证明考拉兹猜想

证明考拉兹猜想

福建省莆田市荔城区黄石镇桥兜村洪培荣

考拉兹猜想的内容是：从任何一个正整数出发，假定它是偶数就除以2，假定它是奇数就乘以3再加1，如此继续下去，经过有限步总能得到1.

证明：显然，2n经过n步（n=1,2,…）都能得到1，除此之外，其它偶数经过n次除以2，必能得到一个是奇数的商，所以只要证

一切奇数就够了。

（1）在无穷数列a n+1=4a n+1中，令a n=2n-1,则a n+1=4(2n-1)+1=8n-3, 由考拉兹运算法则即得3a n+1=3(2n-1)+1=6n-2,

3a n+1+1=3(8n-3)+1=24n-8.

于是(24n-8)÷(6n-2)=4=22.

故该数列中各项所用的步数就有a n=a1+2(n-1),(注意：这里的

a1是该数列第一项运算时所用的步数。)那么只要求出a1所用

的步数，就可通过上述公式容易求出其它各项所需的步数。

（2）由于a n=2n-1(n=1,2…),就有无限个形如a n+1=4a n+1的无穷数列存在，它们的通项公式分别是：

a1=1, a n=4n?1 3

a1=3, a n=4n?1

3

+4

n

2

a1=5, a n=4n+1?1 3

a1=7, a n=4n+1?1

3

+4

n

2

…………

a1=19, a n=4n+1?1

3

+7×4

n

a1=21, a n=4n+2?1 3

…………

a1=339, a n=4n+3?1

3

+3×4n+2+3×4n+1+7×4

n

a1=341, a n=4n+4?1 3

…………

(3)由a n=2n-1,得3a n+1=3(2n-1)+1=6n-2.而

2m(2n-1)=2m+1n-2m(m=1,2…),

显然当n=1,m=2时，6n-2=2m+1n-2m.

其余时候6n-2≠2m+1n-2m.这就排除了在考拉兹法则的运算过程中从某一数起会产生循环现象而得不到1的可能性。

（4）上面我们已经假定了a n=2n-1,那么一切等于4a n+1的奇数在它前面的数列里都已经出现过，因而就可以免去以这些数为a1的各个

数列（如a1=5,13,21,29,…）,但尽管如此，也只能减少1

4的数列个

数，在形如a n+1=4a n+1中仍有无限个数列存在，且都为无穷数列。所

以用上述方法并不能在有限步内把每个正整数所用的步数都算出来，因为正整数的个数是无限的。

福建省莆田市荔城区黄石镇桥兜村洪培荣

2018年1月