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数学建模习题7

数学建模（I ）习题

习题 7

1．二人对策{}R S S G B A ,,=是否具有鞍点？其中{}1234,,,A S αααα=、{}123,,B S βββ=，

06324 1619117R --?????

?=??

????

－－ 2．二人对策{}R S S G B A ,,=是否具有鞍点？其中{}1234,,,A S αααα=、{}14,,B S ββ= ，

565142185750

62R ????-?

?=??

????

。 3．试求混合策略问题“石头—剪刀—布”游戏的鞍点。若甲方采取混合策略（0.3，0.3，0.4）出拳，乙方采取混合策略（0，0.5，0.5）出拳，哪一方胜算大些？ 4．试求混合策略问题“田忌赛马”的鞍点。

5．查阅文献，分别使用图解法、方程组法及线性规划方法解决混合策略问题{}R S S G B A ,,=,其中{}12,A S αα=、{}12,B S ββ=，1342R ??

???

。 6．开采石油会遇到是否在某处钻井的问题，尽管勘探队已作了大量调研分析，但由于地下结构极为复杂，无法准确预测开采的结果。根据以往经验及勘探资料，开采出高产油井的概率为0.3，高产油井将带来40万元的利润；开采出中小产油井的概率为0.5，中小产油井将带来20万元的利润；开采出无油井的概率为0.2，开采的费用30万元将直接亏损。决策者可以决定钻井，也可以决定不钻井。决策者应如何作出决策？。

7．某科研单位拟参加某企业新产品的研制，但得到合同必须参加投标。已知投标的准备费用为40000元，中标的可能性为40％。如果不中标，准备费用将得不到补偿。如果中标，可以采用两种方法进行研制：方法1成功的可能性为80％，费用为260000元；方法2成功的可能性为50％，费用为160000元。若研制成功，该单位可得600000元，如果合同中标但未研制成功，则该单位需赔偿100000元。试用决策树的方法决策（1）是否参加投标（2）若中标，采用哪种方法研制新产品。

8．假设未来可能出现五种自然状态θ1、θ2、…、θ5，但各状态发生的可能性未知。现有四种可供选择的行动方案α1、…、α4，各自然状态下行动方案相应的收益见下表。试分别使用乐观法、悲观法、乐观系数法、等可能法及遗憾准则作出决策。

9．经过一番打探及亲身体验，你准备从三种车型（记为,,）中选出一种购买，选择的标准主要有价格、耗油量大小、舒适程度和外表美观。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵

3781155171131111?????

????

???

。三种车型关于价格、耗油量、舒适度及你对它们外表的喜欢程度的成对比较矩阵为：

（价格）（耗油量）（舒适度）（外表）

a b c a b c a b c a b c

123121213121a b c ?????????? 1

151251

1a b c ?????

????? 1

5131415141a b c ??

???

????? 115351713171

a b c ??????????

（1）根据上述矩阵将四项标准在你心目中的比重按由重到轻的顺序排出。

（2）哪种车最便宜、哪种车最省油、哪种车最舒适，你认为哪种车最漂亮？（3）用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）。

数学建模典型例题

一、人体重变化某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。一、问题分析人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立假设在△t时间内：体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t））将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij

数学建模练习题

数学建模试题 1、新工人的学习曲线在电冰箱、电视机、汽车等行业中，装配工人的工作是一种重复性的熟练劳动。在这些行业中，新工人的学习过程如下：刚开始时由于技术不熟练，生产单位产品需要较多的劳动时间，随着不断的工作，新工人的熟练程度逐步提高，生产单位产品所需的劳动时间越来越短；当工人达到完全熟练程度以后，生产单位产品所需要的劳动时间就会稳定在一个定值。纺织厂招收一批新工人学习1511型织布机的操作。观察工人的学习过程发现，当累计织完25匹布以后，工人织每匹布需要用16小时；当累计织完64匹布时，工人织每匹布用10小时.已知熟练工人织每匹布用8小时，是确定出新工人的学习曲线，并计算新工人用多少时间才能达到熟练工人的程度。 2、乙酸回收的最好效果在,A B 两种物质的溶液中，我们想提取出物质A ，可以采取这样的方法：在,A B 的溶液中加入第三种物质C ，而C 与B 不互溶，利用A 在C 中的溶解度较大的特点，将A 提取出来。这种方法就是化工中的萃取过程。现有稀水溶液的乙酸，利用苯作为溶剂，设苯的总体积为m 。进行3次萃取来回收乙酸.问每次应取多少苯量，方使从水溶液中萃取的乙酸最多？ 3、陈酒出售的最佳时机某酒厂有批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入050R =万元，如果窖藏起来待来日（第n 年）按陈旧价格出售，第n 年末可得总收入为0R R =元。而银行利率为0.05r =。试分析这批好酒窖藏多少年后出售可使总收入的现值最大。 4、电子游戏中的数学近年来，随着电子游戏的日益普及，电子游戏业已成为横跨信息技术和文化的重要产业。对电子游戏中的一些数学问题进行研究，成为数学界和相关人士的一个热门话题。在某电子游戏中，玩家每次下注一元，由机器随机分配给玩家五张扑克牌，然后允许玩家有一次换牌的机会，即可以放弃其中的某几张牌，放弃的牌留下的空缺由机器在剩下的47张牌中再次随机分配。玩家的奖金依据其最后所持有的牌型而定。下面是一份典型的奖金分配表：牌型奖金（元）同花大顺（10到A ） 800 同花顺 50 四张相同点数的牌 25 满堂红（三张同点加一对） 8 同花 5

数学建模期末考试A试的题目与答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。（12分） 1、二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克）（1）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学

数学建模试题

2012-2013第一学期《数学建模》试题卷班级：2010级统计姓名：石光顺学号：20101004025 成绩：一、用Matlab 求解以下优化问题（10分）用Matlab 求解下列线性规划问题：解：首先化Matlab 标准型，即 123121114123x x x ?? -??????≤??????---???? ???? ，然后编写Matlab 程序如下： f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果： x = 0.0000 2.3333 0.3333 y = -2.6667 即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时，max 2.6667z =-。二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab 求解（20分）某厂生产三种产品I ，II ，III 。每种产品要经过A , B 两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以A 1, A 2表示；有三种规格的设备能完

成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。表1 解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，并作如下假设：按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为 x ; 1 按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为 x; 2 按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为 x; 3 按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为 x; 4 按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为 x; 5 按(A2，B3)组合生产产品I，设其产量为 x; 6 按(A1，B1)组合生产产品II，设其产量为 x; 7 按(A2，B1)组合生产产品II，设其产量为 x; 8 按(A2，B2)组合生产产品III，设其产量为 x; 9 则目标函数为：约束条件为：目标函数整理得：（2）用Matlb程序求解目标函数，编写程序如下： f=[-0.37;-0.31;-0.40;-0.34;-0.34;-0.43;-0.65;-0.86;-0.68]; a=[5,5,5,0,0,0,10,0,0 0,0,0,7,7,7,0,9,12 6,0,0,6,0,0,8,8,0 0,4,0,0,4,0,0,0,11 0,0,7,0,0,7,0,0,0]; b=[6000;10000;4000;7000;4000]; [x,y]=linprog(f,a,b,[],[],zeros(9,1)); x,y=-y 输出结果为：

数学建模典型例题(二)

6 小行星的轨道模型问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1. 表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为 012225423221=+++++y a x a y a xy a x a . 问题分析与建立模型天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）. 由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得 ???? ?????-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224 135342 3333223125242 232222211514213112211y a x a y a y x a x a ， y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵

数学建模习题与答案课后习题

第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。（2）2.1节中的Q值方法。（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。

数学建模习题

4 美术馆悬挂着一副高h 的画，画的下边比一个观众的眼睛高d ，这个观众站在距离墙多远的距离才是最佳视角？假设：人与墙的距离为x x d = αtan x h d += +)tan(βα ))tan((tan αβαβ-+= α βαα βαt a n )t a n (1t a n )t a n (?++-+= x h d x d x h +?+= 1 x h d d x h )(+?+ = ∵ab b a 2≥+ 当b a =时 ab b a 2=+ ∴) (2tan h d d h +?= β

8. 细菌生长繁殖速度之快、以及数量之大是难以琢磨的．而有些细菌是有益的、更多的是疾病之源．下面记录了某种细菌的繁殖数据，研究：（1）开始时细菌的个数是多少？（2）如果细菌以过去的速度继续增长，一个月后细菌的个数是多少？细菌繁殖过程记录数据表1-2 假设：（1），一个月是30天，天数为x，开始时细菌的个数为k。（2），细菌的生长环境（包括温度，湿度，空气含量等）保持不变；细菌在生长过程中没有大量死亡的特殊情况； x （1） y* e k 由上表公式得出开始时细菌的个数约是401个带入公式（1）算出一个月后细菌的个数：

30 0.1969456 * y 401.573190 * 82 e 得出一个月后细菌的个数约是65266个。

2．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象. （1）分析商品的价格C 与商品重量W 的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W 成正比，有的与表面积成正比，还有与W 无关的因素。 (2)给出单位重量价格C 与W 的关系。画出它的简图，说明W 越大C 越小，但是随着W 的增加C 减小的程度变小。解释实际意义是什么。（1）假设：商品几何相似相对长度为L ，质量为W ，体积为V ，表面积为S 。因为：生产成本与重量W 成正比，与体积V 成正比，与长度3 L 成正比。包装成本与表面积S 成正比，与长度2 L 成正比，与体积32V 成正比，与重量3 2W 成正比。所以：33 221k w k w k C ++= 又∵w C c = ∴133 121--++=w k w k k c ( 321,,k k k 为大于零的常数) （2）单位重量价格： w c C = ∵ 2 334 23 1----='w k w k c ＞0 3337 229 4 --+=''w k w k c ＞0 ∴图像为单调递减且上凹。

D数学建模试题

D数学建模试题 Hessen was revised in January 2021

2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”） D题公务员招聘我国公务员制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的《国家公务员暂行条例》规定：“国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用”。目前, 我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员，具体的招聘办法和程序如下：（一）公开考试：凡是年龄不超过30周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验”三个部分，每科满分为100分。根据考试总分的高低排序按1:2的比例（共16人）选择进入第二阶段的面试考核。（二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级，具体结果见表１所示。（三）由招聘领导小组综合专家组的意见、笔初试成绩以及各用人部门需求确定录用名单,并分配到各用人部门。该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、 (2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。见表2所示。招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（见表2）。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表1）。请研究下列问题：（1）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录用，试帮助招聘领导小组设计一种录用分配方案；（2）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要求的情况下，请你帮助招聘领导小组设计一种分配方案；（3）你的方法对于一般情况，即N个应聘人员M个用人单位时，是否可行 (4) 你对上述招聘公务员过程认为还有哪些地方值得改进，给出你的建议。表１：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿

2003全国大学生数学建模竞赛B题优秀论文(出题人亲作)

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。问题分析：本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1．运输矿石与岩石两种物资； 2．产量大于销量的不平衡运输； 3．在品位约束下矿石要搭配运输； 4．产地、销地均有单位时间的流量限制； 5．运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6．铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7．最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现；第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从1207 10 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。合理的假设主要有： 1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况； 2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即可，不进行排时讨论； 3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量； 4. 卡车可提前退出系统。符号：x ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的石料运量单位吨； c ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的距离公里； T ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上运行一个周期平均所需时间分； A ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点最多能同时运行的卡车数辆； B ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上一辆车最多可以运行的次数次； p i ~ i 号铲位的矿石铁含量。 % p =(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31) q j ~ j 号卸点任务需求吨 q =(1.2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000

数学建模习题

数学建模与数学实验课程练习练习集锦 1简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。 2 简述数学模型及数学建模的特点。 3 简述数学建模的常用分类方法。 4求方程 06 /12 625 .05 .04 )(=------=x x x x f 的模最大的根的近似值（精确到小数点后两位）。 5在抢渡长江模型中，如果水流速度 1.8/v m s =为常数，人的游泳速度 1.5/u m s =为常数，江面宽度为1200H m =，终点位置在起点下游 1000L m =处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。 6沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。（1）对于最优方案，用α表示,βγ。（2）求最优取水口位置。 7在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 (,0) P x

31/52a b P c d e f ?? ??=?? ???? ，（1）确定矩阵P 的未知元素。（2）求P 模最大特征值。（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。（2）求P 模最大特征值。（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 9考虑下表数据 (1)用曲改直的思想确定经验公式形式。（2）用最小二乘法确定经验公式系数。 10考虑微分方程

数学建模课后习题答案

第一章课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为： )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ（1）原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程： 0)0(,=-=y y x dt dy μλ（2）方程（1）可转换为：t Me t x λ-=)( 带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解，得：严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=；致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解：严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。

解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系： 1）以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状； 2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议； 3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2，他有两种

全国数学建模大赛题目

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。附件1：小椭圆储油罐的实验数据附件2：实际储油罐的检测数据地平线油位探针

数学建模练习题1

2.14成绩与体重数学建模一、问题举重比赛按照体育运动员的体重分组，你能在一些合理、简单的假设下，建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是下一届奥运会的成绩，可供检验你的模型。一、问题分析成绩与肌肉的力度有直接关系，随着力度的增加，成绩呈上升趋势。假设力度与肌肉横截面积成正比，而截面积和体重都与身体的某个特征尺寸有直接关联。由此可以找到成绩和体重之间的关系。可以以此建立模型。

二、模型假设以及符号说明 1．本模型主要考虑运动员举重总成绩和体重的关系，所以假设运动员其他条件相差不大。 2．运动员的举重能力用其举重的总成绩来刻画 3．符号说明：人的体重 W 人的身高 h 肌肉横截面积 S 人的体积 V 肌肉强度 T 举重成绩 C 非肌肉重量 W1 斜率 K 三、模型构成模型一 1．题中给出举重比赛按照体育运动员的体重分组，所以我们猜测成绩与体重应该是正比关系。 2．画出坐标图，体重越重，成绩越好，进一步验证了正比关系。最大体重

从上图可以看出，体重越大，举重总成绩相对越好，所以我们猜测举重总成绩与体重大概成线性关系。则，我们可以用一次函数C=kW+b对三个体重进行拟合，根据图中数据，可得： = = 2.66， = = 1.45, = = 1.17 把b代入得出三个一次函数为： = 2.66W+143.8, = 1.45W+75.1, = 1.17W+69.7, 用上述模型计算得到的理论值,并画出图表与原图表进行比较：最大体重

通过比较两个图表，我们可以推测体重与成绩数据的推测图表和已知图标的拟合度并不是特别的理想，所以我们可以认为用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。模型二我们这一次综合各种因素来进行分析建模。通过查阅各种自然科学磁疗，我们可以近似以为：一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即： C = T (为常数且>0) ○1从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即： T = S (为常数且>0) ○ 2综合○1，○2可得 C=T=S ○3通过查阅资料，我们可以假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方，即可得： S = , W = (，为常数且>0，>0) 综合上述所有算式，我们有： C= S = ○ 4 因为W = ，我们可以推测出举重运动员举重总成绩与其体重的关系为： C = 利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，求出上述模型的常数M。利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系数 K 。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。经过代入9次运算得出平均常数，为=20.3,=9.6，=9.0。于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为

数学建模小题库

数学模型选修课考查题 1、某甲早8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿。次日早8:00沿同一路径下山，下午5:00回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？ 2、如图，用宽ω的布条缠绕直径d 的圆柱形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角α应多大？若知道管道长度l ，需用多长布条（可考虑两端的影响）？如果管道是其它形状（如截面是6边形，椭圆等等）呢？ 3、建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。在每个生产周期T 内，开始的一段时间（00t T <<）一边生产一边销售，后来的一段时间（0T t T <<）只销售不生产，画出贮存量()q t 的图形。设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论k r 和k r ≈的情况。 4、某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A ，B ）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A ，B 。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3,1,2,1（%），进货价格分别为6,16,10,15（千元/吨）；产品A ，B 的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），售价分别为9,15（千元/吨）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A ，B 的市场需求量分别为100吨、200吨。问应如何安排生产？ 5、用层次分析法解决一个实际问题，可参考下列问题：（1）学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型。可分为相对评价和绝对评价两种情况讨论。（2）你要购置一台个人电脑，考虑功能、价格等的因素，如何做出决策。（3）为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型。（4）你的家乡准备集资兴办一座小型饲养场，是养猪，还是养鸡、养鸭、养兔……

数学建模试题(带答案)

数学建模试题（带答案）第一章 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换， 0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且， 0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f 证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则，由g f 和的连续性知h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ，所以0)()(00==a g a f

第二章 7. 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章 5.根据最优定价模型考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x . 利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12 /011--=? 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=? 总利润 )()(21p u p u U += 由 0,02 1=??=??p U p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++= )]4 3([2102T q b a b P β++=

数学建模优化问题经典练习

1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000

数学建模习题指导

数学建模习题指导第一章初等模型讨论与思考讨论题1 大小包装问题在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。（1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。提示：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低思考题2 划艇比赛的成绩赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。各种艇的比赛成绩与规格 γβα++=3 2w w C w w c γβα++=-3 123 431w w c γβ--='-3 2943 4w w c γβ+=''-

第二章线性代数模型森林管理问题森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。思考：试解释为什么模型中求解得到的为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。练习：将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。第三章优化模型讨论题 1）最优下料问题用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。 2）广告促销竞争问题甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。（1）令（2）写出甲公司的利润表达式对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。练习1 三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。下表给出了工厂和商店的距离（单位公里）， 857.0=n R ) (),(y x y f y x x f ++的示意图。。画出则)()()(,t f t f t f y x x t 11=-++= 。 )(t p

数学建模习题7

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