2018年江苏省高三数学试题分类之解析几何

十三、直线与圆的方程

（一）试题细目表

（二）试题解析

1.（2018·南通泰州期末·13）

在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆

224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段

AM 长的最大值为.

【答案】2.（2018·无锡期末·10）

过圆2216x y +=内一点(2,3)P -作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB CD =，则四边形ACBD 的面积为．

【答案】19

3.（2018·镇江期末·11）

已知圆 C 与圆x 2

+y 2

+10x +10y =0相切于原点，且过点A (0,-6)，则圆 C 的标准方程

为

【答案】(x+3)2+(y+3)2

=18

4.（2018·南京盐城期末·12）.

在平面直角坐标系xOy 中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存

在一点Q ，满足3OP OQ =

，则实数k 的最小值为．

【答案】7.（2018·苏州期末·11）

在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)A -的圆C 和直线x +y = 1相切，且圆心在直线y =-2x 上，则圆C 的标准方程为． 【答案】22(1)(2)2x y -++= 8.（2018·苏北四市期末·12）

在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：

222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是．

【答案】11]

十四、圆锥曲线

（一）试题细目表

（二）试题解析

1.（2018·南通泰州期末·7）

在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线

22

1169

x y -=的渐近线的距离为.

【答案】6

5

2.（2018·无锡期末·11）

已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆22

11612

x y +=的焦点重合，离心率互为倒数，

设12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点，P 为右支上任意一点，则2

12

PF PF 的最小值为．

【答案】8

3.（2018·镇江期末·5）

已知双曲线12

22=-y a

x 左焦点与抛物线x y 122-=的焦点重合，则双曲线的右准线方

程为 【答案】83

x =

4.（2018·扬州期末·10）

在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22a x -22

b y =1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2-6y+5=0

没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是__________.

【答案】3(1,)2

5.（2018·常州期末·9）

在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l x y ++=与双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的两条渐

近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是．

【答案】(1

6.（2018·南京盐城期末·6）.

若抛物线2

2y px =的焦点与双曲线22

145

x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为．

【答案】6

7.（2018·苏州期末·3）

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =-的焦点坐标为． 【答案】(2,0)-

8.（2018·苏北四市期末·6）

在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程为

20x y -=，则该双曲线的离心率为．

十五、解析几何综合题

（一）试题细目表

（二）试题解析

1.（2018·南通泰州期末·17）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为2

，两

条准线之间的距离为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2

2

8

9

x y +=

上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ?的面积是AOM ?的面积的2倍，求直线AB 的方程.

【答案】【解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得，2

c a =，2

2a c =

解得2a =，c =

b =所以椭圆的方程为22

142

x y +=.

（2）方法一：因为2AOB AOM S S ??=， 所以2AB AM =， 所以点M 为AB 的中点.

因为椭圆的方程为22

142

x y +=，

所以(2,0)A -.

设00(,)M x y ，则00(22,2)B x y +.

所以2

20

89x y +=①，22

00(22)(2)142

x y ++=②，

由①②得2

00918160x x --=， 解得023x =-

，08

3

x =（舍去）.

把023x =-

代入①，得023y =±， 所以1

2

AB k =±，

因此，直线AB 的方程为1

(2)2

y x =±+即220x y ++=，220x y -+=.

方法二：因为2AOB AOM S S ??=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 设直线AB 的方程为(2)y k x =+.

由22

1,42

(2),x y y k x ?+

=???=+?

得2222(12)8840k x k x k +++-=， 所以2

2

(2)[(12)42]0x k x k +++-=，解得2

2

2412B k x k -=+，

所以2

2

(2)4212B M x k x k +--==+，22(2)12M M k y k x k =+=+， 代入2

2

89x y +=得22222428

()()12129

k k k k -+=++，

化简得422820k k +-=， 即22(72)(41)0k k +-=，解得1

2

k =±， 所以，直线AB 的方程为1

(2)2

y x =±

+即220x y ++=，220x y -+=.

2.（2018·无锡期末·18）

已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b +=>>

的离心率为2

，12,F F 分别为左，右焦点，,A B 分

别为左，右顶点，原点O 到直线BD

设点P 在第一象限，且PB x ⊥

轴，连

接PA 交椭圆于点C .

（1）求椭圆E 的方程；

（2）若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程； （3）求过点,,B C P 的圆方程（结果用t 表示）.

【答案】解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>

的离心率为2

，

所以2

2

2a c =，b c =， 所以直线DB

的方程为2

y x b =-

+， 又O 到直线BD

=

， 所以1b =

，a =

所以椭圆E 的方程为2

212

x y +=. （2

）设)P t ，0t >， 直线PA

的方程为y x =

+，

由

2

21

2

x

y

y x

?

+=

??

?

?=+

??

，整理得2222

(4)280

t x x t

+++-=，

解得：

2

2

4

C

x

t

=

+

，则点C

的坐标是

2

22

4

(,)

44

t

t t

++

，

因为三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以三角形AOC的面积等于三角形BPC的面积，

22

14

244

AOC

t

S

t t

?

==

++

，

1

2

PBC

S t

?

=??=，

=

t=

所以直线PA

的方程为20

x y

-=.

（3

）因为B

，)

P t

，

2

4

)

4

t

C

t+

，

所以BP的垂直平分线

2

t

y=，

BC

的垂直平分线为

2

2

4

t

y x

t

=-

+

，

所以过,,

B C P

三点的圆的圆心为

2

)

2

t

，

则过,,

B C P

三点的圆方程为

2

22

(()

2

t

x y

+-

42

22

2(4)4

t t

t

=+

+

，

即所求圆方程为

2

22

24

x x y

t

+

-+

+2

8

4

ty

t

-+=

+

.

3.（2018·镇江期末·18）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x E 的离心率

为

2

2

，左焦点F (-2,0) ，直线l : y =t 与椭圆交于A , B 两点，M 为椭圆上异于A , B 的点. （1）求椭圆E 的方程；

（2）若()

1,6--M ，以AB 为直径的圆P 过M 点，求圆P 的标准方程； （3）设直线MA ,MB 与y 轴分别交于C ,D ，证明：OC ?OD 为定值.

【答案】（1）因为c e a =

=

，且2c =，所以2a b ==， 所以椭圆E 的方程为22184

x y +=. (2)设(,)A s t ，则(,)B s t -，且2

2

28s t +=①

因为以AB 为直径的圆P 过M 点，所以MA MB ⊥，所以0MA MB ?=

又(1),(1)MA s t MB s t =+=-+

，所以226(1)0s t -++=②

由①②解得：13t =

，或1t =-（舍），所以2709

s =. 又圆P 的圆心为AB 的中点(0,)t ，半径为2

AB

s =， 所以圆P 的标准方程为2

2170()39

x y +-=.

(3)设M 00(,)x y ，则MA l 的方程为0

000

()t y y y x x s x --=

--，若k 不存在，显然不符合条件.

令0x =得

00

c tx sy y s x -=-；同理00

0D

tx sy y s x --=-- 所以2222

00000022

000c D tx sy tx sy t x s y OC OD y y s x s x s x ----?=?=?=---- 222222

0002222

00(82)(82)884(82)(82)22t y t y t y y t t y ----===----为定值.

4.（2018·扬州期末·18）

已知椭圆E 1：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），若椭圆E 2：22m a x +22

m b y =1（a ＞b ＞0，m ＞1），则称

椭圆E 2与椭圆E 1“相似”.

(1) 求经过点(2,1)，且与椭圆E 1：22x +y 2

=1“相似”的椭圆E 2的方程；

(2) 若m=4，椭圆E 1的离心率为2

2

，P 在椭圆E 2上，过P 的直线l 交椭圆E 1于A ,B 两点，且AP =λAB

， ①若B 的坐标为(0,2)，且λ=2，求直线l 的方程； ②若直线OP ,OA 的斜率之积为2

1

-

，求实数λ的值.

【答案】解：⑴设椭圆2E 的方程为

22

12x y m m +=

，代入点得2m =， 所以椭圆2E 的方程为

22

142

x y +=………3分 ⑵因为椭圆1E

，故2

22a

b =，所以椭圆2221:22E x y b +=

又椭圆2E 与椭圆1E “相似”，且4m =，所以椭圆2221:28E x y b +=，

设

112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，

①方法一：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，将直线:2l y kx =+，

代入椭圆2

21:28E x

y +=得22(12)80k x kx ++=，

解得1228,012k

x x k -==+，故2122

24,212k y y k -==+， 所以2

22

824(,)1212k k A k k

--++………5分 又2AP AB = ，即B 为AP 中点，所以2

22

8212(

,)1212k k P k k +++，………6分 代入椭圆2

2

2:232E x y +=得222

22

8212()2()321212k k k k

++=++， 即4

220430k

k +-=，即22(103)(21)0k k -+=

，所以k =所以直线l

的方程为210

y x =±

+………8分 方法二：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，222:232E x y +=

设

(,),(0,2)A x y B ，则(,4)P x y --，

代入椭圆得2222

28

2(4)32

x y x y ?+=??+-=??，解得12y =

，故2

x

=±

………6分

所以k = 所以直线l

的方程为

210

y x =±

+………8分 ②方法一： 由题意得2

2222222

20

0112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=，

01011

2

y y x x ?=-，即010120x x y y +=， AP AB λ= ，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得01201

2(1)(1)x x x y y y λλλλ+-?

=???+-?=??

………12分 所以22201

01

(1)(1)()2(

)2x x y y b λλλ

λ

+-+-+=

则2

222

22220

01100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=

222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=

所以2

22228(1)22b

b b λλ+-?=，即224(1)λλ+-=，所以5

2

λ=

.………16分 方法二：不妨设点P 在第一象限，设直线:(0)OP y kx k =>，代入椭圆2222:28E x y b +=，

解得0

x =

0y =

，

直线,OP OA 的斜率之积为12

-

，则直线1

:2OA y x k =-，代入椭圆2221:22E x y b +=，

解得1

x =

1y =

AP AB λ= ，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-?

=???

+-?=??

， 所以22201

01

(1)(1)()2(

)2x x y y b λλλ

λ

+-+-+=

则2

222

22220

01100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=

22

2222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=

所以

2222282(((1)22b b b λλλ+-++-?=，

即2

22228(1)22b

b b λλ+-?=，即224(1)λλ+-=，所以5

2

λ=

5.（2018·常州期末·18）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y

a x C 的右焦点为F ，点A 是

椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于N M ,两点（M 在第三象限），与椭圆的右准

线交于P 点．已知MN AM ⊥，且2

43

OA OM b ?= ．

（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若10

3

AMN POF S S a ??+=

，求椭圆C 的标准方程．

【答案】解：（1）由题意22

22222

1()()22

x y a b a a x y ?+=????++=??，消去y 得222

20c x ax b a ++=，解得

2

122ab x a x c

=-=-， ，

所以22(,0)M ab x a c =-∈-，22243M A ab OA OM x x a b c ?=== ，2234

c a =

，所以e =；

（2）由（1

）2(,)3M b -

，右准线方程为x =， 直线MN

的方程为y =

，所以)P ，

212POF P S OF y ?=?=

，2

2233

AMN AOM M S S OA y b ??==?=?=，

所以22103a =

220

3

b =

，所以b a == 椭圆C 的标准方程为12

82

2=+y x ． 6.（2018·南京盐城期末·18）.

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的下顶点为B ，点

,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线

段OP 的中点．当点N

运动到点处时，点Q

的坐标为． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =

时，求直

线BM 的方程．

【答案】解：（1

）由2N Q ，得直线NQ

的方程为3

2

y x =

2分

令0x =，得点B

的坐标为(0,．

所以椭圆的方程为22

213

x y a +=．…………………4分

将点N

的坐标2

2213=，解得24a =．

所以椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=．…………………8分

（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM

的方程为y kx =

在y kx =令0y =，

得P x =而点Q 是线段OP 的中点，

所以Q x = 所以直线BN

的斜率2BN BQ

k k k ===．………………10分

联立2214

3y kx x y ?=?

?+

=??，消去y

，得22(34)0k x +-=

，解得2

34M x k =+． 用2k 代k

，得N x =

．………………12分 又2DN NM =

，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =．………………14分

故23=0k >

，解得k =

． 所以直线BM

的方程为y x =．………………16分

方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．

由(0,B ，得直线BN

的方程为11

y y x x +=令0y =，

得P x =．

同理，得Q x =

．

而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x =

=

．…………………10分

又2DN NM = ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>

4

=，

解得2143y y =

+12分

将21212343x x y y ?=????=??

C

的方程中，得2119x =．

又22114(1)3y x =-

，所以2

14(1)319y -=

21120y +=，

解得1y =

1y =10x >，所以点M

的坐标为

(3M ．……………14分

故直线BM

的方程为y x =．…………………16分

7.（2018·苏州期末·18）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

P

到一个焦点的距离的最小值为1)．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知过点(0,1)M -的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．

【答案】解（1

）由题意

c a =

，故a =， ·························································· 1分 又椭圆上动点P

到一个焦点的距离的最小值为1)

，所以3a c -=，

····································································································································· 2分 解得3c =

，a =2229b a c =-=， ······················································· 4分

所以椭圆C 的标准方程为22

1189

x y +=. ····································································· 6分

（2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，

此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=． ················································ 7分 当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=， ················· 8分

联立2

22

(1)16,9,

x y x y ?++=??+=??解得0,3x y ==，即两圆过点(0,3)T ． 猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ． ······························································· 9分 对一般情况证明如下：

设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y ,

因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ?=-?-=+-++

121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++

222222

16(1)1616(12)16160121212k k k k k k -+-+=-+=+=+++，

所以TA TB ⊥．

所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)． ··················· 16分

8.（2018·苏北四市期末·18）

如图，在平面直角坐标系xOy

中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

2

，且过

点3

12

(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别

交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；

⑵若AF FC =，求BF

FD

的值；

⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，

求出m 的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）设椭圆方程为2

2

221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22

12

191

4c a a b ?=????+=?? (2)

分

解之得：2

a b =???=??，所以椭圆方程为：22143x y +=……………………………4分 （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3

(1,)2

B --，

此时直线BF 方程为3430x y --=，……………………………………………6分

由223430,

1,

43x y x y --=??

?+=??

，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分

（第18题）

故

1(1)7

13317

BF FD --==-．…………………………………………………………………10分 （3）设00,)A

x y （，则00(,)B x y --， 直线AF 的方程为00(1)1

y y x x =

--，代入椭圆方程22

143x y +=，得 222

0000(156)815240x x y x x ---+=，

因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标0

8552C x x x -=-，…………………12分

又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00

00

3(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(

52x x ++，

3)52y x +，……………………………………………14分

所以0000021

000003355

52528585335252y y y x x k k x x x x x --

+-===+--

+-，

即存在53m =，使得215

3

k k =． ………………………………………………………16分