勾股定理的应用难点分析

勾股定理的应用难点分析

勾股定理的应用就是把实际问题转化到直角三角形中用“勾股定理”解决．下面举例说明并分析学生在应用勾股定理所遇到的难点．

一. 在实际问题中抽象出直角三角形应用勾股定理

例1. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？

分析：从题意中抽抽象出图形，如右图，图中△ABC 的90,4000C AC ∠=?=米，AB =5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB 的长，由于直角△ABC 的斜边AB =5000米，AC =4000米，这样的CB 就可以通过勾股定理得出．

解：由勾股定理得千米）(94522222=-=-=AC AB BC

即BC =3千米

飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为： 小时）千米/(5403203600=?

答：飞机每个小时飞行540千米．

二. 注意方程思想的应用的两个类型．

类型一：在一个直角三角形中，应用勾股定理例方程．

例2. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是多少米？

分析：从实际中抽象出几何图形，如图，由题意可知：∠ADC =∠BDC =90°；红莲高出水面AD =1米；花朵齐及水面说明：AB =BC ；红莲移动的水平距离为2米说明：DC =2米．在Rt △BDC 中，应用勾股定理例方程可得．

A

B

C

B 第2题图

解：如图2，由题意可知：∠ADC =∠BDC =90°；红莲高出水面AD =1米；花朵齐及水面说明：AB =BC ；红莲移动的水平距离为2米说明：DC =2米．

设水深BD =x 米，则AB =BC =(x +1)米

在Rt △BDC 中，根据勾股定理得：222BD DC BC +=

所以 2222(2)x x +=+

解得： 1.5x =

答：这里水深是1.5米

类型二：在两个直角三角形中，分别应用勾股定理例方程．

例3. 如图3，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？

分析：要求AE 的长度，在Rt △ADE 中应用勾股定理，只知道DA =15km ，不能求．同时我们发现，在这个图形中有两个直角三角形，能否分别这两个三角形中都利用勾股定理呢？是可以的，在Rt △ADE 中，根据勾股定理得：222AD AE DE +=，在Rt △CBE 中，根据勾股定理得：222CB BE CE +=，而DE =CE ，从而得到等式22AD AE +=22CB BE +，列方程问题解决了．

解：设AE =x ，则BE =(25)x -

在Rt △ADE 中，根据勾股定理得：222AD AE DE +=

在Rt △CBE 中，根据勾股定理得：222CB BE CE +=

因为现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等 所以DE =CE

所以22DE CE =

所以 22AD AE +=22CB BE +

所以 2215x +=2210(25)x +-

解得：10x =

所以 E 站应建在离A 站10km 处

例4. 已知?ABC 中，5cm 12cm 13cm AB BC AC ===，，，求AC 边上的高线的长．

分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，在Rt △BDC 中，根据勾股定理得：222BD BC CD =-

A

D

E B

C

第3题图 B

12 5

C 13

D A 第4题图

在Rt △CBE 中，根据勾股定理得：222BD AB DA =-，得到2222BC CD AB DA -=-，未知量可用方程的思想求得．

解：因为 ,16914425222===AC BC AB ，， 16914425=+

所以 2

22AC BC AB =+ ABC ?为Rt △，且 90=∠B

作AC BD ⊥于D

设AD x =，则x CD -=13

13

2525)13(122

222

2222=-=---=-=x x x AD AB CD BC BD 13

60)13

25(2522

22=-=-=AD AB BD 答：AC 边上的高线长为

60cm 13

三. 连续求出线段长与连续表示线段的意识

在解题寻找思路方法过程中，同学们往往感觉无所适从，建议你要具有“连续求出线段长与连续表示线段的意识”，一些题会迎刃而解，感觉题还特别容易．

例5. 如图5：在长方形ABCD 中，已知AB =8 cm ，BC =10cm ，将AD 沿直线AF 折叠，使点D 落在BC 上的点E 处，求CF 的长．

分析：不难连续求出线段：AD =AE =10㎝，BE =6㎝，EC =4㎝．连续表示线段：设CF =x ㎝，则DF =EF =（8－x ）㎝．这时，你就会发现在Rt △ECF 中应用勾股定理就解决了．

解：因为 在长方形ABCD 中，已知AB =8 cm ，BC =10cm

所以 DC =8 cm ；AD =10㎝

因为 将AD 沿直线AF 折叠

所以 AE = BC =10cm ；DF =EF

在Rt △ABE 中，应用勾股定理得：BE =6㎝

F

D

C

B A 第5题图

所以 EC =4㎝

设CF =x ㎝，则DF =EF =（8－x ）㎝

在Rt △ECF 中，应用勾股定理得：222EC CF EF +=

即，2224(8-)x x +=

解得：3x =

所以 CF 的长为3㎝．

例6. 在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树高．

分析：如图6，根据题意可知：BD ＋DA =BC ＋CA =10＋20=30米，连续表示线段：设树高为x 米，则BD =( x －10)米，AD =30－BD =30－(x －10)=（40－x ）米．在Rt △ACD 中应用勾股定理可解．

解：如图6，根据题意可知：BD ＋DA =BC ＋CA =10＋20=30米

设树高为x 米，则AD =30－BD =30－(x －10)=（40－x ）米

在Rt △ACD 中应用勾股定理得：222DC CA AD +=

即，22220(40-)x x +=

解得：15x =

所以 树高为15米．

四. 构造直角三角形应用勾股定理

例7. 如图7，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC =10千米，BD =30千米，且CD =30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

分析：要使铺设水管的费用最节省，需要使水厂位置到两个小集镇的距离最短，有轴对称的知识可知：作B 点关于直线l 的对称点B ′，连结AB ′与l 相交于E ，则E 点为水厂位置，A

C D 图7-1 B l E F B ′

E ′

A

B

C D l

第7题图 A

第6题图

使铺设水管距离最短，费用最节省．

因为AE ＋EB = AB ′，还需求出AB ′的长，这时，不妨构造直角三角形应用勾股定理，过点A 作AE ⊥BD 于点F ，在Rt △AF B ′中应用勾股定理求AB ′的长即可．

答：如图7-1，将河流CD 抽象为直线l ，在直线l 同侧有两个点A 和B ，作B 点关于直线l 的对称点B ′，连结AB ′与l 相交于E ，则E 点为水厂位置，使铺设水管距离最短，费用最节省．

理由：事实上，如果是E ′点的话，则连结AE ′与E ′B 和E ′B ′，

由轴对称性知道，E ′B = E ′B ′，EB =E B ′．

所以E ′到A 、B 距离之和AE ′+E ′B =AE ′+E ′B ′

而E 到A 、B 距离之和AE +EB =AE + E B ′=AB ′．

在△AB ′E ′中，三角形两边之和大于第三边AE ′+ E ′B ′> AB ′．

所以E 点为所求的点．

过点A 作AE ⊥BD 于点F ，则得到长方形ACDF ，AF =CD =30千米；DF =AC =10千米 所以 B ′F =B ′D +DF =BD ＋DF =30＋10=40千米

在Rt △AF B ′中应用勾股定理得：222AB AF B F ''=+

所以 2223040AB '=+

所以 AB ′=50千米

所以 铺设水管最短距离：AE ＋EB =AB ′=50千米，费用：50×3=150万．

同学们，对你有帮助吗？

(完整版)八年级数学勾股定理的应用练习题

13.11勾股定理的应用练习（1） 第1题. 如图，△ABC 中，∠ACB =90o，CD 为AB 边上的高，若∠A =30o，AB =16，则BC =______，BD =______，CD =______． 答案：8，4 ， 第2题. 如图是一种“牛头形”图案，其作法是：从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别 向外作正方形2，以此类推，若正方形1的边长为64cm ，则正方形7的边长为_________cm ． 答案：8． 第3题. 甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时，甲、乙两人相距______． 答案：5km 第4题. 如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是______． 答案：12m 第5题. 如图，一扇宽为4米，高为3米的栅栏门，需要一根长______米的木条像图中那样固定． 答案：5 第6题. 一块土地的形状如图所示，90,20,15,7,B D AB BC CD ∠=∠=?===米米米求这块土地的面积? 答案：234平方米 第7题. 某菜农修建一个塑料大棚（如图），若棚宽a =4m ，高b =3m ，长d =35m ，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积． A B C D 4 4 3 3 2 2 1 3 A B C D a b c d

答案：175m 2 第8题. 一游泳池长48cm ，小方和小朱进行游泳比赛，从同一处出发，小方平均速度为3m/秒，小朱为3.1m/秒．但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14m ．按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么？ 答案：小朱用16.13秒,小方用16秒,小方先到达终点 第9题. 如图，正方形ACDE 的面积为25cm ，测量出AB =12cm ，BC =13cm ，问E 、A 、B 三点在一条直线上吗？为什么？ 答案：在一条直线上，理由略 第10题. 从A 到B 有两种路线，一种走直线由A 到B ，另一种走折线，先从A 直线到C ，再由C 直线到B ，其中ACB ∠成直角，已知A 到C 为600m ，C 到B 为800m ，问从A 到B 走直线比走折线少走多少米？ 答案：400米 第11题. 如图，△ABC 中，90C ∠=o ，量出AC 、BC 的长，计算出AB （保留两个有效数字） 答案：略 第12题. 已知一个三角形的三边长分别是12cm ，16cm ，20cm ，你能计算出这个三角形的面积吗？ 答案：96平方厘米 第13题. 某住宅小区的形状是如图所示的直角三角形，直角边AC ，BC 的长分别为600米、800米，DE 为小区的大门，大门宽5米，小区的周围用冬青围成了绿化带，问绿化带有多长？ 答案：2395米 B A B C A D B E

勾股定理的应用 (2)

勾股定理的应用 一、知识框架 1、勾股定理的猜想 2、勾股定理的验证 3、勾股定理的应用 二、目标点击 1、经历探索勾股定理的过程，培养推理能和，体会数形结合起来思想。 2、能够利用定理解决一些简单的实际问题 3、培养学生良好的探究习惯，经历猜想——验证——应用的探究过程 三、重难点预见 学习重点：经历探索勾股定理的过程。 学习难点：会用勾股定理解决一些简单的实际问题。 四、学法指导 1、让学生根据教材和教师提供的预习学案先独立探究，然后在小组内交流自已在预习过程中遇到的疑难，完成对学案内容的探究。 2、学具准备：边长为整数的直角三角形纸片（每组2个），带有刻度的直尺。 五、自主探究 情境导入： 2002年在北京召开国际数学大会，在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的风车的图案就是大会的会标，在这个会标中到底蕴含着什么样的数学奥秘呢？今天就让我们走进这人神秘的图形，一起探究数学王国中的奥妙。 学法指导： 通过学生亲自动手测量直角三角形纸片三边的长度，猜想直角三角形三边长度的平方之间的关系，从而培养学生动手操作能力和猜想能力。 （一）猜一猜 测量你们小组的两块直角三角形纸板三边长度，并将各边的长度填入下表：

三角尺直角边a 直角边b 斜边 c 关系 1 2 根据测得的数据：你能发现直角三角形纸板三边的长度的平方之间是否存在着一定的关系？你能作出怎样的猜想？把你的发现说给组内的同学听一听。。 （二）想一想 1、观察图2正文形P中含有几个小方格，即P的面积为多少个单位面积？正方形Q与正方形R的面积为多少个单位面积呢？正方形P、Q、R的面积有什么关系？这说明等腰直角三角形三边的平方具有什么关系呢？ 解后感悟： 通过数方格，可以发现等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。 方法提升：计算平面图形面积经常用到的方法有：数方格、割补法、凑整法等。 2、观察图 3、并填下表： 正方形A的面积=_______平方单位。正方形B的面积=_______平方单位。正方形C的面积=_______平方单位。 你是如何得出正方形C的面积的？把你的想法在小组内交流。 解题关键：求出正方形C的面积是探究三个正方形C的面积是探究三个正方形面积之间关系的关键。 预见性问题：学生探究正文形C的面积时比较困难，方法比较单一。利用分割法求正方形C 的面积时，忘记中间的一个小正方形而造成失误。 预见性措施：让学生通过小组交流，然后在班内汇报。教师重点引导学生对不同方法，不同思路进行比较，最后得出最优的方案。 （三）议一议 三个正方形A、B、C的面积之间存在什么关系？那么，你能发现直角三角形三边长度的平方之间存在什么关系吗？与同伴交流。 学法指导：能过前面的探究，让学生在班内汇报自己的观点，班内其他同学补充完善，最后验证前面猜想的正确性。 （四）记一记

勾股定理的应用(讲义及答案).

勾股定理的应用（讲义） 知识点睛 1.利用勾股定理解决实际问题的处理思路： （1）理解题意，把实际问题转化为数学问题； （2）找出相应的直角三角形，并找出其______、______； （3）根据已知及所求，利用___________进行计算． 2.“勾股定理”或“勾股定理逆定理”： 条件是直角三角形时，考虑______________________； 要证明三角形是直角三角形，考虑______________________． 精讲精练 1.一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后 向正北方向航行了120km，这时它离出发点有________km． 2.我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌 方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，则敌方汽车的速度为_________km/h． 3.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在一竖直的墙AO上，这 时梯子底端B与墙角O的距离为0.7米．梯子滑动后停在CD位置上，测得BD=0.8米，求梯子顶端A沿墙下滑了多少米？

4.一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处， 则折断处离地面的高度是_________尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺） 第4题图第5题图 5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题， 这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度是_______尺，这根芦苇的长度是 _______尺． 6.如图，公路上A，B两站相距5km，在公路附近有C，D两 所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD=2km，BC=1km，现要在公路边建一个青少年活动中心E，使C，D 两所学校到E的距离相等，则青少年活动中心E应建在距离A多远处？

勾股定理及其应用总结归纳

精心整理第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。

重点知识勾股定理的验证

重点知识确定几何体上的最短路线 例1 B A

图 AC=c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理222c b a =+. （2）如图1-1-9（2），台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 8m 处，已知旗杆原长16 m ，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？ 例7 如图1-2-6，A 、B 两个小镇在河流CD 同侧，到河的距离分别为AC ＝10千米，BD ＝30千米， 图 图1-2-9

且CD＝30千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A、B两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用. 例8 如图1-2-7，一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m，如果 家庭作业 ＝，CH＝，5.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S △ABC MH＝ 图 6.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．

7.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，AD ⊥BC 于D ，则AD= . 8.如图1-1-2，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB=13，AD=12， AC=15,BD=5，则BC 的长为 9.如图1-1-5，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米， 且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万 元，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 10.如图1-1-6，一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。 这个梯子顶端离地面有多高？ 如果梯子的顶端下滑了4 11.如图1-2-11，长方体的长为15cm ，宽为10果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 图1-1-2 B 图

(完整版)勾股定理应用题专项练习(经典)

勾股定理应用题 1.为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架 2.5米长的 梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（ ） A.0.6米 B.0.7米 C.0.8米 D.0.9米 2.如图1所示，有一块三角形土地，其中∠C ＝90°，AB ＝39米，BC ＝36米，则其面积 是（ ） A.270米2 B.280米2 C.290米2 D.300米 2 3.有一个长为40cm ，宽为30cm 的长方形洞口，环卫工人想用一个圆盖盖住此洞口，那么 圆盖的直径至少是（ ） A.35cm B.40cm C.50cm D.55cm 4.下列条件不能判断三角形是直角三角形的是 （ ） A.三个内角的比为3:4:5 B.三个内角的比为1:2:3 C.三边的比为3:4:5 D.三边的比为7:24:25 5.若三角形三边的平方比是下列各组数，则不是直角三角形的是（ ） A. 1:1:2 B. 1:3:4 C. 9:16:25 D. 16:25:40 6.若三角形三边的长分别为6，8，10，则最短边上的高是（ ） A.6 B.7 C.8 D.10 7.如图2所示，在某建筑物的A 处有一个标志物，A 离地面9米，在离建筑物12米处有一 个探照灯B ，该灯发出的光正好照射到标志物上，则灯离标志物____米 8.小芳的叔叔家承包了一个长方形鱼塘，已知其面积是48平方米， 其对角线长为10米.若要建围栏，则要求鱼塘的周长，它的周长 是____米. 9.公园内有两棵树，其中一棵高13米，另一棵高8米，两树相距 12米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少 要飞_____米. 10.若把一个直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的____倍. 11.若△ABC 的三边长分别是2,2,2===c b a ，则∠A =____，∠B =____，∠C =____. 12.某三角形三条边的长分别为9、12、15，则用两个这样的三角形所拼成的长方形的周长 是______，面积是_____. 13.如图4所示，AB 是一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐桃子，一只猴子从D 往上爬到树顶A ，又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处下滑到B ，又沿B 跑到C ，已知两只猴子所通过的路程均为15米，求树高AB . C B 图1 B C 图4 A C 图3

勾股定理的应用举例

勾股定理的应用举例 （一）教学目标 1．知识目标 (1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”. (2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 2．过程性目标 (1)让学生亲自经历卷折圆柱. (2) 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）. (3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力. (二)教学重点、难点 教学重点：勾股定理的应用. 教学难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”. 原因分析： 1.例1中学生因为其空间想像能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过 制作圆柱模型解决难题. 2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维. 教学突破点：突出重点的教学策略： 通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”，（三）、教学过程

部分 答案：c=5. 例2、在Rt△ABC中，一直角边分别为5，斜边为 13，求另一直角边的长是多少？ 答案：另一直角边的长是 12. 小结：在上面两个小题中，我们应用了勾股定理： 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则 c2= a2+b2 . 加深定理的记忆理解，突出定理的 作用. 新 课 讲 解 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在 现实生活和数学中有着广泛的应用． 例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm， 高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点 A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的 最短路程． 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬 行．大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出A、 B、C、D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离， 与在平面纸上的距离一样．AC之间的最短距离是什 么？根据是什么？（学生回答） 通过动手作模型，培养学生的动 手、动脑能力，解决“学生空间想像能 力有限，想不到蚂蚁爬行的路径”的难 题，从而突破难点.

勾股定理(讲义)

勾股定理 一、知识归纳 1．勾股定理 容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 += a b c 2．勾股定理的适用围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3．勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ∠=?，则c，b=，a= ?中，90 C ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 二、题型 题型一：直接考查勾股定理 例１. 在ABC C ∠=? ?中，90 ⑴已知6 BC=．求AB的长 AC=，8 ⑵已知17 AB=，15 AC=，求BC的长 解： 题型二：应用勾股定理建立方程

2 1 E D C B A 例２.⑴在AB C ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，C D AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 例３.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长

A B C D E 例4.如图Rt ABC ?，90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

勾股定理的应用(人教版)(含答案)

勾股定理的应用（人教版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，Rt△ABC的直角边长分别为12和16，在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形周长之和为( ) A.28 B.48 C.36 D.56 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：图形的平移 2.暑假中，小明到某海岛探宝．如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走 2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，则登陆点到埋宝藏点 的直线距离是( )km．

A. B. C.10 D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 3.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的对应的值为( ) A.2 B. C. D.

答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 4.一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角1.4m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.8m，那么梯脚移动的距离为( )m． A.0.6 B.0.8 C.1.2 D.1.6 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 5.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉

开7米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为( )米． A.8 B.12 C.24 D.25 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用 6.路旁有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )米． A.8 B.10 C.12 D.14 答案：B 解题思路：

勾股定理练习题及答案

勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相 距多远？还能保持联系吗？

勾股定理复习讲义

2 1E D C B A 勾股定理复习 班级______姓名_________ 一．知识归纳 １．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么____________, 2.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足________，那么这个三角形是_______，其中_____为斜边 如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2 c 与2 a +2 b 是否具有相等关系. 若2c =2a +2b ，则△ABC 是 ；若2c ≠2a +2 b ，则△ABC 不是 . 3.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个_________称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为_____整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如_______；_______；________；7,24,25等 题型一：直接考查勾股定理 例１.（1）在ABC ?中，90C ∠=?，17AB =，15AC =，BC ＝ （2）在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ （3）已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 （4）已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm 练习1：求下列阴影部分的面积： （1） 正方形S ＝ ； （2）长方形S ＝ ； （3）半圆S ＝ ； 2：如图2，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10， BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为 例2.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 D C B A

勾股定理的分类应用

勾股定理常考分类习题 方程思想的应用： 1、 如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， ，求、、的值。 2．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长． 3．如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长． 4. 如图，在长方形ABCD 中，将?ABC 沿AC 对折至?AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长 5. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积 D C B A F E

典型几何题 1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，求BC 的长． 2．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长． 3．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积． 4．已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD 的长． 5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6，AC=8， 求AB 、CD 的长 6．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝ CB 4 1 ，求证：AF ⊥FE ． D C B A

(完整版)八年级数学勾股定理的应用测试题附答案

勾股定理的应用 基础检测姓名 1.分别以下列四组为一个三角形的三边的长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、 8、9，其中能构成直角三角形的有（）. A.4组 B.3组 C.2组 D.1组 2.要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（）. A.10m B.11m C.12m D.13m 3.现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）. A.22㎝ B.33㎝ C.44㎝ D.55㎝ 4.等腰三角形ABC的面积为12㎝2，底上的高AD＝3㎝，则它的周长为㎝。 5.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20㎞，遇到冰山后，又折向东航行15㎞，则此时轮船与A点的距离为㎞。 6. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域. （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ E B A

7．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？ ●拓展提高 1.如图，已知S1、 S2和 S3分别是 RtΔABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1、 S2和 S3满足关系式为（）. A. S1< S2 +S3 B. S1= S2+ S3 C. S1> S2+ S3 D. S1= S2 S3 第1题第2题第3题 2.如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少m？ 3.如图，为测湖两岸A、B间的距离，小兰在C点设桩，使△ABC为直角三角形，并测得BC ＝12m，AC＝15m，则A、B两点间的距离是多少 m？

《勾股定理的应用》专项训练题及答案

八年级数学暑期集训练习 勾股定理的应用 1．一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（） A．米B．2米C．10米D．米 第1题第2题第3题 2．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（） A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里 3．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（） A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 4．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A．25海里B．30海里C．40海里D．50海里 第4题第5题 5．如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）步，却踩伤了花草（假设2步为1米） A．2 B．4 C．5 D．6

6．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）米． A．5 B．7 C．8 D．12 7．如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（） A．5≤a≤12 B．12≤a≤3C．12≤a≤4D．12≤a≤13 8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（） A．1m B．2m C．3m D．m 9．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（） A．4米B．3米C．5米D．7米 10．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（）

勾股定理实际应用(讲义及答案)

勾股定理实际应用（讲义） ? 课前预习 1. 常用的6组勾股数：___________；__________；___________；___________； __________；___________． 2. 请你画出圆柱的侧面展开图． 3. 读一读，做一做 小聪郊游时发现了一个有趣的问题：有一只蚂蚁从易拉罐底部爬向易拉罐顶部的罐口处喝饮料，在侧面留下了其爬行的轨迹．小聪观察后发现，蚂蚁爬行的路径是一条曲线，小聪想知道蚂蚁具体爬行了多长，于是邀请小明一起来研究这个问题．经过一番讨论，小聪和小明分别准备尝试用两种方法来进行测量． 的长度来估计爬行的路程，如图1． 方案二：小明准备将易拉罐侧面剪开，然后用尺子直接测量蚂蚁爬行的路程．小明剪开易拉罐侧面，将其展开后发现，蚂蚁爬行的路径竟然是一条笔直的线段，如图2． 请你选一张长方形纸片，画出他的对角线，然后卷成一个圆柱，的方法，动手测量一下这条线的长度． ? 知识点睛

蚂蚁爬最短路问题处理思路： （1）________________________； （2）找点，连线； （3）构造__________，利用__________进行计算． ?精讲精练 1.有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于8 cm，底面半径等于2 cm．在 圆柱的下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________．（π取整数3） 2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A上升到点B，已知 AB=5 cm，树干的直径为4 cm．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3） 3.如图所示，有一根高为2 m的木柱，它的底面周长为0.3 m，为了营造喜庆的气 氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正

勾股定理的应用

卓邦教育勾股定理应用练习 1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（） A、3 B、5 C、4.2 D、4 1题2题3题4题 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（） A、10米 B、6米 C、7米 D、8米 3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺． A、10 B、12 C、13 D、14 4.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（） A、10米 B、16米 C、15米 D、14米 5.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km． A、5 B、10 C、15 D、25 6．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积． 7.如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？

勾股定理的应用教案

勾股定理的应用 教学目标： 知识与技能： （1) 能应用勾股定理解决一些简单的实际问题。 （2) 学会选择适当的数学模型解决实际问题。 过程与方法： 通过问题情境的设立，使学生明白数学来源于生活，又应用于生活，积累 利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法。 情感、态度和价值观：使学生认识到数学来自生活，并服务于生活，从而增强学生学数学、 用数学的意识,体会勾股定理的文化价值。发展运用数学的信心和能力， 初步形成积极参与数学活动的意识。 教学重点： 应用勾股定理解决实际问题是本节课的教学重点; 教学难点.： 把实际问题化归成勾股定理的几何模型（直角三角形）则是本节课的难点。 教学关键：应用数形结合的思想，从实际问题中，寻找可应用的RT △，然后有针对性解决。 教学媒体：电子白板 教学过程： 一、导入 1、由犍为岷江大桥图片引入（一是拉近和学生的关系，激发学生对家乡的热爱之情， 同时由斜拉桥上的直角三角形引入勾股定理的应用） 另出具复习引入题 如图，长2.5m 的梯子靠在墙上，梯子 的底部离墙角1.5m ，如何求梯子的顶 端与地面的距离h? 先让学生复习勾股 定理的简单应用。 2、复习勾股定理内容 3、板书课题 二、新课探究 1、例 小明想知道学校旗杆的高度，但又不能把旗杆放倒测量，但他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，绳子刚好斜着拉直下端接触地面，你能帮小明算算旗杆的高度吗？ 首先让学生审题并画出几何图形，再引导其完成。题中隐含了什么条件？ 解：设旗杆高AB=x 米，则绳子长AC=(x+1) 米，在Rt ABC 中，由勾股定理得： 答：旗杆的高度为12米。 12 ,)1(52 22222==+=++x x x AC BC AB 解方程，得即

19.9(2)勾股定理的应用

19.9（2）勾股定理的应用 执 教：韩 颖 2010年11月23日 教学目标 能用勾股定理解决基本的有关证明和计算问题； 通过实际问题的解决增强数学的学习兴趣. 教学重点及难点 勾股定理的灵活应用 教学过程设计 一、 引入新课 生活中勾股定理的应用随处可见： 二、 新课讲授 例1 ：机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm ×36cm ×23cm 的长方体空间. ①一位旅客携带一件长65cm 的画卷，这件画卷能平放入行李架吗？ ②若这件画卷长67cm ，能放入行李架吗？ 36 56 23 A E B D F H

《九章算术》勾股章第6题 : 引葭(ji ā)赴岸 ：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．” 例2：现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上.请求出水深与芦苇的长各有多少尺？ 三、体会练习 校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是13、14、15米，则这块三角形空地的面积是多少平方米？ 36 56 23 A E B D F H 15 13 14 A B C D x 14-x 1 尺 A x

四、应用推广 例3 ：已知长度为 （n 是大于１的整数）的线段，你能作出长度为 的线段吗？ 五、课堂小结：１、利用勾股定理解决相关问题； ２、勾股定理在实际生活中的应用. 六、布置作业： 练习册19.9（2） B 6 B 3 A B 1 C n 1 n

勾股定理及其应用

勾股定理及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的应用。 E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。 重点知识勾股定理的验证

（美）伽菲尔德总统拼图 如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以 ()()22121221 c ab b a b a +?=+? +，即222c b a =+ 赵爽弦图 如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a b -为边长的小正方形和一个边长为c 的大正方形，因为大正方形的边长为c ，所以面积为2c ，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b a ,的直角三角形和一个边长为()a b -的正方形，所以其面积为 ()2 2 14a b ab -+?所以()2 22 14a b ab c -+?=，从而222b a c +=. 刘徽：青朱出入图 如右图，通过拼图，以c 为边长的正方形面积等于分别以b a ,为边长的两个正方形的面积之和 名师提示 用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只 要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理 重点知识 确定几何体上的最短路线 描述 示意图 9 E D B A C F 7 D A E B C F 展开 5 甲 F D E F

勾股定理实际应用(讲义及答案)

勾股定理实际应用（讲义） 课前预习 1. 常用的6组勾股数：___________；__________；___________；___________；__________；___________．2. 请你画出圆柱的侧面展开图． 3.读一读，做一做 小聪郊游时发现了一个有趣的问题：有一只蚂蚁从易拉罐底部爬向易拉罐顶部的罐口处喝饮料，在侧面留下了其爬行的轨迹．小聪观察后发现，蚂蚁爬行的路径是一条曲线，小聪想知道蚂蚁具体爬行了多长，于是邀请小明一起来研究这个问题．经过一番讨论，小聪和小明分别准备尝试用两种方法来进行测量． 方案一：小聪准备用一根绳子沿着蚂蚁爬过的轨迹来进行测量，然后再借助绳子的长度来估计爬行的路程，如图1．方案二：小明准备将易拉罐侧面剪开，然后用尺子直接测量蚂蚁爬行的路程．小明剪开易拉罐侧面，将其展开后发现，蚂蚁爬行的路径竟然是一条笔直的线段，如图2． 请你选一张长方形纸片，画出他的对角线，然后卷成一个圆柱，并参照小聪和小明的方法，动手测量一下这条线的长度．图1 图2

知识点睛 蚂蚁爬最短路问题处理思路： （1）________________________； （2）找点，连线； （3）构造__________，利用__________进行计算． 精讲精练 1.有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于8cm，底 面半径等于2cm．在圆柱的下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________．（π取整数3） 2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A 上升到点B，已知AB=5cm，树干的直径为4cm．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3）

14.2 勾股定理的应用

14.2 勾股定理的应用 教学目标 教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题. 能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念. 2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学. 教学重点难点： 重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题. 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 教学过程 1、创设问题情境，引入新课： 前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？ 例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？ 根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC 中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米. 所以至少需13米长的梯子. 2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)． （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论） （2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? （3）蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果） 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA ′将圆柱的侧面展开(如下图). 我们不难发现，刚才几位同学的走法： (1)A →A ′→B ； (2)A →B ′→B ； (3)A →D →B ； (4)A —→B. 哪条路线是最短呢？你画对了吗？ 第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. ②、做一做。李叔叔随身只带卷尺检测AD ，BC 是否与底边AB 垂直，也就是要检测 ∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结BD 或AC ，也就是要检测△DAB 和△CBA 是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题. ③、随堂练习 出示投影片 A B A B

(完整版)勾股定理的实际应用题

18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ 19．（2007?义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长． （1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处； （2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处； （3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A． 20．（2013?贵阳模拟）请阅读下列材料： 问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线： 路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π） （1）设路线1的长度为L1，则=_________．设路线2的长度为L2，则=_________．所以选择路线_________（填1或2）较短． （2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：= _________．路线2：=_________．所以选择路线_________（填1或2）较短． （3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．