大一高数基础练习题
《高等数学》（理工类）
1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ?=-，则复合函数[()]y f x ?=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈
2.已知0x +→时，a r c t a n
x 与cos ax
x
是等价无穷小，则a =______；0arctan 33
lim
1,3x x a ax a
→===；
3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21
(2cos 2sin 2)x x dx x
-；
4．函数x
xe
y -=的拐点为____________；(2)0,2x
y e x x -''=-==，2(2,2)e -
5．设函数??
???
≥
+<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2
π
=x 处连续；12π-；
6. 设()y y x =是由方程20y
e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y
y
e x
-+ 7．函数x
x e
x f --=
111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+
==1x =；
8
．定积分
1
1
sin )x dx -?
＝________
；22π=?
9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则∠AMB = _______；3π； 10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==，则a b ?＝_________。(751)-，， 二、计算题（每小题6分，共42 分）
1．求极限220ln(1)1
lim 2sin 2x x arc x →+=。
2．求极限3sin 0
sin lim x
t x e dt
x x →-?=3
2sin 03sin lim 61cos x
x xe x →=-
3．设2
sin ,x y e x =?求.dy dx
。
2
(2sin cos )x dy e x x x dx
=+
4
、设ln arctan x y t
??=?=?? 求dy dx 以及22d y dx 。
解 2
1l n (1)2x t =+，22
1
111dy t t dx t t
+==+，22231d y t dx t +=-
5．计算不定积分?dx x
x )
ln(ln 。
解 l n (l n )l n x d x ?1
l n l n (l n )x x d x
x
=-?l n (l n (l n )1)x x C =-+ 6、计算不定积分213c o s dx x +?22s e c 3s e c 1x d x x =+
?2
1
3tan 4
d x x =+
t a n
r c t a n 2x C +
7．计算定积分
dx x x 22
)4(1--?
12
1
(1)(4)(1)(4)x x dx x x dx =-----??
1
2
2
2
1
(54)(54)x x dx x x dx =-+--+??
32
2
1
1554()43232
x x =-+--
-3=
三、证明题（每小题8分，共16 分） 1、设
)(x f 在区间[0,3]上连续，在区间(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3f f f ++=，
(3)1f =，试证必存在(0,3)ξ∈使()0f ξ'=。
证明 因为()f x 在]3,0[上连续，所以)(x f 在]2,0[上连续，且在]2,0[上有最大值M 和最小值m 。于是 ,)0(M f m ≤≤,)1(M f m ≤≤,)2(M f m ≤≤
所以 ,3
)
2()1()0(M f f f m ≤++≤
由介值定理知至少存在]2,0[∈c ，使1)(=c f 。
因为1)3()(==f c f ，且)(x f 在]3,[c 上连续，在)3,(c 内可导，由罗尔定理存在
(,3)(0,3)c ξ∈?，使 ()0f ξ'= 。
2、证明不等式：当0x >
时，1ln(x x +> 。
证明
()1ln(f x x x =++-
，()ln(0,0f x x x '=+>>，
()(0)0f x f >=，则当0x >
时，1ln(x x +>
四、应用题（第1小题10分，第2小题12分）
1．要建造一个体积为350m V =的圆柱形封闭．．的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所用的材料最省？
解 设圆柱体的半径为r ，高2
50h r
π=
，表面积为S ,2
1002S r r π=+，
2100
40S r r
π'=-
=，r =h =
2．求曲线a xy =)0(>a ，直线a x =，a x 2=及x 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周所
得到的旋转体体积。 解 2222a y a
V a dx a ππ==?
《高等数学》（理工）
一、 选择题（每空 3 分，共 15 分）
1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）；D ；
A 、21()x x --→+∞；
B 、
sin (0)x
x x
→ C 2
)x →∞； D 、2
(0)1x x x →+。 2、设函数22
()1
2ax x f x x ?≥=?
A 、41；
B 、0；
C 、2
1
； D 、1、
3、设()f x 在[,]a b 上可导，且()0.f x '>若0
()()x
x f t dt Φ=?，则下列说法正确的是（ ）；
C ；
A 、()x Φ在[,]a b 上单调减少；
B 、()x Φ在[,]a b 上单调增加；
C 、()x Φ在[,]a b 上为凹函数；
D 、()x Φ在[,]a b 上为凸函数。
4、下列不定积分计算正确的是（ ）；D ；
A 、c x dx x +=?32；
B 、c x dx x
+=?
1
12
； C 、c x dx x +=?cos sin ； D 、c x dx x +=?sin cos 。
5、设)(x f 在],[b a 上连续，则下列论断不正确的是（ ）。A ；
A 、()b
a
f x dx ?是()f x 的一个原函数；. B 、()x
a
f t dt ?在(,)a b 内是()f x 的一个原函数.；
C 、()b
x
f t dt ?在(,)a b 内是()f x -的一个原函数； D 、()f x 在(,)a b 上可积。
二、填空题（每空 3 分，共 15 分）
6、若lim ()2,x f x →∞
=
则()x f x →∞
=
；20x =；
7、曲线12+=
x y 在点)2,3(的切线方程为：____ ____
；2y x -=
-； 8、曲线sin y x =在(0,2)π内的拐点为 ；(,)e π； 9、当p 满足条件__________时,反常积分
1
p
dx
x +∞
?
收敛； 1p >； 10、微分方程4
3
()()21y y y x '''++-=的阶数是_________.2； 三、计算题（共 45 分）
11、求下列函数极限(每题6分，共12分)：
(1) 0
11
lim
sin 36
x x →-=
(2)
220
3
20
0sin sin 1
lim
lim 3
3x x x t dt x x x →→==? 12、求下列函数导数（每题6分，共12分）： (1) 设函数5ln 1
1
tan +++
=x xe y x ,求y ' ；
解 tan 22
1
(1sec )(1)
x
y e
x x x '=+-
+ (2)设函数()x f y = 由方程 05
4
ln 2=-
+-x y y x 所确定，求 )1,5(y '；
解4
5y y '
'+-， 将5,1x y ==代入得 (5,1)
35y '= 13、求下列函数积分（每题7分，共21分）：
(1)
dx C =?
(2)
221
1
11
11
ln ln (ln )22
e e e e
x xdx xdx x x
xdx ==-?
??
2211()22e e -=-
21
(1)4
e =+
(3) ?
-++-1
1
5
2
)cos 1(dx x x x x 2
2π
==?
四、证明题(每小题 8分，共 16 分）
14、证明：设arctan ln(1)01x x x x
+≥
≥+
证明 设()(1)(1ln )arctan 0f x x x x x =++-≥，2
1
()(1ln )101f x x x =++->+
则()(0)0f x f ≥=，arctan ln(1)01x x x x
+≥
≥+
15、设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)0f =，求证在(0,1)内至少存在一点
,ξ使得3()()0f f ξξξ'+=成立.
证明 设3
()()F x x f x =在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(0)(1)0F F ==，y 由罗尔
中值定理得 23
()3()()0F f f ξξξξξ'=+=，即有 3()()0f f ξξξ'+=
五、应用题（共9分）
16、求曲线2
y x =与过该曲线上的点(4,2)的切线及y 轴所围成的图形的面积.S 解 21yy '=， (4,2)
14y '
=
，切线方程 12(4)4y x -=-，114
y x =+
3
4
2
2
2663
3
S x =-=-=
?
高等数学（上）
一、单项选择题（本题共20分，每小题2分） 1、函数1
ln(2)y x x
=
+的定义域为（ ）
；D ； A 、0x ≠且2x ≠-； B 、B 、0x >； C 、2x >-； D 、2x >-且0x ≠。 2、=∞
→x
x x 1
sin
lim （ ）
；C ； A 、∞； B 、不存在； C 、1； D 、0。
3、按给定的x 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（ ）；A ；
A 、
142
+-x x x (+∞→x ) ； B 、111-???
??+x
x (∞→x )； C 、x --21 (0→x ) ； D 、
x
x
sin (0→x )； 4、设()???≥+<=0
,0
,x x a x e x f x 要使()x f 在0=x 处连续，则=a （ ）；B ；
A 、2；
B 、1；
C 、0 ；
D 、-1
5、设函数()f x 在(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''><，则曲线()y f x =在(,)a b 内（ ）A ；
A 、单调上升，向上凸；
B 、单调下降，向上凸；
C 、单调上升，向上凹；
D 、单调下降，向上凹。
6、设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----
，则方程()0f x '=在实数范围内根的个数是（ ）；B ；
A 、4 ；
B 、3 ；
C 、2 ；
D 、1 。
7、设2
1,0
(),0
x x x f x e x ?+
(2)f x d x -=?（ ）；B ；2
2
45,2
(2),2x x x x f x e x -?-+
A 、13e -；
B 、13e + ；
C 、1
3
； D 、2e 。
8、设函数()f x 在[,]a b 上是连续的，下列等式中正确的是（ ）；C ；
A 、(())()b
a
f x dx f x '=?； B 、(())()f x dx f x C '=+?；
C 、(())()x
a
f x dx f x '=?； D ；()()f x dx f x '=?。
9、当n →∞时，2
1sin n 与1
k n
为等价无穷小，则k = （ ）；C ； A 、1
2
； B 、1； C 、2 ； D ；-2。
10、已知()01f =，()12f =，()'13f =，则
()10
xf x dx ''=?
（ ）B ；
A 、1；
B 、2；
C 、3 ；
D 、4。
二、填空题（本题共10分，每空2分）
1、设2
sin (),(0),x a
t
f x dt a x t =<
则f '=
。
； 2、极限3
(21)(32)(43)
lim
6n n n n n →∞---= ；4；
3、设sin 2
x
x
y e -=，则20
2
x d y dx == 。1-；
4、函数()??
?
??≥-<≤-<=2,321,11,
x x x x x x x f 的不连续点为 。1x =
5、设1f x x ??
=
???
，则()___________f x '=。21x -
三、计算题
1.（8分）求(lim 3
x x →+∞
lim
2x ==
2、（7分）01cos 2lim
sin x x x x
→-2201
4lim 22x x x →== 3、（7分）设?
??=-=1sin sin ln t e y t x y 求dy dx 。cos sin dx t dt t =，cos 1sin y y dy e t dt e t =-，sin 1sin y y dy e t dx e t =- 4、（8分）设cos (sin ),x dy
y x dx
=求
。 解 设ln cos lnsin y x x =，两边同时求导得2cos cos (sin )(sin lnsin )sin x
dy x x x x dx x
=-+ 5、（7分）
211cos dx x x ?111
cos sin d C x x x
=-=-+? 6、（7分）
2
20
cos x xdx π
?
2
20
sin x d x π
=?2
220
sin 2sin x x
x xdx π
π
=-?
2
20
2cos 4
xd x π
π=
+?2
20
2cos 4
xdx π
π=
-?2
24
π=
-
7、（8分）
? 令3sec ,3tan ,3sec tan x t t dx t tdt ===，
3cos t x
=，
13
arccos 33t C C x
=+=+ 四、综合题
1、（9分）求由曲线,,0x
y e y e x ===所围平面图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。
1
222220
(1)(1)2
2
x V e e dx e e e π
π
πππ=-=-
-=
+?
2、（9分）证明方程3
cos x x x +=只有一个正根.
证明 设函数3
()cos f t t t t =+-在[0,],0t x x ∈>连续，(0)10f =-<，
令2
()31sin 0f t t t '=++>，()f t 为单调递增函数，
又3
lim ()lim (cos )x x f x x x x →+∞
→+∞
=+-=+∞，由零点定理可知()f t 在()f t 只存在一点在
[0,]x ξ∈，使在()0f ξ=，则方程3cos x x x +=只有一个正根。
理工《高等数学》
一、填空题（本题共15分，每小题3分） 1.函数()1
1
2
-=
x x f 的连续区间是 (,1)(1,1)(1,)-∞--+∞
2.若01lim 2=????
??+-+∞→b ax x x x ，a ，b 均为常数，则=a ，=b 2lim 1x x ax b x →∞??-+= ?+??
2(1)()lim
01x a x a b x b
x →∞---+=+，1,1a b ==； 3.设函数()y f x =由方程4
2ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是
______________________
32
4y xy y y x ''++
=，1(1,1)
y '=，y x = 4.设)2(sec )ln(ln 2
x x y -=，则='y . 21
4sec tan ln x x x x
- 5.设()f x 在x a =可导，则x
a f x a f x )
()(lim
--→
()f a '-
二.求下列各题极限（共28分） 1. 111lim
---+→x x e x x 012lim 12x x
x
→==
2. x
x x x 1
)cos sin 2(lim +→10
lim[1(2sin cos 1)]x
x x x →=++-0
2sin cos 1
lim
2x x x x
e
e →+-==
3. )
1sin 1(sin tan lim
320
-+?-→x x x x x 02tan (1cos )3
lim
12
3
x x x x x →-==?
4.1
14)3(4)3(lim
++∞→++n n n
n n 3114lim 34
3()44
n
n n →∞??
+ ???==+ 三．计算题（共32分） 5.设x x y 3arctan =，求．y ''.
23arctan 319x
y x x '=++，2222
319319(19)
x y x x -''=+++226(19)x =+ 6.设)arcsin(ln sin x x
y x
?=，求y '
.
sin [(sin ln )arcsin x y x x x x ''=
sin sin [(cos ln )arcsin x x x x x x x =+
+
7.求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t ?=+?=-?所确定的函数的导数dx dy ,22d y
dx .
22111221dy t t t dx t -
+==+；22d y dx 22
()12241t
t t t t '+=+
8. 22,0sin 21)(dx
y
d dx dy y y x x y y 确定的求
是由方程设函数=+-=. 解 方程两边同时求导得 1
1c o s 02
y y y
''-+
= 22cos y y '=-， 22sin (2cos )y y y y '-''=
-3
4sin (2cos )
y
y =- 四．综合题（共27分）
9 .求常数,a b 的值，使函数．
??
?>+≤+=0
)1ln(0
)(x x x b ax x f 在0=x 处一阶可导.
00
lim ()lim()(0)x x f x ax b b f -
-→→=+==，0
lim ()lim ln(1)0x x f x x ++
→→=+=，0b =； 0
()lim x ax f x a x --
-→'==，0ln(1)
()lim 1,1x x f x a x
--+→+'===。
10.求函数的2
32)(2+--=
x x x x f 所有间断点，并指出其类型.
2()(2)(1)
x f x x x -=
--，1
lim ()x f x →=∞，2lim ()1x f x -
→=-，2
lim ()1x f x +→= 11.设2122()lim 1
n n n x ax bx
f x x -→∞++=+为连续函数，求b a ,
一、填空题（每空3分，共15分）
1、已知()f x 的定义域是]1,0[，则函数(ln )f x 的定义域为________；[1,]e ；
2、(),(2)d f x f x x '=?
设连续可导则________；
1
(2)2
f x c +； 3、积分2
1 1
ln I xdx =
?
与2
22 1
ln I xdx =?的大小关系是________；I I 12>；
4、3
2
(13),(,)y ax bx a b =+=设曲线以点，
为拐点则数组 .；39
()22
-，； 解 b ax x f 26)(+='' b a b a f 3
10
26)1(-=
→=+=''
又 3=+b a 39
,22
a b ?
=-= 时()3,1 为曲线 ()23bx ax x f += 的拐点。
5、设x x x y =，则dy = . 1
878
x dx -。
二、选择题（每空3分，共15分） 1、曲线1=++y
x e
xy 在(0,0)点的切线斜率是（ ）；D ；
A 、 1 ；
B 、1-e ；
C 、0 ；
D 、 -1。
2、设()232x
x
f x =+-，则当0x →时，有（ ）；B ；
A 、()f x 与x 是等价无穷小；
B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小；
C 、()f x 是比x 高阶的无穷小；
D 、()f x 是比x 低阶无穷小。
3、设函数()f x 在[]a b ，上具有连续的导函数，且2()1b a
f x dx =?
，()()0f a f b ==，
()()b
a xf x f x dx '=?则（ ）
；A ； A 、12- ； B 、1
2
； C 、 0； D 、1 。 4、下列积分发散的有（ ）；A ；
A 、dx x
x ?
∞+1
ln ； B 、dx x ?∞++0211； C 、.?-1021x dx ； D 、dx e x
?∞+-0。 5、设2411()cos ,()1224f x x P x x x ==-
+能使极限式0()()
lim 0n x f x P x x
→-=成立，则n 正整数的最大值是（ ）。C 。
A. 6n = ； B 、4n = ； C 、5n = ； D 、3n = ； 三、计算下列各题（共52分）
1、（7分）已知3b
a x a x x
b b a y ??
?
????? ????? ??=，求y 的导数。
1
3
x
a
b a
b
b a
y x
a b
-
??
??
==??
?
??
??
??
2
3
1 1
ln()
3
x a b x x
a
b a b a
b
a b x b a a a
y x b a x
b x a a b b b
-
---????
????????????
'=????+?-
????
? ? ? ? ? ?
????????????
????
????
2、（7
分）
2
2
lim
(1
x
x
x
dt
+
→++
?
?
计算极限 ．
解
)
1
l n(
)
c o s
1(
2
s i n
2
lim
0x
x
x
x
x
x+
+
-
=
+
→
原式
x
x
x
x
x c o s
1
1
lim
)
1
ln(
sin
lim
0+
?
+
-
=
+
+→
→
3、（7分）已知参数方程：
(sin)
(1cos)
x a t t
y a t
=-
?
?
=-
?
，（2,
t n n Z
π
≠∈），求所确定的函数()
y y x
=
的二阶导数。
解：
sin sin
(1cos)1cos
dy
dy a t t
dt
dx
dx a t t
dt
===
--
（2,
t n n Z
π
≠∈）
2
22
()1
(1cos)
d dy
d y dt dx
dx
dx a t
dt
==-
-
4、(7分）已知)
2
5
2
3
(
+
-
=
x
x
f
y,2
()arctan
f x x
'=,求
=x
dx
dy
.
解: 令
2
5
2
3
+
-
=
x
x
u,
则2
2
)
2
5
2
3
(
)2
5(
)2
3(5
)2
5(3
)
('
'
'
+
-
?
+
-
-
+
=
?
=
x
x
a r c t g
x
x
x
u
f
u
y,
4arctan1
x
dy
dx=
==π. 5、（8分）计算不定积分?dx
x2)
(arcsin.
解：?dx
x2)
(arcsin=dx
x
x
x
x
x?
-
-
2
2
1
arcsin
2
)
(arcsin
2(arcsin )2sin x x arc xd =+?=?--+dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22
=c x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22 . 6、（8
分）计算定积分
41
?
.
解：令t x = 则2
,2,x t dx tdt == 且 当1=x 时,1=t 当4=x 时2=t
于是
42
22
11
11219
2(1)2[
l n (1)]2l n 114
t d t d t t t t t ==-=-+=-
++?
?
? 7、求由曲线1sin y x =+与直线0,0,y x x π===围成的曲边梯形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积．（8分）
2
20
(1sin )(12sin sin )V x dx x x dx π
π
ππ=+=++ ??
203
sin 232cos 42
42x x x π
πππ?? =--=+???? 四、证明题（每小题9分，共18分） 1、（9分）当2
0π
<
证：令()sin tan 2f x x x x =+-, 2
2
2
()cos sec 2cos sec 2f x x x x x '=+->+-
2(cos sec )0x x =->,当2
0π
<
, 0(π 内单调增加.而 ()(0)0f x f >=(0,)2x π∈即当2 0π < 2、（9分）设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且()0,g x ''≠ ()()()()0====b g a g b f a f ，证明 (1)在(a ,b)内()0≠x g ；（2）在(a ,b)内至少存在一 点ξ，使() ()()() f f g g ξξξξ''=''. 证：（1）反证法.设()a b ，内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有1()()0g a g x ==,由罗尔定理知在1(,)a x 内至少存在一点1ξ，使1()0g ξ'=，同理在1(,)x b 内也至少存在一 点2ξ使2()0g ξ'=，则12()()0g g ξξ''==，∴由罗尔定理，在12(,)ξξ内至少存在一点3ξ使3()0g ξ''=，这与()0g x ''≠矛盾，故在()b a ,内()0≠x g 。 （2）令()()()()()F x f x g x g x f x ''=- 由题设条件可知，()F x 在[]b a ,上连续，在()a b ， 内可导，且()()0F a F b ==,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0F ξ'=，即()()()()0f g f g ξξξξ''''-=， 由于()()0,0g g ξξ''≠≠，故 ()() () () f f g g ξξξξ''= ''。 一、 填空题（每空3分，共24分） 1、要使00 ,,)5()(2 ≥ x a e x x f x 在0=x 处连续，则=a ______；5； 2、设)(x f 的一个原函数为x x -3，则 ?=x d x x f c o s )(s i n ；C x x +-sin sin 3； 3、设2 23 x y =，则=dy __________；2 24ln 33 x xdx ?； 4、函数x x x f sin )(-=是3sin x 当0→x 时的_同阶_无穷小量。（填等价，同阶或高阶）。 5、 1 221arctan (1)x dx x -=+?___________；0； 6、若314 lim 1 x x ax b x →-++=+，则=a _____，b =________；6,3 7、函数x x y ln = 的单调增加区间为____________。),(+∞e 二、求极限（每小题5分，共10分）。 1、（5分）0 011ln(1) lim[ ]lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x →→-+-=++20)1ln(lim x x x x +-=→21= 2、（5分）12) sin (2lim )sin (lim 300 02 302 =-=-++→→?? x x x x x dt t t t dt t x x x x 三、求导数（每小题6分，共18分）。 1、（6分）求由方程1ln ln =++y x xy 所确定的隐函数)(x f y =的一阶导数dx dy 和22dx y d 。 解：方程两边同时对x 求导，得01='++'+y y x y x y ，整理得x y y -='，2222x y dx y d = 2、（6分）设函数)(x y y =的参数方程为???+=++=t t y t t x cos sin 2，求dx dy ，22dx y d 。 解：t t x y dx dy t t cos 1sin 1+-=''=，=22dx y d () 3cos 1cos cos 1cos 1sin 1t t t t t t +-=+' ??? ??+- 3、（6分）已知x x x y sin 1? ? ? ??+=，求 dx dy 。 解：方程两边取对数，得)]1ln([ln sin ln x x x y +-= 两边同时对x 求导，得 ]111[sin )]1ln([ln cos x x x x x x y y +-++-=' ]) 1(sin 1ln [cos x x x x x x y y +++=' 四、求积分（每小题5分，共20分）。 1、（5 分）计算 21(1)2x C =- -= 2、（5分）计算 ?++ x dx 11；解：令t x =+1，则12-=t x ，tdt dx 2= 原式=C t t t dt t t tdt ++-=+-+=+??)]1ln([2111212 C x x +++-+=)]11ln(1[2 3、（5分）计算 dx x e ? 1 )sin(ln 。 解：令t x =ln ，则t e x =，当101====t e x t x 时，，时，， 原式= =? dt te t 10 sin t d e te t t sin sin 10 10 ?-dt te e e t ?-+-=1 sin 11cos 1sin 原式2 1 1cos 1sin +-= e e 4、（5分）计算 θθπ πd ? - 2 2 2 cos 4 解：2 2 2 20 2 4cos 8cos d d π π πθθθθ- =??824 π π== 五、证明题（每小题8分，共16分） 1、（8分）证明不等式：当0>x 时，2 2)1ln(x x x ->+。 证明：设2 )1ln()(2 x x x x f + -+= ，0)0(=f 当0>x 时，01111)(2 >+=+-+= 'x x x x x f ）上在+∞,0[)(x f 单调增加，0)0()(=>f x f ，即2 2 )1ln(x x x ->+，得证。 2、（8分）若)(x f 在[0，1]上有二阶导数，且)()(,0)0()1(2x f x x F f f ===， 证明在（0，1）内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξF 。 证明：)(x f 在[0，1]上有二阶导数，则)()(2 x f x x F =在[0，1]上有二阶导数， 0)0()1(==F F ，由罗尔定理，在（0，1）至少存在一点η，使得0)(='ηF ， )()(2)(2x f x x xf x F '+='，0)0(='F ，由罗尔定理，在),0(η内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξF 。 六、应用题（12分）在曲线2 x y =（0≥x ）上某点B 处作一切线，使之与曲线、x 轴所围平面图形的面积为 12 1 ，试求：（1）切点B 的坐标；（2）由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积。 解：（1）设切点B 的坐标为),(2 a a ，则过点B 的切线斜率为a y a x 2=' =，于是切线方程 为)(22 a x a a y -=-，和x 轴交点为)0,2 (a ，由220 1221212 a a a a A x dx ?= -==? ， 得1a =，因此切点坐标为(1,1))。切线方程21y x =-， （2）1122102 (21)V y dx x dx ππ=--? ?=11420 12 (21)30 x dx x dx π ππ--=?? 或 140 111 ()303256 V x dx ππππ=- =-=? 1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f . 9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续; 《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y=1 12+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 )1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续 D、在点x0必不连续 14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（） 高数 高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】 院（系）别班级学号姓名成绩 大题一二三四五六七 小题12345 得分 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量、满足，，，则． 2、设，则． 3、曲面在点处的切平面方程为． 4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数 在处收敛于，在处收敛于． 5、设为连接与两点的直线段，则． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线在点处的切线及法平面方程． 2、求由曲面及所围成的立体体积． 3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设，其中具有二阶连续偏导数，求． 5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 高数 四、（本题满分10分） 计算曲线积分， 其中为常数，为由点至原点的上半圆周． 五、（本题满分10分） 求幂级数的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分， 其中为曲面的上侧． 七、（本题满分6分） 设为连续函数，，，其中是由曲面 与所围成的闭区域，求． ------------------------------------- 备注：①考试时间为2小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】 参考解答与评分标准 一、填空题【每小题4分，共20分】1、；2、；3、；4、3，0；5、. 二、试解下列各题【每小题7分，共35分】 复 习 题 一、 单项选择题： 1、5 lg 1 )(-= x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞-Y B 、()),6(6,+∞∞-Y C 、()),4(4,+∞∞-Y D 、())5,4(4,Y ∞-Y ()),6(6,5+∞Y 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2 )的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[Y -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2 )=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1 x f （ C ） A 、21x - B 、21x -- C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1)1()(1 +-=+n n n f n B 、?????-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,11 )( C 、?????+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1 )( D 、???????-+=为偶数为奇数n n n f n n n n ,2 21,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y Λ=，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散 解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= =ΛΛ 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件 考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x??? 当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时 为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0 f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内 高等数学（上）模拟试卷一 一、 填空题（每空3分，共42分） 1 、函数lg(1)y x = -的定义域是 ； 2、设函数20() 0x x f x a x x ?<=?+≥?在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C =+? ，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ； 8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、201x dx -?= ； 10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+r r r r r r r r ，且a b ⊥r r ，则λ= ； 11、2 lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ； 12、311lim x x x -→= ；13、设 ()f x 可微，则()()f x d e = 。 二、 计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2 、y =y '； 3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =； 4、已知cos sin cos x t y t t t =??=-?，求dy dx 。 三、 求解下列各题（每题5分，共20分） 1、421x dx x +? 2、2sec x xdx ?3 、40?4 、2201dx a x + 四、 求解下列各题（共18分）： 1、求证：当0x >时，2 ln(1)2x x x +>- （本题8分） 2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7 试卷代号： 7032 上海开放大学2017 至 2018 学年第一学期 《高等数学基础》期末复习题 一．选择题 sin( x24) x 2 在 x 2 连续，则常数k 的值为（ 1．函数f ( x)x 2）。 k x2 A．1；B． 2；C． 4 ；D． 4 2．下列函数中（）的图像关于y 轴对称。 A．e x cos x B． cos( x 1)C． x3 sin x D． ln 1 x 1x 3．下列函数中（）不是奇函数。 A．sin( x1) ； B ．e x e x；C． sin 2x cosx ；D． ln x x2 1 4．当x0时，（）是无穷小量。 A． sin 2x x 5．函数 f ( x) A．0 6．函数f ( x) B． (11) x C. cos x sin 4x ，则 f ( x) ）。 lim x （ x0 ． 1 ； B． 4；C； 4 ln x ，则 lim f ( x) f (2)（ x2x2 11 D． x sin x x D．不存在 ）。 A．ln 2；B．1 ；C． 1 x2 ； D ． 2 7. 设f ( x)在点 x x0可微，且 f (x0 )0 ，则下列结论成立的是（）。 A．x x0是 f (x) 的极小值点B． x x0是 f ( x) 的极大值点； C．x x0是 f ( x) 的驻点；D． x x0是 f ( x) 的最大值点；8．下列等式中，成立的是（）。 A．1 dx d x B． e 2x dx2de 2 x x C．e3x dx1de 3x D．1dx d ln 3x 33x 9．当函数f (x)不恒为 0，a,b为常数时，下列等式不成立的是（） 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x . 高等数学练习题库及答 案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ． ，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设 满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、 大一下学期高等数学考 试题 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 （一）函数、极限、连续 一、选择题： 1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-= ?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数 1 ()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ） （A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界； （B ）若在 0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在， 则),(lim 0 x f x x →也 存在； （C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; （D ） 当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1) (== β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、 已知数列n x n 1014- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214 lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设 ,)(a x a x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题: 1、计算下列各式极限： （1）x x x x sin 2cos 1lim 0-→； （2）x x x x -+→11ln 1lim 0； 人教版小学三年级下册数学练习题及答案 人教版小学三年级下册数学练习题及答案 第一单元练习题及答案--后附答案 1. 记忆方向的儿歌：早上起来，面对太阳；前面是东，后面是西；左面是北，右面是南；东西南北，认清方向。 2.根据一个方向确定其它七个方向： 南与北相对，西与东相对；西北与东南相对，东北与西南相对。 东、南、西、北按顺时针方向排列。 3. 地图通常是按“上北下南左西右东”绘制的。 4.了解绘制简单示意图的方法：先确定好观察点，把选好的观察点画在平面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制，用箭头“↑”标出北方。 5、看简单的路线图描述行走路线。 看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据上北下南，左西右东的规律来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。 描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来。有时还要说明路程有多远。 综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等 等。 6. 可以借助太阳等身边事物辨别方向，也可以借助指南针等工具辨别方向。 7. 并能看懂地图。 8. 我国的“五岳”分别是：中岳嵩山、东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山。 9. 生活中的方向常识： 面对北斗星的方向是北方 燕子冬天从北方迁徙到南方 西北风是指从西北方向刮过来的风，它吹向东南方 一、选择。 1．太阳是东升西落。 A．一定B．不一定C．不会．三班教室的黑板在教室的西面，那么老师讲．课 2．与北极星相对的方向是。时面向面。 A．东 B.南 C.西 A．东 B．南C．西 D.北 3．小明座位的西南方向是张强的座位，那么小明在张5．张丽面向南站立，当她向后转之后，她的左面是，强的方向。右面是。 A．东南B.西北C．东北 A．东 B．西 C.北 二、填空。 1．把手表平放在桌面上，用数字1正对着北方。正对着南方的是数字；数字正对着方。 大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则 高等数学（下）模拟试卷一 一、 填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11 z x y x y = ++-的定义域为 （2）已知函数arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序，2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()L x y ds += ? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则 （ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交 （2）设 是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（ ） A.dx dy + B.2dx dy + C.22dx dy + D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面 222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22 ()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A. 22 530 00 d r dr dz πθ? ?? B. 24 530 d r dr dz πθ? ?? C. 22 5350 2r d r dr dz πθ? ?? D. 225 20 d r dr dz πθ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（ ） A. 2 B. 1 C. 1 2 2 （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（ ） A. B.()x ax b xe + C.()x ax b ce ++ D.()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L : 123 101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??， z y ?? 3、 设 22 {(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-?， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-??=-?从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧 6、求微分方程 x xy y xe '+=满足 11x y ==的特解 四.解答题（共22分） 1、利用高斯公式计算 2 2xzdydz yzdzdx z dxdy ∑ +-??，其中∑由圆锥面 22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧 (10)' 2、（1）判别级数11 1(1)3n n n n ∞ --=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条 件收敛；（6'） （2）在(1,1)x ∈-求幂级数1 n n nx ∞ =∑的和函数（6'） 高等数学（下）模拟试卷二 一．填空题（每空3分，共15分） （1）函数 2 4x y z -=的定义域为 ； （2）已知函数xy z e =，则在(2,1)处的全微分dz = ； 得分 阅卷人 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求(完整word版)大一高数练习题
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