曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案
第四章习题参考解答
1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ，
有0)(=?dx x f A ，试证：)(x f ，].[.E e a
证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞
= ，而N k ∈?，}1)(|{k
x f x E ≥
}1
)(|{}1)(|{k x f x E k x f x E -≤≥= .由已知，
=+=-
≤≥
≥
???k
x f x E k
x f x E k
x f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1
|)(|{)()()(
000=+.
又因为0}1)(|{11)(0}
1
)(|{}
1
)(|{≥≥=≥
=
≥≥??
k
x f x mE k dx k dx x f k
x f x E k
x f x E ， 0}1
)(|{1)1()(0}
1
)(|{}
1
)(|{≤-≤-=-≤=≥≥??k x f x mE k dx k dx x f k
x f x E k
x f x E
所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE .
故,0}1
)(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥k
x f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而
00}1
|)(|{}1|)(|{[}0)(|{1
11==≥≤≥=≠∑∑∞
=∞=∞
=k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即，
0)(=x f ，].[.E e a .
2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有
})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而，=?dx x f E )(
dx x g E
?
)(.
证明：我们证f
，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数.
N m ∈?及12,,1,0-=m m k ，令}21
)(2|
{,m
m k m k x f k x E E +≤≤=，并且 })(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集，
并且k m m k E E m ,21
== ，定义简单函数
∑
==m
k m m k E m m x k
x 20
)(2)(,χψ. 下面证明：)()(lim x f x m m =∞
→ψ，E x ∈.
E x ∈?0,若+∞=)(0x f ，则N m ∈?，m m m E x 2,0∈，
所以)()(0∞→∞→=m m x m ψ，即)()(lim 00x f x m n =∞
→ψ；若+∞<)(0x f ，则可取正整数)(00x f m >，0m m ≥?时,
}2
1)(2|
{})(0|{1
21
0m m m k k x f k x E m x f x E x m +<≤=<≤∈-= .故，存在)120(-≤≤m
m k k ， }21)(2|{0m m k x f k x E x +<≤∈.即，m m k x f k 21)(20+<≤，m m k E m m k
x k x m
k m 2)(2
)(2
0,==∑=χψ.
所以，
02
1
2212)()()(|)()(|00000→=-+<-=-=-m m m m m m k k k x f x x f x x f ψψ，从而， )()(lim 00x f x m n =∞
→ψ.
同理，N m ∈?，定义简单函数列
∑
==m
k
m m k E m m x k
x 20)(2
)(*,χψ，其中：}2
1)(2|
{*
,m m k m k x g k x E E +<≤=，12,,1,0-=m m k .})(|{*
,m x g x E E k m ≥=.同上一样可证明：)()(lim 0x g x m n =∞
→ψ，E x ∈.
因为R a '∈?，有})(|{})(|{a x g x mE a x f x mE
≥=≥.故R a '∈?， })(|{b x f a x mE <≤})(|{b x g a x mE <≤=.从而，)120(-≤≤?m
m k k ，有
k m m m m m k m mE k x g k x mE k x f k x mE mE ,*
,}2
1)(2|{}21)(2|
{=+<≤=+<≤=
m m m m m m mE m x g x mE m x f x mE mE 2,*2,})(|{})(|{=≥=≥=.即，N m ∈?，=)(x m ψ
)(x m ?.因此)()(lim )(lim )(x g x x x f m m m m ===∞
→∞
→?ψ.
3.若???
??=为有理数
，当为无理数，当x x x x x f 31
)(，计算?1,0[)(dx x f .
解：设x x E |]1,0[{0∈=为有理数}，01]1,0[E E -=，则
+=
??
1
)()(]
1,0[E dx x f dx x f
?
]
1,0[)(dx x f ?
?
?
+
==
111E E
E dx x
dx x
dx x
=+
=
=
?
?
?
1
111E E E dx x
dx x
dx x
2]2[11101
]
1,0[====
?
?
x dx x
dx x
.
4.设21,,E E 是]1,0[中n 个可测集，若]1,0[内每一点至少属于n 个集中的
q
个集，
证明：21,,E E 中至少有一个测度不小于n
q
.
证：令∑==
n
i E x x f i
1
)()(χ
，其中i E χ为i E 上的特征函数]1,0[∈?x ，有
q x x f n
i E i ≥=∑=1
)()(χ，所以q qdx dx x f =≥??]
1,0]
1,0[)(.
∑∑?∑∑??
?========≤
n i n
i i E n i E n i E mE dx x dx x dx x f q i i 11
1
11
,0]
1,0[]
1,0[)()()(χχ.
如果每个n q mE i <，则∑∑===?=>n i n i i q n q
n n q mE 11.这与∑=≤n
i i mE q 1
矛盾.从而，
)1(n i i ≤≤?使得n
q
mE i ≥
. 5.设f ，g 都是E 上的可积函数，试证明：22
g f
+也是E 上可积函数.
证明：（1）先证：设)(x f 与)(x F 都是E 上的可测函数且)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，
若)(x F 在E 可积，则)(x f 在E 可积.
事实上，N m l ∈?,，因为)()(0x F x f ≤≤ ].[.E e a ，故l l x F x f )}({)}({0≤≤，即
+∞<≤≤≤???E
E l
l
E l
dx x f dx x F dx x F dx x f m
m
)()}({)}({)}({，其中：m m S E E =，
}||||{∞<=x x S m .从而∞=?1})}({{l l E dx x F m
是单调递增有上界?E
dx x F )(的数列，故：
???≤=∞
→E
E l
l E dx x F dx x f dx x f m
m
)()}({lim )(.
又因为?
∞=m
E m dx x f 1})({
单调递增有上界，所以?∞
→m
E l dx x f )(lim
存在，并且
???+∞<≤=∞
→E
E l
l E
dx x F dx x f dx x f m
)()}({lim )(，即?∞
→∞→m
E l
l m dx x f )}({lim lim
+∞<≤?dx x f E
)(.所以)(x f 在E 可积.
（2）再证：22
g f
+在E 上可积.
事实上，因为f ，g 在E 上可积，所以||f 与||g 在E 上可积，从而||f +||g 在E 上
可积. 又因为||||22
g f g f
+≤+，由（1）
。2
2g f +在E 上可积.
6.设+∞ ∞+ dx x f )(， })(|{k x f x E E k >=，试证明：0lim =?∞ →dx mE k k l . 证明：N k ∈?，因为+∞<≤≤ ≤??E E k dx x f dx x f kmE k )()(0，所以 )(0)(1 0∞→→≤ ≤?k dx x f k mE E k ，故0lim =∞→k l mE . 又因为 ?+∞ dx x f )(，由积分的绝对连续性（即，P103，定理4）. 0>?ε,0>?δ,使得对于任何可测集E A ?，δ dx x f |)(| ?<=A dx x f ε)(. 对于0>δ，由0lim =∞ →k k mE ，得，存在N k ∈0，0k k ≥?时，δ ε<≤?≤?dx x f mE k k E k )(0，从而0lim =?∞ →k k mE k . 7.设E 为可测集，且+∞ }1)(|{+<≤=∧ k x f k x E E k ，试证: )(x f 在E 上可积当且仅当级数∧ ∞ =∑k k E km 1 收敛. 证：)(?设}1)(|{+<≤=∧ k x f k x E E k ，N k ∈，因为)(x f 在E 可积，故 ∑∑?∑?? ∞=∞=∞=?=≥=11 1)(k k k E k E E mE k dx k f dx x f k k .即，级数∑∞ =∧ ?1 k k E m k 收敛. )(?N k ∈?,因为}1)(|{+<≤=k x f k x E E k ， k E k k E mE kmE mE k dx k dx x f k k +=+=+≤?? )1()1()(，又dx x x f dx x f m k E E E )()()(χ??= 又 dx x x f x f m k E E E )()()(χ?? =.因为∑∞ ==1 )()()(k E x x f x f k χ，所以=?dx x f E )( ∑∑ ? ∑? ∑?? ∞ =∞ =∞=∞ =+≤== =1 112 ,991 ) ()()()()()(()(k k k k E k E E L TH P k E E E mE kmE dx x f x x f dx x x f x f k k k χχ基本定理 +∞<+=+=∑∑∑∞ =∞=∞=k k k k k k k mE kmE mE kmE 1 1 1 . 从而，)(x f 在E 上可积. 8.设f 是R '上的可积函数，证明：?=-+→] ,[0 0|)()(|lim b a k dx x f b x f . 证明：（1）先证：0>?ε，存在时直线R '上的连续函数)(x ?，使得 ?<-+→] ,[0 |)()(|lim b a k dx x f b x f ε.对于N n ∈?，记： ?? ? ??-<->≤=N x f N N x f N N x f x f x f n )(,)(,|)(|,)()]([ ],[b a E x =∈. 则：?? ? ??-<+>-≤=-N x f N x f N x f N x f N x f x f x f n )(,)()(,)(|)(|,0)]([)(. 则=-?dx x f x f b a n |)]([)(|],[ dx x f x f N f E n |)] ([)(|) |(|?>- + dx x f x f N f E n |)] ([)(|) |(|?≤- = dx x f x f N f E n |)] ([)(|) |(|?>- dx N x f N f E |)(|) |(|?>+≤ dx x f N f E |)(|) |(|?>≤. 因为)(x f 在],[b a 是lebesgue 可积的，故0>?ε，0>?δ，使E A ?， δ dx x f A ε < ?|)(|，又因为∞ =1|)}(|{n f E 是单调的集列，并且 )|(|)|(|1 +∞==>∞ =f E n f E n .从而，=>=>∞ →∞ →)]|(|lim [)|(|lim n f E m n f mE n n 0)|(|=+∞=f mE . 所以，对于0>δ，N ∈?N ，使得 4 |)(|) |(|ε < ?>dx x f N f E . 对于N x f )]([，取04>= N ε η，由连续扩张定理（第10页，定理3），存在闭集] ,[b a F ?及R '上的连续函数)(x ?，使得 （i ）F F N x x f |)(|)]([?= （ii ）N F E m 4)(ε < - (iii) N x ≤|)(|? 则 2 42)(2||)|]([|][||][] ,[ε ε ???= ? <-?≤+≤ -= -???--N N F E m N dx f dx f dx f F E N F E N b a N ，从而 ≤-+ -≤-??dx x f dx x f x f dx x x f b a N N b a |)(] [||)] ([)(||)()(] ,[] ,[?? εε ε ?=+ ? ≤-+ ≤??>2 4 2|)(][||)(|2 ] ,[) |(|dx x f dx x f b a N N f E . (2)再证：0|)()(lim ] ,[0 =-+?→dx x f b x f b a h 0>?ε，由（1）知，存在R '上的连续函数)(x ?使得 3 |)()(] 1,1[ε ?< -? +-dx x x f b a ，因 为)(x ?在]1,1[+-b a 上一致连续，所以)1(0<>?δδ使得],[b a x ∈?，)1(||<<δh 时，恒有) (3|)()(|a b x h x -< -+ε ??， dx h x h x f dx x f h x f b a b a |)()(|)()(] ,[] ,[??+-+≤-+?+ dx x h x b a |)()(|] ,[?-+??+dx x f x b a |)()(|] ,[?-?. 因为],[b a x ∈时，)1|:|< dx h x h x f b a |)()(|] ,[?+-+?3 |)()(|] 1,1[ε ?< -≤?+-dx x x f b a .所以 ≤-+?dx x f h x f b a |)()(|] ,[ + -?+-dx x x f b a |)()(|]1,1[?dx x x f dx x h x b a b a |)()(||)()(|] ,[] ,[??-+-+???εε ε ε =+ + < 3 3 3. 故0|)()(|lim ] ,[0 =-+?→dx x f h x f b a h . 9.设f 是E 上的非负可积函数，c 是任意常数，满足?≤ ≤E dx x f c )(0，试证：存在 E E ?1，使得c dx x f E =?1 )(. 证明：设常数c ，合于?≤ ≤E dx x f c )(0，当?=E dx x f c )(时，存在E E =1 ，使得 c dx x f E =?1 )(，不妨设?≤≤E dx x f c )(0. 先证：?-= E t t dx x f t F ],[)()(在),0[+∞上连续，),0[0 +∞∈?t ，0t t >?，因为 ????+=-= -≤----E t t E t t E t t E t t dx x f dx x f dx x f dx x f t F t F ],[],[],[],[00000)()()()()()(0，由积分的绝对 连续性（P85，定理4），0>?δ，E A ??，δ )(|)(| ε < =?? A A dx x f dx x f . 故，δ<-≤?00:t t t ，因δ<-≤-00)),([t t E t t m ，δ<-≤00)],((t t E t t m ，故 εε ε =+ = + = -≤? ? --2 2 )()()()(0],[],[000E ty t E t t dx x f dx x f t F t F . 所以，)()(lim 00 t F t F t t =+ →. 同理，对于),0[0+∞∈?t ，用上述完全类似方法可得)()(lim 00 t F t F t t =- →.故，)(t F 在 ),0[+∞上连续. 又因为c dx x f dx x f E E t t t >=??-+∞ →)()(lim ],[ （根据P89的定义4）.所以00 >?t ，使得 c dx x f t F E t t >= ?- ],[0)()(.故)()0(0 t F c F <<，由)(t F 在闭区间],0[0t 上的介值定理（连 续函数的介值定理），),0(01t t ∈?，使得E E t t E ?-= ],[111，有 c t F dx x f dx x f E t t E ===??-)()()(1 ],[01 . 10.设g 是E 上的可测函数，P 是大于1的数，2是P 的共轭输，即 11 1=+q p .如果对任意)(E L f P ∈，都有)(E L fg '∈，试证)(E L g q ∈. 11，试证：（i ）1)1(1lim ) ,0(1=+? +∞∞ →dt t k t k k k . (ii) dx x e dx x n x x n k ??+∞-+∞-∞→=-) ,0(),0(1)1(lim αα. 证明：（i ）2≥?k 时，（寻找控制函数） 当)10(≤ t t t t k t t f k k k k 4111)1(1)(2 111≤ = ≤ ≤ += ； 当1>t 时：22 11 )11(2 )(!2)1(11)(1)1(1)(t k k t k k k t k t t k t t f k k k k k -≤ +-+?+= ≤ += 22 4 )2 11(2t t =-≤ . 令???????+∞≤<≤<=t t t t t F 1,410,4 )(2，从而),0(+∞∈?t ，)()(t F t f k ≤，且)(t F 在),0(+∞是 -R 可积的，故)(t F 在),0(+∞是-L 可积的. 又因为t t k k t t k k k k k k k e e t k t t k t t f -∞ →∞ →∞ →∞ →== ?+=+=1 1lim ])1[(1lim )1(1lim )(lim 11 .由lebesgue 控制收敛定理，?? ? ∞∞→∞∞ →∞∞ →= =+) ,0() ,0() ,0(1 )(lim )(lim )1(1 lim dt t f dt t f dt t k t k k k k k k k ?∞-= ) ,0(dt e t 10 ==?+∞ -dt e t . (ii)N n ∈?,定义 ????? +∞∈∈-=-),(,0 ] ,0(,)1()(1n x n x x n x x f n n α，并且 1)(--=αx e x F x ， ),0(+∞∈x .),0(+∞∈?x ,有)()1(lim )(lim 11x F x e x n x x f x n n n n ==-=---∞→∞→αα. 下面证明：N n ∈?，)()(1x f x f n n +≤. 事实上，),0(+∞∈?x ，令t t x t G )1()(- =，),1[+∞∈t ，取)1ln()(ln t x t t G -=，则 x t x t x t x t x t t x t G t G -+-=- +-=')1ln(11 )1ln()()(2.又记x t x t x t h -+-=')1ln()(，又因 222)()()(11 )(x t x x t t x x t x t x t x t h ---=--- ='0)()()(22 2<--=---=x t t x x t t tx x t x .所以， x t x t x t G t G t h -+ -='= )1ln()()()(关于t 单调递减，且0)(lim =∞→t h t .故),1[+∞∈?t ，有 0)(>t h ，即0)()()(>?='t h t G t G .故)(t G 在),1[+∞单调增加，从而， N n ∈? )1()1 1()1()(1 +=+-<-=+n G n x n x n G n n . 所以)()1 1()1()(11 11x f x n x x n x x f n n n n +-+-=+-<-=αα.因此N n ∈?， 1)()(|)(|--=≤=αx e x F x f x f x n n ，),0(+∞∈x .. 因为1)(--=αx e x F x 在),0(+∞上可积，由lebesgue 控制收敛定理， ???+∞--+∞∞→-∞→===-),0(1),0(),0(1 )(lim )1(lim dx x e dx x f dx x n x x n n n n n αα. 12.设+∞ |lim =+?∞→dx f f E k k k . 证明：)(?0>?σ，N k ∈?，因为)1|(|]||1||[ σ σσ-≥=≥+k k k f E f f E .因为0 ?k f （在E 上），所以， 0)1|(|lim )||1||{ lim =-≥=≥+∞→∞ →σ σσk k k k k f mE f f mE .故在E 上， 0| |1| |?+k k f f . 又因为，N k ∈?， 1| |1| |≤+k k f f 且+∞ 00||1| |lim ==+?? ∞→E E k k k dx dx f f . )(?对于0>?σ，因≤+= ≥+≤ ?≥E f E k k dx f mE )|(|1)|(|10σ σ σ σσ σ ?≥+E f E k k k dx f f )|(|||1| |σ)(0∞→→k . 故，0)|(|lim 10≤≥-≤ ∞ →δσσ k k f mE .从而0)|(|lim =≥∞→δk k f mE .即0?k f . §4.2 lebesgue 积分极限定理 一．Levi 定理（非负可测函数序列的积分与极限可交换性） 二．lebesgue 控制收敛定理. 定理4（定理的绝对连续性定理）若f 在E 上可积，则0>?ε，0>?δ，E A ??： δ fdx . 证明：因为f 可积，所以||f 可积（只需证：0>?ε，ε A fdx ） 0>?ε，+∞<=??∞ →E E m dx f dx f m ||||lim .N m ∈?,=-≤??m E E dx f dx f ||||0 4 ||||ε < -??m E E dx f dx f .又因为?? = ∞ →m m E E e l dx f dx f |||}{|lim .所以N e >?，使 4 ]|}{||[||}{|||0ε < -=-≤???dx f dx f dx f dx f e E E e E m m m . `要找0>?δ，使E A ??，δ ??? -m m E A E E A A dx f dx f dx f ||||||) ( ???+ -+ -m m m E A e E A e E E A dx f dx f f dx f |}{|]|}{||[|||) (=+ + < ?m E A edx 4 4 ε ε )(2 m E A m e ?+ε εε ε =? +≤ e e 22. 定理5（lebesgue 控制收敛定理）设 （i ）)(x f m ， ,2,1=m 是E 上可测函数序列. (ii) 存在非负可积函数)(x F 使得N m ∈?，)(|)(|x F x f m ≤ ].[.E e a . (iii) f f m ? 0(>?ε,0}|)()(|{lim =≥-∞ →εx f x f x mE m l .则f 在E 上可积，并且 ??=∞ →E E m l fdx dx x f )(lim . 基础知识复习 lebesgue Th （P60，定理4） Riesz Th （P61，定理5） )()(x f x f m → ?].[.E e a f f E m ? ?存在子列)()(:}{x f x f f i i m m → ].[.E e a lebesgue 控制收敛定理的证明： 因为f f E m ?，由Riesz Th ，存在子列f f i m → ].[.E e a .因此，f 在E 上可测.又因 为N i ∈?，F f i m ≤||.].[.E e a ，所以F f ≤|| ].[.E e a ，故||f 在E 上可积，从而，故f 在 E 上可积，下证：??=∞ →E E m m dx x f x f )()(lim . （1）先证：+∞ →E E m m dx x f x f )()(lim .0>?ε,N m ∈?,记 }) 1(2|)()(|{+≥ -=mE x f x f x E E m m ε .则=-≤-???E m E E m dx f f fdx dx f |||| ??-+--E m E E m dx f f dx f f m ||||??? +++≤ -E E m E E dx f dx f dx mE m m ||||) 1(2ε ??+< +-+≤ m m E E m Fdx Fdx E E m mE 22 2)() 1(2ε ε . 因为)(x F 在E 上可积，由积分的绝对连续性，0>?δ，使E A ??，δ ?< A Fdx 4 ε . 又因为0}) 1(2|)()(|{lim lim =+≥ -=∞ →∞ →mE x f x f x mE mE m m m m ε ，所以N m ∈?0， 0m m ≥?时，有δ m E Fdx 4 ε .从而εε ε =? +< -? ?4 22 || E E m fdx dx f . 即，??=∞ →E E m m fdx dx f lim . （2）再证：+∞=mE 时，也有??=∞ →E E m m fdx dx f lim . 0>?ε,因为??=∞ →E E m dx x F Fdx m )(lim ，所以N M ∈?，有 4 ||ε < = -???-m m E E E E Fdx Fdx Fdx . 则≤-+-≤-=-?????-|)(||)(| |)(||| m m E m E E m E m E E m dx f f dx f f dx f f fdx dx f |)(|||)||(|??-++-m m E m E E m dx f f dx f f |)(||2 ??-+≤-m m E m E E dx f f Fdx |)(|2 ?-+< m E m dx f f ε . 因为??= ∞ →m m E E m m fdx dx f lim （由1的证明） ，所以N m ∈?0 ，0m m ≥?有 2 |)(|ε < -?m E m dx f f .即，εε ε =+ < -? ?2 2 || E e m fdx dx f .从而，.lim ??=∞ →E e m m fdx dx f 推论（lebesgue 有界收敛定理）.设 （i ）+∞ （ii ）N m ∈?，k x f m ≤|)(|（常数）].[.E e a 且)(x f m 在E 上可测 （iii ）f x f E m ?)( 则)(x f 在E 上可积，且??=∞ →E E m m dx x f dx f )(lim . 定理6. )(x f 在],[b a 上-R 可积?)(x f 在],[b a 上的间断点集是一个零测集. 三．vital 定理. 定义1.设E 是可测集，F 是E 上的一簇可积函数，称F 是E 上的积分等度绝对连续函 数簇，如果0>?ε，0>?δ，δ fdx . 基本性质：设E 是可测集，F 是E 上的一簇可积函数，则F 在E 上是积分等度绝对连 续的0>??ε，0>?δ，δ fdx . 证明：)(?0>?ε，因为F 在E 上是积分等度绝对连续，所以0>?δ， δ fdx . 记}0)(|{≥=+x f x E A A ，}0)(|{<=- x f x E A A ，则δ<+mA 且δ<- mA . 所以，εε ε =+ < +≤- = += ? ? ? ? ??? - + - + - + 2 2 | || ||||||A A A A A A A fdx fdx fdx fdx dx f dx f dx f . )(?直接的. 定理7.(vital 定理).设 （i ）+∞ （ii ）∞=1)}({n n x f 是 E 上积分等度绝对连续函数簇. （iii ）f x f E m ?)(. 则)(x f 在E 上可积，且 ??∞ →=E n n E dx f dx f lim . 证明：先证：f 在E 上可积.(找一个可积函数)(x F ，使得)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a （1）先证：N ∈?i ，N ∈?i N ，使得i N n m ≥>?，恒有? ≤ -E i n m dx x f x f 21 |)()(|. 事实上，N ∈?i ，取2 21+= i ε，由∞=1}{n n f 在 E 上积分等度绝对连续性，0>?i δ)21(i i ≤δ使得i E A ??，i mA δ<时，N ∈?n ，? +≤ A i n dx x f 2 21|)(|. 记}) 1(21 |)()(|{)(2 +> -=+mE x f x f x E i E i n n }) 1(21 |)()(|{)(1+> -=+mE x f x f x E i E i m n nm ，则)()()(i E i E i E m n nm ?. 因为f f n ?，所以0)(lim =∞ →i mE n n .所以对于0>i δ，N ∈?i N ，i N n ≥?，恒有 2 )(i n i mE δ< ，则i N n m ≥>?时，i i i m n nm i mE i mE i mE δδδ=+ < +≤2 2)()()(.所以 ≤-+-≤ -???-) () (|)()(||)()(||)()(|i E n m i E E n m E n m nm nm dx x f x f dx x f x f dx x f x f 11) (2) () () (21 21)1(21|||||)()(|++-+?+++≤ + ≤ -????i i i E E m i E n i E m i E E n m nm nm nm nm dx mE dx f dx f dx x f x f i i i nm i i E E m mE 2 1 2121)(()1(21111+<++-++++.即（1）为真. 又因为f f n ?，由R i e s z 定理，)({x f n 有子列)({x f i n 使)({lim )(x f x f i n i ∞ →=， ].[.E e a .不失一般性，N ∈?i ，设i i N n ≥，于是，∑∞ =+-= +1 )()()(()(11 i n n n x f x f x f x f i i ].[.E e a . 令∑∞ =+-= +1 )()()(()(11 i n n n x f x f x f x F i i . (2)再证：)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a 且? +∞ Fdx .事实上， |)()()((||)(|1 11∑∞ =+-=+i n n n x f x f x f x f i i |)(||()(||1 11∑∞ =+-≤+i n n n x f x f x f i i )(x F = ].[.E e a 由lebesgue 基本定理（第82页，定理2），有dx x f dx x f x f Fdx i E n E n n E i i |)(||()(|| 111 ∑??? ∞ =+-≤+ +∞<+≤?∑ ∞ =dx x f E n i i |)(|21 11 .从而)(x F 在E 可积，又由)(|)(|x F x f ≤ ].[.E e a .f 在E 上可积. 最后证：??= ∞ →E E n n fdx dx f lim . 0>?ε,因为f 在E 上可积，由积分的绝对连续性，0>?δ，E A ??：δ 有 3 ||ε < ?A dx f .取充分大的自然数0i 使 },3min{2 10 δε < +1 000 2 12 )(i i n i mE ，从而，dx f dx f f dx f dx x f i E n i E E n E E n n n ????+ -≤ --) () (00|||||)(| dx f i E n ?+ ) (0||321)(() 1(212 020ε++-+≤ ++i n i i E E m mE 321212200ε++≤++i i 333εεε++=ε=. 找一个可积函数)(x F 使得)(|)(|x F x f ≤].[.E e a .因为f f n ?，由Riesz 定理，存在 子列：f f i n →].[.E e a .于是∑∞ =+-= +1 )()()(()(11 i n n n x f x f x f x f i i ].[.E e a .则≤)(x f |)(||)()(|1 11 ∑∞ =+-+i n n n x f x f x f i i ].[.E e a . 记|)(||)()(|)(1 11 ∑∞ =+-= +i n n n x f x f x f x F i i .则∑??∞ =+-=+1|)()(|1i E n n E dx x f x f Fdx i i dx x f E n i ?|)(|. 若N ∈?i ，i E n n dx x f x f i i 21 |)()(|1< -? + ，则+∞ ，即)(x F 可积. ? )(x f 在E 可积. 小学三年级数学思维训练(上册) 第三讲上楼梯问题 有这样一道题目：如果每上一层楼梯需要1分钟，那么从一 层上到四层需要多少分钟？如果你的答案是4分钟，那么你 就错了.正确的答案应该是3分钟。 为什么是3分钟而不是4分钟呢？原来从一层上到四层，只 要上三层楼梯，而不是四层楼梯。 下面我们来看几个类似的问题。 例1 裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去 最后一段？ 分析如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天 就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢 子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最 后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一 天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第 三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，…… 我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少1.因此， 只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了。 解：16米中包含2米的个数：16÷2=8（个） 剪去最后一段所用的天数：8-1=7（天） 答：第七天就可以剪去最后一段。 例2 一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速度切成5 段，需要多少秒？ 可以从中发现规律：切的次数总比切的段数少1.因此，在24 秒内切了4段，实际只切了3次，这样我们就可以求出切一 次所用的时间了，又由于用同样的速度切成5段；实际上切 了4次，这样切成5段所用的时间就可以求出来了。 解：切一次所用的时间：24÷（4-1）=8（秒） 切5段所用的时间：8×（5-1）=32（秒） 答：用同样的速度切成5段，要用32秒。 例3 三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个人一排，排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔1米，这支队伍 长多少米？ 解：因为每4人一排，所以共有：120÷4=30（排） 30排中间共有29个间隔，所以队伍长：1×29=29（米） 答：这支队伍长29米。 例4 时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几 秒钟敲完？ 分析如果盲目地计算：12÷4=3（秒），3×6=18（秒），认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下图： 时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：12÷3=4（秒）；时钟敲6下，其间共有5个间隔，所用时间为： 4×5=20（秒）。 解：每次间隔时间为：12÷（4-1）=4（秒） 敲6下共用的时间为：4×（6-1）＝20（秒） 答：时钟敲6下共用20秒。 例5.某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八 《锅炉原理》习题库参考答案 第一章 基本概念 1. 锅炉容量：指锅炉的最大长期连续蒸发量，常以每小时所能供应蒸汽的吨数示。 2. 层燃炉：指具有炉箅（或称炉排），煤块或其它固体燃料主要在炉箅上的燃料层内燃烧。 3. 室燃炉：指燃料在炉膛空间悬浮燃烧的锅炉。 4. 旋风炉：指在一个以圆柱形旋风筒作为主要燃烧室的炉子，气流在筒内高速旋转，煤粉气流沿圆筒切向送入或由筒的一端旋转送入。较细的煤粉在旋风筒内悬浮燃烧，而较粗的煤粒则贴在筒壁上燃烧。筒内的高温和高速旋转气流使燃烧加速，并使灰渣熔化形成液态排渣。 5. 火炬―层燃炉：指用空气或机械播撒把煤块和煤粒抛入炉膛空间，然后落到炉箅上的燃烧方式的炉子。 6. 自然循环炉：指依靠工质自身密度差造成的重位压差作为循环推动力的锅炉。 7. 多次强制循环炉：指在循环回路中加装循环水泵作为主要的循环推动力的锅炉。 8. 直流锅炉：指工质一次通过蒸发受热面，即循环倍率等于一的锅炉。 9. 复合制循环炉：指在一台锅炉上既有自然循环或强制循环锅炉循环方式，又有直流锅炉循环方式的锅炉。 10. 连续运行小时数：指两次检修之间运行的小时数。 11. 事故率＝%100?+事故停用小时数 总运行小时数事故停用小时数； 12. 可用率＝ %100?+统计期间总时数备用总时数运行总时数； 13. 钢材使用率: 指锅炉每小时产生一吨蒸汽所用钢材的吨数。 一、基本概念 1. 元素分析：指全面测定煤中所含全部化学成分的分析。 2. 工业分析：指在一定的实验条件下的煤样，通过分析得出水分、挥发分、固定碳和 灰分这四种成分的质量百分数的过程。 3. 发热量：指单位质量的煤在完全燃烧时放出的全部热量。 4. 结渣：指燃料在炉内燃烧时，在高温的火焰中心，灰分一般处于熔化或软化状态， 具有粘性，这种粘性的熔化灰粒，如果接触到受热面管子或炉墙，就会粘结于其上，这就称为结渣。 5. 变形温度：指灰锥顶变圆或开始倾斜； 6. 软化温度：指灰锥弯至锥底或萎缩成球形； 7. 熔化温度：指锥体呈液体状态能沿平面流动。 二、问答题 1. 煤的元素分析成分有哪些？ 答：煤的元素分析成分包括：碳、氢、氧、氮、硫、灰分和水分。 2. 煤的工业分析成分有哪些？ 答：煤的元素分析成分包括：水分、挥发分、固定碳和灰分。 3. 挥发性物质包括一些什麽物质？ 答：挥发性物质主包括：各种碳氢化合物、氢、一氧化碳、硫化氢等可燃气体组成，此外，还有少量的氧、二氧化碳、氮等不可燃气体。 第三章 3.1 设二元对称信道的传递矩阵为? ?????????32313132 (1) 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求H(X), H(X/Y), H(Y/X)和I(X;Y)； (2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布； 解： 1) symbol bit Y X H X H Y X I symbol bit X Y H Y H X H Y X H X Y H Y H Y X H X H Y X I symbol bit y p Y H x y p x p x y p x p y x p y x p y p x y p x p x y p x p y x p y x p y p symbol bit x y p x y p x p X Y H symbol bit x p X H j j i j i j i j i i i / 062.0749.0811.0)/()();(/ 749.0918.0980.0811.0)/()()()/() /()()/()();(/ 980.0)4167.0log 4167.05833.0log 5833.0()()(4167 .03 2 413143)/()()/()()()()(5833.031 413243)/()()/()()()()(/ 918.0 10 log )3 2 lg 324131lg 314131lg 314332lg 3243( ) /(log )/()()/(/ 811.0)41 log 4143log 43()()(222221212221221211112111222=-==-==+-=+-=-=-==?+?-=-==?+?=+=+==?+?= +=+==??+?+?+?-=-==?+?-=-=∑∑∑∑ 2) 2221122 max (;)log log 2(lg lg )log 100.082 /3333 mi C I X Y m H bit symbol ==-=++?=其最佳输入分布为1 ()2 i p x = 3-2某信源发送端有2个符号，i x ，i ＝1，2；()i p x a =，每秒发出一个符号。接受端有3 种符号i y ，j ＝1，2，3，转移概率矩阵为1/21/201/21/41/4P ?? =? ? ?? 。 （1） 计算接受端的平均不确定度； （2） 计算由于噪声产生的不确定度(|)H Y X ； （3） 计算信道容量。 一.笑 1.D D 新物质代替旧物质的过程，比喻新的事物滋生发展，代替旧的事物 2．这两句话意思一样，但第 2 种说法既简明又押韵，便于传、记，也更加生动。 3. 第 1 段：笑是人们心情愉快的表现。第 2 段：笑对人体各部分都有好处，加强了各部分的运动。第 3 段：笑一笑，十年少。第 4 段：希望人人笑口常开。 二． 1. ①收藏②耐人寻味 2．①更加②松懈 3．丰子恺漫画大师 4．“这”指的是丰子恺漫画中的人物有的没有五官，有的脸上只有两条横线 5．宁可――我宁可得不到 100 分，也决不在考试时作弊。 6．⑤④ 7．第 2 节和第 3 节之间 8．精益求精 3．关心 1.“，。”。。 2．ｊǐｎｓｈì语重心长番 3. 第 1 段(第 1 节)：教室里，同学们正专心听昌炜念书，思考问题。第 2 段(第 2～10 节)：忽然，周老师社昌炜暂停，耐心纠正了汪乃靖的看书姿势，并教育我们要保护视力。第 3 段(第 11 节)：周老师这样关心我们，“我”心里格外激动。 4.周老师纠正一个同学的坐姿，教育同学们要保护好视力，既亲切幽默又严格要求，从这些地方可看出她关心同学。 5.因为“我”觉得周老师不仅教我们学习知识，还关心我们的身体，关心我们的将来，她对学生很负责任，所以“我”心里格外激动。 4．让马 1．ｙáｒùｎ 2．①以自己的行动做榜样。②没有办法。 3．第 1 段(第 l 节)：朱总司令无微不至地关怀战士。长征途中行军、宿营事事关心战士。第 2 段(第 2～5 节)：有一次，骑兵警卫班长的马被打死，脚碰伤了，朱总司令坚决把自己的马让给他骑，自己步行。第 3 段(第 6 节)：骑兵警卫班的战士从此见了伤病员都争先恐后地让马。 4．因为：①胡班长的马在一次战斗中被打死了；②行军中他的脚碰伤了，走路一瘸一拐，快掉队了。 5.赞美了朱总司令平易近人，像慈父般关心每一个战士的崇高品德。 5．小草、砖块和高墙 1． 2. ①小草砖块高墙 (高墙以为小草)的生活是自己所赐 (以为砖块)是自己身体的一部分 (而实际上，高墙)靠小草的保护、砖块齐心合力的支撑才高高地立于天地之上②被人运走，铺咸了路种子落入大地，被春风吹醒，继续奉献着绿色永远消失在天地之间 3．你是靠了一块块砖的奉养才变得如此富态的。 4．砖块。从“从高墙脚下传出来”这句话看出来。小草对高墙的作用：缠绕，使之成为一个整体；身体蔽护墙，削弱风雨对墙的冲击侵蚀。 5．第 2 段：小草蔽护高墙，砖块支撑着高墙，高墙却看不起它们，赶它们走。第 3 段：砖块被人铺成路，小草继续奉献着绿色，高墙则永远消失在天地之间。 6．懂得了个人的成功离不开集体的支持，不要目中无人，齐心合力才能将事干好。 6. 1.第 1 段：古代才子唐伯虎写文章和画画都很出色。第 2 段：唐伯虎答应和青年农夫赛画，想借此嘲笑他。唐伯虎画的牡丹引来彩蝶而青年农夫的画使唐伯虎误以为真，唐伯虎很羞愧。第 3 段：从此，唐伯虎更加勤奋，画技大进。 2．因为青年农夫画的窗和帘子使唐伯虎误以为真。 3．自己的画虽逼真，可只能骗彩蝶，而农夫的画却使自己这个懂画的人都以为是真的，说明农夫比唐伯虎的画技更高。 4.赛画 5．①人外有人，天外有天。有了成绩不可骄傲。②取人之长，不懈努力，才能使自己不断进步。③要敢于向权威挑战。 7 威尼斯 1.曲ｑū（√）涨ｚｈǎｎ?（√）乘ｃｈ?ｎ?（√） 2.B 3.C 8. 1.争气碱 2.①把持和独占。②形容高兴得失去常态。 3.串(丨)部笔顺： 4.第 l 节：用盐制碱法是欧洲人最早发明的，这项技术被欧洲一些国家和英、美两国资本家垄断。第2 节：旧中国，劳动人民没钱买高价碱，生活很困难。第 3 节；我国化学家侯德榜反复试验，使我国生产的“红三角”牌纯碱在世界获金奖，为中国人争了气。 5.用盐制碱法是欧洲人最早发明的，这项技术被欧洲一些国家和英、美两国资本家垄断。旧中国劳动人民 锅炉专业考试题库 理论部分： —、填空题： 安全部分： 1.消防工作的方针是（预防为主），（防消结合）。 4.生产现场禁火区内进行动火作业，应同时执行(动火工作票制度)。 5.工作延期手续只能办理一次。如需再延期，应重新签发(工作票)，并注明(原因)。 8.安全电压额定值的等级为：（42）伏、（36）伏、（24）伏、（12）伏、（6）伏 10.工作票不准任意涂改。涂改后上面应由（签发人或工作许可人）签名或盖章，否则此工作票应无效。 11.许可进行工作前，应将一张工作票发给（工作负责人），另一张保存在（工作许可人处）。 12.全部工作结束后，工作人员退出工作地点，工作负责人和运 行班长或值长应在工作票上（签字注销）。注销的工作票应送交 所属单位的领导。工作票注销后应保存（三个月）。 13.工作如不能按计划期限完成，必须由工作负责人办理工作（延期手续）。 14.在没有脚手架或在没有栏杆的脚手架上工作，高度超过（1.5） 米时，必须使用安全带，或采取其他可靠的安全措施。 。较大的工具应用绳栓在牢固的构件高处作业应一律使用（工具袋）15. 上，不准随便乱放，以防止从高空坠落发生事故。 16.在进行高处工作时，除有关人员外，不准他人在工作地点的下面(通行或逗留)，工作地点下面应有(围栏或装设其他保护装置)，防止落物伤人。 钳工部分： 1、内径千分尺测量范围很有限，为扩大范围可采用（加接长杆）的方法。 2、水平仪的读数方法有（相对）读数法和（绝对）读数法。 3、工艺基准按其作用可分为（装配）基准、（测量）基准、（定位）基准、（工序）基准。 4、测量方法的总误差包括（系统）误差和（随机）误差。 5、划线作业可分两种即（平面划线）；（立体划线）。 6、锉刀的齿纹有（单齿纹）和（双齿纹）两种。 7、锉刀分（普通锉）；（特种锉）；（什锦锉) 三类。 8、通过锉削，使一个零件能放入另一个零件的孔或槽内，且松紧合乎要求，这项操作叫（锉配）。 9、钻孔时，工件固定不动，钻头要同时完成两个运动、。 11、麻花钻头主要由几部分构成（柄部）；（颈部）；（工作部分）。 12、用丝锥加工内螺纹称为（攻丝）用板牙套制外螺纹称为（套 《信息论与编码》-曹雪虹-课后习题答案 第二章 错误!未定义书签。2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ， 转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态 概率。 解：状态图如下 状态转移矩阵为： 设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3 由1231WP W W W W =??++=?得1231132 231231 112331223231W W W W W W W W W W W W ?++=???+=???=???++=? 计算可得1231025925625W W W ?=???= ?? ? =?? 2.2由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8， (0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。画出 状态图，并计算各状态的稳态概率。 解：(0|00)(00|00)0.8p p ==(0|01)(10|01)0.5p p == 于是可以列出转移概率矩阵：0.80.20 0000.50.50.50.500000.20.8p ?? ? ?= ? ??? 状态图为： 设各状态00，01，10，11的稳态分布概率为W 1,W 2,W 3,W 4有 41 1i i WP W W ==???=??∑得131 132 24324412340.80.50.20.50.50.20.50.81W W W W W W W W W W W W W W W W +=??+=??+=??+=?+++=??计算得到1234514171 75 14W W W W ? =?? ?=?? ?=???= ? 2.3同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1)“3和5同时出现”这事件的自信息； (2)“两个1同时出现”这事件的自信息； (3)两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4)两个点数之和（即2,3,…,12构成的子集）的熵； (5)两个点数中至少有一个是1的自信息量。 解： (1) (2) (3) 两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 部编版三年级语文(下册)期末试题及答案（各版本） (时间：60分钟满分：100) 班级：姓名：分数： 一、读拼音，写词语。 jiéshěng shèjìjiùjìjīng qiǎo chuàng zào zhìhuìbǎo cún jiǎn qīng 二、用组词语的方式区分它们。 牧（_________）肠（_________）透（_________）镇（_________） 收（_________）场（_________）秀（_________）真（_________） 三、根据课文的内容连一连，然后再写一写。 秋天的雨 是一把钥匙果实累累的秋天 有一盒五彩缤纷的颜料动物忙碌的秋天 藏着非常好闻的气味清凉温柔的秋天 吹起了金色的小喇叭多彩美丽的秋天 四、把下列词语补充完整。 画（____）添（____）守株（____）（____）（____）（____）蛇影刻（____）求（____）自相（____）（____）（____）（____）盗铃邯郸（____）（____）杞人（____）（____）（____）（____）之蛙五、选词填空。 突然虽然忽然仍然居然 (1)真没想到，班长林明在这次期中考试中成绩（_______）这么差。 (2)（_______）天气寒冷，但是爷爷（_______）坚持去公园锻炼。 (3)父亲（_______）站定，朝幽深的雾蒙蒙的树林，上上下下地望了又望，用鼻子闻了又闻。 (4)我刚走到后院的枣树旁边，（_______）看见一个圆乎乎的东西，正缓慢地往树上爬…… 六、句子练习。 1．例：国王的御厨里有两只罐子，一只是陶的，一只是铁的。 ①桌子上有两本书，一本是____________，一本是________________。 ②_____________________________________________。 2．例：老爷爷高兴极了，他那满脸的皱纹都舒展开了。 ①那个人生气极了，他那__________________________________________________ ②_____________________________________________。 3．人们连．铁罐的影子也．没有见到。（用加点的字写一句话） _____________________________________________。 4．你怎么敢和我相提并论！（改成陈述句） _________________________。 5．陶罐被农民埋在土里。（改为“把”字句） _________________________。 七、日积月累。 1.课堂上开展学习讨论活动，让我们在你来我往的辩论中认识了深刻的道理，这正如俗语中所说：“__________，__________。” 实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。 锅炉专业考试题 一、填空题 1.过热蒸汽温度超出该压力下的（饱和）温度的（度数）称为过热度。 2.水冷壁的传热过程是：烟气对管外壁（辐射换热），管外壁向管内壁（导热），管内壁 与汽水之间进行（对流放热）。 3.锅炉受热面外表面积灰或结渣，会使管内介质与烟气热交换时的热量（减弱），因为灰渣的 （导热系数）小。 4.锅炉吹灰前应适当提高燃烧室（负压），并保持（燃烧）稳定。 5.冲洗水位计时应站在水位计的（侧面），打开阀门时应（缓慢小心）。 6.“虚假水位”现象是由于（负荷突变）造成（压力变化）引起锅水状态发生改变而引起 的。 7.强化锅炉燃烧时，应先增加（风）量，然后增加（燃料）量。 8.锅炉汽包水位三冲量自动调节系统，把（蒸汽流量）作为前馈信号，（给水流量）作为 反馈信号进行粗调，然后把（汽包水位）作为主信号进行校正。 9.循环倍率是指进入到水冷壁管的（循环水量）和在水冷壁中产生的（蒸气量）之比值。 10.锅炉排污分为（定期）排污和（连续）排污两种。 二、选择题 1.锅炉吹灰前，应将燃烧室负压（）并保持燃烧稳定。 （A）降低；（B）适当提高；（C）维持；（D）必须减小。答案:B 2.（）开启省煤器再循环门。 （A）停炉前；（B）熄火后；（C）锅炉停止上水后；（D）锅炉正常运行时。答案:C 3.锅炉正常停炉一般是指（）。 （A）计划检修停炉；（B）非计划检修停炉；（C）因事故停炉；（D）节日检修。答 案:A 4.当机组突然甩负荷时，汽包水位变化趋势是（）。 （A）下降；（B）先下降后上升；（C）上升；（D）先上升后下降。答案:B 5.在锅炉三冲量给水自动调节系统中，（）是主信号。 （A）汽包水位；（B）给水流量；（C）蒸汽流量；（D）给水压力。答案:A 2-1.解：该一阶马尔可夫信源，由转移概率构成的转移矩阵为： 对应的状态图如右图所示。设各符号稳定概率为：1p ，2p ，3p 则可得方程组： 1p = 211p +312p +313p 2p =211p +323p 3p =3 22p 1p +2p +3p =1 解得各符号稳态概率为： 1p = 2510，2p =259，3p =25 6 2-2.解：该马尔可夫信源的符号条件概率矩阵为： 状态转移概率矩阵为： 对应的状态图如右图所示。 设各状态的稳态分布概率为1W ,2W ,3W ,4W ,则可得方程组为： 1W =0.81W +0.53W 2W =0.21W +0.53W 3W =0.52W +0.24W 4W =0.52W +0.84W 1W +2W +3W +4W =1 解得稳定分布的概率为: 1W = 145，2W =142，3W =142，4W =14 5 2-3.解：（1）“3和5同时出现”事件的概率为： p(3,5)= 18 1 故其自信息量为： I(3,5)=-㏒2 18 1 =4.17bit （2）“两个1同时出现”事件的概率为： p(1,1)= 36 1 故其自信息量为： I(1,1)=- ㏒2 36 1 =5.17bit （3）两个点数的各种组合构成的信源，其概率空间为： 则该信源熵为： H(x 1)=6× 36 1 lb36+15×181lb18=4.337bit/事件 （4）两个点数之和构成的信源，其概率空间为： 则该信源的熵为： H(x 2)=2× 361 lb36+2×181lb18+2×121lb12+2×91lb9+2×365lb 536+6 1lb6 =3.274bit/事件 （5）两个点数中至少有一个是1的概率为： p(1)= 36 11 故其自信息量为： I(1)= -㏒2 36 11 =1.7105bit 2-7.解：（1）离散无记忆信源的每个符号的自信息量为 I(x 1)= -㏒2 83 =1.415bit I(x 2)= -㏒241 =2bit I(x 3)= -㏒241 =2bit I(x 4)= -㏒28 1 =3bit （2）由于信源发出消息符号序列有12个2，14个0，13个1，6个3，故该消息符 号序列的自信息量为： I(x)= -㏒2( 8 3)14 (41)25 (81)6 =87.81bit 平均每个符号携带的信息量为： L H (x)= 45 ) (x I =1.95bit/符号 2-10 解：用1x 表示第一次摸出的球为黑色，用2x 表示第一次摸出的球为白色，用1y 表示第二次摸出的球为黑色，用2y 表示第二次摸出的球为白色，则 (1)一次实验包含的不确定度为： H(X)=-p(1x )lbp(1x )-p(2x )lbp(2x )=- 13lb 13-23lb 2 3 =0.92 bit (2)第一次实验X 摸出的球是黑色，第二次实验Y 给出的不确定度: H(Y|1x )=-p(1y |1x )lb p(1y |1x )-p(2y |1x )lb p(2y |1x ) = - 27lb 27-57lb 57 = 0.86 bit (3)第一次实验X 摸出的球是白色，第二次实验Y 给出的不确定度: 第二章燃料与燃烧计算 一、名词解释 1、发热量：单位质量的燃料在完全燃烧时所放出的热量。 2、高位发热量：1kg燃料完全燃烧后所产生的热量，包括燃料燃烧时所生成的水蒸气的汽化潜热。 3、低位发热量：高位发热量中扣除全部水蒸气的汽化潜热后的发热量。 4、标准煤：规定收到基低位发热量Qnet，ar =29308kJ/kg的煤。 6、煤的挥发分：失去水分的干燥煤样置于隔绝空气的环境下加热至一定温度时，煤中的有机物分 解而析出的气态物质的百分数含量。 7、油的闪点：油气与空气的混合物与明火接触发生短暂的闪光时对应的油温。 、不完全燃烧：指燃料的燃烧产物中还含有某些可燃物质的燃烧。 10、理论空气量：1kg收到基燃料完全燃烧，而又无过剩氧存在时所需的空气量。 11、过量空气系数：实际供给的空气量与理论空气量的比值。 12、理论烟气量：供给燃料以理论空气量，燃料达到完全燃烧，烟气中只含有二氧化碳、二氧化 硫、水蒸气及氮气四中气体时烟气所具有的体积 13、烟气焓：1kg固体、液体燃料或标准状态下1m3气体燃料燃烧生成的烟气在等压下从0℃加热 到某一温度所需的热量。 二、填空 1、煤的元素分析法测定煤的组成成分有碳、氢、氧、氮、硫、灰分、水分，其中碳、氢、硫是可燃成分，硫是有害成分。 2、煤的工业分析成分有水分、挥发分、固定碳和灰分。 3、表征灰的熔融特性的四个特征温度为变形温度、软化温度、半球温度和流动温度。 4、煤的炭化程度越深，其挥发分含量越少，着火温度越高，点火与燃烧就越困难。 5、煤的成分分析基准常用的有收到基、空气干燥基、干燥基和干燥无灰基。 6、理论水蒸气体积，包括燃料中氢完全燃烧生成的水蒸气、燃料中水分受热蒸发形成的 水蒸气、理论空气量带入的水蒸气三部分。 7、随同理论空气量V k 0带进烟气中的水蒸气体积为V k0 m3/kg。 8、烟气成分一般用烟气中某种气体的所占干烟气总体积的体积百分数含量来表示。 9、完全燃烧方程式为(1+β)RO2+O2=21 ，它表明当燃料完全燃烧时，烟气中含氧量与三原子气体量之间的关系，当α=1时，其式变为(1+β)RO2max=21 。 14、算α的两个近似公式分别为、。两式的使用条件是CO=0 、干烟气含有的氮气接近79%(N2=79%/N ar可忽略) 、β很小。 三、选择 1、在下列煤的成分中，能用干燥无灰基表示的成分有。(1)(2)(3)(5) （1）碳（2）氧（3）挥发分（4）灰分（5）固定碳 2、煤的收到基低位发热量大小与煤中下列成分有关。(1)(2)(4)(5)(6) （1）C ar （2）O ar （3）N ar （4）H ar （5）S ar （6）M ar 3、煤被一场大雨淋湿后，煤的高位发热量。(2) （1）升高（2）降低（3）不变 4、煤被一场大雨淋湿后，煤的干燥基碳的百分含量。(3) （1）升高（2）降低（3）不变 5、下列各煤种中，对锅炉的安全工作危害最大的是。 (3) A、Q net，ar =31320kJ/kg，S ar=% B、Q net，ar =29310kJ/kg，S ar=% C、Q net，ar =25435kJ/kg，S ar=% 6、煤的元素分析成分中收到基碳是。(4) （1）固定碳（2）焦碳（3）碳化物中的碳 （4）由固定碳和碳化物中的碳组成 7、理论空气量的大小是由元素所决定的。(1)(5)(4)(6)（1）C（2）M（3）A（4）O（5）H（6）S（7）N 《锅炉原理》习题库参考答案 第一章 基本概念 1. 锅炉容量：指锅炉的最大长期连续蒸发量，常以每小时所能供应蒸汽的吨数示。 2. 层燃炉：指具有炉箅（或称炉排），煤块或其它固体燃料主要在炉箅上的燃料层内燃烧。 3. 室燃炉：指燃料在炉膛空间悬浮燃烧的锅炉。 4. 旋风炉：指在一个以圆柱形旋风筒作为主要燃烧室的炉子，气流在筒内高速旋转，煤粉气流沿圆筒切向送入或由筒的一端旋转送入。较细的煤粉在旋风筒内悬浮燃烧，而较粗的煤粒则贴在筒壁上燃烧。筒内的高温和高速旋转气流使燃烧加速，并使灰渣熔化形成液态排渣。 5. 火炬―层燃炉：指用空气或机械播撒把煤块和煤粒抛入炉膛空间，然后落到炉箅上的燃烧方式的炉子。 6. 自然循环炉：指依靠工质自身密度差造成的重位压差作为循环推动力的锅炉。 7. 多次强制循环炉：指在循环回路中加装循环水泵作为主要的循环推动力的锅炉。 8. 直流锅炉：指工质一次通过蒸发受热面，即循环倍率等于一的锅炉。 9. 复合制循环炉：指在一台锅炉上既有自然循环或强制循环锅炉循环方式，又有直流锅炉循环方式的锅炉。 10. 连续运行小时数：指两次检修之间运行的小时数。 11. 事故率＝ %100?+事故停用小时数总运行小时数事故停用小时数； 12. 可用率＝%100?+统计期间总时数 备用总时数运行总时数； 13. 钢材使用率: 指锅炉每小时产生一吨蒸汽所用钢材的吨数。 第二章 一、基本概念 1. 元素分析：指全面测定煤中所含全部化学成分的分析。 2. 工业分析：指在一定的实验条件下的煤样，通过分析得出水分、挥发分、固定碳和灰分这四种成分的质量百分数的过程。 3. 发热量：指单位质量的煤在完全燃烧时放出的全部热量。 4. 结渣：指燃料在炉内燃烧时，在高温的火焰中心，灰分一般处于熔化或软化状 态，具有粘性，这种粘性的熔化灰粒，如果接触到受热面管子或炉墙，就会粘结于其上，这就称为结渣。 5. 变形温度：指灰锥顶变圆或开始倾斜； 6. 软化温度：指灰锥弯至锥底或萎缩成球形； 7. 流动温度：指锥体呈液体状态能沿平面流动。 二、问答题 1. 煤的元素分析成分有哪些？ 答：煤的元素分析成分包括：碳、氢、氧、氮、硫、灰分和水分。 2. 煤的工业分析成分有哪些？ 答：煤的元素分析成分包括：水分、挥发分、固定碳和灰分。 3. 挥发性物质包括一些什麽物质？ 答：挥发性物质主包括：各种碳氢化合物、氢、一氧化碳、硫化氢等可燃气体组成，此外，还有少量的氧、二氧化碳、氮等不可燃气体。 第三章 一、基本概念 1. 理论空气量:1kg燃料完全燃烧时所需要的最低限度的空气量称为理论空气量。 2. 过量空气系数:实际空气量和理论空气量之比。 3. 理论烟气量：当实际参加燃烧的湿空气中的干空气量等于理论空气量，且1kg 的燃料完全燃烧时产生的烟气量称为理论烟气量。 4. 实际烟气量：供给的空气量大于理论空气量，且使1kg燃料完全燃烧时产生的 烟气量。 5. 理论空气、烟气焓：在定压条件下，将1kg 燃料所需的空气量或所产生的烟气 量从0加热到t℃时所需要的热量。 6. 锅炉有效利用热：指水和蒸汽流经各受热面时吸收的热量。 7. 正平衡法：直接确定输入锅炉的热量和锅炉的有效利用热，然后利用锅炉热效 率定义式计算锅炉热效率的方法。 8. 反平衡法：通过确定锅炉的各项热损失，计算锅炉热效率的方法。 没文化，真可怕！！！ 第三章 3.1 设二元对称信道的传递矩阵为? ?????????32313132 (1) 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求H(X), H(X/Y), H(Y/X)和I(X;Y)； (2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布； 解： 1) symbol bit Y X H X H Y X I symbol bit X Y H Y H X H Y X H X Y H Y H Y X H X H Y X I symbol bit y p Y H x y p x p x y p x p y x p y x p y p x y p x p x y p x p y x p y x p y p symbol bit x y p x y p x p X Y H symbol bit x p X H j j i j i j i j i i i / 062.0749.0811.0)/()();(/ 749.0918.0980.0811.0)/()()()/() /()()/()();(/ 980.0)4167.0log 4167.05833.0log 5833.0()()(4167 .03 2 413143)/()()/()()()()(5833.031 413243)/()()/()()()()(/ 918.0 10 log )3 2 lg 324131lg 314131lg 314332lg 3243( ) /(log )/()()/(/ 811.0)41 log 4143log 43()()(222221212221221211112111222=-==-==+-=+-=-=-==?+?-=-==?+?=+=+==?+?= +=+==??+?+?+?-=-==?+?-=-=∑∑∑∑ 2) 2221122 max (;)log log 2(lg lg )log 100.082 /3333 mi C I X Y m H bit symbol ==-=++?=其最佳输入分布为1 ()2 i p x = 3-2某信源发送端有2个符号，i x ，i ＝1，2；()i p x a =，每秒发出一个符号。接受端有3 种符号i y ，j ＝1，2，3，转移概率矩阵为1/21/201/21/41/4P ?? =???? 。 （1） 计算接受端的平均不确定度； 三年级语文阶梯阅读训练三篇 第一篇囫囵吞枣 古时候，有个人买了一堆水果，有梨也有红枣儿，他坐在路旁大口大口地吃起来。 有个过路的医生看见了，对他说：“喂，小伙子，梨不能多吃呀！这东西对人的牙齿虽然有好处，但吃多了会伤脾的。” 这人就问：“那么，大红枣呢？” 医生回答道：“大红枣儿倒是补脾的，可惜又伤牙齿，也不要多吃。” 这个人左右为难，不知该怎么办才好。他拿起梨看了看，放下了；拿起红枣儿看看，也放下了。他想了想，自言自语地说：“这样吧，我吃梨只用牙齿嚼，不咽到肚子里去，吃大红枣儿就不用嚼，整个儿咽下去。” 浴室他拿起一个枣儿往嘴里一扔，用舌头拨了拨，一仰脖子就吞下去。他哪里知道，囫囵个儿的枣儿到肚里也没法消化，对脾当然也没有好处。 1.选择正确的读音，打“√”。 嚼梨（jiáo jué）囫囵（húlún wùlún） 2.根据上下文的意思，选择正确的解释，在括号里打“√”。 嚼：①咬（）② 细细地咬碎（）③吃（） 咽：①吃（）②慢慢地吃下去（）③吞（） 3.“这个人左右为难，不知该怎么才好。”他为什么会左右为难？ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ __________________ 4.选择正确的答案，对的打“√”。 （1）古时候那个人囫囵吞枣是因为： A.那人听了医生的话才这样做的。（） B.那人听了医生的话，片面理解才这样做的。（） C.那人知道枣的吃法才这样做的。（） （2）医生对那个人劝告的意思是： A.梨和枣对人体健康不利，都不要吃。（） B.梨和枣对人体各有利弊，应该有不同的吃法。（） C.梨和枣对人体各有利弊，不能多吃。（） （3）这篇文章说明了什么？ A.那个人非常傻。（） B.那个人片面理解别人的话，自作聪明，做了蠢事。（） C.那个人只知道枣的好处，不知道梨的好处。（） 5.囫囵吞枣是什么意思？ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _____________________________________________________________ 第二篇卧薪尝胆 第一章集合 早在中学里我们就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此这章的前两节具有复习性质，不过，无限多个集合的并和交，是以前没有接触过的，它是本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。 康托尔在19世纪创立了集合论，对无限集合也以大小，多少来分，例如他断言：实数全体比全体有理数多，这是数学向无限王国挺近的重要里程碑，也是实变函数论的出发点。 实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。 §1 集合的表示 集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法： 在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。 顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。 例1 4，7 ，8，3四个自然数构成的集合。 例2 全体自然数 例3 0和1之间的实数全体 0,1上的所有实函数全体 例4 [] 例5 A,B,C三个字母构成的集合 例6 平面上的向量全体 全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。 1.集合的表示 一个具体集合A 可以通过例举其元素,,a b c L 来定义，可记{},,A a b c =L 也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p 来定义，并记为 A={x ：x 满足条件p} 如例1可以表示为｛4，7，8，3｝例3可以表示为{}:(0,1)x x ∈ 设A 是一个集合，x 是A 的元素，我们称x 属于A ，记作x A ∈，x 不是A 的元素，记作x A ?。 为方便表达起见，?表示不含任何元素的空集，例如 {x ：sin x >1}=? 习惯上，N 表示自然数集，（本书中的自然数集不包含0），Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. 设()f x 是定义在E 上的函数，记()f E ={ ()f x ：x ∈E}，称之为f 的值域。若D 是R 中的集合，则 1()f D -={x :x ∈E ,},称之为D 的原像，在不至 混淆时，{x ：x ∈E ，()f x 满足条件p}可简写成{x :()f x 满足条件p }. 2.集合的包含关系 若集合A 和B 满足关系：对任意x ∈A,可以得到x ∈B ，则成A 是B 的子集，记为A ?B 或B ?A ，若A B 但A 并不与B 相同，则称A 是B 的真子集. 例7. 若()f x 在R 上定义，且在[a,b]上有上界M ，即任意对 x ∈[a,b]有()f x ≤M.用集合语言表示为：[a,b] ?{x ：()f x ≤M}. 用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例. 例8. 若()f x 在R 上连续，任意取定0x ∈R,对任意ε>0,存在δ>0.使得对任 意0 0(,)x x x δδ∈-+有0|()()|f x f x -<ε,即 0000((,))((),())f x x f x f x δδεε-+?-+. 3.集合相等 若集合A 和B 满足关系：A ?B 且B ?A,则称A 和B 相等，记为A=B. 2.1一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =， ()21|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =， ()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。 解：状态图如下 状态转移矩阵为： 1/21/2 01/302/31/32/30p ?? ?= ? ??? 设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3 由1231WP W W W W =??++=?得1231132231231 112331223231W W W W W W W W W W W W ?++=???+=???=???++=? 计算可得1231025925625W W W ?=??? =?? ? =?? 2.2 由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2， (1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。 画出状态图，并计算各状态的稳态概率。 解：(0|00)(00|00)0.8p p == (0|01)(10|01)p p == (0|11)(10|11)0.2p p == (0|10)(00|10)p p == (1|00)(01|00)0.2p p == (1|01)(11|01)p p == (1|11)(11|11)0.8p p == (1|10)(01|10) p p ==小学三年级数学思维训练(上楼梯问题)
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