时间序列挖掘-预测算法-三次指数平滑法(Holt-Winters)
摘要: 所有移动平均法都存在很多问题。它们都太难计算了。每个点的计算都让
你绞尽脑汁。而且也不能通过之前的计算结果推算出加权移动平均值。移动平均
值永远不可能应用于现有的数据集边缘的数据，因为它们的窗口宽度是有限 ...
所有移动平均法都存在很多问题。
它们都太难计算了。每个点的计算都让你绞尽脑汁。而且也不能通过之前的计算结果推算出加权移动平均值。
移动平均值永远不可能应用于现有的数据集边缘的数据，因为它们的窗口宽度是有限的。这是一个大问题，因为数据集边缘的变动形态一般都是我们最感兴趣的部分。
类似地，移动平均法也不能应用于现有数据集的范围之外。其结果是，它们对预测毫无用处。
幸运的是，有一种很简单的计算方案能够避免所有这些问题。它叫指数平滑法(exponential smoothing)或Holt-Winters法。指数平滑法有几种不同形式：一次指数平滑法针对没有趋势和季节性的序列，二次指数平滑法针对有趋势但没有季节性的序列。术语“Holt-Winters法”有时特指三次指数平滑法。
所有的指数平滑法都要更新上一时间步长的计算结果，并使用当前时间步长的数据中包含的新信息。它们通过“混合”新信息和旧信息来实现，而相关的新旧信息的权重由一个可调整的拌和参数来控制。各种方法的不同之处在于它们跟踪的量的个数和对应的拌和参数的个数。
一次指数平滑法的递推关系特别简单：
其中，是时间步长i上经过平滑后的值，是这个时间步长上的实际(未平滑的)数据。你
可以看到是怎么由原始数据和上一时间步长的平滑值混合而成的。拌和参数可以是0和1之间的任意值，它控制着新旧信息之间的平衡：当接近1时，我们就只保留当前数据点(即完全没有对序列进行平滑)；当接近0时，我们就只保留前面的平滑值(也就是说整个曲线都是平的)。
为何这个方法被称为“指数”平滑法？要找出答案，展开它的递推关系式即可知道：
从这里可以看出，在指数平滑法中，所有先前的观测值都对当前平滑值产生了影响，但它们所起的作用随着参数的幂的增大而逐渐减小。那些相对较早的观测值所起的作用相对较小，这也就是指数变动形态所表现出来的特性。从某种程度上来说，指数平滑法就像是拥有无限记忆且权值呈指数级递减的移动平均法。(同时也要注意到所有权值的和，等于1，因为当q<1 时，几何序列。参见附录B 的几何序列方面的信息。)
一次指数平滑所得的计算结果可以在数据集范围之外进行扩展，因此也就可以用来进行预测。预测也非常简单：
其中，是最后一个已经算出来的值。也就是说，一次指数平滑法得出的预测在任何时
候都是一条直线。
刚刚描述的一次指数平滑法适用于没有总体趋势的时间序列。如果用来处理有总体趋势的序列，平滑值将往往滞后于原始数据，除非的值接近1，但这样一来就会造成不够平
滑。
二次指数平滑法保留了趋势的详细信息，从而改正了这个缺点。换句话说，我们保留并更新两个量的状态：平滑后的信号和平滑后的趋势。它有两个等式和两个拌合参数：
我们先看看第二个等式。这个等式描述了平滑后的趋势。当前趋势的未平滑“值”是当前平滑值和上一个平滑值的差；也就是说，当前趋势告诉我们在上一个时间步长里平滑信号改变了多少。要想使趋势平滑，我们用一次指数平滑法对趋势进行处理，并使用拌合参数。为获得平滑信号，我们像上次那样进行一次混合，但要同时考虑到上一个平滑信号及趋势。第一个等式的最后那个项可以对当前平滑信号进行估计——假设在单个
时间步长里我们保持着上一个趋势。
若要利用该计算结果进行预测，我们就取最后那个平滑值，然后每增加一个时间步长，就在该平滑值上增加一次最后那个平滑趋势：
最后，我们给三次指数平滑法添加第三个量，用来描述季节性。我们有必要区分一下累
加式和累乘式季节性，累加式对应的等式：
累乘式的等式：
其中，pi 是指“周期性”部分，是这个周期的长度。前面的等式中也包含预测的等式。所有的指数平滑方法都是基于递推关系的，这表明我们要先设定初始值才能使用它们。选择什么样的初始值并不特别重要：指数式衰减规律说明所有的指数平滑方法的“记忆”能力都是很短的，只需经过几个时间步长，初始值的影响就会变得微乎其微。一些合理
的初始值：
且
对三次指数平滑法而言，我们必须初始化一个完整的“季节”的值，不过我们可以简单地设置为全1(针对累乘式)或全0(针对累加式)。只有当序列的长度较短时，我们才需要
慎重考虑初始值的选取。
最后一个问题是如何选择拌合参数。我的建议是反复试验。先试试0.2和0.4之间的几个值(非常粗略地)，然后看看会得到什么结果。或者也可以为(实际数据和平滑算法的结果之间的)误差定义一个标准，再使用一个数值优化过程来将误差最小化。就我的经验而言，一般没有必要弄得这么麻烦，原因至少有两个：数值优化是一个不能保证收敛的迭代过程，最终你可能还需要花非常多时间将算法设计成收敛的。此外，任何
这样的数值优化都受限于你选对误差进行最小化的表达式。问题是使误差最小化的参数值可能并不能满足在解决方案中你想要看到的其他特性(也就是近似值的精确性和结果曲线的平滑程度之间的平衡)，那么，到最后你才会发现，手动的计算方法往往更好。不过，如果你要预测很多序列，花些精力构建一个能自动决定最优参数值的系统也是值得的，但要实现这个系统恐怕也并不容易。
最后，我想用一个例子来展示我们想从指数平滑法得到的结果。下图是一个经典的数据集，它显示的是每个月国际航班的旅客数量(单位：千人) 。该图显示了实际数据和三次指数近似值。1949—1957年用来“训练”生成它的算法，而1958—1960年都是预测数值。注意，这里的预测值与实际数据相当接近——特别是它强烈的季节形态——持续了一段如此长的预测时段(整整三年！)。对于像这样简单的方法来说，是很不错的。
时间序列挖掘-预测算法-三次指数平滑法(Holt-Winters)
在时间序列中，我们需要基于该时间序列当前已有的数据来预测其在之后的走势，三次指数平滑(Triple/Three Order Exponential Smoothing,Holt-Winters)算法可以很好
的进行时间序列的预测。
时间序列数据一般有以下几种特点：1.趋势(Trend) 2. 季节性(Seasonality)。
趋势描述的是时间序列的整体走势，比如总体上升或者总体下降。下图所示的时间序列是总体上升的：
季节性描述的是数据的周期性波动，比如以年或者周为周期，如下图：
三次指数平滑算法可以对同时含有趋势和季节性的时间序列进行预测，该算法是基于一次指数平滑和二次指数平滑算法的。
一次指数平滑算法基于以下的递推关系：
si=αx i+(1-α)s i-1
其中α是平滑参数，s i是之前i个数据的平滑值，取值为[0,1]，α越接近1，平滑后的
值越接近当前时间的数据值，数据越不平滑，α越接近0，平滑后的值越接近前i个数据的平滑值，数据越平滑，α的值通常可以多尝试几次以达到最佳效果。
一次指数平滑算法进行预测的公式为：x i+h=s i，其中i为当前最后的一个数据记录的坐标，亦即预测的时间序列为一条直线，不能反映时间序列的趋势和季节性。
二次指数平滑保留了趋势的信息，使得预测的时间序列可以包含之前数据的趋势。二次指数平滑通过添加一个新的变量t来表示平滑后的趋势：
s i=αx i+(1-α)(s i-1+t i-1)
t i=?(s i-s i-1)+(1-?)t i-1
二次指数平滑的预测公式为 x i+h=s i+ht i 二次指数平滑的预测结果是一条斜的直线。三次指数平滑在二次指数平滑的基础上保留了季节性的信息，使得其可以预测带有季节性的时间序列。三次指数平滑添加了一个新的参数p来表示平滑后的趋势。
三次指数平滑有累加和累乘两种方法，下面是累加的三次指数平滑
s i=α(x i-p i-k)+(1-α)(s i-1+t i-1)
t i=?(s i-s i-1)+(1-?)t i-1
p i=γ(x i-s i)+(1-γ)p i-k其中k为周期
累加三次指数平滑的预测公式为：x i+h=s i+ht i+p i-k+(h mod k)注意：数据之魅P88此处有错误，根据Wikipedia修正。
下式为累乘的三次指数平滑：
s i=αx i/p i-k+(1-α)(s i-1+t i-1)
t i=?(s i-s i-1)+(1-?)t i-1
p i=γx i/s i+(1-γ)p i-k其中k为周期
累乘三次指数平滑的预测公式为：x i+h=(s i+ht i)p i-k+(h mod k)注意：数据之魅P88此处有错误，根据Wikipedia修正。
α，?，γ的值都位于[0,1]之间，可以多试验几次以达到最佳效果。
s,t,p初始值的选取对于算法整体的影响不是特别大，通常的取值为s0=x0,t0=x1-x0,累加时p=0,累乘时p=1.
我们使用DataMarket的International Airline Passengers数据来测试累加和累乘三次指数平滑算法的性能，该数据记录的是每月的国际航线乘客数：
下图为使用累加三次指数平滑进行预测的效果：其中红色为源时间序列，蓝色为预测的时间序列，α，?，γ的取值为0.45，0.2，0.95：
下图为累乘三次指数平滑进行预测的效果，α，?，γ的取值为0.4，0.05，0.9：
可以看到三次指数平滑算法可以很好的保存时间序列数据的趋势和季节性信息，在International Airline Passengers数据集上累乘平滑指数算法的效果更好。
参考文献：
[1]. 数据之魅：基于开源工具的数据分析
[2]. DataMarket: International Airline Passengers
[3]. Wikipedia: Exponential Smoothing
时间序列分析
1.1时间序列定义： 时间序列是指将某种现象某一个统计指标在不同时间上的各个数值,按时间先后顺序排列而形成的序列. 构成要素：现象所属的时间,反映现象发展水平的指标数值.要素一：时间t；要素二：指标数值。 1.2时间序列的成分： 一个时间序列中往往由几种成分组成，通常假定是四种独立的成分——趋势T、循环C、季节S和不规则I。 T 趋势通常是长期因素影响的结果，如人口总量的变化、方法的变化等。 C任何时间间隔超过一年的，环绕趋势线的上、下波动，都可归结为时间序列的循环成分。S许多时间序列往往显示出在一年内有规则的运动，这通常由季节因素引起，因此称为季节成分。目前，可以称之为“季节性的周期”，年或者季节或者月份。 I时间序列的不规则成分是剩余的因素，它用来说明在分离了趋势、循环和季节成分后，时间序列值的偏差。不规则成分是由那些影响时间序列的短期的、不可预期的和不重复出现的因素引起的。它是随机的、无法预测的。 四个组成部分与观测值的关系可以用乘法模型或者加法模型或者综合。 1.3预测方法的选择与评估 方法P216 三种预测方法：移动平均法、加权移动平均法和指数平滑法。因为每一种方法的都是要“消除”由时间序列的不规则成分所引起的随机波动，所以它们被称为平滑方法。平滑方法对稳定的时间序列——即没有明显的趋势、循环和季节影响的时间序列——是合适的，这时平滑方法很适应时间序列的水平变化。但当有明显的趋势、循环和季节变差时，平滑方法将不能很好地起作用。 移动平均法使用时间序列中最近几个时期数据值的平均数作为下一个时期的预测值。移动平均数的计算公式如下： 指数平滑法模型： 式中Ft+1——t+1期时间序列的预测值； Yt——t期时间序列的实际值； Ft——t期时间序列的预测值； α——平滑常数（0≤α≤1）。 均方误差是常用的（MSE） 标准误差定义为各测量值误差的平方和的平均值的平方根。 设n个测量值的误差为ε1、ε2……εn，则这组测量值的标准误差σ等于：
《时间序列分析》案例
《时间序列分析》案例案例名 称：时间序列分析在经济预测中的应用内容要 求：确定性与随机性时间序列之比较设计作 者：许启发，王艳明 设计时 间：2003年8月
案例四：时间序列分析在经济预测中的应用 一、案例简介 为了配合《统计学》课程时间序列分析部分的课堂教学，提高学生运用统计分析方法解决实际问题的能力，我们组织了一次案例教学，其内容是：对烟台市的未来经济发展状况作一预测分析，数据取烟台市1949—1998年国内生产总值（GDP）的年度数据，并以此为依据建立预测模型，对1999年和2000年的国内生产总值作出预测并检验其预测效果。国内生产总值是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果，是反映国民经济活动最重要的经济指标之一，科学地预测该指标，对制定经济发展目标以及与之相配套的方针政策具有重要的理论与实际意义。在组织实施时，我们首先将数据资料印发给学生，并讲清本案例的教学目的与要求，明确案例所涉及的教学内容；然后给学生一段时间，由学生根据资料，运用不同的方法进行预测分析，并确定具体的讨论日期；在课堂讨论时让学生自由发言，阐述自己的观点；最后，由主持教师作点评发言，取得了良好的教学效果。 经济预测是研究客观经济过程未来一定时期的发展变化趋势，其目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以确定社会经济活动的发展水平，为决策提供依据。 时间序列分析预测法，首先将预测目标的历史数据按照时间的先后顺序排列，然后分析它随时间的变化趋势及自身的统计规律，外推得到预测目标的未来取值。它与回归分析预测法的最大区别在于：该方法可以根据单个变量的取值对其自身的变动进行预测，无须添加任何的辅助信息。 本案例的最大特色在于：它汇集了统计学原理中的时间序列分析这一章节的所有知识点，通过本案例的教学，可以把不同的时间序列分析方法进行综合的比较，便于学生更好地掌握本章的内容。 二、案例的目的与要求 （一）教学目的 1．通过本案例的教学，使学生认识到时间序列分析方法在实际工作中应用的必要性和可能性； 2．本案例将时间序列分析中的水平指标、速度指标、长期趋势的测定等内容有机的结合在一起，以巩固学生所学的课本知识，深化学生对课本知识的理解； 3．本案例是对烟台市的国内生产总值数据进行预测，通过对实证结果的比较和分析，使学生认识到对同一问题的解决，可以采取不同的方法，根据约束条件，从中选择一种合适的预测方法； 4．通过本案例的教学，让学生掌握EXCEL软件在时间序列分析中的应用，对统计、计量分析软件SPSS或Eviews等有一个初步的了解； 5．通过本案例的教学，有助于提高学生运用所学知识和方法分析解决问题的能力、合作共事的能力和沟通交流的能力。 （二）教学要求 1．学生必须具备相应的时间序列分析的基本理论知识； 2．学生必须熟悉相应的预测方法和具备一定的数据处理能力； 3．学生以主角身份积极地参与到案例分析中来，主动地分析和解决案例中的问题； 4．在提出解决问题的方案之前，学生可以根据提供的样本数据，自己选择不同的统计分析方法，对这一案例进行预测，比较不同预测方法的异同，提出若干可供选择的方案； 5．学生必须提交完整的分析报告。分析报告的内容应包括：选题的目的及意义、使用数据的特征及其说明、采用的预测方法及其优劣、预测结果及其评价、有待于进一步改进的思路或需要进一步研究的问题。 三、数据搜集与处理 时间序列数据按照不同的分类标准可以划分为不同的类型，最常见的有：年度数据、季度数据、月度数据。本案例主要讨论对年度数据如何进行预测分析。考虑到案例设计时的侧重点，本案例只是对烟
时间序列分析_最经典的
【时间简“识”】 说明：本文摘自于经管之家(原人大经济论坛) 作者：胖胖小龟宝。原版请到经管之家(原人大经济论坛) 查看。 1.带你看看时间序列的简史 现在前面的话—— 时间序列作为一门统计学，经济学相结合的学科，在我们论坛，特别是五区计量经济学中是热门讨论话题。本月楼主推出新的系列专题——时间简“识”，旨在对时间序列方面进行知识扫盲（扫盲，仅仅扫盲而已……），同时也想借此吸引一些专业人士能够协助讨论和帮助大家解疑答惑。 在统计学的必修课里，时间序列估计是遭吐槽的重点科目了，其理论性强，虽然应用领域十分广泛，但往往在实际操作中会遇到很多“令人发指”的问题。所以本帖就从基础开始，为大家絮叨絮叨那些关于“时间”的故事！
Long long ago，有多long？估计大概7000年前吧，古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，这一记录也就被我们称作所谓的时间序列。记录这个河流涨落有什么意义？当时的人们并不是随手一记，而是对这个时间序列进行了长期的观察。结果，他们发现尼罗河的涨落非常有规律。掌握了尼罗河泛滥的规律，这帮助了古埃及对农耕和居所有了规划，使农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。 好~~从上面那个故事我们看到了 1、时间序列的定义——按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。 2、时间序列分析的定义——对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。 既然有了序列，那怎么拿来分析呢？ 时间序列分析方法分为描述性时序分析和统计时序分析。 1、描述性时序分析——通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性时序分析 ?描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第一步。
平稳时间序列预测法
第七章 平稳时间序列预测法 基本内容 一、概述 1、 时间序列{}t y 取自某一个随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称 过程是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间变化，则称过程是非平稳的。 2、 宽平稳时间序列的定义：设时间序列{}t y ，对于任意的t ,k 和m ，满足： ()()m t t y E y E += ()()k m t m t k t t y y y y ++++=,cov ,cov 则称{}t y 宽平稳。 3、Box-Jenkins 方法是一种理论较为完善的统计预测方法。他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA 模型识别、估计和诊断的系统方法。使ARMA 模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。 4、ARMA 模型三种基本形式：自回归模型（AR ：Auto-regressive ），移动平均模型（MA ： Moving-Average ）和混合模型（ARMA ：Auto-regressive Moving-Average ）。 （1） 自回归模型AR(p)：如果时间序列{}t y 满足t p t p t t y y y εφφ+++=-- (11) 其中{}t ε是独立同分布的随机变量序列，且满足： ()0=t E ε，()02>=εσεt Var 则称时间序列{}t y 服从p 阶自回归模型。或者记为()k t t y y B -=φ。 平稳条件：滞后算子多项式()p p B B B φφφ++-=...11的根均在单位圆外，即 ()0=B φ的根大于1。 （2） 移动平均模型MA(q)：如果时间序列{}t y 满足q t q t t t y -----=εθεθε...11 则称时间序列{}t y 服从q 阶移动平均模型。或者记为()t t B y εθ=。 平稳条件：任何条件下都平稳。 （3） ARMA(p,q)模型：如果时间序列{}t y 满足 q t q t t p t p t t y y y -------+++=εθεθεφφ (1111) 则称时间序列{}t y 服从(p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为()()t t B y B εθφ=。
时间序列平滑预测
实验3：时间序列平滑预测 3.1实验目的 1、了解移动平均法和指数平滑法的基本概念，基本原理； 2、掌握一次移动平均法，二次移动平均法，单指数平滑，双指数平滑和霍尔特指数平滑法预测模型形式，适用条件及内在机理； 3、掌握利用Excel 软件实现一次移动平均法，二次移动平均法操作步骤； 4、掌握利用Eviews 软件实现单指数平滑，双指数平滑和霍尔特指数平滑法预测的操作流程。 3.2实验原理 3.2.1移动平均法 移动平均法是根据一段时间序列的样本资料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均数，来预测序列趋势的一种平滑方法。它是最简单的自适应预测模型，主要包括一次移动平均和二次移动平均两种方法。 （一）一次移动平均法 一次移动平均法又称简单移动平均法，它是根据序列特征，计算一定项数的算术平均数作为序列下一期的预测值，这种方法随着时间的推移逐渐纳入新的数据同时去掉历史数据。 （1）计算公式：设时间序列为：12,,,t x x x 一次移动平均的计算公式为： 111 ()t t t t n S x x x n --+=+++ 式中：t S 为第t 期移动平均数；n 为移动平均的项数。公式表明时间t 每向前移动一个时期，一次移动平均便增加一个新近数据，去掉一个远期数据，得到一个新的平均数。这种边移动变平均的方法被称为一次移动平均法。 通过推到我们可以得到一次移动平均法递推公式： 11 ()t t t t n S S x x n --=+- 公式说明每一新预测值是对前一移动平均预测值的修正。 （2）预测公式为： 11?t t t F x S ++== 即以第t 期移动平均数作为第t+1期的预测值。 （3）特点：该预测方法简单易行，当序列的实际值波动较大时，我们通常会通过移动平均法减弱随机波动性，消除随机干扰，以帮助进行序列实际趋势的分析； 移动平均的项数n 的选择至关重要， n 越大，修匀的程度也越大，移动平
(整理)Excel时间序列预测操作.
时间序列分析预测EXCEL操作 一、长期趋势(T)的测定预测方法 线性趋势→：: 用回归法 非线性趋势中的“指数曲线”：用指数函数LOGEST、增长函数GROWTH（针对指数曲线） 多阶曲线(多项式)：用回归法 （一）回归模型法-------长期趋势（线性或非线性）模型法： 具体操作过程：在EXCEL中点击“工具”→“数据分析”→“回归”→分别在“Y值输入区域”和“X值输入区域”输人数据和列序号的单元格区域一选择需要的输出项目，如“线性拟合图”。回归分析工具的输出解释： 计算结果共分为三个模块： 1）回归统计表： Multiple R（复相关系数R）：R2的平方根，又称为相关系数，它用来衡量变量xy之间相关程度的大小。R Square(复测定系数R2 )：用来说明用自变量解释因变量变差的程度，以测量同因变量y的拟合效果。Adjusted R Square (调整复测定系数R2)：仅用于多元回归才有意义，它用于衡量加入独立变量后模型的拟合程度。当有新的独立变量加入后，即使这一变量同因变量之间不相关，未经修正的R2也要增大，修正的R2仅用于比较含有同一个因变量的各种模型。 标准误差：又称为标准回归误差或叫估计标准误差，它用来衡量拟合程度的大小，也用于计算与回归有
关的其他统计量，此值越小，说明拟合程度越好。 2）方差分析表：方差分析表的主要作用是通过F检验来判断回归模型的回归效果。 3）回归参数：回归参数表是表中最后一个部分： ?Intercept：截距a ?第二、三行：a (截距) 和b (斜率)的各项指标。 ?第二列：回归系数a (截距)和b (斜率)的值。 ?第三列：回归系数的标准误差 ?第四列：根据原假设Ho：a=b=0计算的样本统计量t的值。 第五列：各个回归系数的p值(双侧) 第六列：a和b 95%的置信区间的上下限。 （二）使用指数函数LOGEST和增长函数GROWTH进行非线性预测 在Excel中，有一个专用于指数曲线回归分析的LOGEST函数，其线性化的全部计算过程都是自动完成的。如果因变量随自变量的增加而相应增加，且增加的幅度逐渐加大；或者因变量随自变量的增加而相应减少，且减少的幅度逐渐缩小，就可以断定其为指数曲线类型。 具体操作过程： 1．使用LOGEST函数计算回归统计量 ①打开“第3章时间数列分析与预测.xls”工作簿，选择“增长曲线”工作表如下图所示。 ②选择E2:F6区域，单击工具栏中的“粘贴函数”快捷键，弹出“粘贴函数”对话框，在“函数分类”中选择 “统计”，在“函数名”中选择“LOGEST”函数，则打开LOGEST对话框，如下图11.20所示。
平稳时间序列预测法
7 平稳时间序列预测法 7.1 概述 7.2 时间序列的自相关分析 7.3 单位根检验和协整检验 7.4 ARMA模型的建模 回总目录 7.1 概述 时间序列取自某一个随机过程，则称： 一、平稳时间序列 过程是平稳的――随机过程的随机特征不随时间变化而变化过程是非平稳的――随机过程的随机特征随时间变化而变化回总目录 回本章目录 宽平稳时间序列的定义： 设时间序列 ，对于任意的t,k和m，满足： 则称宽平稳。 回总目录
回本章目录 Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。 他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构 化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理 论基础。 ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型； 回总目录 回本章目录 ARMA模型三种基本形式： 自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）； 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 其中是独立同分布的随机变量序列,且满足：
则称时间序列服从p阶自回归模型。 二、自回归模型 回总目录 回本章目录 自回归模型的平稳条件： 滞后算子多项式 的根均在单位圆外，即 的根大于1。 回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 则称时间序列服从q阶移动平均模型。或者记为。 平稳条件：任何条件下都平稳。
三、移动平均模型MA(q) 回总目录 回本章目录 四、ARMA(p,q)模型 如果时间序列 满足： 则称时间序列服从(p,q)阶自回归移动平均模型。 或者记为： 回总目录 回本章目录 q=0，模型即为AR(p)； p=0，模型即为MA(q)。 ARMA(p,q)模型特殊情况： 回总目录 回本章目录 例题分析 设 ，其中A与B 为两个独立的零均值随机变量，方差为1；
什么是时间序列预测法
什么是时间序列预测法？ 一种历史资料延伸预测，也称历史引伸预测法。是以所能反映的社会经济现象的发展过程和规律性，进行引伸外推，预测其发展趋势的方法。 时间序列，也叫时间数列、历史复数或。它是将某种的数值，按时间先后顺序排到所形成的数列。时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反映出来的发展过程、方向和趋势，进行类推或延伸，借以预测下一段时间或以后若干年内可能达到的水平。其内容包括：收集与整理某种社会现象的历史资料；对这些资料进行检查鉴别，排成数列；分析时间数列，从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律，得出一定的模式；以此模式去预测该社会现象将来的情况。 时间序列预测法的步骤 第一步收集历史资料，加以整理，编成时间序列，并根据时间序列绘成。时间序列分析通常是把各种可能发生作用的因素进行分类，传统的分类方法是按各种因素的特点或影响效果分为四大类：(1)长期趋势；(2)季节变动；(3)；(4)不规则变动。 第二步分析时间序列。时间序列中的每一时期的数值都是由许许多多不同的因素同时发生作用后的综合结果。 第三步求时间序列的长期趋势(T)季节变动(s)和不规则变动(I)的值，并选定近似的数学模式来代表它们。对于数学模式中的诸未知参数，使用合适的技术方法求出其值。 第四步利用时间序列资料求出长期趋势、季节变动和不规则变动的数学模型后，就可以利用它来预测未来的值T和季节变动值s，在可能的情况下预测不规则变动值I。然后用以下模式计算出未来的时间序列的预测值Y： 加法模式T+S+I=Y 乘法模式T×S×I=Y 如果不规则变动的预测值难以求得，就只求和季节变动的预测值，以两者相乘之积或相加之和为时间序列的预测值。如果经济现象本身没有季节变动或不需预测分季分月的资料，则长期趋势的预测值就是时间序列的预测值，即T=Y。但要注意这个预测值只反映现象未来的发展趋势，即使很准确的在按时间顺序的观察方面所起的作用，本质上也只是一个的作用，实际值将围绕着它上下波动。 []
时间序列的指数平滑预测技术
时间序列的指数平滑预测 技术 Prepared on 22 November 2020
第五章 时间序列的指数平滑预测技术 本章重点内容：常数模型的指数平滑法的基本公式与预测方程，初值对预测值的影响及其选择，基本公式的误差校正式，霍尔特指数平滑法，布朗二次指数平滑法，布朗适应性平滑法，各种平滑法之间的关系，比例模型的指数平滑法。 常用模型的指数平滑法 5.1.1基本公式与预测方程 利用时间序列前t 期的观察值x 1 , x 2 ,…, x t 预测第t ＋1期的值x t ＋1时，设赋予第i 期的权重为w t ＋1－I (i=1,2…t), w 1>w 2 >… >w t ,计算诸观察值的加权平均： 并取第t+1期预测值为 这就是所谓加权平均法。加权平均法的缺点： (1)权重不易确定 (2)要记忆的数据太多 (3)计算较繁权重不易确定 自动取权重的方法：自当前期向前，各期权重按指数规律下降，即第t 期，第t-1期…的权重依次为 由上式看出，为使计算方便，使权数之和等于1。我们使这一条件当t 趋近∞时成立，即使得 各期权重依次为 上述办法显然解决了自动选权重的问题，但尚未克服记忆数据多和计算繁两个缺点。为此，我们考虑t 充分大时的情形，这时得到: 将滞后一期拿出： 得到即: 上式称为指数平滑法的基本公式，这个公式是用递推公式给出的，α叫做平滑常数，0 <α<1，其值可由预测者任意指定。T t 称为T 的(实际上也是t ...t ...t t t x x x W ωωωωωω+++++-+= 211 121t t W x ?=+1) 10,0,...(,,2<<>βααβαβα1 2=+++...αβαβα +-+-+=--221)1()1(t t t t x x x T ααααα... t t t t x )(x )(x T +-+-+=----32 21111αααααt t t x T T αα=---1 )1(1 )1(--+=t t t T x T αα
时间序列分析方法第章预测
第四章 预 测 在本章当中我们讨论预测的一般概念和方法，然后分析利用),(q p ARMA 模型进行预测的问题。 §4.1 预期原理 利用各种条件对某个变量下一个时点或者时间阶段内取值的判断是预测的重要情形。为此，需要了解如何确定预测值和度量预测的精度。 4.1.1 基于条件预期的预测 假设我们可以观察到一组随机变量t X 的样本值，然后利用这些数据预测随机变量1+t Y 的值。特别地，一个最为简单的情形就是利用t Y 的前m 个样本值预测1+t Y ，此时t X 可以描述为： 假设*|1t t Y +表示根据t X 对于1+t Y 做出的预测。那么如何度量预测效果呢？通常情况下，我们利用损失函数来度量预测效果的优劣。假设预测值与真实值之间的偏离作为损失，则简单的二次损失函数可以表示为(该度量也称为预测的均方误差)： 定理4.1 使得预测均方误差达到最小的预测是给定t X 时，对1 +t Y 的条件数学期望，即： 证明：假设基于t X 对1+t Y 的任意预测值为： 则此预测的均方误差为： 对上式均方误差进行分解，可以得到： 其中交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法则)： 因此均方误差为： 为了使得均方误差达到最小，则有： 此时最优预测的均方误差为： 211*|1)]|([)(t t t t t X Y E Y E Y MSE +++-= End 我们以后经常使用条件数学期望作为随机变量的预测值。 4.1.2 基于线性投影的预测 由于上述条件数学期望比较难以确定，因此将预测函数的范围限制在线性函数当中，我们考虑下述线性预测： 如此预测的选取是所有预测变量的线性组合，预测的优劣则体现在系数向量的选择上。 定义4.1 如果我们可以求出一个系数向量值α，使得预测误差)(1t t X Y α'-+与t X 不相关： 则称预测t X α'为1+t Y 基于t X 的线性投影。 定理4.2 在所有线性预测当中，线性投影预测具有最小的均方误差。
时间序列的指数平滑预测技术
时间序列的指数平滑预 测技术 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
第五章 时间序列的指数平滑预测技术 本章重点内容：常数模型的指数平滑法的基本公式与预测方程，初值对预测值的影响及其选择，基本公式的误差校正式，霍尔特指数平滑法，布朗二次指数平滑法，布朗适应性平滑法，各种平滑法之间的关系，比例模型的指数平滑法。 常用模型的指数平滑法 5.1.1基本公式与预测方程 利用时间序列前t 期的观察值x 1 , x 2 ,…, x t 预测第t ＋1期的值x t ＋1时，设赋予第i 期的权重为w t ＋1－I (i=1,2…t), w 1>w 2 >… >w t ,计算诸观察值的加权平均： 并取第t+1期预测值为 这就是所谓加权平均法。加权平均法的缺点： (1)权重不易确定 (2)要记忆的数据太多 (3)计算较繁权重不易确定 自动取权重的方法：自当前期向前，各期权重按指数规律下降，即第t 期，第t-1期…的权重依次为 由上式看出，为使计算方便，使权数之和等于1。我们使这一条件当t 趋近∞时成立，即使得 各期权重依次为 上述办法显然解决了自动选权重的问题，但尚未克服记忆数据多和计算繁两个缺点。为此，我们考虑t 充分大时的情形，这时得到: 将滞后一期拿出： 得到即: t ...t ...t t t x x x W ωωωωωω+++++-+= 211 121t t W x ?=+1) 10,0,...(,,2<<>βααβαβα1 2=+++...αβαβα +-+-+=--221)1()1(t t t t x x x T ααααα... t t t t x )(x )(x T +-+-+=----32 21111αααααt t t x T T αα=---1 )1(1 )1(--+=t t t T x T αα
实验四平稳时间序列模型预测
实验四平稳时间序列模型预测 一、实验目的 1、掌握平稳时间序列分析模型的分析方法和步骤 2、会求平稳时间序列的自相关函数和偏相关函数 3、掌握模型类别和阶数的确定 二、实验设备 计算机、Matlab软件 三、实验内容与步骤 已知平稳时间序列{}一个长为50的样本数据如下表：number Zi 1-10289 285 289 286 288 287 288 292 291 291 11-20292 296 297 301 304 304 303 307 299 296 21-30293 301 293 301 295 284 286 286 287 284 31-40282 278 281 278 277 279 278 270 268 272 41-50273 279 279 280 275 271 277 278 279 285 51-60301 295 281 278 278 270 286 288 279 279
每个同学以自己的学号为起点，循环计数50重新排序，如：学号为3的学生样本数据为：Z3,Z4……Z50,Z1,Z2,编程计算，并打印下列： 1、 2、 3、利用递推公式计算样本的偏相关系数 4、 5、确定模型的类别和阶数 四、实验原理 平稳时间序列的模型估计与预测原理 样本自协方差函数： 样本自相关函数： 样本偏相关函数 3、利用与的拖尾和截尾性质判定类型和阶数 五、实验报告要求 1、写出详细的计算步骤及设计原理； 2、按实验内容的要求打印图形； 3、附上程序和必要的注解。 六．实验过程 function y = experiment4 close all;clc; % r = [];p1 = [];p = []; % Fai = [];FAI = []; %学号21
第七章季节性时间序列分析方法
第七章季节性时间序列分析方法 由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。 本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。 §1 简单随机时序模型 在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。 一、季节性时间序列 1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。 注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7） 2．处理办法： （1）建立组合模型； （1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847）
对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。 启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。 定义：季节差分可以表示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=?=)1(。 二、 随机季节模型 1．含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。 AR （1）：t t S t S t t e W B e W W =-?+=-)1(11??，可以还原为：t t S S e X B =?-)1(1?。 MA （1）：t S t S t t t e B W e e W )1(11θθ-=?-=-，可以还原为：t S t S e B X )1(1θ-=?。 2．形式：广而言之，季节型模型的ARMA 表达形式为 t S t S e B V W B U )()(= （1） 这里，?? ? ??----=----=?=qS q S S S pS P S S S t d S t B V B V B V B V B U B U B U B U X W ΛΛ2212211)(1)()(平稳。 注：（1）残差t e 的内容；（2）残差t e 的性质。 §2 乘积季节模型 一、 乘积季节模型的一般形式 由于t e 不独立，不妨设),,(~m d n ARIMA e t ，则有 t t d a B e B )()(Θ=?φ （2） 式中，t a 为白噪声；n n B B B B ???φ----=Λ22111)(；m m B B B B θθθ----=ΘΛ22111)(。 在（1）式两端同乘d B ?)(φ，可得： t S t d S t D S d S t d S a B B V e B B V X B U B W B U B )()()()()()()()(Θ=?=??=?φφφ （3） 注：（1）这里t D S S X B U ?)(表示不同周期的同一周期点上的相关关系；t d X B ?)(φ则表示同一周期内
时间序列分析实验平稳性
时间序列数据平稳性检验实验指导 一、实验目的： 理解经济时间序列存在的不平稳性，掌握对时间序列平稳性检验的步骤和各种方法，认识利用不平稳的序列进行建模所造成的影响。 二、基本概念： 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期的协方差值仅依赖于该两个时期间的间隔，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，就称它是宽平稳的。 时序图 ADF检验 PP检验 三、实验内容及要求： 1、实验内容： 用Eviews5.1来分析1964年到1999年中国纱产量的时间序列，主要内容： （1）、通过时序图看时间序列的平稳性，这个方法很直观，但比较粗糙； （2）、通过计算序列的自相关和偏自相关系数，根据平稳时间序列的性质观察其平稳性；（3）、进行纯随机性检验； （4）、平稳性的ADF检验； （5）、平稳性的pp检验。 2、实验要求： （1）理解不平稳的含义和影响； （2）熟悉对序列平稳化处理的各种方法； （2）对相应过程会熟练软件操作，对软件分析结果进行分析。 四、实验指导 （1）、绘制时间序列图 时序图可以大致看出序列的平稳性，平稳序列的时序图应该显示出序列始终围绕一个常数值波动，且波动的范围不大。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势或周期，那它通常不是平稳序列，现以1964-1999年中国纱年产量序列（单位：万吨）来说明。 在EVIEWS中建立工作文件，在“Workfile structure type”栏中选择“Dated-regular frequency”，在右边的“Date specification”中输入起始年1964，终止年1999，点击ok则建立了工作文件。找到中国纱年产量序列的excel文件并导入命名该序列为sha，见图1-2。 图1-1 建立工作文件
平稳时间序列分析
第3章平稳时刻序列分析 本章教学内容与要求：了解时刻序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA模型的性质；掌握时刻序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识不、参数的可能以及序列的建模与预测。 本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识不、参数的可能以及序列的建模与预测。 打算课时：21（讲授16课时，上机3课时、习题3课时）教学方法与手段：课堂讲授与上机操作 §3.1 方法性工具 一个序列通过预处理被识不为平稳非白噪声序列，那就讲明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。在统计上，我么通常是建立一个线性模型来拟合该序列的进展，借此提取该序列中的
有用信息。ARMA(auto regression moving average)模型是目前最常用的一个平稳序列拟合模型。 时刻序列分析中一些常用的方法性工具能够使我们的模型表达和序列分析更加简洁、方便。 一、差分运算 （一）p 阶差分 相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算。记▽t x 为t x 的1阶差分： ▽1t t t x x x --= 对1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记▽ 2 t x 为t x 的 2阶差分： ▽ 2 t x =▽t x -▽1-t x 以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行一次1阶差分运算称为p 阶差分。记▽ p t x 为t x 的 p 阶差分： ▽ p t x =▽ p-1 t x -▽p-1 1-t x （二）k 步差分 相距k 期的两个序列值之间的减法运算称为k 步差分运算。记▽k t x 为t x 的k 步差分： ▽k =k t t x x --
(优质)(时间管理)第三章平稳时间序列分析
（时间管理）第三章平稳时 间序列分析
t P p t t t t t x B x x B x Bx x ===--- 221第3章 平稳时间序列分析 一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。 3.1方法性工具 3.1.1差分运算 一、p 阶差分 记为的1阶差分： 记为的2阶差分： 以此类推：记为的p 阶差分： 二、k 步差分 记为的k 步差分： 3.1.2延迟算子 一、定义 延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。记B 为延迟算子，有 延迟算子的性质： 1. 2.若c 为任一常数，有 3.对任意俩个序列 {}和{}，有 4. 5. 二、用延迟算子表示差分运算
1、p阶差分 2、k步差分 3.2ARMA模型的性质 3.2.1AR模型 定义具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p): (3.4) AR(p)模型有三个限制条件： 条件一：。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p。 条件二：。这个限制条件实际上是要求随机干扰序列为零均值白噪声序列。 条件三：。这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。 通常把AR(p)模型简记为： (3.5) 当时，自回归模型式(3.4)又称为中心化AR(p)模型。非中心化AR(p)序列可以通过下面变化中心化AR(p)系列。 令 则{}为{}的中心化序列。 AR(p)模型又可以记为： ，其中称为p阶自回归系数多项式 二、AR模型平稳性判断 P45【例3.1】考察如下四个AR模型的平稳性： 拟合这四个序列的序列值，并会绘制时序图，发现(1)(3)模型平稳，(2)(4)模型非平稳 1、特征根判别