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二次函数初步(一)

模块一二次函数的定义

二次函数的定义_________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________。

【例1】

（1）银行的储蓄率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量，在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况二决定的。设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，如果存款额是100元，一年到期后，本息和=y __________元；若一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，则两年后的本息和=y __________元（不考虑利息税）。

（2）下列函数中哪些是二次函数，哪些不是，如果是二次函数，指出二次项系数、一次项系数、常数项。 1.231x y -=

2.)5(-=x x y

3.231x

y = 4.)2)(1(3+-=x x y

5.1224++=x x y

6.22)1(x x y --=

7.c bx ax y ++=2

（3）①如果函数1)1(22-+-=+-kx x k y k k

是关于x 的二次函数，则=k __________。 ②m m x m y --=2)2(是关于x 的二次函数，则=m __________。

③若函数1222)1(---=m m

x m y 为二次函数，则m 的值为__________。 ④已知222+-=m m mx y 是关于x 的二次函数，则m 的值为__________。

模块二二次函数的图象与性质

二次函数的图象：_________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________。二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的性质

已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，判断下列各式的符号：①a ，②b ，③c ，④ac b 42

-，⑤c b a ++，⑥c b a +-，⑦b a +2，⑧b a -2。

【例3】

1.在同一平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数①22x y =、②22

1x y =、③2x y -=和④22x y -=的图象，指出各个二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并根据二次函数图象判断______________的图象开口最大。

（1）函数622--=k k kx y 是二次函数，当=k __________时，其图象开口向上。

（2）已知二次函数213x y -=、2231x y -=、232

3x y =，它们的图象开口由小到大的顺序是（）。 A.321＜＜y y y B.123＜＜y y y C.231＜＜y y y D.132＜＜y y y

（3）如图，抛物线①②③④对应的解析式为21x a y =，22x a y =，23x a y =，2

4x a y =，将1a 、2a 、3a 、

4a 从小到大排列为___________________。

在同一平面直角坐标系中，画出二次函数①22x y =，②122-=x y ，③122+=x y 的图象。指出各个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，并根据二次函数图象说明3个图象之间有什么关系。

【例5】在同一直角坐标系中，画出二次函数①22x y =，②2)1(2-=x y ，③2)2(2+=x y ，④5)1(22--=x y 的图象。指出各个二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并根据二次函数图象说明4个图象之间有什么关系。

二次函数的定义专项练习30题有答案

二次函数的定义专项练习30题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） 2y=③y=x（1﹣x）④y=﹣x（②1﹣2x）（1+2x）①y=1 A．1个B．2 个C．3个D．4 个 2．下列结论正确的是（） 2．A是二次函数y=ax B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x ）是二次函数，则m等于（）4．若y=（2﹣m ±2 B．2 C．﹣2 D．不A．能确定 2）是二次函数，则m的值是（（m+m）5．若y= B．m =2 C．m=﹣A．1或m=3 D．m =3 ±2m=1

222中，二次函数的个数为（x），y=（x﹣1）6．，下列函数y=3x﹣x，，y=x（﹣2）5个4个D．．A．2个B．3个 C ）7．下列结论正确的是（二次函数中两个变量的值是非零实数A． xB．二次函数中变量的值是所有实数 2． C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D ．c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中，b，）8．下列说法中一定正确的是（ 2．A c为常数）一定是二次函数，函数y=ax（其中+bx+ca，b B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时，速度是关于时间的二次函数． C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数．D 2）是二次函数的条件是（m﹣n）x+mx+n．函数9y=（n ≠n是常数，且m≠0 B．m、A．m、n是常数，且m 可以为任何常数m、nn≠0 D．C．m、n是常数，且）．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（10 ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 A ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 B ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系D ）11．下列函数中，y是x二次函数的是（22 DC．．A．y=x﹣1 B．1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数：12．下面给出了6 222 y=y=；﹣②y=xy=x﹣3x；③；y=④（x⑥+x+1）；⑤①y=3x．﹣1；）其中是二次函数的有（个D．4 C2A．1个B．个．3个 2）之间的关系是（t（g为常量），h13．自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D．一次函数C．二次函数A．正比例函数 B．的值一定是_________+kx+1是二次函数，那么k．﹣14．如果函数y=（k3 ）

第一章二次函数专题复习一(含答案)

专题一求二次函数的解析式 [见A 本P6] 一利用一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)求二次函数的解析式 (教材P33目标与测定题第2题) 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝7；当x ＝3时，y ＝－3，求a ，b ，c 的值，并写出该二次函数的表达式．解：依题意，得?????3＝a ＋ b ＋ c ，7＝4a －2b ＋c ，－3＝9a ＋3b ＋c ，解得?????a ＝－13， b ＝－53， c ＝5 所求的函数解析式为y ＝－13x 2－53x ＋ 5 [2013·徐州]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的坐标满足下表∶ x … －3 －2 － 1 0 1 … y … －3 －2 －3 －6 － 11 … 则该函数图象的顶点坐标为( B ) A ．(－3，－3) B ．(－2，－2) C ．(－1，－3) D ．(0，－6) 【解析】 ∵x ＝－3和－1时的函数值都是－3，相等， ∴二次函数的对称轴为直线x ＝－2， ∴顶点坐标为(－2，－2)．故选B. 如图1，抛物线的函数表达式是( D )

图1 A ．y ＝x 2－x ＋2 B ．y ＝x 2＋x ＋2 C ．y ＝－x 2－x ＋2 D ．y ＝－x 2＋x ＋2 【解析】根据题意，设二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为抛物线过点(－1，0)， (0，2)，(2，0)，所以?????a －b ＋c ＝0，c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝0，解得a ＝－1，b ＝1，c ＝2，所以这个二次函数的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2. [2012·绥化]如图2，二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A (－4，0)． (1)求二次函数的解析式； (2)在抛物线上存在点P ，满足S △AOP ＝8，请直接写出点P 的坐标．图2 解：(1)由已知条件得∶? ????c ＝0，a ×（－4）2－4×（－4）＋c ＝0，解得?????c ＝0，a ＝－1， ∴此二次函数的解析式为y ＝－x 2－4x . (2)∵点A 的坐标为(－4，0)，∴AO ＝4. 设点P 的坐标为(x ，h )，则S △AOP ＝12AO ·|h |＝12 ×4×|h |＝8，解得|h |＝4. ①当点P 在x 轴上方时，－x 2－4x ＝4，解得x ＝－2， ∴点P 的坐标为(－2，4)； ②当点P 在x 轴下方时，－x 2－4x ＝－4，

一次函数和二次函数的不等关系

一次函数和二次函数的不等关系一、观察图象，确定相应的取值范围： 1．若0=y ，则x ； 2．若0>y ，则x ； 3．若0x ，则y ； 3．若0y ，则x 的取值范围； 3．若0y ，则x 的取值范围； (3)．若0x ，则y ． 2．观察图象，确定相应的取值范围： (1)．若0=y ，则x ； (2)．若0>y ，则x 的取值范围； (3)．若0

三、观察图象，确定相应的取值范围： 1．已知一次函数111b x k y +=和222b x k y +=的图象，如图所示 (1)．当x 时，则21y y =； (2)．当x 时，则21y y >； (3)．当x 时，则21y y <． 2．已知二次函数c bx ax y ++=2 1和b kx y += 2的图象，如图所示： (1)．当x 时，则21y y =； (2)．当x 时，则21y y >； (3)．当x 时，则21y y <．练习： 1．已知：二次函数c bx ax y ++=2 1和b kx y +=2的图象，如图所示： (1)．当x 时，则21y y =； (2)．当x 时，则21y y >； (3)．当x 时，则21y y <． 2．已知：二次函数c bx ax y ++=21和b kx y +=2的图象，如图所示： (1)．当x 时，则 21y y =； (2)．当x 时，则21y y >； (3)．当x 时，则21y y <．

九年级上册(浙教版)-第一章-二次函数-同步练习(含答案)

九年级上册（浙教版）-第一章-二次函数-同步练习一、单选题 1.已知，与为二次函数图象上的三点，则的大小关系是（） A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后，所得到的抛物线的顶点坐标为（） A.（-2,3） B.（-1,4） C.（1,4） D.（4,3） 3.在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2﹣4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（） A.（﹣2，3） B.（﹣1，4） C.（1，4） D.（4，3） 4.二次函数y＝ax2＋bx＋c 图象如图所示，反比例函数y＝与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中大致图象是（） A. B. C. D. 5.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②2a+b=0； ③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0；④4a+2b+c＞0，其中正确结论的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2013的值是（） A.﹣2012 B.﹣2013 C.2012 D.2013 7.要由抛物线平移得到，则平移的方法是（）

A.向左平移1个单位 B.向上平移1个单位 C.向下平移1个单位 D.向右平移1个单位 8.函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（） A. B.当时，顶点的坐标为 C.当时， D.当时，y随x的增大而增大 10.已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到 x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（） A.5 B.9 C.11 D.13 二、填空题 11.当x=0时，函数有最小值1，则b-c=________． 12.若为二次函数的图象上的三点,则y1、y2、y3的大小关系是________. 13.二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是________． 14.二次函数y=x2+2x-6与y轴的交点坐标是________. 15.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围________．

(完整版)专题：一次函数与二次函数综合的

一次函数与二次函数综合【课前热身】 1．抛物线322 --=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________． 2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数_________________ 3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为．（不要求写出自变量x 的取值范围） 4．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 5．函数2y kx =-与k y x = （k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（） 6.（甘肃）如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图像，由图像解答下列问题： ⑴ 此蜡烛燃烧1小时后，高度为 cm ；经过小时燃烧完毕； ⑵ 这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的解析式是． 7. 如图，已知?ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则?DEF 的面积y 关于x 的函数的图像大致为（） 8.（贵阳）某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500 个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个． ⑴ 假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是___________元；这种篮球每月的销售量是___________个．（用含x 的代数式表示） ⑵ 当篮球的售价应定为元时，每月销售这种篮球的最大利润，此时最大利润是元. A D （第3题）菜园墙 7 1 O y(cm) x(小时) 15

一次,二次函数

常见一次、二次函数的求解问题题型一：斜率与倾斜角；例1 (1)直线l 过点)1,2(--A 和点)5,6(-B ，求l 的斜率和倾斜角； (2)已知直线l 过点)2,1(A 和)3,(a B ，求l 的倾斜角和斜率．题型二：直线斜率的应用：例2 已知两点A (-3，4)，B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点．（1）求直线l 的斜率的取值范围．（2）求直线l 的倾斜角的取值范围．题型三：点斜式求直线方程：例3 直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是 54，求直线l 的方程题型四:两点式求直线方程：例4 求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程．题型五：截距式求直线方程例5、直线l 经过点)2,3(，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．题型六:直线的综合应用例6、若ABC ?的顶点)4,3(A ，)0,6(B ，)2,5(--C ，求A ∠的平分线AT 所在的直线的方程．题型七：两直线的位置关系例7．已知两条直线1l ：40ax by -+=和2l ：()10a x y b -++=，求满足下列条件的,a b 值： 12l l ⊥，且1l 过点()3,1-- 题型八：距离公式和角公式的应用例8．已知三条直线1l ：20x y a -+=()0a >。直线2l ：4210x y -++=和直线 3l ：10x y +-=，且1l 与2l ()1求a 的值； ()2求3l 到1l 的角θ；题型九：直线方程的交点例9. 已知入射直线1l ：3470x y +-= ，反射面为x 轴。求1l 的反射直线方程. 题型十：用数形结合处理的综合问题例10.已知51260x y +=的最小值是________. 习题： 1.若x 为实数，则下列不等式的解集正确的是 A. {}222±≥≥x x x 的解集是 B.{ }2121212+<<-<-x x x 的解集是)( C.{}3092<<-x x x 的解集是 D. 设 00221221>++>=++c bx ax x x c bx ax x x 则且的两个实根为,,,的解集是{}12x x x x <<

一次函数、二次函数和幂函数-含答案

【知识要点】一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决. 数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提. 二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力. 三、一次函数、二次函数和幂函数的图像和性质 1、一次函数的一般形式为,y kx b =+当0k >时，函数单调递增，当0k <时，函数单调递减，当0k =时，函数是常数函数. 2、二次函数的一般形式是2 (0)y ax bx c a =++≠，当0a >时，函数的图像抛物线开口向上，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2b a -∞-单调递减，在(,)2b a -+∞单调递增.当2b x a =-时，函数有最小值244ac b a -.当0a <时，函数的图像抛物线开口向下，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2b a -∞-单调递增，在(,)2b a -+∞单调递减.当2b x a =-时，函数有最大值244ac b a -. 3、幂函数的一般形式为(,a y x a R a x =∈是常数，是自变量），其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数a 取值的不同而不同. 所有幂函数都在(0,)+∞有定义，并且图像都过点（1， 1）；0,a >幂函数在(0,)+∞是增函数，0a <，幂函数在(0,)+∞是减函数. 四、解决实际问题的解题过程

浙教版九年级数学上册第一章二次函数单元测试卷含答案

第一章二次函数单元测试卷（本试卷共三大题，26个小题试卷分值：150分考试时间：120分钟）姓名：班级：得分：一、填空题（本题有10个小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线2 (1)3y x =-+的对称轴是（） A ．直线1x = B ．直线3x = C ．直线1x =- D ．直线3x =- 2．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（） A ．2(3)2y x =++ B ．2(3)2y x =-- C ．2(6)2y x =-- D ．2(3)2y x =-+ 3．若二次函数c x x y ++=22配方后为7)(2 ++=h x y ，则c 、h 的值分别为（） A ．8、－1 B ．8、1 C ．6、－1 D ．6、1 4．二次函数y =2(x －1)2+3的图像的顶点坐标是（） A ．（1，3） B ．（－1，3） C ．（1，－3） D ．（－1，－3） 5．已知二次函数2 y 3=-+x x m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程230-+=x x m 的两实数根是（） A ．x 1=1,x 2=－2 B ．x 1=1,x 2=2 C ．x 1=1,x 2=0 D ．x 1=1,x 2=3 6．二次函数2 (1)2y x =-+的最小值是（） A ．2- B ．2 C ．1- D ．1 7．抛物线24y x x =-的对称轴是 ( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝4 C ．x ＝2 D ．x ＝－4 8．已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x <3，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

二次函数与一次函数结合题

一次函数与二次函数可能有一个焦点或两个焦点或没有交点，对于两个（1）求二次函数表达式时要填写最终的一般式（2）由一般式变顶点式时，可通过两个方法方法一：通过定点坐标公式直接代入顶点式中，有一点需要注意，（X-h ）方法二：可通过配方法解决问题 1．如图，将抛物线M 1:x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值； ②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围（直接写出结果）. 27.解：（1）∵点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3， ∴A (－3，－3).………………………………………………………………1分把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1.……………………………………………………………………2分 ∴M 1:x x y 42+=，顶点为(－2，－4). ∴M 2的顶点为(1，－1). ∴M 2的表达式为x x y 2-2=.…………3分（2）①由题意，C (2，2)， ∴F (4，2).………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n . 解得n =－2.………………………5分 ②n ＞3，n ＜－6.………………7分一次函数与二次函数图像的结合，一定要多画图像进行观察通常是找临界点进行观察计算 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 1212 y ax x a = +-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为-1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为'P ，求点'P 的坐标；（3）将抛物线在A ，B 两点之间的部分（包括A ， B 两点），先向下平移3个单位，再向左平移m （0m >）个单位，平移后的图象记为图象G ，若图象G 与直线'PP 无交点，求m 的取值范围． 27．解：

一次函数与二次函数

一次函数与二次函数 1．二次函数的表达式：（1）一般式：2 y ax bx c =++，()0a ≠ （2）顶点式：()2 y a x h k =-+，()0a ≠ （3）两根式：()()12y a x x x x =--，()0a ≠

三．题组一 1、画出函数221y x x =--+的大致图像，并说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标及单调区间及最值。 2. 分别求满足下列条件的二次函数的解析式。（1）过点 ()()1,0,3,0-及()0,2 （2）顶点为（2，－1）且过点（3，1）；四．题组二 1．二次函数2 4y x ax =++在(,1]-∞递减，则实数a 的取值范围是（） A (],2-∞- B [)2,+∞ C (],2-∞ D (],1-∞ 2．函数()265f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上递增，则实数m 的取值范围是。 3．函数()2 |21|f x x x =--，如果方程()f x a =有且只有两个相异实根，则实数a 应满足（） A 2a ≥- B 02a << C 0a =或2a > D 2a > 4．若不等式2 (2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈都成立，则实数a 的取值范围是（） A (],2-∞- B []2,2- C (]2,2- D (),2-∞- 9．关于x 的方程() ()02122 =-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，求a 的取值范围。

函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性和反函数一. 函数的单调性:【图像法、定义法、导数法】二. 函数的奇偶性: 1、奇函数: 1.:2.???? ?????公式定义域关于____轴对称3.图象关于_____对称 2、偶函数: 1.:2.???? ?????公式定义域关于____轴对称3.图象关于_____对称 3、非奇非偶函数：()()f x f x -≠-()()f x f x -≠ 三．函数的对称性: 若函数()y f x =关于直线x a =对称,则()()()() 2f a x f a x f x f a x +=-???=-??. 四．函数的周期性：若函数()y f x =的周期为T ，则()( )f x T f x +=。五. 函数()x a x f =y x =←???→关于直线对称反函数()x x f a log 1 =- 点()a b 点 (),a 习题训练 1、若()[]2 1,2,5f x x x =-∈-，则()f x 是（） A 奇函数 B 偶函数 C 既奇又偶 D 非奇非偶 2、下列函数是偶函数的是（） A x y -=3 B 3 4 x y = C |lg |x y = D x y 1=

一次函数和二次函数.doc

第二章第二单元一次函数和二次函数 1．一次函数（ 1）一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域是 R ，值域为 R. 一次函数的图象是，其中 k 叫做该直线的，b 叫做该直线在 y 轴上的．一次函数又叫．（ 2）一次函数的性质 ①函数的改变量y ＝与自变量改变量 x ＝的比值等于， k 的大小表示直线与 x 轴的． ②当 k>0 时，一次函数是；当 k<0 时，一次函数是． ③当 b ＝ 0 时，一次函数为，是；当 b ≠0 时，它． ④直线 y ＝ kx ＋b 与 x 轴的交点为，与 y 轴的交点为。 2．二次函数（ 1）函数 y ＝ ax 2＋bx ＋ c (a ≠ 0 ) 叫做，它的定义域为 R. （ 2）二次函数的性质与图象图象函数性质定义域 x ∈ R a>0 a<0 值域 2 2 y [ 4ac b , ) y ( , 4ac b ] 4a 4a a ＞ 0 奇偶性 b=0 时为偶函数， b ≠ 0 时既非奇函数也非偶函数 a>0 a<0 x ( , b ]时递减 , x ( , b ]时递增 , 单调性 2a b 2a x [ b )时递增 x [ , )时递减 , 2a a ＜ 0 2a 图象特点 1 对称轴 : x b ; 2 顶点:( b , 4ac b 2 ) 2a 2a 4a 抛物线有最低点，抛物线有最高点，当 x b 当 x b 时， y 有最小值时， y 有最大值最值 2a 2a 4ac b 2 4ac b 2 y min y max 4a 4a (3) 配方法

一次函数和二次函数的图像与性质

一次函数的图像与性质练习 1、一次函数y=2x-1的图象大致是（） 2、函数y ＝k （x －k ）（k ＜0 )的图象不经过（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、若点A （2, 4）在函数y ＝k x －2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（） A 、（0，－2） B 、（1.5，0） C 、（8, 20） D 、（0.5，0.5）。

4、已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( ) A B C D 5、若把一次函数y=2x －3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( ) A y=2x B y=2x －6 C y=5x －3 D y=－x －3 6、已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示,则k 、b 的符号是( ) (A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0 (C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0 7、直线y=2x+1与y=3x-1的交点P 的坐标为____，点P 到x 轴的距离为_______，点P 到y 轴的距离为______。 8、如图，一次函数y=ax+b 的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式ax+b<0的解集是 9、点P （a,b ）点Q （c,d ）是一次函数y=-4x+3图像上的两个点，且a

二次函数的图像与性质 ①一般式：y ＝ax ＋bx ＋c （a≠0）； ②顶点式：；①开口方向：当a>0时，开口向上；当②顶点坐标：；③对称轴方程：；值越小，开口越大；，单调减区间为（－∞，），单调增区间为（，＋∞），单调减区间为（，＋∞），单调增区间为（－∞，） A ．y=x 2 +3x －5 B ．y=－ 12 x 2 x C ．y= 12 x 2 +3x －5 D ．y= 12 x 2 2、若直线y=3x+m 经过第一、三、四象限，则抛物线y=（x －m ）2 +1的顶点必在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知抛物线的顶点坐标为（1，9），它与x 轴交于A （－2，0），B 两点，则B 点坐标为（） A ．（1，0） B ．（2，0） C ．（3，0） D ．（4，0） 4、抛物线y=2（x+3）（x －1）的对称轴是（） A ．x=1 B ．x=－1 C ．x= 12 D ．x=－2 5、已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点（a ，－ 14 ）和（－a ，y 1），则y 1的值是_______．

【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)

二次函数与一次函数、反比例函数、一元二次方程、不等式组课程目标：灵活运用二次函数的性质解一元二次方程；熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。课程要求：完成讲义中的练习；完成课后配套练习。一、二次函数与一元二次方程、不等式（组）例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个例2.已知实数x ，y 满足x 2 ＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣（k+1）x ﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k= _________ ．例4. 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2 +bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 . 例5. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2 21y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有， 2 2y mx x m =+-m x

求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2 －4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为． 6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时． 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =Ｏ

一次函数和二次函数复习题

一次函数和二次函数习题 1. 已知函数()2f x x a =-+在区间[1,2]-上的函数值恒为负，则a 的取值范围是_________. 2. 若函数2()21,[2,2],()f x x x x f x =++∈-则的最小值是________. 3. 已知函数2()[2,4]f x x kx =-+在上是单调函数，则实数k 的取值范围是___________. 4. 若函数2()(2)3,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图象关于直线1x =对称，则c =_________. 5. 已知函数2(),(3)(1),(1),(1),f x x bx c f f f f c =++-=-且比较的大小关系____________,（按从小到大顺序写）. 6. 已知函数223y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值是2，最大值是3,则m 的取值范围是_______. 7. 已知函数2()68,[1,],()f x x x x a f x =-+∈并且的最小值为()f a ，则实数a 的取值范围是__________. 8. 已知函数2()22f x ax ax =+-，若对任意实数,()0x f x <都有成立，则实数a 的取值范围是__________. 9. 已知函数()f x 的定义域为R ，则m 的取值范围是_____________. 10. 已知12,x x 是方程2310x x -+=的两根，则 1211x x +=_________________. 11. 已知()(),()y f x g x f x =+是正比例函数，()g x 是反比例函数，并且当14;x y ==时，当25;x y ==时，则当4___________.x y ==时， 12. 若二次函数2 y ax bx c =++中，0,ac <则该函数的零点有________个. 13. 已知关于x 的二次方程240x mx m +++=有一个正根和一个负根，则实数m 的取值范围是___________. 14. 已知点(1,2)A y kx b =+在直线上，且该直线在x 轴上的截距与在y 轴上的截距相等，求k b 与的值.

初中二次函数知识点详解及助记口诀

二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限 2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。 2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线

第7讲一次函数与二次函数

一次函数与二次函数 1、掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征． 2、运用一次函数与二次函数的性质解决有关问题。一、一次函数函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R 1、一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数； 2、一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 叫直线的斜率，b 叫直线在y 轴上的截距； 0>k 时，函数是增函数，0a 时，抛物线c bx ax y ++=2 开口向上，二次函数的单调减区间为 (???-∞-a b 2,，单调增区间为)∞+???-,2a b ，值域为)∞+?? ?-,442a b ac ； 3、当0

(???-∞-a b 2,，单调减区间为)∞+???-,2a b ，值域为 ? ????-∞-a b ac 44,2；特别提醒： 1.二次函数的三种表示形式（1）一般式：)0(2 ≠++=a c bx ax y ．（2）顶点式：)0()(2 ≠+-=a h m x a y ，其中 ),(h m 为抛物线的顶点坐标．（3）两根式：)0())((21≠--=a x x x x a y ，其中1x 、2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标． 2.利用配方法求二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴方程为： x ＝－ a b 2． 3.若二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 对应方程)(x f ＝0的两根为1x 、2x ，那么函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 图象的对称轴方程为： x ＝ 221x x +＝－a b 2． 4.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．类型一一次函数的性质例1：已知函数y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，求当m 为何值时： (1)这个函数为正比例函数？ (2)这个函数为奇函数？ (3)函数值y 随x 的增大而减小？解析：(1)由题意，得? ?? ?? 1－3m ＝0 2m －1≠0，