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2004-2012年历年考研数学三真题及答案解析

是k cx 等价无穷小,则

(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-

(2) 已知()f x 在0x =处可导,且(0)0f =,则2330()2()

lim x x f x f x x

→-= (A) '

2(0)f - (B) '

(0)f - (C) '

(0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列,则下列命题正确的是

(A) 若

1n

n u

=∑收敛,则

21

21

()n n n u

u ∞

-=+∑收敛

(B) 若

21

21()n n n u

u ∞

-=+∑收敛,则1

n n u ∞

=∑收敛

(C) 若

1n

n u

=∑收敛,则

21

21

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛

(D) 若

21

21

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛,则1

n n u ∞

=∑收敛

(4) 设4

ln(sin )I x dx π=?

,40

ln(cot )J x dx π

=?,40

ln(cos )K x dx π

=? 则I ,J ,K 的大

小关系是

(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列得矩阵B ,再交换B 的第2行与第3

行得单位矩阵记为11001

10001P ?? ?= ? ???,2100001010P ?? ?

= ? ???

,则A = (A)12P P (B)112P P - (C)21P P (D) 1

21P

P - (6) 设A 为43?矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解,1k ,2k 为任意常数,则Ax β=的通解为

(A)

23

121()2

k ηηηη++-

(B)

23

221()2k ηηηη-+- (C) 23

131221()()2k k ηηηηηη++-+-

(D) 23

221331()()2

k k ηηηηηη-+-+-

(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数,其相应的概率密度1()f x , 1()f x 是连续函数,则必为概率密度的是

(A) 12()()f x f x (B)212()()f x F x

(C) 12()()f x F x (D) 1221()()()()f x F x f x F x + (8) 设总体X 服从参数λ(0)λ>的泊松分布,11,,

(2)n X X X n ≥为来自总体的简

单随即样本,则对应的统计量11

1n i i T X n ==∑,12111

1n i n i T X X n n -==+-∑

(A)1212,ET ET DT DT >> (B)1212,ET ET DT DT >< (C)1212,ET ET DT DT <> (D) 1212,ET ET DT DT <<

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设0

()lim (13)x

t

t f x x t →=+,则'

()f x =______.

(10) 设函数(1)x

y x

z y

=+,则(1,1)|dz =______.

(11) 曲线tan()4

y x y e π

++=在点(0,0)处的切线方程为______.

(12)

曲线y 2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体

的体积______.

(13) 设二次型123(,,)T

f X X X x Ax =的秩为1,A 中行元素之和为3,则f 在正交变

换下x Qy =的标准型为______.

(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从2

2

(,;,;0)N μμσσ,则2

()E XY =______. 三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分)

求极限0

x →.

(16) (本题满分10分)

已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,(1,1)2f =是(,)f u v 的极值,

[](),(,)z f x y f x y =+。求2(1,1)|z

x y

???.

(17) (本题满分10分)

(18) (本题满分10分)

证明44arctan 03

x x π

-+

=恰有2实根。 (19) (本题满分10分)

()f x 在[]0,1有连续的导数,(0)1f =,且

'()()

t

t

D D f x y dxdy f t dxdy +=??

??,{(,)|0,0,0}(01)t D x y x t y t x y t t =≤≤≤≤≤+≤<≤,求()f x 的表达式。

(20) (本题满分11分)

设3维向量组11,0,1T α=(),20,1,1T α=(),31,3,5T α=()不能由11,,1T

a β=(),21,2,3T β=(),31,3,5T

β=()线性标出。

求:(Ⅰ)求a ;

(Ⅱ)将1β,2β,3β由1α,2α,3α线性表出. (21) (本题满分11分)

已知A 为三阶实矩阵,()2R A =,且111100001111A -????

? ?= ? ? ? ?-????

求:(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;

(Ⅱ) 求A (22) (本题满分11分) 已知X ,Y 的概率分布如下:

且2

2

P()1X Y ==,

求:(Ⅰ)()X Y ,的分布;

(Ⅱ)Z XY =的分布; (Ⅲ)XY ρ. (23) (本题满分11分)

设(,)X Y 在G 上服从均匀分布,G 由0x y -=,2x y +=与0y =围成。

求:(Ⅰ)边缘密度

()X f x ;

(Ⅱ)

|(|)X Y f x y 。

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 若01

1

lim ()1x x a e x x

→??--=???

?

,则a 等于

(A )0 (B )1 (C )2 (D )3

(2) 设1y ,2y 是一阶线性非齐次微分方程'

()()y p x y q x x +=的两个特解,若常数λ,

u 使12y uy λ+是该方程的解,12y uy λ-是该方程对应的齐次方程的解,则()

(A )1122λμ=

=, (B )1122λμ=-=-, (C )2133

λμ==, (D )22

33λμ==,

(3) 设函数()f x ,()g x 具有二阶导数,且"

()0g x <。若0()=g x a 是()g x 的极值,则

[]()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是()

(A )'

()0f a < (B )'

()0f a > (C )"

()0f a < (D )"

()0f a >

(4) 设10

()ln f x x =,()g x x =,10

()x

h x e =,则当x 充分大时有() (A )()()()g x h x f x << (B )()()()h x g x f x << (C )()()()f x g x h x << (D )()()()g x f x h x <<

(5) 设向量组Ⅰ:12r ααα,,可由向量组Ⅱ:12s βββ,,线性表示,下列命题正确的是

(A )若向量组Ⅰ线性无关,则r s ≤ (B )若向量组Ⅰ线性相关,则r s > (C )若向量组Ⅱ线性无关,则r s ≤ (D )若向量组Ⅱ线性相关,则r s > (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且20A A +=,若A 的秩为3,则A 相似于

(A )1110?????

??????? (B )1110????

????-??

??

(C )1110????-?

???

-??

?? (D )1110-????-????-???? (7) 设随机变量的分布函数0

1()01211

x x F x x e

x -

=≤

?-≥??,则{}1P X == (A )0 (B )

12

(C )11

2e -- (D )11e --

(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上的均匀分布的概率密度,若12()0

()(0,0)()0

af x x f x a b bf x x ≤?=>>?

>?为概率密度,则,a b 应满足

(A )234a b += (B )324a b += (C )1a b += (D )2a b +=

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数()y y x =由方程

2

20

sin x y

x

t e dt x t dt +-=?

?确定,则

x dy

dx ==______. (10)

设位于曲线)y e x =

≤<+∞下方,

x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是______.

(11) 设某商品的收益函数为()R p ,收益弹性为3

1p +,其中p 为价格,且(1)1R =,则()R p =______.

(12) 若曲线3

2

1y x ax bx =+++有拐点(1,0)-,则b =______.

(13) 设A ,B 为3阶矩阵,且3A =,2B =,12A B -+=,则1A B -+=______. (14) 设1x ,2x ,n x 为来自整体2

(,)(0)N μσσ>的简单随机样本,记统计量

2

1

1n i i T X n ==∑,则ET =______.

三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分) 求极限11ln lim (1)

x

x

x x →+∞

-

(16) (本题满分10分) 计算二重积分

3

()D

x y dxdy +??,其中D

由曲线x =

与直线0x +=

0x -=围成。

(17) (本题满分10分)

求函数2u xy yz =+在约束条件2

2

2

10x y z ++=下的最大值和最小值 (18) (本题满分10分) (Ⅰ)比较

[]1

ln ln(1)n

t t dt +?

与1

0ln n

t t dt ?(1,2,)n =的大小,说明理由

(Ⅱ)设[]1

ln ln(1)n

n u t t dt =

+?

(1,2,)n =,求极限lim n n u →∞

(19) (本题满分10分) 设函数()f x 在

[]

0,3上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且

2

2(0)()(2)+(3)f f x dx f f ==?,

(Ⅰ)证明:存在(0,2)η∈,使()(0)f f η= (Ⅱ)证明:存在(0,3)ξ∈,使"

()0f ξ= (20) (本题满分11分)

设1101011A λλλ????=-??????,11a b ????=??????

已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解 (Ⅰ)求λ,a

(Ⅱ)求方程组Ax b =的通解 (21) (本题满分11分)

014

13

40

A a

a

-

??

??

=-??

??

??

,正交矩阵Q使得T

Q A Q为对角矩阵,若Q的第1列

为2,1)T,求a,Q

(22) (本题满分11分)

设二维随机变量()

X Y

,的概率密度为22

22

()x xy y

f x y Ae-+-

=

,,x

-∞<<+∞,y

-∞<<+∞,求常数A及条件概率密度()

Y X

f y x

(23) (本题满分11分)

箱内有6个球,其中红,白,黑球的个数分别为1,2,3,现在从箱中随机的取出2个球,设X为取出的红球个数,Y为取出的白球个数,

(Ⅰ)求随机变量()

X Y

,的概率分布

(Ⅱ)求()

Cov X Y

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1)函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为

(A)1. (B)2.

(C)3.

(D)无穷多个.

(2)当0x →时,()sin f x x ax =-与2

()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小,则

(A)1a =,16b =-. (B )1a =,1

6b =. (C)1a =-,16b =-. (D )1a =-,1

6b =.

(3)使不等式1sin ln x t

dt x t

>?成立的x 的范围是

(A)(0,1).

(B)(1,

)2π

. (C)(,)2

π

π.

(D)(,)π+∞.

(4)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为

则函数()()0

x

F x f t dt =

?的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

(5)设,A B 均为2阶矩阵,*

,A B *

分别为,A B 的伴随矩阵,若||2,||3A B ==,则分

块矩阵O A B O ?? ???

的伴随矩阵为

(A)**32O B A O ?? ???.

(B)**

23O

B A

O ??

???. (C)**32O A B O ??

???

.

(D)**

23O

A B

O ??

???

. (6)设,A P 均为3阶矩阵,T P 为P 的转置矩阵,且100010002T

P AP ?? ?= ? ???

若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+,则T

Q AQ 为

(A)210110002??

? ? ???.

(B)110120002??

?

? ???.

(C)200010002?? ? ? ???

.

(D)100020002?? ?

? ???

.

(7)设事件A 与事件B 互不相容,则 (A)()0P AB =.

(B)()()()P AB P A P B =.

(C)()1()P A P B =-.

(D)()1P A B ?=.

(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布(0,1)N ,Y 的概率分布为

1

{0}{1}2

P Y P Y ====

,记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断

点个数为

(A) 0.

(B)1. (C)2. (D)3.

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9

)cos x x →= .

(10)设()y x

z x e =+,则

(1,0)

z

x ?=? . (11)幂级数2

1

(1)n n n

n e x n ∞

=--∑的收敛半径为 . (12)设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加 元.

(13)设(1,1,1)T α=,(1,0,)T

k β=,若矩阵T αβ相似于300000000??

? ? ???

,则k = .

(14) 设1X ,2X ,…,m X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本,X 和2

S 分别为样本均值和样本方差,记统计量2

T X S =-,则ET = .

三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分9分)

求二元函数()

22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. (16)(本题满分10 分)

计算不定积分ln(1dx +

?

(0)x >. (17)(本题满分10 分) 计算二重积分

()D

x y dxdy -??,其中2

2{(,)(1)

(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥.

(18)(本题满分11 分)

(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理,若函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,则

(),a b ξ∈,得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.

(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()0,,(0)σσ>内可导,且

'0

l i m ()x f x A +

→=,则'(0)f +存在,且'(0)f A +=. (19)(本题满分10 分)

设曲线()y f x =,其中()f x 是可导函数,且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线

0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的t π倍,求该曲线的方程.

(20)(本题满分11 分) 设

111A=111042--?? ?- ? ?--??,1112ξ-??

?= ? ?-??

.

(Ⅰ)求满足21A ξξ=,231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ. (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量2ξ,3ξ,证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. (21)(本题满分11 分) 设二次型

2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.

(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值.

(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. (22)(本题满分11 分)

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

0(,)0

x e y x f x y -?<<=?

?其他

(Ⅰ)求条件概率密度()Y X f y x ; (Ⅱ)求条件概率{}

11P X Y ≤≤. (23)(本题满分11分)

袋中有一个红球,两个黑球,三个白球,现在放回的从袋中取两次,每次取一个,求

以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.

(Ⅰ)求{}

10P X Z ==;

(Ⅱ)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1)设函数()f x 在区间[1,1]-上连续,则0x =是函数0

()()x

f t dt

g x x

=

?的( )

(A )跳跃间断点. (B )可去间断点.

(C )无穷间断点.

(D )振荡间断点.

(2)如图,曲线段方程为()y f x =,函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数,则定积分

()a

t xf x dx ?

等于( )

(A )曲边梯形ABOD 面积.

(B ) 梯形ABOD 面积.

(C )曲边三角形ACD 面积.

(D )三角形ACD 面积.

(3)

已知(,)f x y =,则

(A )(0,0)x f ',(0,0)y f '都存在 (B )(0,0)x f '不存在,(0,0)y f '存在 (C )(0,0)x f '存在,(0,0)y f '不存在 (D )(0,0)x f ',(0,0)y f '都不存在

(4)设函数f

连续,若22(,)uv

D F u v =

,其中uv D 为图中阴影部分,则

F

u

?=?

( )

(A )2

()vf u (B )

2()v f u u (C )()vf u (D )()v

f u u

(5)设A 为阶非0矩阵,E 为n 阶单位矩阵,若30A =,则( )

(A )E A -不可逆,E A +不可逆.

(B )E A -不可逆,E A +可逆. (C )E A -可逆,E A +可逆.

(D )E A -可逆,E A +不可逆.

(6)设1221A ??

= ???

则在实数域上域与A 合同的矩阵为( )

(A )2112-??

?-??.

(B )2112-??

?-??

.

(C )2112??

???

.

(D )1221-??

?-??

.

(7)随机变量,X Y 独立同分布,且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为( )

(A )()2

F

x .

(B )()()F x F y .

(C )()2

11F x --????.

(D )()()11F x F y --????????.

(8)随机变量()~0,1X N ,()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则( )

(A ){}211P Y X =--=.

(B ){}211P Y X =-=.

(C ){}211P Y X =-+=.

(D ){}211P Y X =+=.

二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.

(9)设函数21,()2,

x x c f x x c x ?+≤?

=?>??

在(,)-∞+∞内连续,则c = .

(10)设3

4

1()1x x f x x x ++=+

,则2

()______f x dx =?.

(11)设22{(,)1}D x y x y =+≤,则

2

()D

x y dxdy -=?? . (12)微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = .

(13)设3阶矩阵A 的特征值为1,2,2,E 为3阶单位矩阵,则14_____A E --=. (14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}

2P X EX == . 三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分) 求极限20

1sin lim

ln

x x

x x

→. (16) (本题满分10分)

设(,)z z x y =是由方程()2

2

x y z x y z ?+-=++所确定的函数,其中?具有2阶导数

且1?'≠-时.

(Ⅰ)求dz (Ⅱ)记()1,z z u x y x y x y ????=

- ?

-????

,求u

x ??. (17) (本题满分11分) 计算

max(,1),D

xy dxdy ??其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.

(18) (本题满分10分) 设()f x 是周期为2的连续函数, (Ⅰ)证明对任意的实数t ,有()()2

2

t t

f x dx f x dx +=?

?;

(Ⅱ)证明()()()20

2x

t t G x f t f s ds dt +??=

-????

?

?是周期为2的周期函数.

(19) (本题满分10分)

设银行存款的年利率为0.05r =,并依年复利计算,某基金会希望通过存款A 万元,实现第一年提取19万元,第二年提取28万元,…,第n 年提取(10+9n )万元,并能按此规律一直提取下去,问A 至少应为多少万元?

(20) (本题满分12分) 设n 元线性方程组Ax b =,其中

2

221212n n a a a A a a ???

?

?= ?

??

?,12n x x x x ??????=??????

,100b ??????=?????? (Ⅰ)求证行列式()1n

A n a =+;

(Ⅱ)a 为何值时,该方程组有唯一解,并求1x ; (Ⅲ)a 为何值时,方程组有无穷多解,并求通解。 (21)(本题满分10分)

设A 为3阶矩阵,12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量,向量3a 满足

323Aa a a =+,

(Ⅰ)证明123,,a a a 线性无关; (Ⅱ)令()123,,P a a a =,求1

P AP -.

(22)(本题满分11分)

设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为{}()1

1,0,13

P X i i ==

=-,Y 的概率密度为()101

0Y y f y ≤≤?=??

其它,记Z X Y =+

(Ⅰ)求102P Z X ??

=????

; (Ⅱ)求Z 的概率密度()Z f z . (23) (本题满分11分) 设12,,

,n X X X 是总体为2

(,)N μσ的简单随机样本.记1

1n

i i X X n ==∑,

2

2

11()1n i

i S X X n ==--∑,221T X S n =-. (Ⅰ)证明T 是2

μ的无偏估计量. (Ⅱ)当0,1μσ==时,求DT .

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上

(1) 当0x +→等价的无穷小量是()

(A )1- (B )ln(1+ (C 1 (D )1-

(2) 设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是()

(A )若0()

lim

x f x x

→存在,则(0)0f =

(B )若0()()

lim x f x f x x

→+-存在,则(0)0f =

(C )若0()

lim x f x x

→存在,则'(0)f 存在

(D )若0()()

lim x f x f x x

→--存在,则'(0)f 存在

(3) 如图,连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()(),

x

F x f t dt =?则下列结论正确的是()

(A )3(3)(2)4

F F =-

- (B )5

(3)(2)4F F =

(C )3(3)(2)4F F -= (D )5

(3)(2)4

F F -=--

(4) 设函数(,)f x y 连续,则二次积分1

sin 2

(,)x

dx f x y dy π

π

??

等于()

(A )10

arcsin (,)y

dy f x y dx π

π

+?? (B )1

0arcsin (,)y

dy f x y dx π

π-??

(C )

1arcsin 0

2

(,)y

dy f x y dx ππ

+?? (D )1arcsin 0

2

(,)y

dy f x y dx ππ

-??

(5) 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-,其中Q ,ρ分别表示需要量和价格,如果

该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是()

(A )10 (B )20 (C )30 (D )40 (6) 曲线1

ln(1),x y e x

=

++渐近线的条数为() (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 (7) 设向量组1α,2α,3α线性无关,则下列向量组线性相关的是()

(A )12αα-,23αα- ,31αα- (B) 12+αα,23+αα,31+αα (C )1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++

(8) 设矩阵211121112A --????=--????--??,100010000B ????

=??????

,则A 与B ()

(A )合同,且相似 (B) 合同,但不相似 (C) 不合同,但相似 (D) 既不合同,也不相似

(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()

(A )2

3(1)p p - (B) 2

6(1)p p - (C) 2

2

3(1)p p - (D) 2

2

6(1)p p -

(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度,则在Y y =条件下,X 的条件概率密度()X Y f x y 为()

(A )()X f x (B) ()Y f y (C)()()X Y f x f y (D)

()

()

X Y f x f y 二、填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上

(11) 323

1

lim

(sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+. (12) 设函数123

y x =

+,则()

(0)_________n y =. (13) 设(,)f u v 是二元可微函数,(,),y x z f x y =则z z

x

y x y

??-??________.

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