常好，今天我们就来认识圆周角。（教师板书半个课题——圆周角）设计意图：本环节从学生感兴趣的体育运动入手，以班级足球兴趣小组三个同学的分歧为切入点，激发学生探索的欲望，同时感受数学与实际生活的密切联系，紧接着又由一系列问题串引导学生观察三个角的特征，类比圆心角，引申到本节要学习的圆周角，便于学生在已有知识的基础上掌握所学，符合学生的认知规律，同时自然而然进入下一环节。

环节二概念明晰（集体活动）

提问：现在大家能否根据刚刚的观察讨论给圆周角下个定义呢？我找一位同学说一下。（学生叙述，教师补充，并板书圆周角的定义：顶点在圆上，两条边分别与圆还有另外一个交点的角叫圆周角。）

接下来老师给出这样几个练习，看大家对圆周角是否真的认识了。，

练习反馈：

1.判断下列图形中的角是不是圆周角。（个别学生回答为什么不是。）

2．判断下列命题是否正确：（学生一起回答）

（1）、圆周角的顶点一定在圆上。

（2）、顶点在圆上的角是圆周角。

（3）、圆周角的两边都和圆相交。

（4）、两边都和圆相交的角是圆周角。

3．下列两个圆中各有几个圆周角？（个别学生回答）

设计意图：经过上一环节的观察讨论，学生明确了圆周角的特征，教师引导给出圆周角的定义，随后设置了三道练习，练习1是一道关于圆周角定义的图形辨析题，目的在于经过学生的观察与辨析交流，进一步明晰圆周角的两个特征：顶点在圆上和两边在圆内的部分是圆A C

B

D D

C

A

B

的两条弦。练习2抓住圆周角定义的本质特征，进一步强化对圆周角定义的文字叙述；练习3结合几何证明题的复杂图形中圆周角的确定，为以后处理有关圆的综合性题目打下基础。本环节真正达到了教学目标中所要求的理解圆周角的概念的目的。

环节三活动探究（小组合作）

教师活动：现在我们回过头再来看一下射门游戏中的三个角，

问题1：这三个角是什么角，它们所对的弧分别是什么？

问题2：我们知道在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么同一条弧所对的圆心角和圆周角会不会有什么关系呢”接下来我们就一起来研究这个问题。（教师板书补充课题）

设计意图：首先回过头去观察情境引入中的三个角，引导学生发现三个角所对的是同一条弧，进而联系“在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。“提出猜想”那么同一条弧所对的圆心角和圆周角会不会有什么关系呢”，把学生的思维引导到圆周角与圆心角的关系上，以“同一条弧所对”作为联系纽带，顺利过渡到对圆周角定理的探究活动。

活动一:画一画

下面请大家四人一小组合作，在导学案上的探究一中按照提示画出图形。

探究一同一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关系。

请在下列各圆中画出AC弧所对的圆周角与圆心角，若按圆心O与这个圆周角的位置关系来分，你能分为几类。（注意要做到不重不漏。）

结论：按照圆心O 与圆周角的位置关系可将同一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关系分为______类。（派两个小组代表上台展示小组结果，教师总结分为三类）

现在老师利用几何画板再给大家演示一下，看看还有没有别的情况。（演示显示只有三种情况）。

设计意图：由于对圆周角定理的证明要分三种情况进行探讨，这点学生不易想到，所以我先让学生小组合作，在导学案上按照提示尽可能多地画出同一条弧所对的圆心角与圆周角，经过小组交流和教师指点，总结出圆心角与圆周角的三种位置关系（圆心在圆周角一条边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外），然后点两个小组代表上台展示结果，教师再借助几何画板动态演示从而进一步验证圆周角和圆心角的三种位置关系，为下一步化归做好铺垫。（特别说明：导学案上给出的圆不能仅限三个，而应该多给几个，我是给六个让学生画，然后对比得到三种结果，这样可以避免对学生的思维限制。）

同一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关系我们已经知道了，那么他们的数量关系又是怎样的呢？利用你手中的工具，你能完成这项工作吗？（学生回答：可以，可以用量角器度量角的度数。）下面请大家小组合作共同完成这项工作。

探究二请你用手中的工具分别测出探究一中你所找到的三种情况下圆周角和圆心角的度数，看看每一种情况下两个角各有什么关系？由此，你得到猜想：————————————————————. 你们得到了什么结论？（学生回答：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）。

到底是不是这样的呢，咱们借用几何画板也来验证一下。（验证结束后，教师板书圆周角定理，并在其后打上“？”。）

设计意图：明确了圆周角和圆心角的三种位置关系后，如果直接进行圆周角定理的证明，可能有一定困难，于是我通过教师的提问引导学生，利用手中的工具测量得到同一条弧所对的圆周角和圆心角的度数，进而合作交流得出对于二者关系的猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。教师再利用几何画板中的测量工具度量同一条弧所对的圆周角和圆心角的度数，并改变弧的大小再次测量，从而进一步验证学生的猜想，为下一步对圆周角定理的证明铺设了道路。验证结束后教师总结并板书圆周角定理并在其后打上“？“号，打问号是因为截至目前我们仅仅是通过测量了有限数量的实例得到了这样的猜想，还不能说明这个定理的一般性。

刚刚我们通过测量得到了这一猜想，那么我们的猜想对于所有的同一条弧所对的圆周角和圆心角是否都成立呢？这个就需要我们从一般性出发去证明它。

下面请大家小组合作，在导学案上的探究三中完成证明。

探究三证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

已知：在圆O中，弧AC所对的圆周角∠ABC和圆心角∠AOC

求证：∠ABC= 1

2∠AOC

（对于以下三种情况你认为那种情况最为特殊，最便于我们证明。）

（2）圆心O在∠ABC外部（1）圆心O在∠ABC一边上（3）圆心O在∠ABC内部

设计意图：本节课的难点正在于此。对于三种情况的证明，大多数学生都会感觉很困难，于是我先让学生小组合作，在导学案上根据提示进行证明。有了猜想为基础，证明“（1）圆心在圆周角一边上”这种情况学生完全可以自己完成，另外两种情况通过教师语言提示“其他两种情况是不是可以转化成（1）的形式再加以证明呢”启发学生转化成第一种情况去解决，认识到转化的条件是：加以角的顶点为端点的直径作为辅助线，这一过程中教师要巡视指导，与此同时，

充分给予学生交流的时间，体会将一般情况转化成特殊情况的过程，体验了化归的思想方法，达到了突破难点的目的。对于（1）（2）两种情况找小组代表上台叙述思路，教师多媒体展示正规证明过程，情况（3）点学生上台板演，教师加以总结，把黑板上圆周角定理后面的“？“号擦除，接着明晰把情况（2）（3）转化成（1）的形式解决的方法属于化归的数学方法。

环节四大显身手

学习了新的知识之后必须要会应用，为此我设计了环节四：大显身手，在这一环节我设计了四个问题。

1、解决分歧

此时根据我们本节课的学习，你认为射门游戏对三位同学公平吗？为什么？

设计意图：利用新知识——圆周角定理解决激趣引入环节所遗留的问题，前后呼应。

2、填空：

一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的__________.

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的_____________-

设计意图：让学生从不同角度认识圆周角定理，达到活学的目的。

3、如图，在⊙O 中，∠BOC=50°，则∠BAC=___

变式训练1：

如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠BAC=40°，则∠

BOC=____

变式训练2：

如图，∠BAC=40°，则∠OBC=_____

设计意图：3是圆周角定理的直接应用，侧重于考查学生面对多个圆周角与圆心角时的识图辨图能力。变式训练1是反面考察圆周角定理，与练习2相呼应，变式训练2与等腰三角形知识联系，考察了学生综合运用知识的能力。

4、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ADB 、∠ACB 的度数？

设计意图：侧重考查学生对定理中“一条弧所对”的理解。

环节五 品味收获

问题：今天这节课大家表现的都非常的不错，相信每一位同学都开动了脑筋，交流了思想，那你能说说你今天这节课的收获吗？（学生陈述，教师再小结）

1.圆周角的概念: 顶点在圆上，两条边分别与圆还有另外一个交点的角叫圆周角

2.圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

3.分类讨论的思想和化归的数学方法。

4.在合作中体会到了集体力量之大。

设计意图：在这一环节中，先找学生陈述，由于学生在叙述的简洁性、全面性上会有一定的欠缺，教师在此基础上，给出更为完整的小结。通过这样的活动使学生对本节内容有一个更系统、深刻的认识，在学生反思的过程中，要有意识地提醒他们反思其中的数学思想方法。

环节六 布置作业

1、必做题：习题3.4 1,2,3

2、选做题：如图：A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOB=50°，∠OBC=40°，求∠OAC 的度数。

设计意图：总共布置四道作业，其中必做题促进知识的巩固，选做题留给学有余力的同学，提高学生思维的深度及广度，真正体现了B

C

新课程理念“不同的人在数学上得到不同的发展”。

七、教学评价

1、实现评价主体、评价方式的多样化，增加教学反馈层面。

这节课在教学上采用了讲授、探究相结合的教学方法，在教学过程的各个环节中，把学生自我评价、学生互评、老师评价结合起来，实现评价主体的多样化，课堂中采用语言表述、课堂观察、课后布置书面作业等各种评价方式，达到多层面了解学生。

2、注重对学生学习过程的评价，促进学生的合作能力、创新能力。

在整个教学设计中，始终以学生作为课堂主体，发挥教师的引导作用，让学生更多的参与到数学活动中来，关注学生在小组活动中所表现出来的合作交流意识，鼓励学生动手、动口、动脑，尽可能设计具有挑战性的情境，激发学生的求知、探索欲望，满足学生多元化的学习需求。

八、教学反思

1.本节课是借用九年级的学生上的一节公开课，课前对学生的学情不够了解。

2.本节课处理比较满意的地方在于：把教材中的情境稍作改变更加能激发学生学习本节内容的兴趣，就关于圆周角概念的理解，老师设计了几个练习，加深了学生对圆周角的认识，就课后检测看，对于圆周角的辨析，全班只有三个学生出现错误，这样的情况还是很理想的。另外就是对于圆周角定理的证明是我最满意的地方，因为这个证明牵涉到三种情况，学生是很难想到的，如果直接告诉学生，不符合新课

改的理念，为此，我们讨论决定让学生小组合作，根据学案上的提示去尝试着画，有困难的小组，老师适时指导，最终班级所有小组都能画出三种情况。之后考虑到直接证明圆周角与圆心角的关系有很大困难，我们让学生先动手测量，猜想二者的关系，再利用几何画板动态演示以证验证学生的结论，从而得到关于二者关系的猜想，这样学生去证明的时候最起码有思路可循。这些都得益于学案的设计，引导了学生一步步走入正题。

3.本节课的处理有待改进的地方在于：对于三种位置关系的图形，给学生讨论的时间太多，以致后面拖堂5分钟，这说明对学生的学情把我不到位，由此可见备课时对学生学情的掌握很重要。

《圆周角与圆心角的关系》教学设计详案

《圆周角与圆心角的关系》教学设计 秭归县郭家坝中学颜昭英 教学目标： （一）教学知识点 （1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征； （2）理解圆周角与圆心角的关系，并能熟练地运用它们进行论证和计算，，有机渗透的“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想。 （二）能力训练要求 通过圆周角概念的形成，渗透数学建模的思想，使学生经历数学建模的过程，形成建模的方法； 引导学生主动地通过：观察、实验、猜想、验证“圆周角与圆心角的关系”，培养学生的合情推理能力、实践能力与创新精神，从而提高数学素养； 通过圆周角定理的证明，有机渗透的“由特殊到一般”思想、“分类”思想、“化归”思想、使学生了解分类、转化、归纳等数学思想方法。 （三）情感态度与价值观 运用实例分析，使学生认识到数学与实际生活有着紧密的联系，学会用数学的眼光看待生活中的实际问题。 在证明圆周角定理的过程中，通过小组讨论、展示各自所画图形这一环节，在合作探究中培养学生的协作意识，体现交流的价值； 通过“观察——测量——证明”这三个环节的活动，让学生意识到，观察测量发现的规律只是建立在统计的基础上，而定理的形成须严谨的数理论证。 教学重点： 圆周角的概念和圆周角定理 经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程，了解“圆周角与圆心角的关系” 教学难点： 了解圆周角的分类、用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系” 圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想。

教学方法： 以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合。 学法 在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。 教具 圆规、直尺、投影仪、课件 教学过程： 一、视频分析，导入新课 师：大家对足球比赛一定不陌生，现在我们就一起来看一段足球射门的片段。 播放“小角度射门”的视频片段，引导学生注意解说员强调的“小角度射门”。 师：这是一个精彩的进球，以至于解说员最后特别强调“小角度射门得手”，大家知道他为什么要强调“小角度”吗？ 学生讨论，给出解释： 射门的角度越小，进球的难度就越大。 师：可见，数学知识能够解释生活中的很多现象，也能解决生活中的很多问题。比如说，人眼看物体有个特点，“远小近大”，通过物理知识的学习，大家也一定知道，这是因为同一个物体离人眼越远，它对人眼所成的视角越小，离人眼越近，对人眼所成的视角越大。 现在我们尝试利用角的知识来分析一下，歌剧院中座椅摆放的问题。 二、图片展示，引入圆周角的概念 （一）、展示歌剧院的图片 师：首先让我们欣赏几张著名歌剧院的室内图片，请同学们注意观察一下，

圆周角与圆心角关系

3.4圆周角和圆心角的关系 一、选择题 1．在同圆中，同弦所对的圆周角 ( ) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余 2．如图3－63所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有 ( ) A．2对 B．3对 C．4对D．5对 3．如图3－64所示，⊙O的半径为5，弦AB＝C是圆上一点，则∠ACB的度数是． 4．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（） A．50° B．80° C．100° D．130° 5．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（） A．180° B．15 0° C．135° D．120°

6.下列命题中，正确的命题个数是（） ①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角度数等于圆心角度数的一半； ③900的圆周角所对的弦是直径； ④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 二、填空题 7．如图3－65所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB ＝． 8．如图3－66所示，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC ＝． 9．如图3－67所示，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，求∠ABD 的度数． 10．如图，已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________ 11．如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有______。

12．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AB上，则∠C的度数是________-. 三、解答题 13．如图3－68所示，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于D，E，O为圆心，求∠DOE的度数． 14．(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

圆周角和圆心角的关系

《圆周角和圆心角的关系（1）》教学设计 执教：许文奎福鼎市第一中学 指导：许可雄福鼎市进修学校 叶玲福鼎市第一中学 教者简介： 许文奎，男，2008年毕业于福建师范大学，本科学历，中学二级教师，参加工作至今，本着“踏实做人，精心育人”的信条，教学认真，工作有激情。2015年10月交流课《三角形的中位线》在第五届全国新世纪杯初中数学教学设计评比中获得一等奖；2015年12月《探索三角形相似的条件》一课在2015年宁德市初中青年数学教师优秀课评比获得一等奖；2016年参加福建省青年数学教师优秀课观摩与交流活动获得初中组一等奖。 学情分析： 学生的知识技能基础：学生在上一节课的内容中已经掌握了圆心角的定义及圆心角的性质，掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。初步了解研究问题的方法，如观察、猜测、验证、推理等。 学生的活动基础：本班的学生在以前的教学中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有丰富的自主探究、合作学习的经验，具备一定的合作探究的能力。

教学目标： 知识技能： 1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理。 2.会用圆周角定理解决有关问题。 过程目标： 1.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。 2.体会分类、归纳等数学思想方法。 情感目标： 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。 教学重难点： 重点：圆周角概念及圆周角定理。 难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。 教学课时：1课时 教学过程： 一、情景创设，激发兴趣 1.在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B 对球门AC 的张角（ABC ∠）有关.当球员在B ，D ，E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成的三个张角ABC ∠，ADC ∠，AEC ∠。 这三个角的大小有什么关系？

圆周角和圆心角的关系(中考题目)

圆周角和圆心角的关系 -----中考链接能力提升题 一．选择题（共12小题） 1．（2013?自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（） A．3 B．4C．5D．8 2．（2013?珠海）如图，?ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（） A．36°B．46°C．27°D．63° 3．（2013?湛江）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（） A．25°B．35°C．55°D．70° 4．（2013?宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）

A．B．A F=BF C．O F=CF D．∠DBC=90° 5．（2013?绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（） A．4 B．5C．6D．7 6．（2013?苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（） A．55°B．60°C．65°D．70° 7．（2013?日照）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（） A．BD⊥AC B．A C2=2AB?AE

C．△ADE是等腰三角形D．B C=2AD 8．（2013?南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（） A．4B．5C．4D．3 9．（2013?济南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足是D，则BD的长为（） A．2 B．3C．4D．6 10．（2013?临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（） A．75°B．60°C．45°D．30° 11．（2013?红河州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）

初中数学 圆周角和圆心角的关系同步练习及答案

xx学校xx学年xx学期xx试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分 一、xx题 （每空xx 分，共xx分） 试题1: 在同圆中，同弦所对的圆周角 ( ) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余 试题2: 如图3－63所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有 ( ) A．2对 B．3对 C．4对D．5对 试题3: 如图3－64所示，⊙O的半径为5，弦AB＝，C是圆上一点，则∠ACB的度数是． 试题4: 评卷人得分

如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（） A．50° B．80° C．100° D．130° 试题5: 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（） A．180° B．15 0° C．135° D．120° 试题6: 下列命题中，正确的命题个数是（） ①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角度数等于圆心角度数的一半； ③900的圆周角所对的弦是直径； ④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个试题7: 如图3－65所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB＝．

试题8: 如图3－66所示，AB为⊙O的直径，AB＝6，∠CAD＝30°，则弦DC＝． 试题9: 如图3－67所示，AB是⊙O的直径，∠BOC＝120°，CD⊥AB，求∠ABD的度数． 试题10: 如图，已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________ 试题11:

北师大版九年级数学下册 圆周角和圆心角的关系教案

《圆周角和圆心角的关系》教案 （第1课时） 教学目标 知识技能：掌握圆周角的概念，理解掌握圆周角定理的证明并会进行简单的计算和证明． 过程与方法：经历圆周角定理证明过程，体会“特殊到一般”和“分类讨论”的数学思想方法．情感与态度：通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法． 教学重点 圆周角概念及圆周角定理． 教学难点 认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性． 教学方法 指导探索法、讲授法． 教学过程 一、复习回顾，引入新课 1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角． 2．圆心角的度数和它所对的弧的度数的大小关系是：相等． 当角的顶点在圆心时，就是圆心角．这时角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？ 二、探索新知： 圆周角的概念（观察圆心角的顶点的变化，导出圆周角的概念） （1）（2）（3） 图（3）中的∠BAC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角．

1．强调两个要点： （1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交 2．跟踪训练： 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由． 研究圆周角和圆心角的关系． 证一证 1．当圆心O 在圆周角∠ABC 的一边BC 上时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的大小关系． 解：∠ABC = 1 2 ∠AOC ．理由是： ∵ ∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC =∠ABO +∠BAO ． ∵OA =OB ， ∴∠ABO =∠BAO ． ∴∠AOC =2∠ABO ． 即∠ABC = 1 2 ∠AOC ． 2．如果∠ABC 的两边都不经过圆心（如下图），结果会怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？能否将下 图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？（学生互相交流、讨论） 如图（1），点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ， 将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出． （体现“分”的数学思想） 由1的结论可知：∠ABD = 12∠AOD ，∠CBD =1 2 ∠COD ， ∴∠ABD +∠CBD =12 (∠AOD +∠COD ），即∠ABC =1 2 ∠AOC ． 在图（2）中，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ， 将这个角转化成上述情形的两个角的差即可证出． （体现“补”的数学思想） 由1的结论可知：∠ABD = 12∠AOD ，∠CBD =1 2 ∠COD ．

圆周角和圆心角的关系(一)

第三章圆 3．圆周角和圆心角的关系（一） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。 学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系（圆周角定理），具体地说，本节课的教学目标为： 知识与技能 1．了解圆周角的概念。 2．理解圆周角定理的证明。 过程与方法 1．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。 2．体会分类、归纳等数学思想方法。 情感态度与价值观 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。 教学重点：圆周角概念及圆周角定理。 教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。 三、教学过程分析 本节课分为五个教学环节：创设问题情境引入新课、新知学习（关于圆周角的定义、圆周角定理）、练习、课堂小结、布置作业． 第一环节创设问题情境，引入新课

活动内容：通过一个问题情境，引入课 题 情境：在射门游戏中，球员射中球门的 难易与他所处的位置B对球门A C的张角（∠ A B C）有关。如图，当他站在B，D，E的位 置射球时对球门A C的张角的大小是相等 的？为什么呢？你能观察到这三个角有什 么共同特征吗? 活动目的： 通过此问题引起学生学习的兴趣。此问题意在通过射门游戏引入圆周角的概念。同时为第2课时的学习埋下伏笔． 第二环节新知学习 活动内容： （一）圆周角的定义的学习 为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的∠ ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ 可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。 请同学们考虑两个问题： （1）顶点在圆上的角是圆周角吗？ （2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？ 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角？并说明理由。 通过学生完成练习自己总结出圆周角的特征。圆 周角有两个特征： ①角的顶点在圆上；

圆周角和圆心角定理

《圆周角和圆心角的关系》第1课时教学设计

教学过程设计说明 [师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角． 回顾旧知，导入新课[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心．创设问题设置悬念，激发学生学[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆情境习欲望。心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？ [师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片 )A．13．3在通过射门游戏引入圆周角的概念。 [师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ [生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆 有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义)探索新知 圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角． [师]请同学们考虑两个问题：认识 概念 顶点在圆上的角是圆周角吗？(1) 圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？(2) 请同学们画图回答上述问题． [师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念让学生认识圆周角的两的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：个重要特征。 (1)角的顶点在圆上； (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦． 试列举一些反例让学生进行辨析。 )1(出示投影片一试 [师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时， 他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关 系？ 我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所 对的圆周角有什么关系？联想建构[师]请同学们动手画出⊙O中弧AC所对的圆心角和圆周角．观察弧AC所对的圆周角有几个？提出这一问题意在引起 它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到学生思考，为本节活动的？弧AC所对的圆心角和所对的圆周角之间有埋下伏笔。什么关系？ 验[生] 弧AC所对的圆周角有无数个．通过测量的证猜方法得知：弧AC所对的圆周角相等，所对的圆想周角都等于它所对的圆心角的一半． （教师用几何画板展示变化中的圆周角与圆心角的关系） [师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其 论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流． [生]互相讨论、交流，寻找解题途径． [师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．(学

圆周角和圆心角的关系中考题目完整版

圆周角和圆心角的关系 中考题目 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

圆周角和圆心角的关系 -----中考链接能力提升题 一．选择题（共12小题） 1．（2013?自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（） A． 3 B．4 C．5 D．8 2．（2013珠海）如图，ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上， ∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（） A．36°B．46°C．27°D．63° 3．（2013?湛江）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（） A．25°B．35°C．55°D．70° 4．（2013?宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）

A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90° 5．（2013?绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（） A． 4 B．5 C．6 D．7 6．（2013?苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（） A．55°B．60°C．65°D．70° 7．（2013?日照）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（） A．BD⊥AC B．AC2=2AB?AE

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)

圆周角和圆心角的关系-- 知识讲解(基础) 【学习目标】 1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系； 2．理解圆周角定理及推论； 3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力． 【要点梳理】 要点一、圆周角 1. 圆周角定义： 像图中∠ AEB、∠ ADB、∠ ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 3. 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释： (1) 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2) 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. ( 3)圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周 要点二、圆内接四边形 1. 圆内接四边形定义： 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆

2. 圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° D 要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补 典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙ O中，，求∠ A的度数. 答案与解析】 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙ O，点E在劣弧AD上，则∠ BEC等于( )

4《圆周角和圆心角的关系》教学设计

第三章圆 《圆周角和圆心角的关系（第 1 课时）》 一、目标确定的依据 1、课程标准的相关要求 理解圆周角的概念，认识圆周角，探索圆周角及其所对弧的关系， 了解并证明圆周角定理及其推论 2、教材分析 《圆周角与圆心角的关系》是北师大版九年级下册第三章第3 小节的内容，本课是在学生学习了圆的圆心，半径，直径，弦，弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一 3、学情分析 学生在本章的第二节课中，通过探索，已经学习了同圆或等圆中弧、弦和圆心角的关 系，并对定理进行了严密的证明，通过一系列简单的练习对这个关系熟悉，具备了灵活应用 本关系解决问题的基本能力. 在之前的学习过程中，学生已经经历了“猜想-验证”、分类讨论的数学方法，获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经验，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力，具备了一定的合作和交流的能力. 二、目标 1、理解圆周角的概念及其相关性质 2、经历探索圆周角和圆心角的关系的过程 3、体会由特殊到一般、分类、化归思想、并能熟练地应用“圆周角与圆心角的关系”进行论证和计算。 三、评价任务 本节共分2 个课时，这是第1 课时，主要内容是圆周角的定义以及探究圆周角定理，并利用定理解决一些简单问题.具体地说，本节课的教学目标为：1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理. 2．会熟练运用定理解决问题.

四、教学设计分析 本节课设计了七个教学环节：知识回顾一一探究新知1 ――定义的应用 探究新知2―― 方法小结一一定理的应用一一课堂小结(作业布置) 第一环节知识回顾 活动内容： 1?圆心角的定义一一顶点在圆心的角叫圆心角 2?圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系 如图：/ A0 _____ 弧AB 的度数 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 活动目的：通过三个简单的练习，复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧 和圆心角的关系?练习1是复习圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角；练习 2 和练习3是复习定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、』条弦皿 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 ? 活动的注意事项：题目以复习概念和定理为主，特别是定理当中的前提条件 同圆或等圆”，需要再特别向学生强调一遍，同时要学生明白何为三组量中其 中一组量相等，那么其余各组量也分别相等 第二环节探究新知1 活动内容: (1)问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时 ，并且两边分别与圆还有 个交点的角叫做圆周角 、两条 _______ 中有一组 A 类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上

3.3 圆周角和圆心角的关系教案一

圆周角和圆心角的关系 教学目标 (一)教学知识点 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角定理的证明． (二)能力训练要求 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想． (三)情感与价值观要求 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法． 教学重点 圆周角概念及圆周角定理． 教学难点 认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性． 教学方法 指导探索法． 教具准备 投影片两张 第一张：射门游戏(记作§3．3．1A) 第二张：补充练习1(记作§3．3．1B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角． [生]学习了圆心角，它的顶点在圆心． [师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？ Ⅱ．讲授新课

1．圆周角的概念 [师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片3．3．1A) 这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关． [师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ [生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义) 圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角． [师]请同学们考虑两个问题： (1)顶点在圆上的角是圆周角吗？ (2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？ 请同学们画图回答上述问题． [师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征： (1)角的顶点在圆上； (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦． 2．补充练习1(出示投影片§3．3．1B) 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．

圆周角与圆心角的关系

教案示例-------圆周角和圆心角的关系 教学目标 (一)教学知识点 1．掌握圆周角定理几个推论的内容． 2．会熟练运用推论解决问题． (二)能力训练要求 1．培养学生观察、分析及理解问题的能力． 2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式． (三)情感与价值观要求 培养学生的探索精神和解决问题的能力. 教学重点 圆周角定理的几个推论的应用． 教学难点 理解几个推论的“题设”和“结论”． 教学方法 指导探索法． 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之间有什么关系? [生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理． [师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法? [生]分类讨论、化归、转化思想方法．

[师]同学们请看下面这个问题： 已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如下图． 求证：PA·PB=PC·PD ． [师生共析]要证PA·PB＝PC·PD，可证．由此考虑证明以PA、PC 为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD．要证△PAC∽△PDB．由已知条件可得∠APC与∠DPB 相等，如能再找到一对角相等．如∠A＝∠D或∠C＝∠B．便可证得所求结论．如何寻找∠A=∠D或∠C=∠B.要想解决这个问题．我们需先进行下面的学习． Ⅱ．讲授新课 [师]请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个) 它们的大小有什么关系?你是如何得到的? [生] 弧AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的． [师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝ ∠AEC?(同学们互相交流、讨论)

圆周角和圆心角的关系

圆周角和圆心角的关系 以下是查字典数学网为您推荐的圆周角和圆心角的关系，希望本篇文章对您学习有所帮助。 圆周角和圆心角的关系 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本课是在学习了圆心角后进而要学习的圆的又一个重要的性质，它在推理、论证和计算中应用比较广泛，是圆这章的重点内容之一。 2、依学情定目标 我们面对的是已具备一定知识储备和一定认知能力的个性鲜明的学生，他们有较强的自我发展意识，根据新课程标准的学段目标要求，结合学生实际情况制订以下三个方面的教学目标： 1)知识目标：了解圆周角和圆心角的关系，有机渗透由特殊到一般思想、分类思想、化归思想。 2)能力目标：引导学生能主动地通过：实验、观察、猜想、验证圆周角和圆心角的关系，培养学生的合情推理能力、实践能力和创新精神，从而提高数学素养。 3)情感目标：创设生活情境激发学生对数学的好奇心、求知欲，营造民主、和谐的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验，培养学生以严谨求实的态度思考数学。

3、教学重点、难点 重点：经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，了解圆周角和圆心角的关系 难点：认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性。 二、教法、学法分析 数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，因此，我认为教法和学法是密不可分的。本课采用以探究式教学法为主，发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合，以学生的活动为主线，突出重点突破难点，发展学生的数学素养。注重数学与生活的联系，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想;注重学生的个性差异，因材施教，分层教学;为了转变以往学生只是认真听讲、机械记忆、练习巩固的被动学习方式，以探究式学习和有意义接受式学习为指导，引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知、发展能力，充分发挥学生的主体作用。教师运用多元的评价对学生适时、有度的激励，帮助学生认识自我，建立自信，以我要学的主人翁姿态投入学习，不仅学会，而且会学、乐学。 三、教学过程分析 1、创设情境，导入新课 新课标指出对数学的认识应处处着眼于人的发展和现实生活之间的密切联系。根据这一理念和九年级学生的年龄特

圆周角与圆心角的关系

《圆周角与圆心角的关系》说课稿 各位评委，各位老师： 大家好！我是来自银川市回民中学的李慈秀 我今天说课的内容是北师大版九年级数学下册第三章《圆》中的第三节《圆周角与圆心角的关系》的第一课时。下面，我将从背景分析，教学目标设计，教学过程设计三个方面对本节课加以说明。 一、背景分析（下面我从学习任务、学生情况两个方面进行背景分析） 1.学习任务分析 在学习本节课之前，学生已经认识了圆的圆心、半径、弦、弧，也理解了圆心角的概念，并且通过圆的对称性研究了弦，弧，圆心角，以及弦心距之间的关系，在研究过程中已经经历了应用三角形的内角和、等腰三角形的相关知识来解决问题的过程。教材中将《圆周角和圆心角的关系》安排了两课时，而本节课作为第一课时，它的学习任务是：通过观察，猜想、验证、推理等数学活动，帮助学生理解圆周角的概念，证明并掌握圆周角定理。本节课在对圆周角定理的证明过程中充分渗透了分类讨论的数学思想和方法，学习圆周角定理不仅为下节课学习的两个推论及应用奠定了坚实的理论依据。同时，也为后续研究圆和其他图形起到了桥梁和纽带作用。所以我确定本节课的重点是： 重点：圆周角概念及圆周角定理。 2.学生情况分析。 九年级学生已经系统的学习了简单的几何证明，掌握了基本的几何语言和证明的方法，同时，在研究“直线型”几何问题（如三角形、四边形）的过程中，也积累了大量的合作学习的经验，同时了解了分类、归纳等数学思想。但是学生在添加辅助线解决数学问题时，往往无从下手，甚至不能合理添加，尤其本节课还需要在“曲线”几何问题中添加辅助线，更加增大了难度。所以我确定本节课难点是: 难点：添加辅助线证明圆周角定理 二教学目标设计 依据数学课程标准、教学内容的特点及学生的认知水平，我确定本节课的

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)

圆周角和圆心角的关系--知识讲解（基础） 【学习目标】 1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系； 2．理解圆周角定理及推论； 3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力． 【要点梳理】 要点一、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 要点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义： 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.

C A 2.圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 【典型例题】 类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙O 中， ，求∠A 的度数. 【答案与解析】 . 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧AD 上，则∠BEC 等于( )

圆周角和圆心角的关系公开课教案

课题：3.1.1圆周角和圆心角的关系 授课教师：王玥 教学目标 (一)教学知识点 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角定理的证明． (二)能力训练要求 经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想． (三)情感与价值观要求 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法． 教学重点 圆周角概念及圆周角定理． 教学难点 认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性． 教学方法 指导探索法． 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 思考并回答问题： 1、点与圆有怎样位置关系？ 2、什么是圆心角？（学生回答） 3、当角的顶点发生变化时，这个角和圆的位置还有哪几种情况？

Ⅱ．讲授新课 1． 圆周角的概念 观察图形：说说圆周角的特征。 (1)角的顶点在圆上； (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦． O C A B 圆周角定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角． 练习 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由． 2． 研究圆周角和圆心角的关系． 这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B 对球门AC 的张角(∠ABC )有关。 在图(1)中，当球员在B 、D 、E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ． 这三个角有什么共同特征？它们的大小有什么关系？

类比圆心角探索圆周角 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？（学生探索） 1、请同学们在圆上确定一条劣弧AC ，画出它所对的圆心角与圆周角。 2、它们的大小有什么关系？弧AC所对的圆周角和圆心角之间有什么关系？你是通过什么方法得到的？ 实验结论：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 有限次的测量得到的结论，必须通过论证。说说你的想法，尝试证明。并与同伴交流．（互相讨论、交流，寻找解题途径．） 想一想:一个圆的圆心与这个圆上的圆周角可能有几种关系? （圆心在圆周角内部；圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的外部） B [师生共析] 考虑从特殊情况入手．圆周角???→ 特殊一边经过圆心． 如上图，已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC． 求证：∠ABC＝ 1 2 AOC．(学生口述，教师板书) 证明：∵∠AOC是△ABO的外角，

《圆周角和圆心角的关系》教学设计

第三章圆 《圆周角和圆心角的关系（第1课时）》 一、目标确定的依据 1、课程标准的相关要求 理解圆周角的概念，认识圆周角，探索圆周角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论 2、教材分析 《圆周角与圆心角的关系》是北师大版九年级下册第三章第3小节的内容，本课是在学生学习了圆的圆心，半径，直径，弦，弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一 3、学情分析 学生在本章的第二节课中，通过探索，已经学习了同圆或等圆中弧、弦和圆 心角的关系，并对定理进行了严密的证明，通过一系列简单的练习对这个关系熟 悉，具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力. 在之前的学习过程中，学生已经经历了“猜想-验证”、分类讨论的数学方法， 获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经验，同时在学习过程中也 经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力，具备了一定的合作和交 流的能力. 二、目标 1、理解圆周角的概念及其相关性质 2、经历探索圆周角和圆心角的关系的过程 3、体会由特殊到一般、分类、化归思想、并能熟练地应用“圆周角与圆心角的关系”进行论证和计算。 三、评价任务 本节共分2个课时，这是第1课时，主要内容是圆周角的定义以及探究圆周 角定理，并利用定理解决一些简单问题.具体地说，本节课的教学目标为： 1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理. 2．会熟练运用定理解决问题.

四、教学设计分析 本节课设计了七个教学环节：知识回顾——探究新知1——定义的应用——探究新知2——方法小结——定理的应用——课堂小结（作业布置）. 第一环节 知识回顾 活动内容： 1.圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系? 如图：∠AOB 弧AB 的度数 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 活动目的：通过三个简单的练习，复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧和圆心角的关系.练习1是复习圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角；练习2和练习3是复习定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 活动的注意事项：题目以复习概念和定理为主，特别是定理当中的前提条件“同圆或等圆”，需要再特别向学生强调一遍，同时要学生明白何为三组量中其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等. 第二环节 探究新知1 活动内容： （1）问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时,我们得到几种情况? 类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角. 点A 在圆内点A 在圆外 点A 在圆上.B O C A .B O C A O B C 顶点在圆心.C .A O B 圆心角 圆周角

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(提高)

圆周角和圆心角的关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系； 2．理解圆周角定理及推论； 3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力． 【要点梳理】 要点一、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半． 3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 要点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义： 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.

O D C B A 2.圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 【典型例题】 类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC． 【思路点拨】 本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证AD BC =或证∠AOD＝∠BOC即可． 【答案与解析】 证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴AB CD =． ∴AB BD CD BD -=-，即AD BC =， ∴ AD＝BC．

圆周角和圆心角的关系练习题

圆周角和圆心角的关系练习题 一、填空题: 1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________. D C B A O (1) (2) (3) 2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形. 3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度. 4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度 . B A A (4) (5) (6) 5.如图5,AB是⊙O的直径,BC BD ,∠A=25°,则∠BOD的度数为________. 6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 二、选择题: 7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200° D D C B A (7) (8) (9) (10) 8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 9.如图9,D是AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40° 11.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 12.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110° 答案：1.120° 2.3 1 3.160° 4.44° 5.50° 7.A 8.C 9.B 10.C 11.B 12.C 三、解答题: 13.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长. .连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD= 4cm. B A 14.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长. 连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD. ∵AD是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC2+CD2=AD2,即 2AC2=36,AC2