性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。 (2)三线合一 判定:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3):有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 四、直角三角形 (一)、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理:直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 22c b a =+ 其它性质: 1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。 2、常用关系式:由三角形面积公式可得: 两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 (二)、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 (三)直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理(斜边、直角边定理):有斜
北师大版九年级上册数学全册各章知识点汇总
最新新北师大版九年级数学(上册)知识点汇总 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角. 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴. ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 1.2 矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 .矩形是特殊的平行四边形. .. ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角.(矩形是轴对称
图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义). 对角线相等的平行四边形是矩形. 四个角都相等的四边形是矩形. ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1.3 正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形. ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形. 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形. ※ ※ 鹏翔教图3
※等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形. ※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. ※夹在两条平行线间的平行线段相等. ※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程...... 2.2 ...用.配方法求解.....一元二次方程...... 2.3 用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系 2.6 应用一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02=++c bx ax (a 、b 、c 为 常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程...... . ※把02=++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项. ※解一元二次方程的方法:①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= (注意在找abc 时须先把方程化为一般形式) ③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解.
北师大版九年级数学知识点汇总
北 师 大 版 九 年 级 数 学 知 识 点 汇 总 第一章特殊平行四边形 一、平行四边形 1、定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质:(1)平行四边形的对边平行且相等。 (2)平行四边形的对角相等,邻角互补。
(3)平行四边形的对角线互相平分,两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。 (4)平行四边形是中心对称图形。 3、判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积:S平行四边形=底ⅹ高 二、菱形 1、定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、性质:(1)菱形具有平行四边形的所有性质。 (2)菱形的四条边都相等。 (3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。 (4)菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形(两条)。 3、判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 (3)四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积:S菱形=底ⅹ高;S菱形=对角线乘积的一半 三、矩形 1、定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2、性质:(1)矩形具有平行四边形的所有性质。 (2)矩形的四个角都是直角。 (3)矩形的对角线相等且互相平分,两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 (4)推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 (5)矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形(两条)。 3、判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。 (2)对角线相等的平行四边形是矩形。 (3)有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积:S矩形=底ⅹ高
新北师大九年级数学上册知识点归纳
新北师大九年级数学上册第一章知识点归纳 ※平行四边形 ....., .....的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:对边相等,邻边之和等于周长的一半 对角相等,邻角互补 对角线互相平分,共有4对全等的三角形。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 ※平行四边形的面积公式: 第一章特殊平行四边形-菱形矩形正方形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等, 两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形被对角线分成了4个面积相等的直角三角形,所以菱形的面积=对角线乘积的一半 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。
(矩形是轴对称图形,有两条对称轴,对称轴是对边中点的连线所在的直线 ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。(对角线相等且平分的四边形是矩形) 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(利用对角线相等且平分) 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 正方形是轴对称图形,有四条对称轴。既是轴对称图形又是中心对称图形。※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): 鹏翔教图3 ※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
新北师大版九年级上册数学知识点
新北师大版九年级上册数学知识点 第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 1.2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ※等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 第二章一元二次方程 2.1认识一元二次方程 2.2用配方法求解一元二次方程 2.3用公式法求解一元二次方程 2.4用因式分解法求解一元二次方程 2.5一元二次方程的跟与系数的关系
北师大版九年级数学上册全册教案
第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定(一) 学习目标: ①通过折、剪纸张的方法,探索菱形独特的性质。 ②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。 教学重点:菱形的概念和菱形的性质,菱形的面积公式的推导。 教学难点:菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。 学习过程: 活动一: 自学课本例题以上的内容,完成下列问题: 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来? 的四边形叫做菱形,生活中的菱形有 。 2. 按探究步骤剪下一个四边形。 ①所得四边形为什么一定是菱形? ②菱形为什么是轴对称图形? 有 对称轴。 图中相等的线段有: 图中相等的角有: ③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗?自己完成证明。 平行四边形 菱形 ?
性质: 证明: 活动二:对比菱形与平行四边形的对角线 菱形的对角线: 平行四边的对角线: 活动三:菱形性质的应用 1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积。 2.如图,菱形花坛ABCD的边长为20cm,∠ABC=60° 沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD, 求两条小路的长和花坛的面积。
课效检测: 一、填空 (1)菱形的两条对角线长分别是12cm ,16cm ,它的周长等于 ,面积等于 。 (2)菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3:2,菱形的四个内角是 。 (3)已知:菱形的周长是20cm ,两个相邻的角的度数比为1:2,则较短的对角线长是 。 (4)已知:菱形的周长是52 cm ,一条对角线长是24 cm ,则它的面积是 。 二、解答题 已知:如图,在菱形ABCD 中,周长为8cm ,∠BAD=1200 对角线AC ,BD 交于点O ,求这个菱形的对角线长和面积。 教学设计反思 本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。学生已经学习了平行四边形的性质,这是本节的知识基础。关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的。 A B C D O
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结 第一章特殊的平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质 (1)平行四边形的对边平行且相等。(对边) (2)平行四边形相邻的角互补,对角相等(对角) (3)平行四边形的对角线互相平分。(对角线) (4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。 常用点: (1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。 (2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。 3.平行四边形的判定
(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(对边) (2)定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(对边) (3)定理2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(对边) (4)定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(对角) (5)定理4:对角线互相平分的四边形是平行四边形。(对角线) 4.两条平行线的距离 两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。注意:平行线间的距离处处相等。 5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形 1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质 (1)菱形的四条边相等,对边平行。(边) (2)菱形的相邻的角互补,对角相等。(对角) (3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。(对角线)
(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条,是对角线所在的直线。 3.菱形的判定 (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)定理1:四边都相等的四边形是菱形。(边) (3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(对角线) (4)定理3:对角线垂直且平分的四边形是菱形。(对角线) 4.菱形的面积:S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 三、矩形 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质 (1)矩形的对边平行且相等。(对边) (2)矩形的四个角都是直角。(内角) (3)矩形的对角线相等且互相平分。(对角线) (4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条,是对边中点连线所在的直线。
新北师大九年级数学上册知识点归纳
新北师大九年级数学上册 知识点归纳 Prepared on 21 November 2021
新北师大九年级数学上册第一章知识点归纳 ※平行四边形 .....,.....的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角 .. 线.。 ※平行四边形的性质:对边相等,邻边之和等于周长的一半 对角相等,邻角互补 对角线互相平分,共有4对全等的三角形。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另 一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距 离。 ※平行四边形的面积公式: 第一章特殊平行四边形-菱形矩形正方形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等, 两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形被对角线分成了4个面积相等的直角三角形,所以菱形的面积=对角线乘积的一半 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定
※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。 (矩形是轴对称图形,有两条对称轴,对称轴是对边中点的连线 所在的直线 ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。(对角线相等且平分的四边形是矩形) 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(利用对角线相等且平分) 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 正方形是轴对称图形,有四条对称轴。既是轴对称图形又是中心对称图形。 ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): 鹏翔教图3 ※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。
北师大版九年级数学上全册教案
北师大版九年级数学上全册教案 第一章证明(二)(课时安排) 1.你能证明它们吗?3课时 2.直角三角形2课时 3.线段的垂直平分线2课时 4.角平分线1课时 1.你能证明它们吗?(一) 教学目标: 知识与技能目标: 1.了解作为证明基础的几条公理的内容。 2.掌握证明的基本步骤和书写格式. 过程与方法 1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。 2.能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。 情感态度与价值观 1.启发、引导学生体会探索结论和证明结论,即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系. 2.培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯. 重点、难点、关键 1.重点:探索证明的思路与方法。能运用综合法证明问题. 2.难点:探究问题的证明思路及方法. 3.关键:结合实际事例,采用综合分析的方法寻找证明的思路. 教学过程: 一、议一议: 1.还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 2.你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 给出公理和定理: 1.等腰三角形两腰相等,两个底角相等。 2.等边三角形三边相等,三个角都相等,并且每个角都等于 60延伸. 二、回忆上学期学过的公理 本套教材选用如下命题作为公理: 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两 条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS) 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA) 5.三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)
6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 证明过程: 已知:∠A=∠ D,∠B=∠ E,BC=EF 求证:△ABC≌△DEF 证明:∵∠A+∠B+∠C=180°, ∠D+∠E+∠F=180° (三角形内角和等于180°) ∴∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E) 又∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知) ∴∠C=∠F 又∵BC=EF(已知) ∴△ABC≌△DEF(ASA) 推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 随堂练习: 做教科书第4页第1,2题。 课堂小结: 通过这节课的学习你学到了什么知识? 作业: 1、基础作业:P5页习题1.11、2。 1.你能证明它们吗(二) 教学目标: 知识与技能目标: 掌握证明的基本思路和书写格式。 过程与方法目标: 经历观察——探索——发现的过程,能运用综合法证明等腰三角形判定定理。 情感态度与价值观目标: 1.感悟证明的实际意义以及必要性,形成探究意识。 2.结合实例体会反证法的含义,培养逆向思维。 重点、难点、关键: 1.重点:掌握证明的常见方法以及书写推理过程。 2.难点:寻找证明的思路,选择证明的方法。 B C F E
北师大版九年级数学上册知识点
北师大版九年级数学上册知识点 第一章特殊的平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质 (1)平行四边形的对边平行且相等。(对边) (2)平行四边形相邻的角互补,对角相等(对角) (3)平行四边形的对角线互相平分。(对角线) (4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。 常用点: (1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。 (2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。 3.平行四边形的判定 (1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(对边) (2)定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(对边) (3)定理2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(对边) (4)定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(对角) (5)定理4:对角线互相平分的四边形是平行四边形。(对角线) 4.两条平行线的距离 两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。注意:平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形 1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质 (1)菱形的四条边相等,对边平行。(边) (2)菱形的相邻的角互补,对角相等。(对角) (3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。(对角线)(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条,是对角线所在的直线。 3.菱形的判定 (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)定理1:四边都相等的四边形是菱形。(边) (3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(对角线) (4)定理3:对角线垂直且平分的四边形是菱形。(对角线) 4.菱形的面积:S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 三、矩形 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质 (1)矩形的对边平行且相等。(对边) (2)矩形的四个角都是直角。(内角) (3)矩形的对角线相等且互相平分。(对角线)