关于“恒成立”问题的解题策略

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关于"恒成立"问题的解题策略

九峰实验学校 张晶
2007-5-27
在高中数学的学习过程中经常会碰到带有"恒成立"字样的问题
这类问题学生往往感到困难
帮助学生领会问题实质
把握问题的思维特点
是解决这类问题的关键
实际上
"恒成立"问题的思维特点和解题的突破口就在一个"恒"字上
解决此类问题需要涉及到一次函数、二次函数的性质和图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法
有利于考查学生的综合解题能力
在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用
因此也成为历年高考的一个热点

恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：
(1) 一次函数型；
(2) 二次函数型；
(3) 变量分离型；
(4) 根据函数的性质；
(5) 直接根据函数的图象；
(6) 反证法

本文通过对具体问题的分析
来说明"恒成立"问题的解法思路

一、 一次函数型
给定一次函数(≠0),若在[m,n]内恒有>0
则根据函数的图象（线段）可得上述结论等价于
①或②也可合并成
同理
若在内恒有
则有



例1 、若不等式21>对一切都成立
求实数的取值范围

解：令＝（）－2＋1
则上述问题即可转化为关于m的一次函数在区间[-2
2]内函数值小于0恒成立的问题
考察区间端点
只要
＜0且＜0即可
解得∈（
）

本题的不等式中出现了两个变量：x、m,并且是给出了m的范围,要求x的相应范围
若直接从关于x的不等式正面出发求解较难
而把 m看作自变量
x看成参变量
则上述问题即可转化为在区间[-2
2]内关于m的一次函数函数值小于0恒成立,求参变量x的范围的问题,进而化难为易,问题得以解决.

二、二次函数型
若二次函数的函数值大于0恒成立
则有
例如：关于的不等式对任意恒成立等价于
即

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题
还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解

例2、关于的方程恒有解
求实数的范围

解法1（利用韦达定理）：
设,则
故原方程有解等价于关于的方程有正根

即
解得

解法2（利用二次函数的图象）：



图(1) 图(2) 图(3)
即关于的方程有正根
可设.
10.若=0,即,解得或

时
由,得
不合题意；(如图1)
时
由,得,符合题意
∴.(如图2)
20. 若>0,即或时

∵,故只需对称轴
即.∴
(如图3)
综上可得.
这是一个含参数的指数方程的问题
题目中出现了及
学生容易想到通过换元法转化成一元二次方程求解

把原问题转化为一元二次方程在区间上的恒成立问题
解法一体现了方程的思想
利用了韦达定理作等价转化；解法二体现了数形结合和分类讨论的思想方法
把二次方程根的分布问题进一步转化成二次函数图象与x轴的交点的问题
这些都是常用的数学思想方法
在数学教学中应反复强调
以引起学生的重视,让其在学习数学知识的过程中,不断加深对数学思想方法的理解,提高数学思维的灵活性
本题还可以用另一种方法来解决
就是下面介绍的变量分离法

三、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量
其中一个变量的范围已知
另一个变量的范围为所求
且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边
则可将恒成立问题转化成函数的值域或最值问题求解

如果不等式对属于某个区间的一切自变量都成立
那么只要在这个区间上的最小值大于M即可
即；同样如果不等式对属于某个区间的一切自变量都成立
那么只要在这个区间上的最大值小于M即可
即.
例3、当为何值时
不等式恒成立？
解：

又(+)2+3的最小值为4.
要使恒成立(-1)2<4. 解得 0≤9.
当0≤9时
不等式恒成立

本题中的不等式两边都有
若直接求解,则不太容易
因此可以先对不等式进行化简变形
把含有的项全部放在不等号一边
另一边看成关于cosx的二次函数,从而得以解决. 特别要注意
用上述方法解不等式恒成立问题时
m必须是一个与自变量x无关的量
否则不能转化！
又如
在例2中对关于的方程在有解也可利用变量分离法
因为
所以可将写成
原问题就转化为求函数的值域

从解答过程可以看出
用变量分离解题
运算过程比较简捷

四、 利用函数的性质解决恒成立问题
例4、已知函数图象的一条对称轴方程为
求实数的值

解：根据题意
对任意的
都有
即
也即对任意都成立
所以只能
这里虽然没有"恒成立"的字样
但是告诉对称轴方程为
其实就是告诉了该函数的一个性质
就是说对任意的
都有
这是一个恒成立问题
所以我们要引导学生挖掘题目中条件的本质
在解题过程中要善于转化.比如：函数为偶函数就等价于对定义域中的任何
都有；函数的最小值为就等价于对任意都有；等等
这些都是恒成立问题
本题有另外一个解法就是利用函数的图象的对称轴的特殊性去解
我们由正弦函数的图象和性质知道函数在处取到最值
且图象的对称轴方程为
依照这个思路
由函数图象的一条对称轴方程为
可得
可解得


五、把不等式恒成立问题转化为函数图像问题
例5 若不等式对于任意∈都成立
求

的取值范围.
解：作出函数的图像
由题意知 在∈(0, ］
函数的图像总在函数的图像的上方.
作直线=
与和的图像分别交于A、B两点
为保证在区间（0
］上的图像在图像的上方
不难从图中得到其条件是点A在点B的上方.
当=时
, 又 得<<1
学生看到这个题目可能一开始束手无策
因为此题中的不等式左边是对数式
右边是三角式
很难用初等数学的知识去解这个不等式
但如果想到数形结合的方法
把左右两边分别看成两个函数f(x)与g(x)
把左边看成对数函数
右边看成三角函数
这个不等式对任意
（0
］都成立
就转化为函数的图像在区间（0
］上都在函数图像的上方
这就从一个代数的不等式问题转化到了一个函数图象的问题
然后从图像中寻找条件
就能解决问题
由此我们可以看到
函数与不等式是紧密联系的
我们在教学的过程中一定要重视初等函数的研究和把握
让学生熟悉初等函数的图象和性质
因为它们是解决好多其他问题的基础.同时在解题过程中要善于转化
象这个问题的解决其实就用到了把一个很难解决的不等式的问题转化到了一个可行的函数图象的问题
这种转化的思维方式和能力需要我们在平时的教学过程中逐渐培养起来
形成良好的解题思维策略


六、 采用逆向思维
考虑使用反证法

例6、设是定义在实数集上的函数
对任意实数都有
且存在实数
使
求证：对任意实数
恒成立

分析：这是一个抽象函数的证明题
由
只要令
就能得到
接下来要证明对任意实数
都不等于
这是一个恒成立问题
从正面直接证明比较困难
所以可以考虑反证法
即如果找到一个使
能推出矛盾就行了
事实上
若存在使
则对任意实数
有
显然这与题设"存在实数
使"矛盾

恒成立问题有时候从正面很难入手
这时如果考虑问题的反面
会对解题带来一定的帮助
所谓"正难则反"就是这个道理


总之
"恒成立"问题的解法思路主要就是转化
把复杂的问题等价转化为简单的、容易解决的问题
而要让学生做到正确的、灵活的转化
就要求我们在高中数学的教学过程中
经常引导学生对典型问题的典型解法加以研究并自觉地疏理知识
形成知识板块结构和方法体系
在此过程中不断提高数学解题能力,增强对数学学习的信心


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