习题
1.1
22
22222222222222
22.
,,.3,3.3,
,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.
,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b
====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,
.,..,:
(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.
0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解
(1)222(1,3/2).
(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.
,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.
60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).
1
1,01,.
1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:
6.1200001)(1)1).
(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},
10
{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m
A A m A a b A
B
C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合
= 若则中有最小数-=证
7.(,),(,).1/10.|}.10n n n
n a b a b m
n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2
642
6
6426426
666
13.(1,)
1).
13.(,).
1
3
||13,||1,3,
11
||3,(,).
y
y x
x x x
y
x
x x x x x x x
x x
x x x
y y x
=+∞
===<>
++
=-∞+∞
+
++++
≤≤>≤=
++
=≤∈-∞+∞
证明函数内是有界函数.
研究函数在内是否有界
时,时
证
解
习题1.4
22
1.-
(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.
1)0,|,
,||.,||,|,
(2)0
x a
x a x a x a x a
x a
a x a e e x a
x a x a
εδ
εε
εδδεε
→→→→
→=>===
?>=<<
<-<=-<<=?>
直接用说法证明下列各极限等式:
要使
取则当时故
证(
22
2222
,|| 1.||||||,
|||||2|1|2|,
1|2|)||,||.min{,1},||,
1|2|1|2|
||,lim
(3)0,.||(1),01),1
x a
x a a x a x a
a
x a x a x a x a
x a x a a a
a x a x a x a
a a
x a x a
x a e e e e e
e
ε
εε
εδδε
ε
εε
→
--
-<-=+-<
+≤-+<+
+-<-<=-<
++
-<=
?>>-=-<<-<<
不妨设要使由于
只需(取则当时故
设要使即(
.
1,
0ln1,min{,1},0,||,
1|2|
lim lim lim
0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,
2222
,|,|cos cos
x a
a
x a
a
x a x a x a
x a x a x a
e
e
x a x a e e
e a
e e e e e e
x a x a x a x a
x a x a x a x a
ε
εε
δδε
ε
δεδ
-→+→-→
<+
??
<-<+=<-<-<
?+
??
===
+-+-?>-==≤-
=-<-
取则当时
故类似证故
要使
取则当|时
...
(4)
2
|,lim cos cos.
2.lim(),(,)(,),()
.
1,0,0|-|,|()|1,
|()||()||()|||1||.
(1)1
(1)lim lim
2
x a
x a
x x
x a
f x l a a a a a u f x
x a f x l
f x f x l l f x l l l M
x
x
ε
δδ
εδδ
→
→
→→
<=
=-?+=
=><<-<
=-+≤-+<+=
+-
=
故
设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数
对于存在使得当 时从而
求下列极限
证
3.
:
2
00
2
2
2
22
000
00
2
2
1
2
2
2
lim(1) 1.
22
2sin sin
1cos111
22
(2)lim lim lim1.
222
2
(3)0).
22
(4)lim.
2233
2
(5)lim
22
x
x x x
x x
x
x
x x x
x
x x
x
x
x x
a
x x
x x
x x
x x
→
→→→
→→
→
→
+
=+=
??
????
? ?
?
-????
?
====
?
?
??
==>
---
=
---
--
--
2
.
33
-
=
-
201030
30300
022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.1
3132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---??-== ?+++-++-+?
?+-==+-
+214
442
100(2)3
1.(1)3244
.
63
(1)1(1)12(10)lim lim lim .
1(11)lim x x x n
n
n
x y y x x x x n n ny y y x y n x y y
→-→→
→→→→→∞--==--+
=
===-+
+
+-+-===-1011001
001
0100101
20.
(12)lim (0)./,(13)lim
(0)0, , .
(14)lim lim 1x m m m m
n
n n x n n m m m n n
x n
x x a x a x a a b b x b x b b a b m n
a x a x a a
b n m b x
b x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=?+++?
≠=>?+++?∞
>?
=+2
1.
11/x =+
033
2332
2
32
203
12(
1
212)
5lim
(1
12
)
55
lim .3(112)(16)0,l x x x x
x x x x x x x
x x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+??=??
=
00lim lim x a x a →+→+??=?==
000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)lim
lim lim cos .tan
sin sin(2)sin(2)2
(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5x
x x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x
x x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→??=+= ???=====-=-利用及求下列极限:
00()1/0
321.sin 5555
(4)lim lim 2cos sin
sin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.
(7)lim(15)
x x x a x a k
x
x
x
k k
k k x x x y
y x x x
x
x a x a x a a x a x a
k k k e x x x y →→+→→----→∞
→∞
→∞→=-===+--==--??????????+=+=+= ? ? ???????
????-=5
1/(5)50100
100
lim(15).
111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().
lim ():0,0,0|-|().
lim (y y x x
x x x x a
x x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞
→∞→→-∞
→→-∞
??-=????
??
??????+=++= ? ? ???????????
=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().
A x f x A =-∞>?><-?<-对于任意给定的存在使得当时
习题1.5
22
2 2
1.
(2)sin5.
(1)0,|.,
,|||||,0
555()
(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.
22
x
x x a
x
x x x x
x a x a
x a
εδ
εε
εδδε
εε
-
=
=
?>=<≤
<<=<<=
+-
?>-=<
试用说法证明
连续
在任意一点连续
要使只需
取则当时有连续.
要使
由于
证
000
000
555()
2|cos||sin|5||,5||,||,
225
,|||sin5sin5|,sin5
5
()()0,0||()0.
(),()/2,0||
(
x a x a
x a x a x a
x a x a x x a y f x x f x x x f x
f x x f x x x
f x
ε
ε
ε
δδε
δδ
εδδ
+-
≤--<-<
=-<-<=
=>>-<>
=>-<
只需
取则当时有故在任意一点连续.
2.设在处连续且证明存在使得当时
由于在处连续对于存在存在使得当时
证
00000
000
0000 )()|()/2,()()()/2()/20.
3.()(,),|()|(,),?
(,),.0,0||
|()()|,||()||()|||()()|,||.
f x f x f x f x f x f x
f x a b f x a b
x a b f x x x
f x f x f x f x f x f x f x
εδδ
εε
-<>-=>
∈>>-<
-<-≤-<
于是
设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立
任取在连续任给存在使得当时
此时故在连续其
证
000
1,
,(),()|1
1,
ln(1),1,
0,
(1)()(2)()
arccos, 1.
0;
lim()lim1(0),lim()(0)
x x x
x
f x f x
x
a
x x
x
f x f x
a x x
a x x
f x f f x f
π
→-→→+
?
=≡
?
-?
+≥
?
<
==?
<
+≥?
??
=====
逆命题
是有理数
不真例如处处不连续但是|处处连续.
是无理数
4.适当地选取,使下列函数处处连续:
解(1)
1111
2
sin2
lim
sin3
1.
(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,
ln2.
5.3:
(1)lim cos lim cos0 1.
(2)lim
(3)lim x
x x x x
x x
x
x
x
x
a
f x x f f x a x a f
a
e e
π
→
→+→+→-→-
→+∞→+∞
→
→
=
=+====-==
=-
===
=
=
利用初等函数的连续性及定理
求下列极限
sin22
sin33.
(4)lim arctan arctan1.
4
x
x
x x
e
π
→∞→∞
=
===
第9章 习题9-1 1. 判定下列级数的收敛性: (1) 11 5n n a ∞ =?∑(a >0); (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑. 解:(1)该级数为等比级数,公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时,级数收敛,当1 | |1a ≥即01a <≤时,级数发散. (2) Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. (3)113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数,而调和级数11 n n ∞ =∑发散,故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. (4)Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数,所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛,即原级数收敛. (5)Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. (6)Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在,从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. (7)Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. (8)Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠,故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2. 判别下列级数的收敛性,若收敛则求其和: (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ; (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑. 解:Q (1)1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛,且其和分别为1和12,则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛,且其 和为1+ 12=3 2 . (2)Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数: (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: 2(1)2,5xy y y x '==; 解:由25y x =得10y x '=代入方程得 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解:3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解:2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解:12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中,验证所给二元方程为所给微分方程的解: 证:方程22 x xy y C -+=两端对x 求导: 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程,等式恒成立.故是微分方程的解. 证:方程ln()y xy =两端对x 求导: 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得 将,y y '''代入到微分方程,等式恒成立,故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里,找出满足所给的初始条件的曲线: 解:当0x =时,y = 5.故C =-25 故所求曲线为:22 25y x -= 解: 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时,y =0故有1 0C =. 又当x =0时,1y '=.故有21C =. 故所求曲线为:2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解: (1)ln 0xy y y '-=;
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. (1)???==++;3, 25222x z y x (2)???==++;1,3694222y z y x (3)???-==+-;3, 254222x z y x (4)???==+-+.4,08422y x z y 【解】 (1)表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ; (2)表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ; (3)表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ; (4)表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 (一)(1)、(2)联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以,Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x (二)(1)、(2)联立消去y 得 R z 2 1 = 所以,Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
(三)(1)、(2)联立消去x 得 R z 21 = 所以,Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以,球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=,R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ,故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a,b,c 表示2u-3v. 解2u-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c) =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ,设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ,已知AM = MC ,DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ,因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ,根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- (AB BD1)=- a- c 5
D 2 A =- ( AB D A =- ( AB BD 2 BD )=- )=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- ( AB 3 BD 4 )=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1(0,1,2)和 M 2(1,-1,0) .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =(1-0, -1-1, 0-2)=( 1, -2, -2) . -2 M 1M 2 =-2( 1,-2,-2) =(-2, 4,4). 5. 求平行于向量 a =(6, 7, -6)的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ,故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = ( 6,7, -6)= 6 , 7 , 6 , a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? A (1,-2,3), B ( 2, 3,-4), C (2,-3,-4), D (-2, -3, 1). 解 A 点在第四卦限, B 点在第五卦限, C 点在第八卦限, D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下列各点的位置: A ( 3, 4, 0), B ( 0, 4,3), C ( 3,0,0), D ( 0, D A 4
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1.求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点:平面图形的面积 思路:由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型,解法都较简单,所以选其一做即可 解: 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型:?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型:?????<<< <1 sin 2 0y x x π, (或D 表达为Y-型:???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型:?? ?-<<<<-2 2 422y x y y , ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D (由于图形关于X 轴对称,所以也可以解为: 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ) ★★4.求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点:平面图形面积 思路:所围图形关于Y 轴对称,而且在第一象限内的图形表达为Y-型时,解法较简单 解:见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型:? ??<<< 习题 4.1 3212121.()32[0,1][1,2]Rolle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]Rolle 620,33(0,1),(1,2),()()0.33 2.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+===+''= ∈===2验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x)=3x 讨论下列 解1111()[1,1]Rolle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)()0,(1,1),()0.1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m mx n nx c f c m f x -----∈-'==+-='=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/32 ),(0). 3 3.()ln [1,],?11 (),()(1)ln ln11(1), 1. https://www.wendangku.net/doc/a716416635.html,grange (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2); (3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=-=='=-=-==-=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解222(0).(1)|sin sin ||(sin )|()||cos |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||. (3)ln ln ln (ln )|()((,)).5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-=∈<=--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,Rolle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()cos cos 2cos (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c nx π±±---=+++L L 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证 283 高等数学上(修订版)(复旦出版社) 习题六 无穷数级 答案详解 1.写出下列级数的一般项: (1)111135 7 ++++ ; (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ; (3)3579 3579 a a a a -+-+ ; 解:(1)1 21 n U n =-; (2)()2 !! 2n n x U n = ; (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+; 2.求下列级数的和: (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ; (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑; (3)23 111 5 55+ ++ ; 解:(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+,故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-,即级数的和为12-. (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =,即级数的和为14 . 3.判定下列级数的敛散性: (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑; (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ; (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ; 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ,v =-a +3b -c .试用 a ,b , c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2( a -b +2c ) -3(-a +3b -c ) =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明它是平 行四边形. 证 如图 8-1 , 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M , 已知 AM = MC , DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ,因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分,设分点依次为 D 1,D 2,D 3,D 4,再把各 分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向 量 证 如图 8-2 ,根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- ( AB BD 1 )=- a- c 5 D 2 A =- ( AB D A =- ( AB BD 2 BD )=- )=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- ( AB 3 BD 4 )=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1(0,1,2)和 M 2(1,-1,0) .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =(1-0, -1-1, 0-2)=( 1, -2, -2) . -2 M 1M 2 =-2( 1,-2,-2) =(-2, 4,4). 5. 求平行于向量 a =(6, 7, -6)的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ,故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = ( 6,7, -6) = 6 , 7 , 6 , a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? A (1,-2,3), B ( 2, 3,-4), C (2,-3,-4), D (-2, -3, 1). 解 A 点在第四卦限, B 点在第五卦限, C 点在第八卦限, D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征?指出下列各点的位置: A ( 3, 4, 0), B ( 0, 4,3), C ( 3,0,0), D ( 0, D A 4 习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z L 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞ x n +k =a . 证:由lim n n x a →∞ =,知0ε?>,1N ?,当1n N >时,有 取1N N k =-,有0ε?>,N ?,设n N >时(此时1n k N +>)有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ,说明 上述结论反之不成立. 证: 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>,,使当时,有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞ =, 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明: (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0; (2) lim n →∞2!n n =0. 证:(1)因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=, 2lim 0n n →∞=, 所以由夹逼定理,得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . (2)因为22222240!123 1n n n n n < =<-,而且4 lim 0n n →∞=, 习题 1.1 22 22222222222222 223. 33,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b ====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11n n n n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.: 6.120000(1)(1)(1). (,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=+ ∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2 大学数学A (1)课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….( ) A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….( ). A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….( ) A .0 B .1 C .2 1 D .∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….( ) A .0 B .1 C .2 D .∞ 5.当0→x 时,下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….( ) A .)1(3-x e x B .x cos 1- C .x x sin tan - D .)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ,则当0→x 时,有…………………………………………………………………………..…….( ). A .)(x f 与x 是等价无穷小 B .)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C .)(x f 是比x 高阶的无穷小 D .)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..( ) A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ,则下述结论正确的是……………………………………….( ) 习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 习题十 1. 根据二重积分性质,比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小,其中: (1)D 表示以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形; (2)D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解:(1)区域D 如图10-1所示,由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间,显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? (2)区域D 如图10-2所示.显然,当(,)x y D ∈时,有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质,估计下列积分的值: (1)4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; (2)22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解:(1)因为当(,)x y D ∈时,有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? (σ为区域D 的面积) ,由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤,从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? (3)因为当(,)x y D ∈时,2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值: 2019年广西满分作文:毕业前的最后一堂课时光飞逝,白马过隙。2019高考如约而至,距离我的那年高考也已有二十岁的年份。烈日的阳光,斑驳的光影,仿佛又把我拉进了在宽窄巷子的学堂里最后冲刺的时光。 高中即将毕业,意味着每个人将为人生方向的开启选好时光的阀门,单纯的学历生涯即将告一段落。课堂上朗朗整齐的晨读和起立,行礼的流程将渐行远去。它是青春懵懂的里程,也是最为单纯的诗书礼仪,课桌黑板走廊都将记录这里每个人在经历人生的最后一课,无论是同学还是老师。 记得1999年炙热的炎夏,当年的二十八中还隐藏在老成都皇城宽窄巷子里面,距离高考还有一周,同学们已经不再像之前那样紧张忙碌的复习节奏,三三两两,甚至结伴到学校周围看看能不能捡到老皇城留下的一砖半瓦,为自己这里的高中学涯留点念想。 还记得是用过学校食堂的午餐,在最后一节考前动员课上完以后,大家就会各自回到家中,为最后到来的大考最最后的准备。课堂的气氛很是轻松,甚至我和我的同桌还在讨论中午学校食堂红椒肉丝的白糖是否搁多了,随着班主任走进教室,踏上讲台,一如既往地喊道:上课!接着就是值日生的“起立敬礼老师好”的三重奏,最后一节课的师生礼仪完毕后,班主任转身在黑板上用粉笔撰写了四个大字“勇往直前”,语重心长的寄语和感慨在此不表,大家彼此默契的拿出早已准备好的记事本开始彼此留言签名,数言珍语,寥寥几笔都赫然纸上。 人生最后一堂课,没有习题的讲解和紧张备考的威严氛围。三年同窗,彼此单纯的朝夕相处和课桌校园间的点滴生活早已让这个班级凝成了一片经脉。“聚是一团火,散是满天星,不求桃李满天下,只愿每人福满多。”班主任最后这句话至今印刻脑海。二十载已过,当时班主任的心境早已能够理解,也希望每年高考时,同学志愿看天下! 第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 200200(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在,按导数定义观察下列极限,指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim (0'()f x -); ⑵ ()=→?x x f x 0lim ('(0)f ), 其中()()存在;且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim (02'()f x ). 3. 求下列函数的导数: ⑴ ='=y x y ,4 则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4. 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)23y x π- =- 2(1)0y +-= 法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在? 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠Q '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==; 当0x =时北大版高等数学第4章习题集解答
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