第十四讲 重叠问题
第十四讲重叠问题
例1四年级一班有42名同学，订阅《少年报》的有31名同学，订阅《童话报》得有27名同学，每人至少订其中的一份报纸，有多少名同学既订《少年报》又订《童话报》？
做一做1 有42名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会得有4名，两样都会的有多少名？
例2四年级有100名同学到图书馆借书，故事书和科技书两种书每人至少借一本，已知有35人两种书都借了，有85人借了故事书，有多少人借了科技书？
做一做2 四一班有43名同学，《少年报》和《儿童时代》两种报刊每人至少订一种，已知有11人两种报刊都订，订《少年报》的有36人，问订《儿童时代》的有多少人？
例3艺术节那天，学校得画廊里展出了每个年级学生得图画作品，其中有23幅不是五年级得，有21幅画不是六年级得，五六年级参展得画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？
做一做3 从甲村到丁村需经过乙丙两村，已知甲丙两村相距800米，乙丁两村相距1800米，甲丁两村相距2000米，乙丙两村相距多少米？
甲乙丙丁例4某班有学生50人，参加无线电小组、航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组得有5人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3人。已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组都参加的学生有多少人？
做一做4 文明小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。
（1）只参加数学竞赛的有多少人？
（2）只参加作文竞赛的有多少人？
（3）只参加美术竞赛的有多少人？
例5在边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图），已知重叠部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？
做一做5 长方形纸片和圆片覆盖的面积是50平方厘米，长方形纸片长10厘米，宽4厘米，圆纸片的面积是20平方厘米，长方形纸片和圆片重叠部分的面积是多少平方厘米？
例6某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，有8名学生在这三个科目上都没有达到优秀，其余没人至少有一个科目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和人数如下表：
全班一共有多少名学生？
练习1 小华从家到学校，走了60米后有一个商店，放学后小华从学校回家，走了60米后超过商店10米，小华家离学校有多少米？
2、同学们进行队列练习，向前走时，小明数了数，他前面有4人；老师喊“向后转走”的口令后，小明数了数，他前面有5人。这行同学有多少人？
3、四年级有100名同学到图书馆借书，故事书和科技书两种书每人至少借一本。已知有35人两种书都借了，有85人借了故事书，有多少人借了科技书？
4、有100位旅游者中，有75人懂法语，83人懂英语，另有10人这两种语言都不懂。既懂法语又懂英语的旅游者是多少人？
5、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人？
6、饲养小组饲养三种兔子，花兔和白兔一共有20只，花兔和黑兔有12只，三种兔共有28只，白兔有多少只？
7、一个班有52人，其中爱好数学、语文、英语的各有35人、30人和20人，爱好其中两科的各有22人、18人和12人，三门学科都不爱好的有4人。三门学科都爱好的有多少人？
8、甲乙两人共存款1000元，如果甲取出240元，乙又村人80元，甲存款的钱正好是乙的3倍，原来甲与乙各存款多少元？
9、有一篮鸡蛋，第一次取出一半多2个，第二次取出余下的一半多2个，第三次取初8个，篮里还剩2个鸡蛋。篮里原来有多少个鸡蛋？
10、同学们去礼堂听法制教育报告，如果每张长椅上坐8人，则剩下50人没有座位，如果每张长椅上坐12人，则空出10个座位，如果每张坐7人，还剩下多少名学生无座位？
第15讲 重叠问题
第15讲 重叠问题 【探究必备】 有两张纸条，每张长8厘米。现在要将这两张纸条粘贴成一张较长的纸条，接头处长1厘米（如图）。粘贴后，较长的纸条长多少厘米？ 在重叠问题中，两个计数部分有重复。为了不重复计数，应当从它们的和中减去重复的部分。为了准确分析重叠问题，一般采用画图的方法。借助图形。明确重叠部分或所求部分，从而解决问题。 我们用两个圆分别表示数量A 和数量B ，用C 表示A 和B 的重叠部分（如图），求A 和B 合在一起的数量，用A +B -C 。 所以粘贴后，较长的纸条长应为：8+8-1=15（厘米）。 【王牌例题】 例1、某校三年级（2）班学生都在练习书法，有30人学习硬笔书法，有25人学习软笔书法，其中有10人两种书法都学习。这个班一共有多少人？ 分析与解答：这是一道典型的重叠问题，根据题意画出线段图： 从图上可以看出，这个班的人数就是参加书法学习的人数。学习两种书法的人数中，有10人是重复的，所以这个班的人数是30+25-10=45（人），这道题也可以 ？厘米 8厘米 8厘米 A B A B 硬笔书法30人 软笔书法25人 10人 ？人 20人 15人
这样想：这个班的人数是由只参加硬笔书法人数、两种书法都参加人数和只参加软笔书法人数三部分组成，从图上可以看出只参加硬笔书法人数有30-10=20（人），两种书法都参加的人数有10人，只参加软笔书法人数有25-10=15（人），所以这个班共有20+10+15=45（人）。 例2、某校三年级（4）班共有58人，在班级冬季长跑和跳绳两项比赛中，每人至少参加了其中的一项比赛。已知参加长跑的有33人，参加跳绳的有40人。两项比赛都参加的有多少人？ 分析与解答：由于每人至少参加了其中的一项比赛，因此这个班的人数应该就是参加这两项比赛人数的和，参加这两项比赛的共有33+40=73（人），而该班只有58人，说明其中有一部分人两项都比赛参加了，故两项比赛都参加的有73-58=15（人）。 例3、某校三年级（1）班有48人，在期末考试中语文得优秀的26人，数学的优秀的有30人。语文、数学都得优秀的有10人。两门功课都没有得优秀的有多少人？ 分析与解答：由于语文得优秀的26人，数学的优秀的有30人，语文、数学都得优秀的有10人，根据重叠问题的解法，这个班共有26+30-10=46（人），而该班有48人，说明其中有一部分人两门功课都没有得优秀，所以两门功课都没有得优秀的有48-46=2（人）。 例4、把两根一样长的竹竿绑在一起后长130厘米，中间重叠部分长10厘米。原来每根竹竿长多少厘米？ 分析与解答：根据题意画出线段图： 130厘米 第一根竹竿第二根竹竿 由于重叠部分的竹竿长10厘米，我们可以把其中一根竹竿的重叠部分拉开，那么这两根竹竿共长130+10=140（厘米），由于两个竹竿一样长，所以原来每根竹竿长140÷2=70（厘米）。 例5、某幼儿园小班与中班共有63人，中班与大班共68人，小班与大班共75
四年级奥数第一讲_图形的计数问题
第一讲图形的计数问题 一、知识点： 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯． 二、典例剖析： 例（1）数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个） 解：4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中总共有10个角。 方法2：用公式计算：边数×（边数—1）÷2 5×（5-1）÷2=10 练一练： 数一数右图中总共有多少个角？
例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看BC、MN、GH 这3条横向线段： （4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条） ②要数有多少个三角形，先看在△ABC中，被GH和MN分成了三层，每一层的 三角形一样多，所以只要算出一层三角形个数就可以了。 (5×4÷2) ×3=30(个) 答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。 练一练： 图中共有多少个三角形？ 例（3）数一数图中长方形的个数 分析：长边线段有：6×5÷2=15 宽边线段有： 4×3÷2=6 共有长方形：15×6 = 90（个） 答：共有长方形90个。
周期问题教学内容
周期问题（循环问题、余数的妙用） 姓名： 一、知识点：小朋友们，你留意过循环问题吗？在日常生活中，有一些按照一定的规律不端重复出现的现象。 如：………，人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断重复出现的。在数学的世界里，也常见到一些重复出现的问题。如何解决这样的问题呢？最主要是看余数。 二、例题 例1：有一组这样的数： 7、0、2、5、3、7、0、2、5、3、7、0、 2、5、3…… 你发现这组数字有什么规律吗？ （1）第81个数是多少？ （2）这81个数相加的和是多少？ 例2：国庆节学校按”红、黄、蓝、紫“的 顺序挂彩灯，一共挂了50个彩灯，（1）问第50个彩灯是什么颜色？（3）红色彩球灯一共有几个？ 例3：2004年5月17日是星期一，2004年5月27日是星期几？ 例4： 上表中每一列为1组，如第一组是A1,第二组是B2,请问第17组是什么？
三、巩固运用 1. 桌上摆了19枚硬币，按一个1角，两个5角，三个1元的次序排列。问最后一个是多少钱的硬币？第十四个是多少钱的硬币？ 2.老师把1—40号卡片依次发给小明、小江、小军、小玲、小燕，请问第27张卡片发给了谁？ 3. 四、提高拓展1.小红买了一本动画书，每两页之间有三页插图，也就是说三页插图前后各有一页文字。如果这本书有136页，而第一页是文字，这本动画书共有插图多少页？ 2. 有一些数字摆在字母下方，如下图： A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …… 你知道55摆在哪个字母的下方吗？ 四、课后练习 1.在下面算式中的框里填上合适的数，使算式成立。
周期问题(含答案)
简单的周期问题 一、填空题 1．某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_________． 2．1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期_________． 3．按如图摆法摆80个三角形，有_________个白色的． 4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是_________灯． 5．时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是_________时． 6．把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在_________列． 7．把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是_________． 8．循环小数与．这两个循环小数在小数点后第_________位，首次同时出现在该位中的数字都是7． 9．一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个数． （1）其中共有_________个1，_________个9_________个4； （2）这些数字的总和是_________．10．所得积末位数是_________． 二、解答题（共4小题，满分0分） 11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：1989286… 这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？ 12．1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？ 13．n=，那么n的末两位数字是多少？ 14．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？
华图判断推理第一讲DOC
第一讲 国家公务员录用考试培训 行政职业能力测验之 判断推理冲刺篇 备考策略之判断推理一 本讲包括两部分内容： 第一部分复习计划（四周复习） 第二部分专题破解（图形推理） 第一部分复习计划 一、考纲要求 二、复习计划 一、考纲要求 国考——判断推理大纲解读 ●判断推理主要测查报考者对各种事物关系的分析推理能力，涉及对图形、语 词概念、事物关系和文字材料的理解、比较、组合、演绎和归纳等。 ●判断推理——事实、判断——判断过程 ●报考者分析推理能力 一、国考判断推理模块考纲要求 ●判断推理——分析推理能力 ●图形 ●语词 ●事物关系 ●文字材料
二、判断推理复习计划 （四周复习法） ●第一周 ●复习任务： ●（1）体会逻辑精神在题目中的体现及运用 ●（2）培养图形敏感性，特别是图形基本元素：点、线、面、体、色的变化 规律 （3）总结类比推理和定义判断类题型常考题型范畴 二、判断推理复习计划 （四周复习法） ●第一周 ●复习方法： ●（1）学习判断推理专项教材、视频课程 ●（2）注意敏感性的连续培养，保证每天最少10题的题量，培养答题感觉●（3）对照近五年判断推理真题，从题型的角度进行划分归类，再从考察的 范畴进行归类。分析比较哪些是常考的
二、判断推理复习计划 （四周复习法） ●第一周 ●复习重点： ●（1）逻辑推理题型中的必然性推理之假言命题 ●（2）图形推理题型中数量性变化的图形特点，注意图形推理和数字推理的 结合 ●（3）类比推理和定义判断类题型常考关系做到心中有数。如逻辑关系、言 语关系、常识等 二、判断推理复习计划 （四周复习法） ●第二周 复习任务： ●（1）总结逻辑推理中朴素推理题型的特点及解题方法 ●（2）重点关注图形推理中各种常见图形的特点和规律，形成看到某一个图 形特点就会想到大概是哪种变化规律的敏感度 二、判断推理复习计划 （四周复习法） ●第二周 ●复习方法： ●总结方法和技巧 ●例如综合教材中提到的逻辑推理中的带入排除法、列表法、假设法 ●定义判断中的关键词法、比较分析法、常识判断法等等 ●区分和总结每种方法所对应的题型 ●复习重点： ●按照总结出的方法和规律多加练习
数学教案-周期问题
数学教案－周期问题 周期问题一、活动年级小学五年级 二、活动目标使学生了解许多事物的变化都有周期性，掌握事物变化的周期，并能灵活运用周期变化规律解决实际问题。 三、活动过程 （一）由循环小数认识周期现象 1．出示8。357357……，提问：这是什么小数？它有什么特征？ 2．想一想：我们日常生活中还有哪些周而复始的循环现象呢？（学生举例） 3．归纳：通过仔细观察，我们发现在日常生活中，有许多现象都是按照一定的规律、依次不断重复出现的，我们把这种现象叫做周期现象，（出示周期现象的概念）而重复出现的一节个数叫做周期。（出示周期的概念） 4．让学生指出8。357357……的循环节是几位？周期是几？ （二）运用周期变化，解决问题。 1．根据周期找位置，定颜色。 （1）课件出示 ●○○○○●○○○○●○○○○
提问：第16个圆片是什么颜色？第100个圆片是什么颜色？ （2）让学生说一说排列规律，说出它的变化周期。 （3）想一想：第16个圆片应在第几位？为什么？ （引导学生列出算式：16÷5=3……1） 第100个圆片应在第几周期第几位？说说你是怎么想的？怎么算的？（100÷5=20） （说明：没有余数，应该在第20周期最后一位。应该是白色的圆片。） （4）小结：要想准确判断某一圆片的位置和颜色，首先要弄清这一排列的周期是几，然后通过计算，知道它在第几周期第几位后，再确定它的颜色。 （5）练习： ① 0。428571428571……的第545位上的数字是几？先让学生独立思考，再指名说说是怎么判断的。 ②已知循环小数3。4650725072……，它的第100位小数是几？ 提示学生：这是一个混循环小数，循环节四位，不循环部分两位，在探求第100位小数是几时，首先要从100位中去掉不循环的2位，然后除以变化周期数。 2．根据周期找个数。 （1）课件出示
【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第18讲 重叠问题(教师版)
第18讲 重叠问题 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-U I ，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下： 知识梳理 教学目标 1．先包含——A B + 重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-I 把多加了1次的重叠部分A B I 减去．
第一讲 观察法
第一讲观察法 在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。 观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。 观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。 *例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学 第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。 从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。 从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。 从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。 从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图
第28讲 周期问题
学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 第28讲周期问题 一、知识要点： 在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例如，人的生肖、每周的七天等等。我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。 解答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算。 二、精讲精练 例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么。 （1）□△□△□△□△……
（2）□△△□△△□△△…… 练习一 （1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么？ （2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？ 例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。 （1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？ 练习二 1、有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7… （1）第58个数是多少？ （2）这58个数的和是多少？
2、小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分，最后两个5分这样的顺序一直往下排。 （1）他排到第111个是几分硬币？ （2）这111个硬币加起来是多少元钱？ 例3：假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？ A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9… 练习三 1、有a、b、c三条直线，从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图），2 2、59、2001各在哪一条线上？
第20讲 重叠问题(含解题思路和参考答案)
第20讲重叠问题（含解题思路与参考答案） 一、解题方法 1. 解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。 2. 解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。 3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。 例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，解题思路：解题过程： 把等长的两块木板的一端搭起来，搭 在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20 厘米，所以这两块木板的总长度是160+20 ＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2 ＝90（厘米） 答：这两块木板各长90厘米。 巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？ 2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？ 3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？
例题2.三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5解题思路：解题过程： 根据题意画右图。 由图可看出：亮亮的位置从左数起是 第5个，从右数是第4个，说明横有5+4 －1＝8（个）人；从前数是第2个，从后 数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个） 人。所以二（3）班有8×5＝40（个）（说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次）解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5 ＝40（人） 答：三（2）班共有40人。 巩固练习1. 同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数狮第2个。表演的同学共有多少人？ 2. 小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，＂国＂字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。小红一共写了多少个字？ 3. 同学们排队做操，每行、每列人数同样多，小兰的位置无论从前数，从后数，从左数、从右数都是第5个，做操的共有多少人？ 例题3.三(4)班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有29人。每人至少写完一项作业，问语文和数学作业都写完的有几人？ 解题思路：解题过程： 根据题意画出右图： 图中重叠部分表示语文数学作业都做 完了的人数，把写完语文作业的人数和写 完数学作业的人数相加23+29＝52（人）， 比全部总人数多2－48＝4（人）。这多出的 4人既在写语文的人数中算过，也在写数学的人数中算过，即表示语文和数学作业都写完的人数。解：（23+29）－48 ＝52－48 ＝4（人） 答：语文和数学作业都写完的有4人。
三年级举一反三 第19讲 重叠问题
第19讲重叠问题 一、知识要点 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。 二、精讲精练 【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？ 【思路导航】根据题意，画出下图： 从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起 是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行 彩旗共有8＋10－1=17面。 练习1： 1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？ 2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个？ 3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？ 【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？ 【思路导航】根据题意，画出下图：
由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。 练习2： 1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？ 2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？ 3.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？ 【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？ 【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠 的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136 厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。 练习3： 1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？ 2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。 中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？
词语的重叠偏误分析讲课笔记
词语的重叠偏误分析讲课笔记 词语的重叠偏误分析讲课笔记 关键词：词语的重叠偏误分析讲课笔记 AB式动词的重叠 1ABAB休息休息、练习 2AAB散散步、跳舞 VO动宾结构的:可插入…。离合词。 散了一会儿步 跳的是拉丁舞 天天=每天 孩子一天天长大。 你一天比一天漂亮！ 越来越=日益=越发 一个一个地：纷纷、陆续 动作方式 错：昨天我休息休息。 动词的重叠的作用是 短时、随意、尝试、缓和语气 形容词的重叠： 1少数：ABAB=偏正结构的/A比喻/B中心词。 错：很AB、很ABB、很AABB、很ABAB。 雪白雪白/笔直/通红/乌黑 2多数：AABB 漂漂亮亮。 对：很AB。 3不能重叠 名量结构的重叠 一个一个：动作的方式。 他们一个一个地站了起来。 个个=每个：都 形式动词+动词（两个字/不重叠/不带补语） 对……进行、加以、予以、给予 予以考虑 进行思考
《留学生汉语语法偏误分析》 第一讲 v 汉语词语的重叠 v 实例+规律 v 综合练习（15题） 1）多认识一些中国朋友，这样可以练习一练习口语。 2）就让他骑骑一下你的摩托车吧。 3）你今天回家认真想了想吧。 4）他们每天早上都在公园里散步散步。 5）这个星期一天天都有人来报名参加下个月的演讲比赛。 6）这种菜你没吃过吧，吃了吃看，味道怎么样？ 7）最近没什么事，你就再休息了休息，病好了以后再来上班。 8）我每天早晨都来公园跑跑步，锻锻炼炼身体。 9）我们公司星期星期都有人出差到南京。 10）我们俩在教室的门口聊天聊天。 11）我们大家要想一想一个办法。 12）他是一位聪聪明明的中学生。
13）他特别喜欢干净，床单总是雪雪白白的。 14）听完这个笑话，一个一个的学生笑了起来。 15）为了我们的友谊，这次我让步让步。 16）我们每次都谈话谈话就回宿舍。 17）咱们商量一商量，到底买哪种股票比较好。 18）昨天我去学校图书馆找了找看，没有这本书。 规律小结（1） v 形容词： v AA，ABB，AABB，ABAB v 动词： v A了A，A一A，AA，AA看 v ABAB，AAB v 量词、名词：AA 19）《红楼梦》我看过三遍，但每一遍遍都是半懂不懂。 20）对面走过来一位十分漂漂亮亮的姑娘。 21）妈妈端来了十分香喷喷的米饭。 22）马路边的这种树的树干很笔直笔直的，就好像站岗放哨的卫兵。 规律小结（2） 形容词重叠形式前面不能加程度副词 量词、名词的重叠形式前面不能加“每、各”等词语。
升第八讲容斥原理之重叠问题
第八讲：容斥原理之重叠问题 导入 文氏图■■■■■■■■■■■■■■■ 文氏图，也叫维恩图”是由英国著名数学家Venn发明的. 维恩（公元1834 年8月4日「公元1923 年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔.他1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员. 维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图.■他作出一系列 ? 简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔.利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原 理.为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例.虽然在维恩之前， 莱布尼茨（Leibniz ）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作维恩图”另外, 维 恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作一一《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19 世纪末20 世纪初曾享有很高的声誉. 除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能一一制作机器.他曾制作过一部板球发球机， 当澳洲板球队在1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次. 什么是容斥原理? 这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子.我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳.如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关.但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠. 比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱 喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2 次，计算人数的时候要把这一部分减去才行. 比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7 + 10 - 3 = 14 人.
小学数学《周期问题》练习题(含答案)
小学数学《周期问题》练习题（含答案） 【例1】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？ 分析：这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5+9+13=27（朵）花。因为249÷27=9……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花。按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花。 答案：249÷（5+9+13）=9 (6) 红花有：5×9+5=50（朵） 黄花有：9×9+1=82（朵） 绿花有：13×9=117（朵） 最后一朵是黄花。红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。 【例2】2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？ 分析：2002年平年。每7天为一个星期，也就是为一个周期；从2002年1月1日到2002年12月31日为365天，到2003年1月1日是第366天。关键在于一个周期的第一天是星期几。 答案：366÷7=52（周）……2天。本题一个周期的第一天是星期二，所以，余2天就是星期三。 2003年的1月1日是星期三。 拓展训练 100个同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位 数，后面的同学就要报出这个数与7的和；如果某个同学报的数是两位数，后面 的同学就要报出此数的个位数字与4的和．现在让第一个同学报1，问最后一个 同学报的是多少？ 答案：依次为1，8，15，9，16，10，4，11，5，12，6，13，7，14，8，15…以13为周期。 最后一个同学报5。 【例3】有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个，按4个红珠，3个白珠，2个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第101个珠子是什么颜色？ 分析：4＋3＋2＝9，所以珠子9个为一周期。 答案：160÷9＝17…7，所以黑珠有17×2＝34个。
第一讲 合(1和2)
高中数学 第一讲 集合(一) 1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。 2.理解元素与集合的“属于”关系，会判断某一个元素属于或不属于某一个集合，了解数集的记法，掌握元素的特征，理解列举法和描述法的意义。 3理解子集、真子集概念，会判 断 和证明两个集合包 4.会判断简单集合的相等关系 ⑴结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念； ⑵掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集。 二．重点知识分析： 1.集合的基本概念及表示方法。 2.交集和并集的概念，集合的交、并的性质。 3.子集的概念、真子集的概念。 三．难点知识分析： 1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示。 2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。 3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。 4.集合的交、并的性质。 三．知识要点精讲 1.集合的概念 ⑴集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。
⑵元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2.集合元素的性质：元素具有确定性、互异性、无序性。 ◆确定性 我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合是一个“整体”，构成集合的对象必须是“确定的”。 怎样理解集合的“确定的”性呢？ 其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不能是模棱两可的，通过这个特征，我们能很容易判断一个元素是否是这个集合的元素。 例1 判断下列对象能否构成集合。 １.某校的年轻教师 ２.某校大于50岁的教师 ３.某校的女教师 ◆互异性 集合中的元素是互不相同的，不能重复出现。 通俗地讲就是一个集合中不存在相同的元素，每个元素都是独一无二的。 例2 已知{ }12,12-∈a a ，则a ＝ . ◆无序性 集合中的元素是没有顺序的。 这个是从集合表示方法的角度来强调的。比如{1,2}和{2,1}其实表示的是同一个集合。元素前后顺序的不同并不影响相同集合的判断。 注意：数列的表示从外观看象集合的列举法表示，但是数列中元素的顺序不同，他所表示的数列也不一样。 例3 （湖北高考）设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={}Q b P a b a ∈∈+,|，若 P={}5,2,0，Q={ }6,2,1，则P+Q 中元素的个数是（ ） A.9 B.8 C.7 D.6 2.集合的分类及表示方法 ⑴集合通常用大写拉丁字母A 、B 、C ……表示，元素通常用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示。 这只是一个约定俗成，使用的时候便于区分。 ⑵常见数集的表示： 自然数集，即非负整数集，记作N ；（注：包括“0”） 正整数集，记作N + 或者N *；（注：不包括“0”） 整数集，记作Z ；
小学数学三年级周期问题
八、周期问题（一） 〖趣味数学〗 有10张卡片，正面朝上，每次翻动6张卡片，最少经过（）次翻动，卡片都能反面朝上。 〖知识要点〗 1、什么是周期问题？ 在日常生活中有一些按照一定的规律不断重复的现象，如人的十二生肖、一年有春夏秋冬四个季节、一个星期七天等等。像这样常碰到的有一定循环出现的问题，我们称为周期问题。 2、解题步骤： （1）观察、分析数、图形或事物的变化是否重复循环出现并具有周期性。（2）每几个数循环一次，谁开始谁结束，周期长度是多少。 （3）每个循环节按什么次序排列。 （4）利用除法算式求出余数，根据余数得出正确的结果。 〖例题精讲〗 例1、两个小朋友比赛智力，一位小朋友画出了一组图形（排列如下），根据排列的规律。请算出第60个图形是（），第121个图形是（）。 〔分析与解答〕：每3个图形为一组，称为一个周期。60÷3=30(组)，没有余数，说明30个图形里刚好有30个周期。（即为） 121÷3＝40（组）……1（个），说明121个图形中含有40个周期多1个，所以第121个图形就是重复40个周期后的第1个图形。 〖我真行1〗 按照“数学奥林匹克比赛数学奥林匹克比赛数学奥林匹克比赛……”依次排列，第100个字是（）。
例2、黑珠、白珠共202个，穿成一串（如下图所示），在这串珠子中，最后一个珠子是（黑）颜色的，这种颜色的珠子共有（26）个。 ……202÷4=50……2（黑色） 50+1=51（个）〖我真行2〗 有一些灯泡按照“一黄三红四白”的顺序排列，第30个灯泡是（）色，第260个灯泡是（）色。 例3、一个小朋友写了这样一列数“4、1、3、2、4、1、3、2、4、1、3、2……”，你能很快算出这列前54个数字之和是多少吗？ 〔分析与解答〕：上面一列数中，从第一个数字开始重复出现的部分是“4132”，周期数是4。要求这列数字的和，就要先求出这列数里一共有多少组“4132”。54÷4＝13（组）……2（个），因此前13组数字之和是（4＋1＋3＋2）×13＝130；余下两个数的和是4＋1＝5。所以前54个数字之和是130＋5＝135。 〖我真行3〗 有一组数：5、8、9、4、2、5、8、9、4、2、5、8、9、4、2……，第50个数是（），这50个数的和是（）。 例4、小华2012年3月23日这一天想出去玩，但不知道是星期几，而我们知道今天2012年3月8日是星期四，那么2012年3月23日是星期（）。〔分析与解答〕：我们知道一星期有7天，所以每7天为一个周期。而且2012年3月8日是星期四，故我们就可以这样排列一个周期：星期四、五、六、七、一、二、三。2012年3月8日到2012年3月23日相差：23-8=15（天）， 15÷7=2（周）……1(天),说明2012年3月8日到2012年3月23日含有两个周期多一天，所以2012年3月23日就是星期四。
小学思维数学讲义：容斥原理之重叠问题(二)-含答案解析
容斥原理之重叠问题（二） 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 教学目标 例题精讲 知识要点 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 大圆表示C 的元素的个数． 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．
二年级奥数-第一讲--周期问题
周期问题 在我们的日常生活中，经常会遇到一些按照一定的规律不断重复出现的现象。例如： ⑴一年四季：春、夏、秋、冬的次序反复出现。 ⑵一周7天：按照周一至周日的顺序反复出现。 ⑶ 12生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪的顺序不断反复出现。 典型例题 例1我国的农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这十二种动物按顺序轮流代表个年的年号。例如，第一年如果属鼠，那第二年就是属牛，第三年就是虎年，……，如果公元1年是猴年，那么公元1201年是什么年？ 分析：人的生肖是依次不断重复的出现的，12年为一个周期。从公元1到公元1201年，正好经历了1201年。采用余数除法计算： 1201÷12 = 100（组）……1（个），余数是1，按照顺序猴年的下一年是鸡年，所以公元1201年是鸡年； 可以任意出数字让学生计算，注意数字简单。 例2一串珠子如图排列，规律是“三红、二黄”，想一想，第30 颗是红色还是黄色的？那第52颗呢？
分析：这是一个典型的周期，这串珠子的排列规律是“三红、二黄”，每5个珠子组合成一组，这5个珠子不断地重复出现，所以周期是5。我们可以通过余数找出中间珠子的颜色。 30÷（3+2）=6（组），正好整除，所以第30颗是黄色的； 52÷（3+2）=10（组）……2（个），余数是2，所以第52颗是红色的； 可以任意出数字让学生计算，注意数字简单。 例3羊村的村长手里有1︿36号数字卡片，依次发给喜羊羊、美羊羊、沸羊羊、暖羊羊和懒羊羊五个小朋友，请问第36号卡片发给谁？谁拿到的卡片最多？ 分析：“喜羊羊、美羊羊、沸羊羊、暖羊羊和懒羊羊”这五个羊羊实际上相当于一个周期，就是说36张卡片按照，每5张为一个周期，36里一共有多少个周期，余数是多少。 36÷5=7（组）……1（张），余数是1，说明这种卡片是第7个周期以后，应该是给喜羊羊。喜洋洋比其他小朋友多拿一张，也就是喜洋洋拿到的最多。 想一想：那第28张应该发给谁？ 例4有一列数字，按432791864327918643279186……排列。那么第 54个数字是多少？ 分析：我们发现，这个数是43279186一直循环下去的，也就是每6个数字作为一个循环周期，而54=6×9，所以第54个数字就是第9个循环周期的最后一个数字6。 例5有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，… （1）第51个数是多少？
小学奥数习题版三年级三大原理重叠问题学生版
知识要点 【课前引入】 脑筋急转弯：两位妈妈和两位女儿一起去参加动漫节，可是她们只买了两张票，便顺利地通过了检票处，这是怎么回事？答案：外婆、妈妈、女儿 排队：小明在超市排队付款，从前数小明排在第三，从后数小明排在第四， 你能算出排队的一共有多少人？（请学生用自己喜欢的方式解释一下，排队的一共有8人） 排队 【例 1】 学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少 个？ 【例 2】 同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？ 重叠问题
【例3】同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？ 【例4】为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个； 从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？ 简单计算 【例5】洗好的8块手帕用夹子夹在绳子上晾干，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同1个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子? 【例6】把10块木块用铁钉钉成一条长木条，每两块之间加钉4个，如下图，共需钉上多少个钉？
【例 7】 把10张图片用图钉像下图那样钉在橱窗里，一共要用多少个图钉? 【例 8】 把两根长为20厘米的筷子用绳子捆成一根长筷子，中间捆在一起的重叠部分是3厘米。捆成的长 筷子长多少厘米？ 【例 9】 有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是10厘米，钉成的 木板长多少厘米？ 【例 10】 两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分 是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？ 我要认真思考一下， 怎么算！ 难不住我