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椭圆重点题型整理

椭圆

一.椭圆的定义

1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（）

A ．椭圆

B ．直线

C ．线段

D ．圆

2.定点12,F F ，且128F F =，动点P 满足128PF PF +=，则点P 的轨迹是（）

:A 椭圆 :B 圆 :C 直线 :D 线段

3.设定点()3,01-F ，()3,02F ，动点()y x P ,满足条件a PF PF =+21(a ＞)0，则动点

P 的轨迹是（）

A. 椭圆

B. 线段

C. 椭圆或线段或不存在

D. 不存在

4.方程x = （）

:A 圆 :B 椭圆 :C 半圆 :D 半个椭圆

5. 焦点为21,F F 的圆

1259

x y +=上点P ，51=PF ；则=2PF （） :A 5 :B 6 :C 4 :D 10

6.过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ?，那么2ABF ?的周长是（）

A. 22

B. 2

2 D. 1

7.若AB 为过椭圆

110064x y +=左焦点1F 的弦，则2F AB ?（2F 为右焦点）的周长是 . 8．若点P 在椭圆12

=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ?的面积是（） A. 2 B. 1 C. 2

D. 21

9．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．

二.椭圆的几何性质

1.椭圆2

66x y +=的长轴的端点坐标是（）

:A )0,1(± :B )6,0(± :C )0,6(± :D )6,0(±

2．椭圆6322

=+y x 的焦距是（）

A ．2

B ．)23(2-

C ．52

D ．)23(2+

3. 已知椭圆1422=+y m x 的离心率为2

2，则此椭圆的长轴长为。 4．椭圆

14x y m

+=的离心率为12，则m = 。 5.若椭圆

x y m +=的焦距为2，则m 的值是 . 6.若焦点在x 轴上的椭圆

12x y m

+=的离心率为12，则m 等于（）

:A :B 32 :C 83 :D 2

7．方程22

=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（）

A ．),0(+∞

B ．（0，2）

C ．（1，+∞）

D ．（0，1）

8. 点()1,a A 在椭圆12

2=+y x 的内部，则a 的取值范围是（） A. 2-＜a ＜2 B. a ＜2-或a ＞2 C. 2-＜a ＜2 D. 1-＜a ＜1

9. 已知k ＜4，则曲线

922=+y x 和1492

2=-+-k y k x 有（） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴

10.已知方程

132x y k k

+=+-表示椭圆，则k 的取值范围为（） :A 3k >-且12k ≠- :B 32k -<<且1

k ≠- :C 2k > :D 3k <-

11.椭圆

221259x y +=与22

1(09)925x y k k k

+=<<--的关系（） :A 有相等的长轴 :B 有相等的焦距 :C 有相同的焦点 :D 有相等的短轴

12．ABC ?顶点)0.3(A 和)0,3(-C ，顶点B 在椭圆

12516

x y +=上，则__sin sin sin =+B C A 13. 已知P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 上一点，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ；则椭圆C 的

离心率_____=e

14．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形；则此椭圆的离心率是（）

A 15 :

B :

C :

D 12 15.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF ?为等边三角形的椭圆的离心率是（） A.

41 B. 21 C. 22 D. 2

16.设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ?为等腰直角三角形，则椭圆的

离心率为（）

A 2 :

B 1

:C 2 :D 1 17. 若点P 在椭圆12

=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ?的面积是（） A. 2 B. 1 C. 2

D. 21

18.在椭圆)2(142

22>=+a y a

x 存在点P ，使2,121(120F F PF F ο=∠是椭圆的两焦点）；则a 的取值范围为。 19. ??? ??π∈20,a ，方程12

2=α+αcos y sin x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是（）

A. ??? ??π40,

B. ??? ??π40,

C. ??????ππ24,

D. ???

??ππ24,

三.求椭圆的标准方程（1）利用定义求解

1.若ABC ?的两个顶点坐标(4,0),(4,0)A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（）

:A 221259x y += :B 221(0)259y x y +=≠:C 221(0)169x y y +=≠ :D 221(0)259

x y y +=≠

2．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:2

及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 3.已知点()

3,0A 和圆1O ：(

)

163

+y x ，点M 在圆1O 上运动，点P 在半径M O 1上，且PA PM =，求

动点P 的轨迹方程。

（2）利用几何性质求解

1．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2

,25(-，则椭圆方程是（）

A ．14822=+x y

B ．161022=+x y

C ．18422=+x y

D ．16

102

2=+y x

2.经过1P 、2(P 两点的椭圆的标准方程为 .

3、椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

5.已知椭圆的焦距为6，长轴长为10，这椭圆的标准方程是 .

6. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为

，长轴长为12，则椭圆方程为（） A.

112814422=+y x 或114412822=+y x B. 1462

2=+y x C.

1323622=+y x 或1363222=+y x D. 16422=+y x 或14

2=+y x 7.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率3

=e ，短轴长为58，求椭圆的方程。

8.与椭圆22194x y +=的椭圆标准方程为 . 9.已知()031,F -、()032,F 是椭圆12

2=+n

y m x 的两个焦点，P 在椭圆上，α=∠21PF F ，且当32π=α时，21PF F ?面

积最大，求椭圆的方程。

（3）直接法求解

1.. 若ABC ?的两个顶点坐标分别为(0,6)B 和(0,6)C -，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是4

-；求顶点A 的轨迹方程

四.直线与椭圆（1）点差法

1．椭圆144942

=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（）

A ．01223=-+y x

B ．01232=-+y x

C ．014494=-+y x

D ． 014449=-+y x

2. 直线2-=kx y 与椭圆8042

=+y x 相交于不同的两点P 、Q ，若PQ 的中点横坐标为2，则直线的斜率等

于。

3. 椭圆13122

2=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（） A. 43± B. 22± C. 23± D. 4

3±

4.点()11,

M 位于椭圆12

2=+y x 内，过点M 的直线与椭圆交于两点A 、B ，且M 点为线段AB 的中点，求直线AB 的方程及AB 的值。

5、中心在原点，一焦点为F 1（0，52

）的椭圆被直线y=3x －2截得的弦的中点横坐标是2

1，求此椭圆的方程。

（2）直线与椭圆相切问题 1．椭圆

162

2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）

A ．3

B ．11

C ．22

D ．10

2. P 是椭圆

116

272

2=+y x 上的点，则P 到直线l ：02534=-+y x 的距离的最小值为。（3）韦达定理的应用

1．直线y=x －2

1被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为。

2.若直线1y kx =+和椭圆2241x y +=有且仅有一个公共点，则k 的值为 .

3.直线:1()l y kx k R =+∈与椭圆

15x y m

+=恒有公共点，试求m 的取值范围.

4. 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212

x y +=有两个不同的交点P 和Q ．求k 的取值范围；

5. 椭圆122

22=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点。

（1）求2211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤2

，求椭圆长轴的取值范围。

6．椭圆C :2222b

y a x +=1)0(>>b a 离心率为36

,短轴一个端点到右焦点距离为3.

（1）求椭圆C 的方程;

（2）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2

，求△AOB 面积的最大值.

答案：

一.椭圆的定义

1． C 2. D 3. C 4. D 5. A 6. A 7. 40 8． B 9． 3)(x 15

2±≠=+y x 二.椭圆的几何性质

1. D 2． A 3． 4 或 42 4． 3或3

。5.

5或3 6. B 7． D 8. A 9. B 10. B 11. B

12．

35 13．β

αβαsin sin )sin(++ 14． D 15. D 16. D 17. B 18. 4≥a 。 19. D 三.求椭圆的标准方程（1）利用定义求解

1. D 2． 121

425

2=+y

x 。3. 利用定义法 ∴ 14

=+y x （2）利用几何性质求解

1． D 2.13

2=+y x 3、解：（1）当

为长轴端点时，

，

，椭圆的标准方程为：

；

（2）当

为短轴端点时，

，

，椭圆的标准方程为：

；

5.．

1162522=+y x 或125

1622=+y x 6. C 7. 18014422=+y x 或 11448022=+y x 8．

120

252

2=+y x 9. ||22121P PF F y c S ??=? = 3|y P |≤ 3b ∴ 131222=+y x （3）直接法求解

1．解：设点A ),(y x 则 )0(136

819466942

2≠=+?-=+?-?-=?x y x x y x y k k AC

顶点A 的轨迹方程为

)0(136

812

2≠=+x y x 四.直线与椭圆（1）点差法 1． B 2.

3. C

4. 点差法或联立方程组法 AB ：x + 2y －3 = 0 | AB | =

30 5、设椭圆：

2=+

b y a x （a ＞b ＞0）

，则a 2＋b 2=50…①

又设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0）， ∵x 0=2

，∴y 0=2

3－2=－2

1，

由220

022212122

2212222122

2222

1221331

1b a y x b a x x y y k b x x a y y b x a

y b x a y AB =?=?-=--=????????--=-?=+=+…②，

解①，②得：a 2=75，b 2

=25，椭圆为：257522x y +=1

（2）直线与椭圆相切问题 1． D 2.

（3）韦达定理的应用 1．

5382。 2. 2

±. 3．解：直线l 过定点)1,0(P

由题意得点P 在椭圆的内部或其上1115,0≥????

??≤≠>?m m

m m 且5≠m

4．解：由题意得直线l 的方程为2+=kx y

0224)12(0

222222

2=+++????=-++=kx x k y x kx y . 由题意得 220)12(8322

2>?>+-=?k k k 或22-

5. (1) 利用联立方程组法注：OP ⊥ OQ ? x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ∴ 21

122=+b

a (2) 长轴 2a ∈ [6,5]

6．解：（1）由题意得 3=a ，123

22=-=?=?=c a b c a c ，椭圆C 的方程为1322=+y x （2）当2

:±=x l 时，3=AB 43=?AOB S ，设b kx y +=及),(),,(2211y x B y x A

原点O 到直线l 的距离为222

4)1(323

123b k k b =+?=+?

0)1(36)13(0

332222

2=-+++???

=-++=b kbx x k y x b

kx y 两根为21,x x ]4))[(1())(1(212

11221222x x x x k x x k AB -++=-+=

22222222222

)13()

13)(1(12]13)1(12)13(36)[1(+-++=

+--++=k b k k k b k b k k (413)

13(1232

22=+≤++=k k 当312=k ，12

=b 时，)2)(max =AB 23)(max =?AOB S 7、[解析]：设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ? x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：

又将代入x y -=1 12

222=+b y a x 0)1(2)(2

22222=-+-+?b a x a x b a ，,2,022221b a a x x +=+∴>?

2221)

1(b a b a x x +-=代入①化简得 2112

2=+b a . (2) ,3221211311222222222

≤≤?≤-≤∴-==a b a

b a b a

c e 又由（1）知12222-=a a b

625234532121212

2≤

≤?≤≤?≤-≤∴

a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5].