求回归直线方程的三种方法
求回归直线方程的三种方法
在求具有线性相关关系的两个变量之间的回归方程时，由于所给两个变量的数据较多并且量大，致使运算量大且繁杂，常常使我们望而生“畏”，望而生“烦”．如何尽快的求出回归直线方程呢？下面例析求回归直线方程的几种方法，以供参考． 例：测得某地10对父子身高（单位：英寸）如下：
父亲身高（x ） 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 儿子身高（y ） 63．6 65．2 66 65．5 66．9 67．1 67．4 68．3 70．1 70
如果x 与y 之间具有线性相关关系，求回归直线方程；如果父亲的身高为78英寸，试估计儿子的身高．
分析一：对于两个变量，在确定具有线性相关关系后，可以利用“最小二乘法”来求回归方程．用“最小二乘法”求回归直线方程的关键在于正确地利用回归方程中系数公式
1
2
21
?n
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
=--=-∑∑，??a
y bx =-求出系数a b ，，这样回归方程也就建立起来了． 为了使计算更加有条理，我们通过制作表格来先计算出
1
n i
i x =∑、1
n i
i y =∑、2
1
n
i
i x
=∑、
21
n
i
i y
=∑和1n
i i i x y =∑；再计算出11n i i y y n ==∑，11n
i i x x n ==∑；最后利用公式1
n
x x i i i L x y ==∑，
1n
xy i i i L x y nx y ==-∑ ，列式计算，再利用公式计算?xy
xx
L b L =；最后写出回归直线方程：?y
bx a =+． 解法一：先将两个变量的数字在表中计算出来，如下表所示：
由上表可计算，66866.810x ==，670.1
67.0110y ==，10144842.4i i i x y ==∑，10
21
44794i i x ==∑，10
2
1
44941.93i i y ==∑，代入公式10
12
2
21
44842.41066.867.0179.72
?0.4646447941066.8171.6
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==--??=
=
==-?-∑∑ ∴??67.010.464666.835.975a
y bx =-=-?≈ 因而所求得回归直线方程为：?0.464635.975y
x =+． 当78x =时，?0.4646735.97572.2138y
=?+= 所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72．2138英寸．
评注：“最小二乘法”是求回归直线方程常用的方法，在回归直线方程?y
bx a =+中，a b ，是回归直线方程中的系数，其中b 是回归直线的斜率，表示自变量变化1个单位时因
变量的平均变化值．在数值计算的过程中可以用计算器来帮助完成复杂的计算结果． 分析二：在求回归直线方程时，所给的数据一般较多，运算量大，我们可以借助函数型
计算器来代替人工完成这复杂的数字计算，以提高运算速度． 解法二：用计算器求这个回归直线方程：
所以所求回归直线方程为：?0.464635.977y
x =+ 当78x =时，?0.46467835.97772.2158y
=?+= 所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72．2158英寸．
评注：用函数型计算器求回归直线方程，避免了繁琐的计算，节省了时间，因而大大的提高了解题的速度．
分析三：在直角坐标系中描出数据的散点图，直观判断散点图在一条直线附近；用线性回归方程拟合二者的关系，这一过程还可以用Excel 软件来帮助我们完成，实现上机操作． 解法三：运用计算机中的Excel 软件：
1．输入数据x y ，
x 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 y 63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70
2．选择数据，生成散点图
在菜单中选定“插入”中的“图表”，选择“xy 散点图”，连续点击“下一步”，可得到如下所示的散点图：
3．建立回归直线
选中“图表”中的“添加趋势线”，点击“类型”标签，选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项，单击“确定”，得到回归直线． 4．求得回归直线方程
双击回归直线，弹出“趋势线格式”，单击“选项”，选定“显示公式”，最后单击“确定”就得到回归直线方程．如下图示：
所求回归直线方程为：0.464635.977y x =+； 当78x =时，0.46467835.97772.2158y =?+=，
所以当父亲的身高为78英寸时，估计儿子的身高约为72.2158英寸
评注 ：在运用计算机中的Excel 软件求回归直线方程时，只要严格按照运算程序一步步进行下去，最终总能求出回归直线方程并且得到如上图的图象．
总之，求回归直线方程的方法是较多的，既有最常用的“最小二乘法”，又有简便易行的计算器法，还有用计算机软件来完成的方法，这些方法在以后的学习中同学们要逐步体会．