1.3.1利用导数判断函数的单调性

1.3.1利用导数判断函数的单调性一

【学习目标】：

1. 理解在某区间上函数的单调性与导数的关系；

2. 掌握利用导数判断函数单调性的方法；

【自主学习】：

1．判断定义函数的单调性.

对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，

那么函数f (x )就是区间I 上的____函数；

对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，

那么函数f (x )就是区间I 上的_ 函数.

2．用函数的导数判断函数的单调性

一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，

如果在区间（,a b ）内/()f x _______，那么函数y=f(x) 在这个区间内是增函数；

如果在区间（,a b ）内/()f x _________，那么函数y=f(x) 在这个区间内是减函数

3．利用导数求函数单调区间的步骤：

（1）

（2）

（3）

【自我检测】：

1．函数33y x x =-的单调增区间为 ( )

A ．（0，+∞）

B ．（-∞，0）

C ．（-1，1）

D ．（1，+∞）

2．函数613823-+-=x x x y 的增区间是 ；减区间是 。

3．函数1

1+=x y 的增区间是 ；减区间是 。 4．函数256y x x =-+的增区间是 ；减区间是 。

5. 函数2(1)y x x =-的增区间是 ；减区间是 。

【合作探究】

例1. 已知二次函数()x f 的图象如右图所示， 则其导函数()x f '的图象大致形状是( )

例2. 求下列函数的单调区间

（1）()x x x f ln 232-= （2）()3129223-+-=x x x x f

【小结 】

【达标检测】:

1．函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是( )

A ．(－∞，e －2)

B ．(0，e －2 )

C ．(e －2，＋∞)

D ．(e 2，＋∞)

2．函数x

x y 142+=单调递增区间是______________________________. 3．求23()()2

x f x x x e =-的单调增区间为_________________________________. 4．求下列函数的单调区间

(1)sin ,(0,2)y x x π=∈ (2)()()0>+

=b x

b x x f

1.3.1利用导数判断函数的单调性二

--------------求含参函数的单调区间

【学习目标】：会利用导数求函数的单调区间；

【自主学习】：

1．利用导数求函数单调区间的步骤：

（1）

（2）

（3）

2．求()x f x ex e =-的单调增区间为__________________单调减区间为___________________

3. 求()ln 2f x x x =-的单调增区间为_________________单调增区间为___________________.

4. 若()()b f x x b R x

=+∈，试求()f x 的单调区间。

【合作探究】

例．求下列函数的单调区间

（1）()()R a ax x x f ∈+=3 （2）()()0ln 22≥-+=a x a ax x x f

【小结 】如何分类？

【达标检测】

1．求下列函数的单调区间

（1）()22f x x x =+- 的增区间______________减区间_______________

(2) ()221

x f x x =+的增区间______________减区间_______________ (3) sin 2,[0,]y x x π=∈ (4) sin cos y x x =+

2．已知函数()()R a x a x x f ∈-=ln 22，求()x f 的单调区间；

3. 已知函数()()22ln 0f x x a x ax a =--<，求()x f 的单调区间。

1.3.1利用导数判断函数的单调性三

--------------根据函数的单调性求参数的范围

【学习目标 】 掌握根据函数单调性求参数的方法

【自主学习】

1. 若'()f x _______0, (,)x a b ∈ ,则()f x 在区间(,)a b 上递增

若'()f x _______0, (,)x a b ∈ ,则()f x 在区间(,)a b 上递减

2. 函数在区间(a ，b)上递增'()0f x ?≥在(,)a b 上恒成立。

函数在区间(a ，b)上递减'()f x ?0≤在(,)a b 上恒成立。

注意：解出的参数的值要是使'()f x 恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。

【合作探究】

例1．函数()123+++=mx x x x f

（1）若()f x 在R 上为增函数，求m 的取值范围（2）若()f x 在R 上不单调，求m 取值范围

（3）若()f x 减区间为1[1,]3-，求m 的值；（4）若()f x 在区间1[1,]3

-上递减，求m 取值范围。

例2.已知函数()(].1,0,122∈-

=x x

ax x f 若函数()x f 在(].1,0∈x 上是增函数，求a 的取值范围。

【小结】已知()f x 在区间(,)a b 上的单调性，求参数范围的方法

【达标检测】:

1.函数()32133

f x x x mx =--++，若()f x 在R 上为减函数，则m 的取值范围是 ； 2.若()32133

f x x x mx =--++在R 上不是单调函数，则m 的取值范围是 3 .已知0a >，函数3()f x x ax =-在[)1,x ∈+∞是一个单调函数，试求a 的取值范围。

4. 已知函数()()R a x x

a x x f ∈≠+

=.0,2，若函数()x f 在(]2,∞-∈x 上是减函数，求a 的取值范围。

5.已知函数若函数()()R a x a x x f ∈-=ln 22，设()()x x f x g 2+=，若()x g 在[]2,1上单调递增，求a 的取值范围。

导数滚动练习

1. 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－

2.则a=____；

2.设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2

x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.则b =____________； 3若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．

4.设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1

，其中a 为常数．若a ＝0，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为________ 5.若函数()d cx bx x x f +++=23的单调递增区间为()1,-∞-和()+∞,2，则b= ;c= .

6.设函数1()(01)ln f x x x x x

=>≠且，则函数()f x 的单调区间________________； 7.已知函数f (x )＝13

x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．则函数f (x )的单调区间_________________； 8.已知函数232()(0)3f x x ax a =-

> ，则f (x )的单调区间为__________________________ 9.已知321(2)33

y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是__________ 10.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________________________

11.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12

x .

(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间

12.已知向量a =(2x ,1+x

)，a =(x -1,t )，若b a x f ?=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.

13.函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)．若f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围．

14.若函数()43

423+-=

ax x x f 在()2,0上为减函数，求a 的取值范围。

15.设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23， ()(,0),f x a -∞若在上为增函数求的取值范围