中考第20题训练题旋转、作图

2015年来宾市中考第20题（作图、变换）专题训练

1. （5分）（2013?贵港）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣4，3）、B （﹣3，1）、C （﹣1，3）． （1）请按下列要求画图：

①将△ABC 先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1； ②△A 2B 2C 2与△ABC 关于原点O 成中心对称，画出△A 2B 2C 2．

（2）在（1）中所得的△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2关于点M 成中心对称，请直接写出对称中心M 点的坐标．

2.（15预测）如图，已知△ABC ，且∠ACB ＝90°。

（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

①以点B 为圆心，AC 边的长为半径作⊙B ； ②以点A 为顶点，在AB 边的下方作∠BAD=∠ABC ． （2）请判断直线AD 与⊙B 的位置关系，并写出证明过程．

3. （2013?钦州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，4），请解答下列问题：

（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标．

（2）画出△A 1B 1C 1绕原点O 旋转180°后得到的△A 2B 2C 2，并写出点A 2的坐标．

4. 已知Rt △ABC 中，∠B=90o,AD 平分∠A ，交BC 边于点D 。

（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）作线段AD 的垂直平分线交AB 于E ，交AC

于F ，垂足为H ；连接DE 。

(2)在（1）所作的图形中证明：△DHE ≌△AHF 。

5. 已知：线段a （如图7） 求作：（1）△ABC ，使AB ＝BC ＝CA ＝a ；

（

2）⊙O ，使它内切于△ABC ． （说明：要求不写出作法，保留作图痕迹．）

6. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

. 某汽车探险队要从A 城穿越沙漠去B 城，途中需要到河流L 边为 汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？

请你在图上画出这一点．

7.

如图，已知在△ABC 中，∠A ＝90°。请用圆规和直尺作⊙P ，使圆心P 在AC 上，且与AB 、BC 两边都相切。（要求保留作图痕迹，不必写作法和证明）

A

第2题图

C B A 第7题图 第8题图 第9题图 第4题图

8. 如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请作出它的位置。

9. 做铁桶要在一三角形铁皮上截一个面积最大的圆形铁皮，请作出该圆。

10. 如图有一破残的轮片现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识确定这个圆形零件的半径。

11.已知⊙O 上一点P 和⊙O 外一点Q ，求作⊙A ，·使它经过点Q 且与⊙O 外切于点P 。

12.已知：锐角△ABC ，求作：点 P ，使PA ＝PB ，且点 P 到边 AB 的距离和到边 AC 的距离相等。

13. 如图已知：线段a ，c ，∠α.求作：△AB C.使BC ＝a ，AB ＝c ，∠ABC ＝∠α.

有公路l 1同侧、l 2异侧的两个城镇A ，B ，如图6－3－22.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A ，B 的距离必须相等，到两条公路l 1，l 2的距离也必须相等，发射塔C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C 的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法)．

14. 在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A ，B ，C . (1)请完成如下操作：

①以点O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置(不用写作法，保留作图痕迹)，并连接AD ，CD ；

(2)请在(1)的基础上，完成下列问题：

①写出点的坐标：C __________，D __________； ②⊙D 的半径＝____________(结果保留根号)；

③若扇形ADC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为________(结果保留π)； ④若点E (7,0)，试判断直线EC 与⊙D 的位置关系，并说明你的理由．

15. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，∠ABC = 72°.

（1）用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D （保留作图

痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）中作出∠ABC 的平分线BD 后，求∠BDC 的度数.

16. A ，B 是平面上的两个定点，在平面上找一点C ，使△ABC 构成等腰直角三角形，且C 为直角顶点．请问：这样的点有几个？在图中作出符合条件的点(要求尺规作图，保留痕迹，不写作法)．

第11题图

第10题图 ·Q

第12题图 第13题图

（第15题图）

﹒ ﹒

A B

18. 如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D.

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O，作直径AE，连接BE.

（2）若AB=8,AC=6,AD=5,求直径AE的长.

19. （1）如图，已知点A B

，的坐标分别为(00)(40)

，，，，

将ABC

△绕点A按逆时针方向旋转90°得到AB C''

△.

①画出AB C''

△；

②写出点C'的坐标；

20.（2014?来宾）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．

（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规左图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）求证：DE=BF．

21.（2014年北海）已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．

（1）求作：，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）

（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．

A B

22．（2014?贵港）如图，在△ABC中，AB=BC，点点D在AB的延长线上．

（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．

①作∠CBD的平分线BM；

②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F．

（2）由（1）得：BF与边AC的位置关系是．

23.（2014?安徽省,第17题8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．

（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．

24.（2014?广西玉林市、防城港市，第21题6分）如图，已知：

BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是90°．

x

25.（2014?毕节地区，第23题10分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．

（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；

（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C

两点的坐标；

（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．

26.（15预测）（2014?武汉，第20题7分）如图，在直角坐标系中，A（0，4），C（3，0）．（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB；

②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x

轴，请画出线段CD；

（2）若直线y=kx平分（1）中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值．

的中心坐标为（，

代入直线得，k

=．

27.（2014?湘潭，第17题）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；

（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；

（3）在（2）的条件下，A1的坐标为（﹣2，3）．

（第1题图）

点B

顺时针旋转90°至△DBE 后，再把△ABC 沿射线平移至△FEG ，DF 、FG 相交于点H ． （1）判断线段DE 、FG 的位置关系，并说明理由；

（2）连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．

（第3题图）

29. （2014?四川巴中，第24题7分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点坐标分别为A （﹣2，4），B （﹣2，1），C （﹣5，2）

．

（1）请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1．

（2）将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，请画出△A 2B 2C 2．

（3）求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积比，即：

= 1：4 （不写解答过程，

直接写出结果）．

考点：平面直角坐标系，相似三角形的面积比． 分析：

（1）根据关于x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）根据将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得出各点坐标，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案． 解答：（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求； （2）如图所示：△A 2B 2C 2即为所求；

（3）∵将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，

∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为：1：2，

∴：=1：4．故答案为：1：4．

点评：此题主要考查了位似变换以及轴对对称变换，得出对应点位置是解题关键．

30. （2014?黑龙江龙东,第22题6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．

（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．

分析：（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；

（2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；

（3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标．

解答：解：（1）如图所示：△A1B1C即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；

（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解题关键．31. （2014?黑龙江绥化,第21题6分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；

（3）△A2B2C2的面积是10平方单位．

32.（2014?丽水，第19题6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′

（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；

（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．

=5

=

33.（15预测）（ 2014?广东，第19题6分）如图，点D 在△ABC 的AB 边上，且∠ACD =∠A ． （1）作∠BDC 的平分线DE ，交BC 于点E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE 与直线AC 的位置关系（不要求证明）．

考点： 作图—基本作图；平行线的判定．

分析： （1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；

（2）根据角平分线的性质可得∠BDE =∠BDC ，根据三角形内角与外角的性质可得

∠A =∠BDE ，再根据同位角相等两直线平行可得结论．

解答： 解：（1）如图所示：

（2）DE ∥AC ∵DE 平分∠BDC ，

∴∠BDE =∠BDC ，

∵∠ACD =∠A ，∠ACD +∠A =∠BDC ， ∴∠A =

∠

BDC ， ∴∠A =∠BDE ， ∴DE ∥A C ．

点评： 此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线

平行．

34. （ 2014?珠海，第15题6分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°． （1）用尺规在边BC 上求作一点P ，使P A =PB （不写作法，保留作图痕迹） （2）连结AP ，当∠B 为 度时，AP 平分

∠CA B ．

①分别以A ，C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点； ②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ； ③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF ． （1）求证：△AED ≌△CFD ； （2）求证：四边形AECF 是菱形．

，

（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

尺规作图

37..在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于

1

2

BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD. 若CD=AC，

∠

B=250，则∠ACB的度数为.

答案：1050.

解析：由①的作图可知CD=BD,则∠DCB=∠B=250,∴∠ADC=500,又∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=500,∴∠ACD=800,∴∠ACB==800+250=1050.

38．（2014?湖南怀化，第21题，10分）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME 是东西方向的公路．现电信部门需在

C

处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部

（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．

中，=tan

MD==

=tan

ND==CD

（

MN=MD+DN=CD+（

39.（2014?江西抚州，第15题，5分）如图，△ABC与△DEF关于直线对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线.

解析：利用轴对称性质：对应线段（或延长线）的交于对称轴上一点.

如图，直线l 就是所求作的对称轴.

3. （2014?浙江杭州，第20题，10分）把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．

（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．

．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为

π×

法和证明）；

（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．

解答：

本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆．

，中，，．）动手操作：利用尺规作以

为直径的

，并标出

与

的交点

，与

的交点

（保留作图痕迹，不写作法）： （2）综合应用：在你所作的圆中，

①求证：；

②求点

到

的距离．

【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理； ②勾股

定

理，等面积法

【分析】（1）先做出中点

，再以

为圆心，

为半径画圆.

（2）①要求

，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.

②首先根据已知条件可求出

，依题意作出高

，求高则用勾股定理或面积法，

注意到

为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出

，

的长度，那么在

中，求其高，就只需用面积法即可求出高

.

【答案】（1）如图所示，圆为所求

（2）①如图连接，设

,

又

则

②连接,过

作

于,过

作于

cosC=, 又

,

又

为直径

设，则，

在和

中， 有

即

解得：

即

又

即

43．（15预测）（2014?广东梅州,第16题7分）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，分别以A 、C 为圆心，大于AC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，连接MN ，与AC 、BC 分别交于点D 、E ，连接AE ，则： （1）∠ADE = 90 °； （2）AE = EC ；（填“=”“＞”或“＜”）

（3）当AB =3，AC =5时，△ABE 的周长= 7 ．

=

=4

尺规作图

一、选择题 1、（2014?河北，第12题3分）如图，已知△ABC （AC ＜BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，使PA+PC=BC ，则符合要求的作图痕迹是（ ）

． B ． ． D ．

B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径画弧，相交于点

C ，

D ，则直线CD 即为所求．连结AC ，

BC ，AD ，BD ，根据她的作图方法可知，四边形ADBC 一定是（ ）

的依据是（ ）

A ． （SAS ）

B ． （SSS ）

C ． （ASA ）

D ． （AAS ）

考点： 作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．

分析： 我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS

，答案可得． 解答： 解：作图的步骤：

①以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点C 、D ；

②任意作一点O ′，作射线O ′A ′，以O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′； ③以C ′为圆心，CD 长为半径画弧，交前弧于点D ′； ④过点D ′作射线O ′B ′．

所以∠A ′O ′B ′就是与∠AOB 相等的角； 作图完毕．

在△OCD 与△O ′C ′D ′，

，

∴△OCD ≌△O ′C ′D ′（SSS ）， ∴∠A ′O ′B ′=∠AOB ，

显然运用的判定方法是SSS ． 故选：B ．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键． 4． 二、 1．

二、解答题 1、（2014?无锡，第25题8分）（1）如图1，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 为半径画弧交边AB 于E ．求证：=

．（这

个比值

叫做AE 与AB 的黄金比．）

（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC ．

（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）

x ﹣=

．（1）在图1中画一个与梯形ABCD 面积相等，且以CD 为边的三角形；

（2）在图2中画一个与梯形ABCD 面积相等，且以AB 为边的平行四边形。

【答案】

【考点】 尺规作图，梯形的面积计算，三角形的面积计算，平行四边形面积的计算。

【分析】 先根据梯形ABCD 的上底、下底和高求出梯形的面积。以CD 为边，以梯形上下底之和为三角形的底，梯形的高为三角形的高作出三角形；以梯形的高为平行四边形的高，梯形的腰AB 为平行四边形的一底边，梯形上下底之和的一半为平行四边形的另一底边作图。 【解答】 略.

3．（2014?浙江绍兴,第14题5分）用直尺和圆规作△ABC ，使BC=a ，AC=b ，∠B=35

°，若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是 sin35°=或b ≥a ．

4．

三、解答题

1. （2014?青岛，第15题4分）已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．