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4静定结构的位移计算

第4章静定结构的位移计算

4.1 计算结构位移的目的

结构在荷载作用下会产生内力，同时使其材料产生应变，以致结构发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会发生改变。杆件结构中杆件的横截面除移动外，还将发生转动。这些移动和转动称为结构的位移。此外，结构在其他因素如温度改变、支座位移等的影响下，也都会发生位移。

例如图4—1a所示简支梁，在荷载作用下梁的形状由直变弯，如图4—1b所示。这时，横截面的形心移动了一个距离，称为点的线位移。同时截面还转动了一个角度，成为截面的角位移或转角。

又如图4—2a所示结构，在内侧温度升高的影响下发生如图中虚线所示的变形。此时，C点移至C'点，即C点的线位移为C C'。若将C C'沿水平和竖向分解（图4—2b），则分量C''C'和CC''分别称为C点的水平位移和竖向位移。同样，截面C还转动了一个角度，这就是截面C的角位移。

在结构设计中，除了要考虑结构的强度外，还要计算结构的位移以验算其刚度。验算刚度的目的，是保证结构物在使用过程中不致发生过大的位移。

计算结构位移的另一重要目的，是为超静定结构的计算打下基础。在计算超静定结构的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件。这样，位移的计算就成为解算超静定结构时必然会遇到的问题。

此外，在结构的制作、架设等过程中，常须预先知道结构位移后的位置，以便采取一定的施工措施，因而也须计算其位移。

4.2 功广义力和广义位移

在力学中，功的定义是：一个不变的集中力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向所发生的分位移的乘积。

例如在图4—3a所示结构中，A点处作用一个集中力F，待达到平衡以后，假设由于某种其他原因结构继续发生如图4—3b所示的变形，力F的作用点由A移动到A'。在移动过程中，如果力F的大小和方向均保持不变，则力F所作之功为

?=F W

式中是A 点的线位移AA '

在力作用线方向的分位移，也称为与力F 相应的位移。为了清晰，在图4—3a 中没有标明由于力F 作用而使结构发生的变形，在图4—3b 中则没有标明使结构发生变形的原因。

对于其他形式的力或力系所作的功，也常用两个因子的乘积来表示，其中与力相应的因子称为广义力，而另一个与位移相应的因子称为广义位移。这样，便可用统一而紧凑的形式将功表示为广义力与广义位移的乘积。下面对几种力系所作的功加以说明。

如图4—4a 所示结构，在A 、B 两点受有一对大小相等、方向相反并沿AB 连线作用的力F 。当此结构由于某种其他原因发生图4—4b 中虚线所示的变形时，A 、B 两点分别移至A '和B '

。设以A ?和B ?分别代表A 、B 两点沿AB 连线方向的分位移，则这一对力F 所作之功（作功过程中二力大小和方向保持不变）为

()?=?+?=?+?=F F F F W B A B A

式中?=A ?+B ?代表A 、B 两点沿其连线方向的相对线位移。由上式可见，广义力是作用于

A 、

B 两点并沿该两点连线作用的一对等值而反向的力，在式中以F 来代替，而取A 、B 两点沿力的方向的相对线位移作为广义位移。

又如图4-5a 所示结构，在C 、D 两结点上作用着与CD 相垂直的等值而反向的两个力F 。设由于某种其他原因使结构发生位移时，C 、D 两点分别移至'C 、'

D 的位置（图4-5b ），并用C ?和D ?分别表示C 、D 两点沿力F 方向的分位移，则这两个力F 所作之功（作功过程中二力大小和方向保持不变）为

()d

d F F F F W D C D C D C ?+??=?+?=?+?= 式中d 为CD 杆长，所以Fd 即代表两个等值而反向的力F 所形成的力偶矩Fd M =。又注意到在微小变形假设的前提下，结构变形的位移是微小的。因此，在图4-5b 中，当CD 杆的转角为?时，则有 d EC

ED D C ?+?≈≈''? 故二力所作总功可写为

?M W =

因而在目前情况下，所取的广义力为力偶矩M ，广义位移为CD 杆的转角?。

再看图4-6a 所示两端受等值而反力的力矩M 作用的简支梁AB ，当由于某种其他原因发生图4-6b 中虚线所示的变形时，其两端力矩所作总功（作功过程中M 的大小保持不变）为

()?βαβαM M M M W =+=+=

由上式可知，可取作用于A、B两端等值而反力的力矩M作为广义力，而取A、B两端截面的相对转角作为广义位移。

由以上例子可见，作功时广义力与相应广义位移的乘积具有相同的量纲，即功的量纲。

4.3 计算结构位移的一般公式

4.3.1 外力虚功和虚应变能

由上节可知，功包含两个要素——力和位移。当作功的力与其相应的位移彼此独立无关时，就把这种功称为虚功。作用在结构上的外力(包括荷载和支承反力)所作的虚功，称为外力虚功，以W表示。

由于在虚功中，力和位移是彼此独立无关的两个因素，例如上节讨论的功，其中作功的力是取自图4—3a至图4—6a，而位移因素是取自图4—3b至图4—6b。因此，可将虚功中的两个因素看成是分别属于同一结构的两种彼此无关的状态，其中力系所属状态称为力状态(如图4—3a至图4—6a)，位移因素所属状态称为位移状态(如图4—3b至图4—6b)。

当结构的力状态的外力因结构的位移状态的位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态

的相对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以v 表示。

对于杆件结构，设力状态(图4—7a)中杆件任一微段dx 的内力为1N F 、1Q F 、1M (图4—7c)；而位移状态(图4—7b)中杆件对应微段的相对变形，即正应变2ε、切应变2γ和曲率2κ分别如图4-7d 、e 、f 所示。当略去高阶微量后，微段上的虚应变能可表为

212121?d M dv F du F dV Q N ++=

将上式表示的微段虚应变能沿杆长进行积分，然后对结构的全部杆件求和，即得杆件结构的虚应变能为

212121?d M dv F du F V Q N ∑?∑?∑?++=

dx M dx F dx F V Q N 212121κγε∑?∑?∑?++= （4—1）

4.3.2 虚功原理

变形体系的虚功原理可表述为：没变形体系在力系作用下处于平衡状态(力状态)，又设该变形体系由于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形(位移状态)，则力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作的虚功，即等于虚应变能。或简写为

外力虚功W=虚应变能V

对于杆件结构虚功原理可用下式表达

212121?d M dv F du F W Q N ∑?∑?∑?++=

或 dx M dx F dx F W Q N 212121κγε∑?∑?∑?++= （4—2）式(4—2)称为杆件结构的虚功方程。

虚功原理有两种用法：

1．虚设位移状态——可求实际力状态的未知力。这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。

2．虚设力状态——可求实际位移状态的位移。这是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚功原理，这种形式的应用即为虚力原理。

4.3.3 利用虚功原理计算结构的位移

下面将从虚力原理出发，利用成功方程(4—2)导出计算杆件结构位移的一般公式。图4—8a 所示为某一结构，由于荷载1P F 和2P F 、支座A 的位移1c 和2c 等各种因素的作用而发生如图中虚线所示的变形，这一状态称为结构的实际状态。现要求出实际状态中D 点的水平位移?，所以应将实际状态作为结构的位移状态。

为了利用虚功方程求得D 点的水平位移，应选取如图4—8b 所示虚设的力状态，即在该结构的D 点处沿水平方向加上一个单位荷载1=P F 。这时，A 处虚拟状态中的支座反力为1R 、2R ，B 处的反力为By F ，结构在单位力和相应的各支座反力的作用下维持平衡，其内力用M 、N F 、Q F 来表示。由于结构的力状态是虚设的，故称为虚拟状态。虚设力系的外力(包括反力)对实际状态的位移所作的总虚功为

22111c R c R W ++??=

一般可写为

c R W ∑+?= 式中R 表示虚拟状态中的广义支座反力，c 表示实际状态中的广义支座位移，c R ∑表示支

座反力所作虚功之和。

以?d 、du 、dv 表示实际状态中微段的变形，则总虚应变能为

dv F du F d M V l Q l N l ∑?∑?∑?++=

? 由杆件结构的虚功方程（4-2）可得

dv F du F d M R l Q l N l c ∑?∑?∑?∑++=+

?? 即

∑∑?∑?∑?-++=

?c l

Q l N l R dv F du F d M ? 这就是计算结构位移的一般公式。

这种利用虚力原理求结构位移的方法称为单位荷载法。应用这个方法每次只能求得一个

位移。在计算时，虚拟单位荷载的指向可以任意假定，若按上式计算出来的结果是正的，就表示实际位移的方向与虚拟单位荷载的方向相同，否则相反。这是因为公式中的左边一项实际上为虚拟单位荷载所作的虚功，若计算结果为负，则表示虚拟单位荷载的虚功为负，即位移的方向与虚拟单位荷载的方向相反。

单位荷载法不仅可用来计算结构的线位移，而且可用来计算其他性质的位移，只要虚拟状态中的单位荷载为与所求位移相应的广义力即可。现举出几种典型的虚拟状态如下：

当求结构的某两点A 、B 沿其连线方向的相对线位移时，可在该两点沿其连线加上两个方向相反的单位荷载(图4—9a 及b)。

当求梁或刚架某一截面K 的角位移时，可在该截面处加上一个单位力矩(图4—9c)；但求桁架中某一杆件i 的角位移时，则应加—个单位力偶(图4—9d)，构成单位力偶的每一个集中力为i

l 1，各作用于该杆的两端并须与该杆垂直，这里的i l 为杆件i 的长度。当求梁或刚架上两个截面的相对角位移时，可在这两个截面上加两个方向相反的单位力矩，例如图4—9e 所示为求铰C 处左右两侧截面的相对角位移的虚拟状态；当求桁架中两根杆件的相对角位移时，则应加两个方向相反的单位力偶，例如图4—9f 所示为求i 、j 两杆的相对转角的虚拟状态。

4.4 静定结构由于荷载所引起的位移

如果结构只受到荷载作用的影响，以P M 、NP F 、Q P F 表示结构实际状态的内力，则在实际状态下微段的变形为

dx EI

M dx d P ==κ? dx EA F dx du NP =

=ε dx GA kF dx dv QP

==γ

式中EI 、EA 和GA 分别是杆件的抗弯、抗拉和抗剪刚度；k 为截面的切应力分布不均匀系数，它只与截面的形状有关，当截面为矩形时，k =1.2。将式(a)代入式(4—3)并注意到无支座移动(即c ＝0)，得

dx GA

F F k dx EA F F dx EI M M l QP Q l NP N l P ∑?∑?∑?++=? （4—4）式中M 、N F 、Q F 代表虚拟状态中由于单位荷载所产生的内力。在静定结构中，上述内力均可通过静力平衡条件求得，故不难利用式(4—4)求出相应的位移。

在梁和刚架中，轴向变形和剪切变形的影响甚小，可以略去，其位移的计算只考虑弯曲变形一项的影响已足够精确。这样，式(4—4)可简化为

dx EI M M l P ∑?=?

在一般的的实体拱中，其位移的计算只考虑弯曲变形一项的影响也足够精确。但在扁平拱中，除弯矩外，有时尚须考虑轴向变形对位移的影响。

在衍架中，只有轴力的作用，且每一杆件的内力及截面都沿杆长l 不变，故其位移的计算公式成为 ∑?=?l NP N EA l F F

应该指出，在计算由于内力所引起的变形时，我们没有考虑杆件的曲率对变形的影响，这只是对直杆才是正确的，应用于曲杆的计算则是近似的。不过，在常用的结构中，例如拱结构或具有曲杆的刚架等，其曲率对变形的影响都很微小，可以略去不计。

[例4—1] 试求图4—10a 所示等截面简支梁中点C 的竖向位移CV ?。已知EI ＝常数。解：在C 点加一竖向单位荷载作为虚拟状态(图4—10b)，分别求出实际荷载和单位荷载作用下梁的弯矩。设以A 为坐标原点，则当2

0l x ≤≤时，有

x M 21=，()22x lx q M P -= 因为对称，所以由式(4—5)得

()()

()↓=-=-??=???EI ql dx x lx EI q dx x lx q x EI l l

CV 3845222124203222

0 计算结果为正，说明C 点竖向位移的方向与虚拟单位荷载的方向相同，即为向下。

[例4—2] 试求图4—11a 所示单阶柱柱顶B 的水平位移BH ?。

解：因所求位移是柱顶的水平位移，所以在B 点加一水平单位荷载作为虚拟状态〔图4—11b)。设以B 为坐标原点，暂规定弯矩M 以使柱的左侧受拉为正，则有

x M =， 22

1x M P = 因该柱上、下两段的抗弯刚度不同，所以将以上M 和P M 代入式(4—5)求位移时，应分段进行积分，于是得

dx x x EI dx x x EI dx EI M M h h h h P BH ????+?==?2112

212122021

0 ))((81882

41421412414214

1→-+=-+=I h h I h E EI h h EI h 结果为正，表示B 点水平位移向右。

[例4—3] 试求图4—12a 所示结构C 端的水平位移CH ?和C ?角位移。已知EI 为一常数。

解：略去轴向变形和剪切变形的影响，只计算弯曲变形一项。在荷载作用下，弯矩的变化如图4—12b 所示。

１．求C 端的水平位移时，可在C 点加上一水平单位荷载作为虚拟状态，其方向取为向左，如图4—12c 所示。

两种状态的弯矩为

横梁BC 上 0=M ， 22

1qx M P -

= 竖柱AB 上 x M =， 22

1ql M P -= 代入公式（４—5），得C 端水平位移为 ()→-=??

? ??-?==??∑?EI ql dx ql x EI dx EI M M l P CH 4211402 计算结果为负，表示实际位移与所设虚拟单位荷载的方向相反，即为向右。

2．求C 端的角位移时，可在C 点加一单位力矩作为虚拟状态，其方向设为顺时针方向，如图4—12d 所示。

两种状态的弯矩为

横梁BC 上 1-=M ， 22

1qx M P -=

竖柱AB 上 1-=M ， 22

1ql M P -

= 代入公式（４—5），得C 端角位移为 ()()()?=??

? ??--+??? ??--=??EI ql dx ql EI dx qx EI l l C 322111211132020? 计算结果为正，表示C 端转动的方向与虚拟力矩的方向相同，为顺时针方向转动。

[例4—4] 试求图4—13a 所示圆弧形曲杆B 点的竖向位移，I 及A 都为常数。曲率的影响忽略不计。

解：在与OB 成θ角的截面K 上，各内力如图4—13b 所示，其值为

θsin r F M P P =，θcos P Q P F F =，θsin P NP F F =

由于是求B 点的竖向位移，所以虚拟状态为在B 点加一向下的单位载荷，因此只需要在图4—13a 中令1=P F 即得虚拟状态，于是在P M 、Q P F 、NP F 的表达式中令1=P F ，即得虚拟状态的内力为

θsin r M =， θcos =Q F ， θsin =N F

利用式（4—4）计算位移时，对于曲杆，应令ds dx =，由图4—13a 知θrd ds =，所以有 ???++=?A B NP N A B QP Q A

B P ds EA F F ds GA F F k ds EI M M BV θθθθθθπππd EA r F d GA r F k d EI

r F P P P ???++=2022022023

sin cos sin ??

????++=EA r F GA r F k EI r F P P P 3

4π

截面为矩形（h b ?），则

k=1.2

2312

1121Ah bh I ==

或 212h I A = 另外，设G=0.4E ，于是

()↓???

???????? ??+=??????????? ??+??? ??+=?23

22331141214114r h EI r F r h r h EI r F BV P P ππ 截面厚度h 一般远较r 为小，因此上式方括号中第二项远小于1，由此可见剪切变形及轴向变形的影响甚微，因而在受弯杆件中通常可略而只求计算弯曲变形一项的影响。

[例4—5] 试求图4—14a 所示木桁架（与例题3—5同）下弦中间结点5的挠度。设各

杆的截面面积均为20144

.012.012.0m m m A =?=，Pa E 710850?=。解：虚拟状态如图4—14b 所示。实际状态和虚拟状态所产生的杆件内力均列在表4—1中，根据式（4—6）

∑=?EA l F F NP N

可列成表4—1进行计算。由此可得所求结点5的挠度为

()↓==???+?=?cm m V 44.00044.00144

.010850102601051257335

正号表示结点5的挠度向下。

4.4.1 图乘法

在求梁和刚架结构的位移时，将遇到如下的积分式：

∑?

EI dx

如果结构各杆段均满足下述三个条件，则这—积分式就可逐段通过M和P

M两个弯矩图之间的相乘方法来求得解答。这三个条件是：第一，杆段的EI为常数；第二，杆段铀线为直

线；第三．各杆段的M图和

M图中至少有一个为直线图形。对于等截面直杆，上述的前

两个条件自然恒可满足，至于第三个条件，虽然

M图在受到分布荷载作用时将成为曲线形状，但其M图却总是由直线段所组成的，这时只要分段考虑就可得到满足。

现以图4—15所示杆段的两个弯矩图来作说明，假设其中M图为直线，而

M图为任何形状，并取

M+

=α

tan

代人积分式，则有

()dx M b dx xM EI EI dx M M P P P ???+=αtan 1

()

??+=P P dA b xdA EI αtan 1 其中P dA ，表示P M 图的微分面积，因而积分?P xdA 表示P M 图的面积P A 对于21O O 轴的静矩。这个静矩可以写成

?=C P P x A xdA

式中C x 是P M 图的形心到21O O 轴的距离。?

P dA 则

为P M 图的面积P A 。因此，得 ()b x A EI EI dx M M c P P +=?αtan 1

又因

C C y b x =+αtan 力M 图中与P M 图形心相对应的竖标，故得

C P P y A EI EI dx M M ?=1 由此可见，当上述三个条件被满足时，积分式

?EI dx M M P 之值就等于M 图(任何图形)的面积P A 乘其形心下相应的M 图(直线图形)上的竖标C y ，再以置EI 除之。所

得结果按P A 与C y 在基线的同一例时为正，否则为负。这就是图形相乘法，简称图乘法。应当注意：C y 必须从直线图形上取得。当M 图形是由苦干段直线组成时，就应该分段图乘。如对图4—16所示情况，有

)(1332211y A y A y A EI EI dx M M P P P P ++=∑?

应用图乘法时，如遇到弯矩图的形心位置或面积不便于确定的情况，则可将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的部分，并将这些部分分别与另一图形相乘，然后再将所得结果相加，即得两图相乘之值。

例如图4—17所示的两个梯形相乘时，可不必找出梯形的形心，而将其中一个梯形（设

为P M 图的ABCD 分解为两个三角形ABD 和ADC ，并以'P M 和''P M 分别表示任—截面的

弯矩在这两个三角形中各分别所含的竖标，将'''P

P P M M M +=代入计算位移的积分式中，便得

)(1'''dx M M dx M M EI

EI dx M M P P P ???+= 上式表明：我们可将三角形ABD 和ADC 分别与M 图相乘，再将所得结果相加后以EI 除之，即得计算位移的积分值。按上述方法处理的结果，有

2(1b a P y bl y al EI EI dx M M ?+?=? 式中 d c y a 3132+=

， d c y b 3231+=

又如图4—18所示两个图形都成直线变化，但都含有不同符号的两部分在进行图乘时，可将其中一个图形(设为Mp 图)分解为ABD 和ABC 两个三角形，由于原图形任一截面的竖标P M 等于这两部分所含竖标'P M 和'

'P M 的代数和，故可按同上方法处理而得 )2

2(1b a P y bl y al EI EI dx M M +=? 式中

d c y a 3132-=，c d y b 3

132-=

对于图4—19a 所示某一均布荷载作用的区段的P M 图，可根据第三章中所阐述过的法则。将P M 图看作是由两端弯矩竖标所连成的梯形ABCD(当有一端为零时则为三角形)与相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成的，后者即虚线CD 与曲线之间所包含的部分。因此，可将P M 图分解为上述两个图形计分别与M 图相乘，然后取其代数和，即可方便地得出其结果、

为了计算方便，现将常遇到的二次和三次标准抛物线图形的面积及其形心的位置表示于图4—20中。所谓标准抛物线是指有顶点在内且顶点处的切线与基线平行的抛物线。弯矩图为标准抛物线时，在顶点处应有0 dx

dM ，也就是说，顶点处截面的剪力为零。

结构力学习题集——静定结构位移计算

第三章静定结构的位移计算一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. M =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 A a a 9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数，a = 2m 。

a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数。 l l l l /3 2 /3 /3 q 13、图示结构，EI=常数，M =?90kN m , P = 30kN 。求D 点的竖向位移。 P 3m 3m 3m 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数。 q 16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。EI ＝常数。 l l l/2 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝常数。

静定结构位移计算练习题(答案在后)

静定结构的位移计算一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数，a = 2m 。

a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数。 l l l /3 2 /3 /3 q 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数。 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝常数。 18、求图示刚架中D 点的竖向位移。 E I = 常数。 q l l l/l/22

19、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。 23 l/ l/3 20、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。 l l 26、求图示刚架中铰C两侧截面的相对转角。 27、求图示桁架中D点的水平位移，各杆EA 相同。 a 30、求图示结构D点的竖向位移，杆AD的截面抗弯刚度为EI，杆BC的截面抗拉（压）刚度为EA。

超静定结构的计算

§1.3超静定结构的计算超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，仅根据静力平衡条件不能求出其全部支座反力和内力，还须考虑变形协调条件。计算超静定结构的基本方法是力法和位移法。这两种基本方法的解题思路，都是设法将未知的超静定结构计算问题转换成已知的结构计算问题。转换的桥梁就是基本体系，转换的条件就是基本方程，转换后要解决的关键问题就是求解基本未知量。 1.3.1力法力法是以多余未知力为基本未知量、一般用静定结构作为基本结构，以变形协调条件建立基本方程来求解超静定结构内力的计算方法。（一）超静定次数的确定一超静定结构多余约束（或多余未知力）的数目称为超静定次数，用 n表示。确定超静定次数的方法是：取消多余约束法，即去掉超静定结构中的多余约束，使原结构变成静定结构，所去掉的多余约束的数目即为原结构的超静定次数。在结构上去掉多余约束的方法，通常有如下几种： ●切断一根链杆，或者移去一个支座链杆，相当于去掉一个约束； ●将一个固定支座改成固定铰支座，或将受弯杆件某处改成铰接，相当于去掉一个抗转动约束； ●去掉一个联结两刚片的铰，或者撤去一个固定铰支座，相当于去掉两个约束； ●将一梁式杆切断，或者撤去一个固定支座，相当于去掉三个约束。（二）力法的基本原理法现以图1-26a所示一次超静定结构为例，说明力法的基本原理。其中，要特别重视力法的三个基本概念。

图1-26 1、力法的基本未知量：取超静定结构中的多余未知力（如图1-26a 中的X1）作为力法的基本未知量，以X i表示。多余未知力在超静定结构内力分析中处于关键的地位，因此，有必要将其突出出来，作为主攻目标。力法这个名称也因此而得。 2、力法的基本体系：将原结构中的多余约束（如图1-26a中的支座B）去掉，所得到的无任何外加因素的结构，称为力法的基本结构（图1-26b）；基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系，称为力法的基本体系（图1-26c）。在基本体系中，仍然保留原结构的多余约束反力X1，只是把它由被动力改为主动力，因此基本体系的受力状态与原结构完全相同。由此看出，基本体系本身既是静定结构（可方便计算），又可用它代表原来的超静定结构。因此，它是由静定结构过渡到超静定结构的一座桥梁。 3、力法的基本方程：为求多余未知力，除平衡条件外，还须补充新的条件，即利用原结构的已知变形条件。在本例中，基本体系沿多余未知力X1方向的位移Δ1应与原结构支座B处的竖向位移相同，即 Δ1=0 （a）由图1-26d和e可知，变形条件（a）可表示如下：（b）根据叠加原理，，于是可进一步将变形条件写成显含多余未知力X1的展开形式为

2006典型例题解析--第3章-静定结构位移计算

第3章静定结构位移计算 §3 – 1 基本概念 3-1-1 虚拟单位力状态构造方法 ●虚拟单位力状态构造方法：（1）去掉所有荷载重画一个结构；（2）标出所求位移矢量；（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ?和C 截面转角 C ?，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位力状态。 3-1-2 位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力： N Q ,,,Ri F M F F 实际荷载作用下，引起的内力： NP P QP ,,F M F ●位移计算一般公式 N Q Ri i F du Md F ds F c ??γ=++-∑∑∑∑??? ●荷载作用产生位移的计算公式 Q N QP NP P k F F F F M M ds ds ds EA EI GA ?=++∑∑∑? ?? 1、梁或刚架结构 P M M ds EI ?=∑? 2、桁架结构 N NP F F ds EA ?=∑? 图3-1虚拟单位力状态 ) a () b () c (

2 结构力学典型例题解析 3、混合结构 N NP P F F MM ds ds EA EI ?=+∑∑? ? ●支座移动引起位移计算公式 Ri i F c ?=-∑ ●温度引起位移计算公式 ()N 0t F t dx M dx h α??α=+±∑∑?? ()N 0M t t lF A h α??α=+±∑∑ 式中：0,,t t α?为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度 M A 虚拟状态弯矩图面积 ●有弹性支座情况的位移计算公式 ()P RP R 0RP R M M F ds F EI k Ay F F EI k ?=+?±=+? ∑∑? ∑∑ 3-1-3 图乘法图乘法公式： 0P ()Ay MM dx EI EI ±?==∑∑? 图乘法公式条件： ●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线正负号确定：面积A 与y 0同侧取“+”号注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。图3-2 图乘法示意图

结构的位移计算和刚度校核

第6章结构位移计算和刚度校核到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。我们知道内力计算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。讲第一章时，结力的第二大任务：刚度问题，而要解决…，首先应该… 杆件结构位移计算（结构变形+刚度位移） → { 刚度校核截面设计确定P max 又是超静定结构计算的基础（双重作用）。另外本章主要讨论各种杆件结构的位移计算问题。结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。 §6-1概述一、结构的位移画图：梁、刚架、桁架（内力N 、Q 、M ——拉伸、剪切、弯曲）截面C 线位移：C ? 角位移：C ? 结点的线位移：两点（截面）相对线位移：杆件的角位移： AB ? 两截面相对角位移：两杆件相对角位移： 1、位移定义：由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移），使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。截面C 线位移：C ?。一般分解成水平、垂直两方向： CH ?、CV ? 角位移：C ?

2、位移的分类：6种绝对位移：点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向截面角位移：杆件角位移：相对位移：两点（截面）相对线位移——沿连线方向两截面相对角位移：两杆件相对角位移：统称为：广义位移：角、线位移；相对、绝对位移 Δki：k：产生位移的方向；i：引起位移原因。如ΔA P、Δat、ΔA C 广义力：集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合二、引起位移的原因 1、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） 2、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力非0应变→结构变形（材料胀缩引起的位移性质同） 3、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置发生变化) {刚体位移（制造误差同）变形位移三、计算位移的目的 1）刚度验算：最大挠度的限制（框架结构弹性层间位移限值1/450） 2）为超静定结构的弹性分析打下基础 3）预先知道变形后的位置，以便作出一定的施工措施：（起重机吊梁、板）（屋架安装）（建筑起拱）（屋窗、门、过梁）（结构要求高，精密）四、计算位移的有关假定（简化计算） 1）弹性假设 2）小变形假设建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系 3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦）变形体系{ 线性变形体系（线弹性体系）荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消失，无残余变形，（可用位移叠加原理）非线形变形体系（分段线形叠加） 4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）

结构力学：自测题4 结构位移计算

结构力学自测题4（第六章）结构位移计算姓名学号一、是非题（将判断结果填入括弧：以 O 表示正确，以 X 表示错误） 1、用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移。( ) 2、图示简支梁，当 P 11= ，P 20= 时，1 点的挠度为 0.01653l EI / ，2 点挠度为 0.0773l EI /。当 P 10=，P 21= 时，则 1 点的挠度为 0.0213 l EI / 。（） l 3、已知图 a 所示刚架的 M P 图如图 b ，各杆EI = 常数，则结点 B 的水平位移为：?BH = [ 1 /（EI ）]×[20×4×(1/2)×4 + (1/3)×4×48×(3/4)×4]=352/(EI ) （。（） (kN m) ( a ) ( b ) 4、在非荷载因素 ( 支座移动，温度变化 , 材料收缩等 ) 作用下，静定结构不产生内力，但会有位移，且位移只与杆件相对刚度有关。（） 5、图示为刚架的虚设力系，按此力系及位移计算公式可求出杆 A C 的转角。（） C 1 P 6、图示梁的跨中挠度为零。（） 7、图示梁 A B 在所示荷载作用下的 M 图面积为 ql 33 。（） l A l /2 8、图示桁架结点 C 水平位移不等于零。（） 9、图示对称桁架各杆 E A 相同，结点 A 和结点 B 的竖向位移均为零。（） 10、图示桁架中，结点 C 与结点 D 的竖向位移相等。（）二、选择题（将选中答案的字母填入括弧内） 1、图示结构 A 截面转角（设顺时针为正）为： A .22Pa EI / ; B .-Pa EI 2 / ; C .542 Pa EI /() ; D .-542 Pa EI /() 。（） a a 2、图 a 所示结构的 M P 图示于图 b , B 点水平位移 ()→ 为： A . 5244ql EI ; B . 25484 ql EI ; C . 4854ql EI ; D . 16324 ql EI 。（） l 2 ql /ql 2 3、图示刚架 l a >>0 , B 点的水平位移是： A . 不定，方向取决于 a 的大小； B . 向左； C . 等于零； D . 向右。（） 4、图示静定多跨粱，当 EI 2 增大时， D 点挠度： A . 不定，取决于 EI EI 12；B . 减小； C . 不变； D . 增大。（） 5、图示刚架中杆长 l ， EI 相同，A 点的水平位移为: A. ()2302M l EI /→; B. ()M l EI 02 3/→; C. ()2302M l EI /←; D. ()02 3M l EI /←。（） l M A 6、图示为结构在荷载作用下的 M P 图，各杆 EI =常数，支座 B 截面处的转角为： A. 16/(EI ) ( 顺时针 ); B. 0; C. 8/(EI ) ( 顺时针 ); D. 18/(EI ) ( 顺时针 )。（） 12kN.m B 7、图示桁架各杆 EA =常数，则结点K 的水平位移（ → ）等于： A. 2( 1+2 )Pa / (EA ) ; B. ( 4Pa ) / (EA ) ;

超静定计算

一. 用力法计算超静定结构（一）复习重点 1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数 2. 理解力法原理 3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构） 4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构） 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构）（二）小结 1. 超静定结构、多余约束、超静定次数（1）超静定结构从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。静定结构：几何不变，无多余约束。超静定结构：几何不变，有多余约束。（2）多余约束多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。（3）超静定次数多余约束的个数是超静定次数。判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。

2. 力法原理力法是计算超静定结构最基本的方法（1）将原结构变为基本结构（2）位移条件：（3）建立力法方程

3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件（3）力法方程

（3）绘弯矩图 4. 用力法计算超静定桁架和组合结构注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。例：超静定组合结构（1）原结构变为基本结构（2）位移条件

（3）力法方程（4）绘弯矩图 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算（1）温度变化时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件力法方程

（2）支座移动时，超静定结构的内力计算原结构变为基本结构位移条件二. 用位移法计算超静定结构（一）复习重点 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移） 3. 掌握计算对称结构的简化方法（二）小结 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，且弯曲变形是微 2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构）例：求连续梁的内力解：（1）确定基本未知量及基本体系

结构力学自测题4 结构位移计算

结构力学自测题4（第六章）结构位移计算姓名学号一、是非题（将判断结果填入括弧：以 O 表示正确，以 X 表示错误） 1、用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移。( ) 2、图示简支梁，当 P 11= ，P 20= 时，1 点的挠度为 0.01653l EI / ，2 点挠度为 0.0773l EI /。当 P 10=，P 21= 时，则 1 点的挠度为 0.0213 l EI / 。（） l 3、已知图 a 所示刚架的 M P 图如图 b ，各杆EI = 常数，则结点 B 的水平位移为：?BH = [ 1 /（EI ）]×[20×4×(1/2)×4 + (1/3)×4×48×(3/4)×4]=352/(EI ) （。（） (kN m) ( a )( b ) 4、在非荷载因素 ( 支座移动，温度变化 , 材料收缩等 ) 作用下，静定结构不产生内力，但会有位移，且位移只与杆件相对刚度有关。（） 5、图示为刚架的虚设力系，按此力系及位移计算公式可求出杆 A C 的转角。（） C 1 P 6、图示梁的跨中挠度为零。（） 7、图示梁 A B 在所示荷载作用下的 M 图面积为 ql 33 。（） l A l /2 8、图示桁架结点 C 水平位移不等于零。（） 9、图示对称桁架各杆 E A 相同，结点 A 和结点 B 的竖向位移均为零。（） 10、图示桁架中，结点 C 与结点 D 的竖向位移相等。（）二、选择题（将选中答案的字母填入括弧内） 1、图示结构 A 截面转角（设顺时针为正）为： A .22Pa EI / ; B .-Pa EI 2 / ; C .542Pa EI /() ; D .-542 Pa EI /() 。（） a a A 2、图 a 所示结构的 M P 图示于图 b , B 点水平位移 ()→ 为： A . 5244ql EI ; B . 25484 ql EI ; C . 4854ql EI ; D . 16324 ql EI 。（） l 2 ql /ql 2 3、图示刚架 l a >>0 , B 点的水平位移是： A . 不定，方向取决于 a 的大小； B . 向左； C . 等于零； D . 向右。（） 4、图示静定多跨粱，当 EI 2 增大时， D 点挠度： A . 不定，取决于 EI EI 12；B . 减小； C . 不变； D . 增大。（） 5、图示刚架中杆长 l ， EI 相同，A 点的水平位移为: A. ()2302 M l EI /→; B. ()M l EI 02 3/→; C. ()2302 M l EI /←; D. ()02 3M l EI /←。（） l M A 6、图示为结构在荷载作用下的 M P 图，各杆 EI =常数，支座 B 截面处的转角为： A. 16/(EI ) ( 顺时针 ); B. 0; C. 8/(EI ) ( 顺时针 ); D. 18/(EI ) ( 顺时针 )。（） 4m 2m 12kN.m B 7、图示桁架各杆 EA =常数，则结点K 的水平位移（ → ）等于： A. 2( 1+2 )Pa / (EA ) ; B. ( 4Pa ) / (EA ) ; C. ( 2+2 )Pa / ( EA ) ; D. ( 3Pa ) / (EA ) 。（） a a

建筑力学基本计算4结构的位移计算

建筑力学基本计算4 结构的位移计算 1、基本概念和计算要求在学习结构的位移计算时,应注意下列几点： 1）位移计算的目的主要是考虑结构的刚度计算和为力法打下基础，后一个更为重要。 2）虚功原理是位移计算的基础，在学习时，着重要考虑由虚功原理得出的位移求解公式及其每一项的物理意义。 3）在用单位荷载法计算位移时，关键是虚设单位力（广义力）的位置、方向和性质都必须与所求位移一一对应。 2、基本计算方法结构位移的计算方法主要有积分法和图乘法两种： 1）积分法：在用积分法计算结构位移的时候，着重考虑梁和刚架的位移计算，所以位移计算公式为∑??=?ds EI M M P k ，从而，只需要分段建立弯矩方程，就可以利用积分公式求出位移。 2）图乘法：对于利用图乘法求结构的位移这是一个最重要也是最常用的方法。最后公式为 ∑?=?EI y C ω，从而，需要分别画出荷载作用下的M P 图和虚设单位荷载作用下的M 图，就可以利用图乘公式求位移。 3、计算步骤和常用方法考试要求一般为求解常见荷载作用下梁和刚架的位移，积分法作为基础，而图乘法是最常用的方法和手段。计算过程中要注意： 1）图乘法的三个适用条件，只要有一条不满足，就不能使用图法。 2）在使用图乘法的基本公式时，要理解图乘法是以一个弯矩图的面积ω乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标y C ，再除以EI 。特别注意竖标y C 必须从直线弯矩图上取得。 3）要学会能正确灵活使用图乘的公式，首先要熟练掌握图乘法的计算步骤，包括支座反力的计算、弯矩图的绘制、基本图形的面积和形心、图乘时的正负号取舍等等；其次要灵活运用图乘法的技巧（即图乘法中图形叠加概念的灵活运用）。 4）学会掌握标准抛物线的判别方法，即看抛物线顶点处的切线是否与基线相平行。 5）用图乘法计算位移时所求位移的方向须按计算结果的正负判定，当计算结果为正，说明所求位移的方向与虚设单位力的方向一致，否则相反。 4、举例试求图（a ）所示刚架结点B 的水平位移ΔBx ，EI 为常数。 [解] 先作出M P 图和1M 图，如图（b ）、（c ）所示。M P 图为荷载单独作用下的弯矩图；1M 图为在B 点水平方向虚设单位力F P =1情况下结构的弯矩图。由图乘法，可得 ∑++=?=?)(1332211y y y EI EI y C Bx ωωωω

典型例题解析-_静定结构位移计算

第5章静定结构位移计算 §5 – 1 基本概念 5-1-1 虚拟单位力状态构造方法 ●虚拟单位力状态构造方法：（1）去掉所有荷载重画一个结构；（2）标出所求位移矢量；（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ?和C 截面转角 C ?，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位力状态。 5-1-2 位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力： N Q ,,,Ri F M F F 实际荷载作用下，引起的内力： NP P QP ,,F M F ●位移计算一般公式 N Q Ri i F du Md F ds F c ??γ=++-∑∑∑∑??? ●荷载作用产生位移的计算公式 Q N QP NP P k F F F F M M ds ds ds EA EI GA ?=++∑∑∑? ?? 1、梁或刚架结构 P M M ds EI ?=∑? 2、桁架结构 N NP F F ds EA ?=∑? 图3-1虚拟单位力状态 ) a () b () c (

2 结构力学典型例题解析 3、混合结构 N NP P F F MM ds ds EA EI ?=+∑∑? ? ●支座移动引起位移计算公式 Ri i F c ?=-∑ ●温度引起位移计算公式 ()N 0t F t dx M dx h α??α=+±∑∑?? ()N 0M t t lF A h α??α=+±∑∑ 式中：0,,t t α?为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度 M A 虚拟状态弯矩图面积 ●有弹性支座情况的位移计算公式 ()P RP R 0RP R M M F ds F EI k Ay F F EI k ?=+?±=+? ∑∑? ∑∑ 5-1-3 图乘法图乘法公式： 0P ()Ay MM dx EI EI ±?==∑∑? 图乘法公式条件： ●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线正负号确定：面积A 与y 0同侧取“+”号注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。为使计算过程简洁、明了，先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧，然后直接代入图乘法公式求得位移。图3-2 图乘法示意图

4.结构位移计算

第16讲：计算结构位移的目的；功的有关概念；计算结构位移的一般公式。要求：了解计算位移的目的及虚功原理等概念；理解计算位移的一般公式。重点：计算结构位移的一般公式的推导第四章结构位移计算 1、计算结构位移的目的 ⑴计算结构的位移以验算其刚度，保证使用过程中不致发生过大的位移。 ⑵为超静定结构计算打下基础。计算超静定结构时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件。 2、产生位移的原因 ⑴荷载作用；⑵温度变化和材料胀缩；⑶支座沉陷和制造误差。 3、结构位移与应变 ⑴如图4-1所示，多跨静定梁支座A有给定位移c A时，各杆只发生刚体运动，而应变等于零（支座反力和各杆内力为零）。 ⑵如图4-2所示，简支梁在荷载q作用下各点产生线位移（挠度ω），同时梁内因承受弯矩M而产生曲率κ（曲率半径R=1/κ）和应变ε（一边纤维拉伸，一边纤维压缩）。 *4、结构位移的度量如图所示 ⑴线位移：△A ～水平分位移△Ax，竖向分位移△Ay。 ⑵角位移（转角）：θA 。位移计算是一个几何问题，但最好的解法是虚功法。本章中先应用刚体虚功原理计算刚体体系的位移，再讨论变形体虚功原理和应用变形体虚功原理求变形体体系的位移。 §4－1 虚力原理求刚体体系的位移对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理可表述如下：设体系上作用一任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作虚功总和恒等于零。强调指出：体系上的力系与位移二者是独立无关的。因此在应用中，可以把位移看作虚设的，也可以把力系看作虚设的。虚设位移与给定力系之间应用虚功原理的形式称为虚位移原理，可利用虚设位移的几何关系求给定力系中的未知力。虚设力系与实际位移之间应用虚功原理的形式称为虚力原理，可用于求实际位移中的未知位移。 1、虚力原理如图4-3a所示简支梁，A支座向上移动c1，现拟求B点竖向位移Δ。为此，对如图4-3a中的位移状态应用虚功原理。这里，位移状态是给定的，力系则可根据需要来虚设。在拟求位移Δ方向设置单位荷载，这个＇

第5章静定结构位移计算

第5章静定结构位移计算习题 5-1：由积分法求图示悬臂梁C 点的竖向位移CY ?，杆件的EI 为常数。题5-1图 5-2：由积分法求图示悬挑梁C 点、D 点的竖向位移CY ?和DY ?，杆件EI 为常数。题5-2图 5-3：图示刚架的A 支座向下发生了a 的移动，向左发生了b 的移动，求由此引起C 点的转角C ??和D 点的竖向位移DY ?。题5-3图题5-4图 5-4：图示刚架的A 支座向下发生了a 的移动，C 支座向右发生了b 的移动，求由此引起铰D 两侧截面的相对转角D ??和E 点的竖向位移EY ?。 5-5：图示桁架的CE 杆由于制造误差比设计短了a ，试计算由此引起的D 点水平位移DX ?。杆件的EA 均相同。 m 4kN

题5-5图 5-6：图示桁架的EB 杆由于制造误差比设计短了a ，试计算由此引起的D 点水平位移DX ?。杆件的EA 均相同。题5-6图 5-7：求图示桁架E 点的竖向位移 EY ?、FG 杆的转角 FG ??，所有杆件EA 相同。题5-7图 5-8：求出图示桁架C 点的竖向位移 CY ?，所有杆件的EA 相同。

题5-8图 5-9：求图示结构的C 、D 两点的相对水平位移 CDX ?，所有杆件的EI 相同。题5-9图 5-10：求图示结构D 点的水平位移 DX ?，所有杆件的EI 相同。题5-10图 5-11：计算图示结构D 点的转角 D ??，所有杆件的EI 相同，弹簧刚度系数为k 。 10kN

题5-11图 5-12：试求图示结构G 点的水平位移GX ?，所有杆件的EI 均为常量。题5-12图 5-13：用图乘法求图示结构D 点的竖向位移DY ?，所有杆件的EI 相同，弹簧的刚度系数为k 。题5-12图 5-14：求图示结构A 点的水平位移 AX ?、D 点的转角 D ??，所有杆件的EI 相同。 q kN

力法求解超静定结构的步骤：

第八章力法本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 6） §8-1超静定结构概述一、静力解答特征：静定结构：由平衡条件求出支反力及内力；超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。二、几何组成特征：（结合例题说明）静定结构：无多余联系的几何不变体超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。多余求知力：多余联系中产生的力称为三、超静定结构的类型（五种）超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构四、超静定结构的解法综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。精确方法：力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。力法与位移法的联合应用：力法与位移法的混合使用：混合法近似方法：

建筑力学问题简答(七)超静定结构内力计算

建筑力学问题简答（七）超静定结构内力计算 194．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 195．什么是超静定结构的超静定次数？答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 196．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 197．如何确定超静定结构的超静定次数？答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 198．撤除多余约束的方法有哪几种？答：撤除多余约束常用方法如下：（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 199．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 200．什么是力法的基本结构和基本未知量？答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 201．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。答：（1）n 次超静定结构的力法方程对于n 次超静定结构，撤去n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n 个多余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移谐调条件：Δi =0（i =1，2，…，n ）。由此可以建立n 个关于求解多余未知力的方程： 00 22112222212111212111=?++++=?++++=?++++nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 式中： δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δ

4静定结构的位移计算习题解答.

第4章静定结构的位移计算习题解答习题4.1 是非判断题 (1 变形体虚功原理仅适用于弹性体系,不适用于非弹性体系。( (2 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。( (3 功的互等定理仅适用于线弹性体系,不适用于非线弹性体系。( (4 反力互等定理仅适用于超静定结构,不适用于静定结构。( (5 对于静定结构,有变形就一定有内力。( (6 对于静定结构,有位移就一定有变形。( (7 习题4.1(7图所示体系中各杆EA 相同,则两图中C 点的水平位移相等。( (8 M P 图,M 图如习题4.1(8图所示,EI =常数。下列图乘结果是正确的: 4 832(12l l ql EI ??? ( (9 M P 图、M 图如习题4.1(9图所示,下列图乘结果是正确的: 0332 02201111(1y A EI y A y A EI ++ ( (10 习题4.1(10图所示结构的两个平衡状态中,有一个为温度变化,此时功的互等定理不成立。(

F C C F l (aP l l (b P l 习题 4.1(7图图 (bM l /4 1 图 (aM P l 8

1ql 2q M 图 (bP M 图 (a1 02 y A 3A 2 1A 2 EI EI 1 01 y 03 y 习题 4.1(8图习题 4.1(9图(a(b F P t 12 t

习题 4.1(10图【解】(1错误。变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。 (2错误。只有一个状态是虚设的。 (3正确。 (4错误。反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。 (5错误。譬如静定结构在温度变化作用下,有变形但没有内力。 (6错误。譬如静定结构在支座移动作用下,有位移但没有变形。 (7正确。由桁架的位移计算公式可知。 (8错误。由于取0y 的M 图为折线图,应分段图乘。 (9正确。 (10正确。习题4.2 填空题 (1 习题4.2(1图所示刚架,由于支座B 下沉?所引起D 点的水平位移?D H =______。 (2 虚功原理有两种不同的应用形式,即_______原理和_______原理。其中,用于求位移的是_______原理。 (3 用单位荷载法计算位移时,虚拟状态中所加的荷载应是与所求广义位移相应的________。 (4 图乘法的应用条件是:__________且M P 与M 图中至少有一个为直线图形。 (5 已知刚架在荷载作用下的M P 图如习题4.2(5图所示,曲线为二次抛物线,横梁的抗弯刚度为2EI ,竖杆为EI ,则横梁中点K 的竖向位移为________。 (6 习题4.2(6图所示拱中拉杆AB 比原设计长度短了1.5cm ,由此引起C 点的竖向位移为________;引起支座A 的水平反力为________。 (7 习题4.2(7图所示结构,当C 点有F P =1(↓作用时,D 点竖向位移等于?(↑,当E 点有图示荷载作用时,C 点的竖向位移为________。 (8 习题4.2(8图(a 所示连续梁支座B 的反力为(16 11R ↑=B F ,则该连续梁在支座B

国家开放大学2021年《建筑力学》教学辅导(4)结构的位移计算

山东广播电视大学开放教育建筑力学教学辅导资料（4）结构的位移计算 1、基本概念和计算要求在学习结构的位移计算时,应注意下列几点： 1）位移计算的目的主要是考虑结构的刚度计算和为力法打下基础，后一个更为重要。 2）虚功原理是位移计算的基础，在学习时，着重要考虑由虚功原理得出的位移求解公式及其每一项的物理意义。 3）在用单位荷载法计算位移时，关键是虚设单位力（广义力）的位置、方向和性质都必须与所求位移一一对应。 2、基本计算方法结构位移的计算方法主要有积分法和图乘法两种： 1）积分法：在用积分法计算结构位移的时候，着重考虑梁和刚架的位移计算，所以位移计算公式为∑??=?ds EI M M P k ，从而，只需要分段建立弯矩方程，就可以利用积分公式求出位移。 2）图乘法：对于利用图乘法求结构的位移这是一个最重要也是最常用的方法。最后公式为 ∑?=?EI y C ω，从而，需要分别画出荷载作用下的M P 图和虚设单位荷载作用下的M 图，就可以利用图乘公式求位移。 3、计算步骤和常用方法考试要求一般为求解常见荷载作用下梁和刚架的位移，积分法作为基础，而图乘法是最常用的方法和手段。计算过程中要注意： 1）图乘法的三个适用条件，只要有一条不满足，就不能使用图法。 2）在使用图乘法的基本公式时，要理解图乘法是以一个弯矩图的面积ω乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标y C ，再除以EI 。特别注意竖标y C 必须从直线弯矩图上取得。 3）要学会能正确灵活使用图乘的公式，首先要熟练掌握图乘法的计算步骤，包括支座反力的计算、弯矩图的绘制、基本图形的面积和形心、图乘时的正负号取舍等等；其次要灵活运用图乘法的技巧（即图乘法中图形叠加概念的灵活运用）。 4）学会掌握标准抛物线的判别方法，即看抛物线顶点处的切线是否与基线相平行。 5）用图乘法计算位移时所求位移的方向须按计算结果的正负判定，当计算结果为正，说明所求位移的方向与虚设单位力的方向一致，否则相反。 4、举例试求图（a ）所示刚架结点B 的水平位移ΔBx ，EI 为常数。 [解] 先作出M P 图和1M 图，如图（b ）、（c ）所示。M P 图为荷载单独作用下的弯矩图；1M 图为在B 点水平方向虚设单位力F P =1情况下结构的弯矩图。由图乘法，可得 ∑ ++=?=?)(1332211y y y EI EI y C Bx ωωωω